Realizzazione di strutture sub-micrometriche e studio delle loro proprietà magnetiche

cazione viene sfruttata anche nella ricerca fisica di base: la possibilita` di creare strutture
a dimensionalita` ridotta permette di osservare come le proprieta` della materia siano mod-
ificate da un forte confinamento laterale. Infatti e` di immediata comprensione che in
quest’ordine di grandezze, comparabili con le dimensioni molecolari, la materia cessa di
averelepropriet`a tipiche di un volume esteso, sia per la rottura di simmetria traslazionale
in prossimita` delle superfici delle nano-strutture sia per fenomeni di quantizzazione legati
al confinamento spaziale. Dal punto di vista del magnetismo e` stata messa in evidenza
tutta una serie di effetti sorprendenti ed inaspettati, legati alla dimensioni nanometriche
delle strutture prodotte artificialmente, per i quali si sta ancora cercando si raggiungere
una descrizione teorica soddisfacente. Tra questi effetti ricordiamo ad esempio la magne-
toresistenza gigante, l’anisotropia magnetica perpendicolare, la stabilizzazione di strutture
a singolo dominio magnetico.
Va infine sottolineato come, parallelamente al raffinamento delle tecniche di produzione
delle micro- e nano-strutture magnetiche, si e` assistito anche al proliferare di nuove tecniche
di indagine delle proprieta` magnetiche, sia statiche che dinamiche. Tra queste ricordiamo
ad esempio le tecniche elettroniche risolte in spin, la microscopia a forza magnetica, l’effetto
Kerr magneto-ottico e la spettroscopia di luce Brillouin.
In questo lavoro di tesi si e` avviata una nuova linea di ricerca che ha come scopo la
realizzazione di strutture sub-micrometriche e lo studio delle loro proprieta`magnetiche.
Le strutture realizzate sono ‘punti’ (dot) di materiale magnetico disposti in due dimensioni
secondo una geometria periodica: i campioni cos`ı realizzati prendono il nome di ‘matrici
di dot magnetici’. Per la preparazione dei campioni sono state utilizzate la LitografiaElet-
tronica (EBL: Electron Beam Lithography) e la Litografia X (XRL: X-Ray Lithography):
il processo EBL e` stato eseguito dal candidato durante una permanenza di circa un mese
presso l’Istituto di Elettronica dello Stato Solido (IESS) del CNR di Roma, sotto la guida
della Dott.ssa A. Gerardino; anche il processo XRL e` stato eseguito dal candidato, sotto
la guida del Dott. E. Di Fabrizio alla Beamline LILIT presso il sincrotrone Elettra di
Trieste, durante un periodo di permanenza di 3 mesi, grazie ad una borsa di studio per
laureandi asseganta dall’INFM. Le proprieta` magnetiche dei campioni sono state studiate,
durante questo lavoro di tesi, mediante spettroscopia di luce Brillouin (BLS) e effetto Kerr
ii
magneto-ottico (MOKE) presso il Laboratorio di Spettroscopie Ottiche di questo Dipar-
timento, nonche´ mediante Microscopia a Forza Magnetica (MFM) presso il Dipartimento
di Fisica dell’Universita` di Ferrara.
La tesi e` strutturata in quattro capitoli e un’appendice.
Il primo capitolo e` dedicato alle proprieta` magnetostatiche di campioni a geometria
limitata. In particolare, a partire dai campi di demagnetizzazione, viene introdotto il
tensore di demagnetizzazione e sono analizzati 3 casi particolari: film infiniti, ellissoidi
di rotazione e prismi rettangolari. Successivamente, da considerazioni sull’energia mag-
netostatica di particelle a singolo dominio, sono dedotte la presenza di direzioni di facile
edifficile magnetizzazione con le caratteristiche dei relativi cicli di isteresi: si introduce
cos`ı il concetto di anisotropia magnetica, soffermandosi particolarmente sull’anisotropia
di forma. Nel seguito si mostra come l’equilibrio fra interazione di scambio e interazione
dipolare imponga, in campioni estesi, una struttura magnetica a domini, mentre solo nel
caso di dimensioni ridotte e` possibile avere una particella a singolo dominio. Infine e` illus-
trato l’effetto Kerr magneto-ottico (MOKE) e l’apparato sperimentale usato per lo studio
delle proprieta` magnetostatiche dei campioni.
Nel secondo capitolo, dopo aver brevemente introdotto le onde di spin, sono discussi
quali effetti ha su di esse un confinamento laterale in strutture periodiche: diminuzione
della loro frequenza, quantizzazione dei vettori d’onda e la possibilita` di gap nella curva
di dispersione. Successivamente e` illustrato il caso delle onde di spin in film magnetizzati
perpendicolarmente perche´ alcuni campioni sono stati realizzati su film di questo tipo.
Infine sono presentati la spettroscopia di luce Brillouin (BLS) e l’apparato sperimentale
usato per indagare le proprieta` magnetiche, di tipo dinamico (onde di spin), dei campioni.
Il terzo capitolo e` dedicato alle tecniche di nano-fabbricazione apprese durante questo
lavoro di tesi: dopo la presentazione di un generico processo litografico, con particolare
attenzione ai resist e all’etching,cisisofferma sulla litografia elettronica e sulla litografia
X. Di entrambe sono illustrate i fenomeni fisici legati alla realizzazione dei campioni e,
brevemente, gli apparati sperimentali.
Nel quaro capitolo sono presentati i campioni realizzati con le tecniche appena illus-
trate. Di ciascun campione, prima vengono forniti i dati relativi alla realizzazione e quindi
iii
e` presentata la caratterizzazione magnetica su di essi eseguita.
Infine, nell’appendice A, sono riportate le formule estese per i tensori di demagnetiz-
zazione di prismi rettangolari e ellissoidi di rotazione; al termine dell’appendice viene pre-
sentato inoltre un metodo ricorsivo per determinare i campi di demagnetizzazione quando
ci si discosta dalla condizione di saturazione.
iv
Capitolo 1
Magnetostatica in mezzi a geometria
limitata
Poiche´ uno degli scopi principali della tesi e` stata la realizzazione di campioni confinati
spazialmente, si e` ritenuto opportuno dedicare questo capitolo all’approfondimento di
alcune proprieta` magnetostatiche in campioni a geometria limitata.
1.1 Campi e fattori di demagnetizzazione
Inassenzadicorrentiesterneeincondizionistatiche,leequazionidiMaxwellperilcampo
induzione magnetica B e il campo magnetico H sono (usando il sistema cgs):
∇ ·B =0
∇×H =0
(1.1)
con B = H+4πM.Datocheil∇×H = 0 esiste un potenziale magnetico scalare ϕ tale
che −∇ϕ = H. Inoltre dalla prima delle (1.1) segue che:
∇ ·H = −4π∇ ·M
e sostituendo in quest’ultima H = −∇ϕ si ottiene:
∇
2
ϕ =4π∇ ·M (1.2)
1
che e` un’equazione di Poisson per la magnetostatica. Possiamo allora definire la densita`
di carica magnetica :
%
m
= −∇ ·M
Vale la pena ricordare cheM =lim
∆τ→0
P
N
i=1
m
i
∆τ
dovem
i
sono i dipoli magnetici microscopici,
∆τ e`unvolumeinfinitesimo di materiale e N il numero di dipoli in esso contenuti. Quindi la
natura di M e`prettamentedipolare,ovverononesisteevidenzasperimentaledelmonopolo
magnetico, e il concetto di carica magnetica va trattato con cautela: non si tratta mai di
singole cariche, ma sempre di dipoli.
Dato un campione di dimensione finita con magnetizzazione M(r) la soluzione parti-
colare della (1.2) e` la seguente:
ϕ(r)=−
Z
Ω
∇
0
·M(r
0
)
|r− r
0
|
d
3
r
0
+
I
S
M(r
0
) · n
0
|r− r
0
|
dσ (1.3)
con n versore normale alla superficie del campione. Il secondo integrale e` il contributo
dato dalla densita`dicaricasuperficiale:
σ
m
= M · n
Dalla definizione si vede subito che σ
m
6= 0 quando M non e` parallela alla superficie. In
questo caso in letteratura si parla spesso di poli liberi, ma la situazione e` quella rappre-
sentata in figura 1.1, cioe` si tratta sempre di dipoli.
La presenza di cariche superficiali spaiate (poli liberi) produce all’interno del campione
un campo magnetico che si oppone a M;essoe` detto campo di demagnetizzazione, H
d
.
Si giunge alla medesima conclusione dalla seconda delle (1.1), applicando il teorema della
circuitazione ad un campione con magnetizzazione uniforme (fig.1.1).
Figura 1.1: a) sono presenti cariche spaiate sulle superfici, ma si tratta sempre di dipoli; b) teorema
della circuitazione: M e H sono in verso opposto all’interno del campione.
2
Il campo di demagnetizzazione ovviamente non e` generato solo dai poli liberi sulla
superficie, ma anche dalla densita`dicaricadivolume,%
m
;per`o quest’ultima e`diversada
zero solo seM non e`uniforme.Datochespessosihaachefareconcampioniferromagnetici
portati a saturazione, nel seguito di questo paragrafo ci limiteremo solo al caso di M
uniforme, mentre in Appendice A e` sviluppato un approccio piu` generale.
Film sottile. Per iniziare consideriamo il caso di un film molto sottile che si estende
infinitamente in due direzioni dello spazio; sia la sua magnetizzazione uniforme e perpen-
dicolare al piano del film. Questa e`laconfigurazione in cui H
d
e` massimo per un dato
valore di M: si ha infatti il maggior numero di poli liberi e il piu` vicino possibile (fig.1.2).
Ciascuna superficie del film genera un campo H perpendicolare al film (per ovvi motivi di
simmetria), di intensita`paria2πM e verso come indicato in figura; sommando i contributi
delle due superfici si ottiene internamente un campo demagnetizzante H
d
= −4πM .
Figura 1.2: Film infinito magnetizzato perpendicolarmente: a sinistra, magnetizzazione all’interno del
film; a destra, cariche di superficie e andamento del campo magnetico H.
Se invece magnetizziamo il film parallelamente alla superficie non si formano poli liberi e
non si ha alcun campo di demagnetizzazione.
Poiche` generalmente l’energia magnetica per unita`divolumee` F = −M ·H, l’energia
associata con H
d
e`:
F
d
= −
1
2
M ·H
d
(1.4)
Compare il fattore
1
2
perche´la(1.4)e` l’autoenergia del sistema, cioe` l’energia di interazione
dei dipoli m
i
col campo generato dagli altri dipoli. Sostituendo nella (1.4) i valori di H
d
trovati per il film sottile si ottiene:
F
d
=2πM
2
per M perpendicolare al film
F
d
=0 perM parallelo
3
che ci dice che M giace nel piano del film.
Da questo esempio abbiamo un risultato di validita` generale: in assenza di altri termini
energetici, M si orienta in modo tale da minimizzare l’interazione fra i poli liberi.
L’espressione piu` generale per il campo demagnetizzante e`:
H
d
= −4πNM con N =







N
xx
N
xy
N
xz
N
yx
N
yy
N
yz
N
zx
N
zy
N
zz







(1.5)
N e` il tensore di demagnetizzazione e dipende fortemente dalla geometria del campione.
Come mostrato in Appendice A, anche all’interno di un campione conM uniforme il campo
di demagnetizzazione e` generalmente una funzione di r, e quindi lo e` anche N.Soloin
alcuni casi particolari il tensore di demagnetizzazione e`costanteedipendeesclusivamente
dalla forma del campione. Ad esempio nel caso di un film sottile, con asse zˆ perpendicolare
al piano, si ha che tutti gli elementi del tensore sono nulli eccetto N
zz
chevale1.Allora
dalla (1.5) si vede subito che l’unica componente di H
d
diversa da zero e` H
dz
eche:
H
d
z
= −4πM
z
Di conseguenza l’energia (1.4) diventa:
F
d
=2πM
2
z
Ellissoidi. Si puo` dimostrare che N e` costante anche per gli ellissoidi. In questo caso
si trova che il tensore e` diagonale e che la sua traccia e` 1 [1]:
N
x
+N
y
+N
z
=1 (dovee`statopostoN
ii
= N
i
)
Consideriamo dapprima un caso particolare di ellissoide: la sfera. Data la sua simmetria
bisogna avere N
x
= N
y
= N
z
, che insieme all’equazione precedente da` come risultato
N
i
=
1
3
. Si giunge cos`ı ad un risultato gia` noto anche dall’elettrostatica (campo elettrico
interno ad una sfera con polarizzazione uniforme): H
d
= −4π
M
3
.
In [1] troviamo un’ampia trattazione degli ellissoidi i cui risultati sono riassunti in
Appendice A, mentre qui ci limitiamo a riportare come esempi i casi di ellissoidi oblati
4
Figura 1.3: In tabella sono riportati i fattori di demagnetizzazione di ellissoidi prolati e oblati
magnetizzati parallelamente all’asse lungo (per il calcolo sono state usate le formule in Appendice A).
con i due assi lunghi molto maggiori dell’asse di rotazione. Consideriamo un sistema di
riferimento cartesiano che ha zˆ coincidente con l’asse di rotazione; inoltre detto l l’asse
lungo e s quello corto, introduciamo il rapporto dimensionale p =
l
s
.Perp À 1eM
parallelo a un asse lungo si ha:
N
x
= N
y
=
π
4p
Ã
1−
4
πp
!
(1.6)
sempre per p À 1maM parallelo all’asse di rotazione, si ottiene invece:
N
z
=1−
π
2p
+
2
p
2
(1.7)
`
E di immediata verificachelalorosommae`1.
Il fatto che il tensore N sia diagonale ha come conseguenza che:
H
d
=







H
x
H
y
H
z







= −4π







N
x
M
x
N
y
M
y
N
z
M
z







(1.8)
cioe` ciascuna componente del campo di demagnetizzazione e` proporzionale alla corrispon-
dente componente di M.Cos`ı se M ha una sola componente diversa da zero la (1.5) puo`
essere riscritta nella seguente maniera:
H
d
= −4πDM (1.9)
5
con D scalare che prende il nome di fattore di demagnetizzazione. Le caratteristiche del
tensore N rispecchiano ovviamente la geometria del campione e le sue simmetrie: ad
esempio un tensore diagonale i cui elementi sono tutti uguali (un multiplo dell’operatore
identita`) rispecchia una forma isotropa nello spazio, come e` per l’appunto una sfera. In
un ellissoide di rotazione possiamo invece individuare l’asse di rotazione e il piano ad esso
perpendicolare (piano equatoriale): le direzioni su tale piano sono del tutto equivalenti fra
loro ma non lo sono con l’asse di rotazione (N
x
= N
y
6= N
z
). Dalla (1.8):
H
d
eq
= −4πD
eq
M
eq
H
d
z
= −4πD
z
M
z
dove H
d
eq
(M
eq
)eH
d
z
(M
z
) sono le componenti di H
d
(M) rispettivamente sul piano
equatoriale e lungo l’asse di rotazione, mentre D
eq
= N
x
e D
z
= N
z
sono il fattore di
demagnetizzazione per il piano equatoriale e l’asse zˆ.
Prismi rettangolari. Come ultimo caso prendiamo in considerazione dei prismi ret-
tangolari (e un sistema di riferimento cartesiano con gli assi paralleli ai lati del prisma).
La prima differenza rispetto ai casi precedenti e`cheH
d
e`funzionedir anche quando M
e`uniforme.
`
E comunque possibile trovare una forma analitica per gli elementi del tensore
N [2], che riportiamo in Appendice A. Anche per i prismi si trova che la traccia di N e`1:
N
xx
(r)+N
yy
(r)+N
zz
(r)=1
maadifferenza degli ellissoidi il tensore non e` diagonale.
Se applichiamo un campo esterno H
0
uniforme, il campo effettivo sentito dai dipoli
all’interno del campione e`diversodaH
0
a causa del campo di demagnetizzazione:
H
i
(r)=H
0
+H
d
(r)
Sperimentalmente, pero`, cio`chesiriesceadeterminaree` solo l’effetto medio di H
d
enon
ilsuoandamentoconr. Quindi la precedente equazione viene riscritta come:
H
i
= H
0
+H
d
(1.10)
dove H
i
e H
d
sono dei valori medi calcolati sul volume del campione. Per motivi di
simmetria possiamo affermare che gli elementi non diagonali del tensore N hanno valor
6
Figura 1.4: Fattori di demagnetizzazione di ellissoidi prolati e prismi a sezione quadrata (a = b 6=
c). Il rapporto dimensionale degli ellissoidi e`definito come prima mentre per i prismi e` p = c/a.La
magnetizzazione e` parallela all’asse lungo per gli ellissoidi e al lato c per i prismi.
medio pari a zero, mentre in [3] sono riportati i valori medi degli elementi diagonali. La
formula (eq.A.9, Appendice A) e` piuttosto complessa, ma e` applicabile ad un generico
prisma di lati a, b, c. In particolare nel caso di un cubo si trova che:
N
x
= N
y
= N
z
=
1
3
come ci si aspetta per ovvi motivi di simmetria; inoltre, dato che gli altri elementi di N
sono nulli, se ne puo` concludere che un cubo e una sfera si comportano in maniera analoga
se si considera una media di volume. Per confronto in fig.1.4 sono riportati i fattori di
demagnetizzazione di ellissoidi e prismi con stesso rapporto dimensionale.
Ma una media di volume non rappresenta l’approssimazione migliore: Aharoni et al. in
[6] mostrano che la struttura a domini dei campioni (cf.§1.3) induce degli effetti sui bordi
che un simile processo di media non considera adeguatamente. Quindi parlare di un’e-
quivalenzafracuboesferahasensosolonelcontestodiunamediadivolume,mentrecon
approssimazioni migliori si fanno ovviamente sentire le differenze geometriche fra le due
forme.
1.2 Energia magnetica e cicli di isteresi
Come e` stato gia` osservato l’energia per unita` di volume di un campione con magnetiz-
zazione M in un campo H e` data da:
F = −M ·H (1.11)
7
Piu` esattamente la formula e`:
F = −
1
V
Z
V
M ·Hdτ
ma quest’ultima si riduce alla (1.11) nel caso di M e H uniformi su V.Nelseguitodi
questo paragrafo assumiamo proprio che M sia uniforme all’interno dei campioni e in piu`
con modulo fissato: si tratta di due ipotesi molto forti, ma semplificano notevolmente
l’analisi del problema senza alterarne la sostanza per i nostri fini.
Consideriamo un ellissoide prolato di assi a e b (con a>b, fig.1.5) e siano D
a
e D
b
i rispettivi fattori di demagnetizzazione; inoltre sia M la sua magnetizzazione, orientata
come in figura.
Figura 1.5: Ellissoide prolato con magnetizzazione uniforme
Combinando la (1.11) con la (1.9) si ottiene l’energia dovuta al campo di demagnetiz-
zazione:
F
d
=2πD
a
M
2
Se M fosse orientato parallelamente a b l’energia di demagnetizzazione sarebbe F
d
=
2πD
b
M
2
.Comegi`anotatoperunfilm sottile, in assenza di altri termini energetici M si
orienta in maniera tale da minimizzare l’interazione fra i poli liberi; nel caso presente si
orienta quindi lungo l’asse a. Un calcolo diretto dei fattori di demagnetizzazione mostra
infatti che D
a
<D
b
e quindi F
d
e` minima per M parallelo ad a. In questo caso si dice che
il campione possiede anisotropia di forma: la direzione per cui M minimizza l’energia e`
detta direzione di facile magnetizzazione (easy direction), mentre quella per cui l’energia
e` massima si chiama di difficile magnetizzazione (hard direction).
Applichiamo ora un campo magnetico esterno H
0
che formi un angolo θ con l’asse a
(fig.1.6): in questa situazione non e` detto che M sia lungo la direzione facile, bens`ı la sua
8
Figura 1.6: Ellissoide prolato in campo magnetico esterno
direzione e` determinata dall’equilibrio fra il campo H
d
eilcampoH
0
.
Si noti che ipotizzare il modulo di M costante significa che la magnetizzazione puo`solo
ruotare sotto l’azione del campo esterno. L’energia di demagnetizzazione e`ora:
F
d
=2πM
2
(D
a
cos
2
α +D
b
sin
2
α)=πM
2
(D
a
+D
b
)− πM
2
(D
b
−D
a
)cos2α (1.12)
dove α e` l’angolo che M forma con l’asse a. L’energia di interazione col campo esterno e`
invece:
F
H
= −HM cosφ (1.13)
dove φ e` l’angolo fra H
0
e M; facendo riferimento alla figura φ = θ + α. L’energia totale
e` allora:
F
T
=cost.− πM
2
(D
b
−D
a
) cos 2(φ− θ)−HM cosφ (1.14)
L’orientazione di M rispetto ad H
0
si ottiene minimizzando la (1.14); derivando rispetto
a φ e uguagliando a zero:
∂F
T
∂φ
=2πM
2
(D
b
−D
a
)sin2(φ− θ)+HM sinφ =0 (1.15)
Quello che vogliamo mostrare a partire da queste equazioni e`comecambianoiciclidi
isteresi al variare dell’angolo θ fra H
0
e la direzione facile. In un ciclo di isteresi solitamente
si misura la componente di M parallela al campo esterno: M
H
= |M| cosφ;poich`e |M| e`
costante il ciclo di isteresi normalizzato (M
H
/|M|)e`datodalcosφ in funzione del campo
esterno. Allora bisogna risolvere la (1.15) per il cosφ; a tale scopo la riscriviamo nella
forma:
1
2
sin 2(φ− θ)+h sinφ =0 (1.16)
9
Figura 1.7: Orientazione diM in funzione del campo applicato perpendicolarmente alla direzione facile
(θ = π/2). In (a) le frecce al di sopra degli ellissoidi rappresentano il campo, la cui intensita`e` riportata
in unita`dih, mentre quelle dentro gli ellissoidi rappresentano la magnetizzazione. In (b) e` rappresentata
la magnetizzazione in unita`ridotteM
H
/M contro h; i numeri 1, 2, 3,..., 16 corrispondono ai diversi passi
nell’applicare il campo esterno.
dove h e` un campo in unita` ridotte dato da:
h =
H
4πM(D
b
−D
a
)
La soluzione della (1.16) non e` banale. Consideriamo dapprima il semplice caso di θ = π/2,
che significa applicare il campo h perpendicolarmente alla direzione facile. L’orientazione
di M al variare di h e` mostrata in fig.1.7: la componente M
H
della magnetizzazione e`
proporzionale al campo h finche´ h = 1; a questo punto M giace lungo la direzione del
campo esterno. In figura e` anche rappresentata la magnetizzazione ridotta M
H
/|M| (=
cosφ) contro il campo h: con un semplice cambio di scala abbiamo una curva di M
H
contro H.Notiamocheperθ = π/2nonc’`e isteresi (l’area sottesa dalla curva e`zero),
ovvero nella rotazione di M non si hanno perdite di energia.
Ora invece applichiamo il campo esterno parallelamente alla direzione facile, ovvero
θ = 0. L’andamento di M al variare di h e` mostrato in fig.1.8 insieme al ciclo di isteresi.
In questo caso non ci sono forze che spingono la magnetizzazione fuori dalla direzione easy,
anche se piccole perturbazioni termiche sono sempre presenti. Supponiamo che il campo
sia in verso opposto alla magnetizzazione; quando queste piccole perturbazioni spingono
la magnetizzazione a ruotare, l’anisotropia di forma tende a mantenerla nella sua vecchia
direzione, mentre il campo esterno a ruotarla di π. Fin quando il campo h e` piccolo hanno
la meglio gli effetti dovuti alla forma, ma a un certo campo critico la magnetizzazione ruota
improvvisamente nel verso opposto. Si ha cos`ı un’isteresi diversa da zero e l’energia fornita
10
Figura 1.8: Analogo alla fig.1.7, ma col campo applicato lungo la direzione facile (θ =0
◦
)
0 2040608010 120140160180
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
20 40 60 80 100 120 140 160 180
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
F
t
o
t
a
l
e
φ  (gradi )
campo h=1 campo h=0.5 campo h=0
campo h=-0.3 campo h=-1
Figura 1.9: Energia totale F
T
(1.14) in funzione di φ,perθ =0
◦
ediversivaloridih [la (1.14) e` stata
divisa per 4πM
2
(D
b
−D
a
)]
11