Progettazione di un edificio in c.a. su isolatori in zona sismica. Confronto con la soluzione a base fissa.

Capitolo 1 L’isolamento sismico 
Capitolo 1 
L’ISOLAMENTO SISMICO 
1.1. CENNI DI DINAMICA DELLE STRUTTURE 
1.1.1. Oscillatore semplice 
Prevedere e quantificare la risposta di una struttura sollecitata da 
azione sismica in termini di spostamenti, deformazioni e sollecitazioni 
richiede l’ausilio di “modelli matematici” e tecniche di analisi che sono 
proprie della “dinamica delle strutture”. 
L’assunto che sta alla base della teoria delle strutture è il Principio 
di D’Alembert: 
f+f+f=f [1.1] 
iCKe
dove f sono le forze di inerzia 
i
 f sono le forze dissipative 
C
 f sono le forze elastiche 
K
 f sono le forze esterne 
e
Si consideri, per semplicità, un oscillatore semplice, ovvero una 
struttura dotata di un solo grado di libertà x(t), rappresentato dallo 
spostamento del traverso in Fig. 1.1. 
Fig 1.1 Oscillatore semplice 
3 
Capitolo 1 L’isolamento sismico 
Si ipotizzi che i ritti, di rigidezza alla traslazione orizzontale k, 
reagiscano alla deformazione impressa con una forza elastica 
()
proporzionale allo spostamento relativo f=-k×xt, mentre 
K
l’ammortizzatore viscoso, caratterizzato dal coefficiente di smorzamento 
viscoso c, esplica una forza proporzionale alla velocità del traverso 


f=-c×x(t). La forza di inerzia, invece, è proporzionale 
C
all’accelerazione, pertanto si scriverà fmx
 
(t). 
=×
i
Nel caso le forze esterne siano nulle, ovvero la struttura non sia 
perturbata da agenti esterni, il Principio di D’Alembert assume la forma 
f+f+f=0 [1.2] 
iCK
e l’oscillatore è sottoposto ad oscillazioni libere smorzate. Qualora poi si 
trascuri il contributo delle forze dissipative l’equazione di equilibrio 
dinamico si semplifica ulteriormente sino ad assumere la forma 

 

 f+f=mx(t)+kx(t)=0 [1.3] 
iK
È questo il caso delle oscillazioni libere non smorzate. Da un punto 
di vista analitico è immediato osservare che si tratta di una equazione 
differenziale del secondo ordine, omogenea, lineare e a coefficienti 
costanti. Dividendo tutto per la massa si ottiene: 
k

 

 x( )t+x( )t [1.4] 
m
2
e ponendo km, con wpulsazione naturale del sistema, si ottiene 
nn
l’equazione differenziale di un moto armonico 
2
 x
 
(t)+wx(t)=0 [1.5] 
n
Il moto dell’oscillatore semplice è quindi di tipo armonico e la sua 
soluzione (integrale generale) si può porre nella forma: 
x(t)=Asenw(t)+Bcosw(t) [1.6] 
nn
dove A e B sono costanti da determinare in funzione delle condizioni al 
contorno. 
4 
w =
0 =
Capitolo 1 L’isolamento sismico 
Per strutture con n gradi di libertà, l’equazione delle frequenze 
viene trasposta in forma matriciale come 
2
[k]-w[m]=0 i=1,2…n [1.7] 
i
dove [k e ][m sono rispettivamente le matrici diagonali delle rigidezze e ]
delle masse di piano. 
Trovate le pulsazioni naturali del sistema, i periodi propri della 
struttura si calcolano come 
2p
T= i=1,2…n [1.8] 
i
w
i
 1.1.2. Costruzione degli spettri di risposta 
Quando l’oscillatore semplice viene sottoposto ad un input sismico, 
la forzante non è applicata direttamente alla struttura, ma è ottenuta da 
spostamenti impressi ai vincoli del sistema. Considerando l’oscillatore 
semplice in Fig. 1.2, si osserva uno spostamento del terreno () ed uno 
spostamento relativo x(t) della massa m rispetto alla base. Lo 
spostamento assoluto del traverso è quindi X(t)=x(t)+(). 

 

La forzante è in questo caso costituita dall’accelerogramma s(t) e 
imponendo l’equilibrio dinamico si ha 

 

 


f+f+f=m[x(t)+s(t)]+x c(t)+kx(t) [1.9] 
iCK
 5 
t s
t s
Capitolo 1 L’isolamento sismico 
come è facile notare, lo smorzamento ed il richiamo elastico sono legati 
allo spostamento relativo x(t) mentre la forza inerziale è legata allo 
spostamento assoluto X(t)=x(t)+(). Sviluppando la [1.9] si ottiene 
mx
 
(t)+x c
(t)+kx(t)=-ms
 
(t) [1.10] 
Di conseguenza, applicare una accelerazione al piede della struttura 
equivale a dire che la struttura è sottoposta ad una forza f=-ms
 
(t) 
e
applicata direttamente alla massa. La risposta strutturale in termini di 
spostamento è in questo caso fornita dall’integrale di Duhamel: 
t
1s
 
(t)
-( )t-x2
n
[]
x( )t=esen1-( )t-xdx [1.11] 
n


2
w
nm1-n
0
Nelle strutture correnti il valore dell’indice di smorzamento n si 
2
aggira intorno a 0,05, pertanto il termine 1-n»1 e può essere omesso, 
l’integrale di Duhamel assume la forma: 
t

 

1s(t)
-( )t-x
n
( )( )
xt=esen[wt-x]dx [1.12] 
n


wm
n
0
La funzione integrale prende il nome di pseudovelocità e si indica 
con V(t): nota questa, è possibile calcolare la legge del moto come 
1
x( )t=V( )t [1.13] 
w
n
Noto lo spostamento, calcolato per via numerica mediante la [1.12] 
e procedendo con le due successive operazioni di derivazione, si ricavano 
rispettivamente la velocità relativa e l’accelerazione assoluta. Il calcolo 
dell’intera storia delle forze e degli spostamenti durante il sisma può 
risultare lungo e difficoltoso quindi, nella maggior parte dei problemi 
pratici, è sufficiente determinare soltanto le quantità massime in termini 
di spostamento, velocità ed accelerazione. Per ottenere i valori massimi 
x(t) dalla [1.9], occorre determinare il massimo V(t). Quindi, per un 
maxmax
assegnato accelerogramma s
 
(t), per un dato valore del periodo T e per un 
6 
n w
w n
n w
t s
Capitolo 1 L’isolamento sismico 
determinato indice di smorzamento n si risale a V(t) che viene detta 
max
Velocità Spettrale e viene indicata con S : 
v
S(w,n)=V(t) [1.14] 
vmax
L’accelerogramma s
 
(t) può essere applicato a oscillatori semplici 
caratterizzati da differenti valori dei parametri n e w, ottenendo valori 
n
diversi di S : l’inviluppo di questi punti viene a costituire lo Spettro di 
v
risposta elastico in termini di velocità, relativo all’accelerogramma s
 
(t). 
In Fig. 1.3 è rappresentato un esempio di Spettro delle velocità per 
un assegnato valore dell’indice di smorzamento n, al variare del periodo 
proprio dell’oscillatore T , riportato sull’asse delle ascisse. 
n
 Queste curve non sono delle funzioni, ma vengono costruite per 
punti al variare del periodo, mantenendo costante l’indice di 
smorzamento n. 
Analogamente si definiscono lo Spostamento Spettrale S(w,n), 
dn
come il massimo valore raggiunto dalla funzione x(t) e l’Accelerazione 
Spettrale S(w,n), fornita dall’espressione 
an
S(w,n)=wS(w,n) [1.15] 
annvn
e rappresentata nel grafico sottostante per un assegnato valore di n. 
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