2
Figura 1-1 Generica struttura a simmetria cilindrica
A tale proposito il metodo agli elementi finiti é diventato uno
strumento essenziale per l’analisi delle strutture e dei dispositivi
utilizzati nella moderna tecnologia alle microonde, sia
bidimensionali sia tridimensionali.
Negli ultimi anni la disponibilità di capacità d’elaborazione e
memorizzazione sempre maggiori a costi sempre più ridotti, ne ha
permesso un utilizzo industriale e non prettamente legato alla ricerca
scientifica.
Il metodo agli elementi finiti è una tecnica numerica per la
risoluzione di una vasta gamma di problemi attinenti a diverse
discipline, dall’ingegneria alla fisica.
Una delle sue prerogative più interessanti è la capacità di studiare
strutture con geometria qualsiasi, rendendolo la base ideale per un
tool di analisi estremamente versatile.
La particolare natura del campo elettromagnetico richiede tuttavia
una formulazione di tale metodo specifica, non permettendo di
sfruttare quanto sviluppato per le altre discipline.
Struttura a simmetria cilindrica Sezione della struttura
3
Per applicare il metodo con successo in problemi di
elettromagnetismo, negli ultimi anni sono state presentate varie
possibili formulazioni, basate sia sui potenziali elettrodinamici sia
sul campo magnetico o elettrico, ognuna delle quali con i suoi pregi
e le sue limitazioni.
I primi tentavi di analizzare strutture elementari a simmetria
cilindrica, guide a sezione omogenee non caricate [1], alle frequenze
delle microonde hanno sfruttato quanto sviluppato nelle altre
discipline.
Per la simulazione del campo elettromagnetico erano utilizzate
unicamente le sue componenti dirette come l’asse di simmetria,
approssimandole tramite funzioni scalari.
I risultati ottenuti erano sicuramente promettenti ma la loro
estensione a guide con sezione non omogenea ne ha evidenziato i
limiti.
L’esempio più comune di tali strutture è la guida dielettrica usata per
la trasmissione ottiche, in cui le caratteristiche della sezione
cambiano brutalmente da un punto all’altro.
Il problema fondamentale nell’analisi agli elementi finiti per tali
strutture è l’insorgere di soluzioni non fisicamente valide, dette modi
spuri, causate proprio da una non corretta formulazione del
problema.
Tale presenza è stata per anni uno delle maggiori cause d’insuccesso
nell’affermarsi del metodo come valido ed efficiente strumento di
analisi.
4
Nel tentativo di ovviare alla presenza dei modi spuri sono state
introdotte diverse varianti del metodo agli elementi finiti [1] [2].
Nessuna delle soluzioni proposte garantisce però un’eliminazione
dei modi spuri, oltre a richiedere un notevole sforzo per
l’implementazione e l’esecuzione.
Inoltre la presenza di spigoli vivi, caso comune per i dispositivi alle
microonde, si pensi alle guide T-septum o Double-Ridge, presenta
ulteriori gravi difficoltà.
Anche in questo caso sono state pensate soluzioni “ad hoc” [4] ma il
loro utilizzo snaturava il metodo agli elementi finiti, privandolo della
sue caratteristiche principali, la generalità e l’efficienza.
La chiave di volta per una corretta ed efficace applicazione del
metodo agli elementi finiti è una formulazione capace di rispettare la
natura del campo elettromagnetico, rispecchiandone le proprietà ed il
comportamento.
La formulazione scelta, denominata “Standard Formulation”,
congiuntamente con l’introduzione di particolari funzioni
approssimanti permette di raggiungere lo scopo prefissatoci.
Il campo magnetico, dopo essere stato scomposto nelle sue
componenti trasversale e longitudinale, é approssimato tramite
combinazioni lineari di opportune funzioni.
Per l’approssimazione delle componenti longitudinale e trasversale
del campo sono state utilizzate funzioni scalari e vettoriali
rispettivamente.
5
Le funzioni vettoriali, note come “Edge Elements”, sono state
opportunamente scelte in modo da riprodurre correttamente il
comportamento vettoriale del campo, eliminando così l’insorgere di
modi spuri, permettendo inoltre di simulare sezioni con spigoli
rientranti.
Applicando il metodo agli elementi finiti si sostituisce al problema
differenziale originario, con le annesse condizioni al contorno, un
problema agli autovalori generalizzato.
La soluzione di quest’ultimo permette di caratterizzare la struttura in
esame dal punto di visto modale, fornendo le pulsazioni di taglio
c
k
dei modi in guida.
Una volta identificata tale formulazione, ne si è realizzata
un’implementazione capace di sfruttarne appieno la flessibilità per la
progettazione di strutture guidanti a sezione qualsiasi in maniera
rapida e precisa.
A tal fine ci si è prefissato di rendere possibile l’interfacciamento
con i CAD di modellazione bidimensionale e tridimensionale più
diffusi, in particolare nel presente lavoro è stato sfruttato il pacchetto
Autocad ©.
Quest’ultima scelta è stata fatta anche in vista della possibilità di
caratterizzare strutture complesse tridimensionali tramite sezioni
bidimensionali, sfruttando per l’analisi elettromagnetica metodi
ibridi.
Infatti, in letteratura recentemente è stata dimostrata la possibilità di
utilizzare efficacemente metodi ibridi per l’analisi di strutture
tridimensionali complesse.
6
In particolare é possibile, ad esempio, sfruttare il metodo agli
elementi finiti per caratterizzare il comportamento elettromagnetico
della struttura in due dimensioni, per poi ricavare il comportamento
tridimensionale tramite la tecnica del mode matching.
Particolare attenzione è stata posta nella realizzazione
dell’implementazione cercando di renderla “user friendly”, in modo
da rendere la progettazione e l’analisi delle strutture il più agevole
possibile.
Inoltre, data l’estrema dinamicità del settore e della ricerca nel suo
ambito oltre alla natura estremamente varia delle problematiche da
affrontare, è sembrato opportuno rendere quanto più possibile
modulare l’implementazione.
Questo per creare un programma “aperto”, passibile di sostanziali
modifiche nelle sue componenti senza richiedere la riscrittura
completa dello stesso.
In tal modo si rendono possibili gli aggiornamenti necessari per
sfruttare gli ultimi sviluppi della ricerca o per applicare a nuove
tipologie di problemi il programma realizzato, senza dover
rinunciare a quanto già realizzato.
8
2 Impostazione del problema
elettromagnetico
2.1 Introduzione
L’utilizzo di guide d’onda a simmetria cilindrica per il trasporto o il
trattamento di un contenuto informativo, rappresentato dalle
fluttuazioni del campo elettromagnetico, richiede la conoscenza
accurata delle proprietà guidanti di tali strutture.
L’approccio classico nell’analisi delle guide d’onda a sezione
uniforme descrive il campo elettromagnetico all’interno delle stesse
come una somma di “modi” le cui caratteristiche dipendono
unicamente dalla geometria della sezione e dalle proprietà dei
materiali che la costituiscono [1] [2].
Benché per tali strutture sia perfettamente nota la formulazione del
modello matematico che le descrive, la sua soluzione in forma
chiusa è possibile unicamente per geometrie elementari, guide a
sezione rettangolare o ellittica ad esempio, mentre per guide
generiche occorre sviluppare un metodo risolutivo numerico.
Nei capitoli successivi verrà descritto il modello matematico
associato alle guide d’onda a simmetria cilindrica, l’impostazione
del problema elettromagnetico e la sua approssimazione al fine di
una successiva agevole risoluzione dello stesso.
9
2.2 Classificazione dei modi
Per una generica struttura guidante a simmetria cilindrica con
sezione Ω costante, il cui bordo sia costituito da un conduttore
elettrico o magnetico perfetto, oppure da una combinazione degli
stessi, vediamo come sia possibile caratterizzarla da un punto di
vista modale.
Figura 2.1 Guida d'onda e sua sezione
Avendo introdotto un sistema di riferimento cartesiano,
immaginiamo la generica sezione della struttura contenuta in un
piano (x,y), mentre l’asse z ne sia l’asse di simmetria come in
Figura 2.1.
In presenza di un’eccitazione a frequenza ω nota i modi costituenti il
campo elettromagnetico all’interno della guida sono caratterizzati da
un campo elettrico E e magnetico H soddisfacenti le:
E (x,y,z,t) =
e
(x,y) exp(jω t-γ z) (2.1)
H (x,y,z,t) =
h
(x,y) exp(jω t-γ z) (2.2)
10
Dove :
γ = α + jβ (2.3)
é la costante di propagazione del modo in questione, in cui α
rappresenta il fattore di attenuazione del modo mentre β quello di
fase.
Nel caso di guide d’onda chiuse in assenza di perdite, come
supposto, per qualsiasi frequenza ω è noto [1] [2] essere discreto lo
spettro dei modi.
Il campo elettromagnetico presente all’interno della guida viene, per
motivi di comodità, scomposto nei seguenti modi elementari:
• Modi TEM: caratterizzati dall’assenza di componenti del campo lungo
al direzione longitudinale: 0==
zz
EH .
• Modi TE o modi H: caratterizzati dall’assenza della componente
longitudinale del campo elettrico: 0=
z
E .
• Modi TM o modi E: caratterizzati dall’assenza della componente
longitudinale del campo magnetico: 0=
z
H .
Secondo la tipologia di guida considerata, ad esempio nel caso di
guide a sezione omogenea, il campo elettromagnetico propagantesi
può essere descritto unicamente tramite una famiglia di modi
elementari.
In altri casi , il modo propagantesi presenta, lungo la direzione
longitudinale, sia componente Ez sia Hz non nulla, quindi deve
essere espresso tramite una sovrapposizione di modi TM e TE.
11
Un’ulteriore caratterizzazione dei modi dipende dal valore della
costante di propagazione, in funzione della quale possiamo
distinguere tra modi propagantesi senza attenuazione, modi
evanescenti e modi propagantesi con attenuazione.
I primi due casi si riferiscono a mezzi in assenza di perdite, la
costante di propagazione è puramente immaginaria γ = jβ per i modi
propagantesi, mentre per quelli evanescenti é puramente reale, in
presenza di perdite, terzo caso, risulterà γ = jβ +α .
12
2.3 Equazione di governo
Supponiamo la guida in esame riempita, parzialmente o totalmente,
con materiali lineari ed esenti da perdite le cui proprietà siano
descritte dalle permettività relativa
r
ε
e dalla permeabilità relativa
r
µ
.
Il campo elettromagnetico all’interno di tale struttura soddisfa le
equazioni di Maxwell e le opportune condizioni al contorno,
utilizzando la notazione relativa al dominio della frequenza ed in
assenza d’eccitazioni:
),(),(),( ωωωω rDjrJrH +=×∇
(2.4)
),(),( ωωω rBjrE −=×∇
(2.5)
),(),( ωρω rrD =⋅∇
(2.6)
0),( =⋅∇ ωrB
(2.7)
A partire da tali equazioni per differenziazione e sostituzione si
ottiene l’equazione di governo in funzione del campo magnetico:
(2.8)
Esprimendo il campo H nelle due componenti trasversale
t
H e
longitudinale:
z
}),(),({
βj
zt
ezyxHyxHH
−
∧
+= (2.9)
00
22
0
2
0
1
,0),(),(
εµω
ωµωε
=
=−×∇×∇
−
k
rHkrH
rr
13
otteniamo le seguenti equazioni accoppiate:
0)(
-1
r
22
0
-1
r
-1
r
=+−∇−×∇×∇
trztttt
HkHH εγµγεε
(2.10)
0
2
0
1-
r
1-
r
=+⋅∇+∇⋅∇
zrttztt
HkHH µεγε
(2.11)
A tali equazioni bisogna aggiungere le opportune condizioni al
contorno legate al tipo di conduttore costituente il perimetro della
sezione, conduttore magnetico od elettrico perfetto, rispettivamente:
(2.12)
(2.13)
In cui n rappresenta il versore della normale alla sezione della
guida.
0 n H =×
0 n H =⋅
14
2.4 Approssimazione in senso proiettivo
La risoluzione esatta delle equazioni accoppiate 2.10, 2.11 con le
condizioni al contorno associate risulta possibile unicamente per
geometrie della sezione Ω particolarmente semplici; per sezioni
aventi contorno di forma generica occorre invece introdurre delle
approssimazioni al fine di rendere il problema risolvibile per via
numerica.
Consideriamo le equazioni rappresentanti il problema
elettromagnetico all’interno della struttura sotto esame e le
condizioni al contorno associate, tali equazioni possono essere
espresse nella forma [3]:
P u=v (2.14)
In quest’espressione P è un operatore simbolico mentre u, v sono
rappresentazioni simboliche rispettivamente del campo e delle
sorgenti.
L’operatore P può interpretarsi come una regola di proiezione tra
due insiemi di funzioni, poiché associa ad ogni possibile funzione
sorgente v almeno una soluzione u.
In altre parole esso esegue una mappatura dello spazio vettoriale
p
R
delle funzioni v, detto codominio dell’operatore, nello spazio
vettoriale
p
D
delle funzioni u, detto dominio dell’operatore come
da figura 2.2.
15
Per tali spazi vettoriali è definito il seguente prodotto interno di due
elementi f1, f2 definiti in un dominio τ :
∫
=
τ
τdffff
*
2121
,
(2.15)
Quindi, sfruttando la definizione di prodotto interno, condizione
necessaria e sufficiente affinché la funzione u sia la corretta
soluzione dell’equazione 2.14 è che soddisfi la:
<w, P u> = <w,v>, ∀ w∈
p
R
(2.16)
Poiché tale condizione è troppo stringente [4] per risolvere il
problema in maniera più agevole la s’indebolisce richiedendo che sia
soddisfatta non più per qualsiasi funzione w appartenente al dominio
dell’operatore
p
R
bensì per una funzione w appartenente ad uno
spazio Hilbertiano W, in , contenente
p
R
.
v u
Rp Dp
P
Figura 2.2 Operatore P
16
Figura 2.3 Spazio Hilbertiano W
Quindi una generica funzione
u
soddisfa in senso debole la 2.14 se
risulta :
<w, P
u
> = <w,v>, ∀ w∈ W (2.17)
Il principio alla base del metodo d’approssimazione proiettiva
consiste nel soddisfare la 2.17 non rispetto alla totalità delle funzioni
costituenti il dominio dell’operatore
p
R
, rappresentato in figura 2.4,
ma ad un sottospazio M-dimensionale Wt appartenente a W.
v u
Rp Dp
P
W
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