Progettazione automatica delle strutture reticolari spaziali

  
Parte prima 
PARTE PRIMA 
7 
Premessa 
L’obiettivo della Tesi è affrontare il tema della progettazione strutturale con 
l’elaboratore elettronico; oggetto specifico dello studio saranno le strutture reticolari 
spaziali.  
Gli strumenti per questo tipo di lavoro sono innanzi tutto i programmi automatici di 
disegno e di calcolo.  
In questa prima fase del lavoro ci si limiterà allo studio del software
1
 esistente. Solo in 
un secondo momento si proporranno metodi integrativi al processo di progettazione con 
lo sviluppo di programmi specifici. 
In questa Tesi si è fatto uso di programmi C.A.D.
2
di tipo molto generale per la creazione 
di modelli strutturali e di programmi ad elementi finiti
3
 specifici per il calcolo delle 
costruzioni metalliche. Nel capitolo che segue sarà data una breve descrizione degli uni 
e degli altri, ponendo però maggiore attenzione al problema del calcolo, poiché esso è 
alla base della progettazione strutturale. 
                                                 
1
Il termine inglese software è usato correntemente per indicare l’insieme dei dati contenuti nella memoria 
di un elaboratore elettronico e spesso, più in particolare, i programmi computerizzati. 
2
L’abbreviazione C.A.D. proviene dall’Inglese Computer Aided Design, cioè disegno assistito 
dall’elaboratore. 
3
Molto diffusa è la nomenclatura inglese Finite Element Method, abbreviata con F.E.M., cioè metodo 
degli elementi finiti.  
PARTE PRIMA 
8 
1. I programmi di disegno 
1.1 Generalità 
Il disegno di strutture reticolari spaziali è un'operazione complessa, ma costituita da fasi 
ripetitive. Si tratta di definire una geometria le cui regole sono dettate da leggi 
matematico-geometriche di vario tipo. Per questo si è ricorso all'uso del computer ed in 
particolare ad un programma di disegno automatico come Autocad
4
.  
1.2 Autocad 
La gran parte dei programmi di calcolo presenti sul mercato è compatibile con Autocad, 
uno dei più diffusi software di disegno automatico.  
Per disegno automatico si intende la creazione di un modello vettoriale
5
 di un oggetto, 
in cui si descrive una geometria. Ciascuno dei segmenti orientati del modello è 
caratterizzato dalle coordinate dei suoi estremi. 
Autocad per molti aspetti è strutturato come un tecnigrafo tradizionale: su di un tavolo 
da disegno si tracciano linee a china, mentre sul monitor di un elaboratore si 
materializzano linee virtuali. 
Un programma C.A.D., insomma, permette di definire geometrie anche molto 
complesse a partire da pochi parametri.  
Ad Autocad è associato un linguaggio di programmazione molto versatile: l'Autolisp. 
Questo permette di ampliare il numero di operazioni disponibili nella versione base.  
I due strumenti, di disegno automatico e di programmazione, consentono di mettere a 
punto un sistema di generazione di reticoli spaziali molto flessibile e rapido. 
                                                 
4
Autocad è uno tra i programmi C.A.D. più utilizzati. La ditta che lo produce è l’Autodesk.  
5
Questo tipo di modello è tra i più diffusi in ambito C.A.D. e sarà descritto in modo particolare nel corso 
della Tesi. 
PARTE PRIMA 
9 
2. I programmi di calcolo 
2.1 Generalità 
Oggi il Metodo degli Elementi Finiti (Finite Element Analysis, F.E.M.) è ampiamente 
utilizzato grazie all’introduzione e la diffusione dei Personal Computers
6
. 
Recentemente sono stati perfezionati programmi commerciali che adottano il metodo 
degli elementi finiti per la soluzione di problemi ingegneristici, ma sino alla fine degli 
anni ‘50, e l’inizio degli anni ‘60 questi erano utilizzati solo nell’industria aeronautica. 
L’idea del metodo risale agli studi del 1943 svolti dal matematico R. Courant. Questi 
constatò che i problemi di ingegneria meccanica, solidi o fluidi, venivano spesso 
affrontati derivando equazioni differenziali, espressione di particolari principi fisici: la 
legge di Newton, quella di conservazione dell’energia, il principio dei lavori virtuali, le 
equazioni di Maxwell e così via. 
Al tempo dei primi studi di Courant, l’ostacolo consisteva nel fatto che, una volta 
compiuto il difficile lavoro di impostare il problema, la risoluzione delle equazioni 
matematiche, lineari e spesso non lineari, era praticamente impossibile. Solo i problemi 
geometrici e di vincolo più semplici potevano essere risolti. 
Lo studioso propose la suddivisione di una struttura complessa in una serie di unità 
geometriche elementari di cui fosse possibile calcolare le soluzioni e di procedere con la 
somma dei risultati. 
Le teorie di Courant dovettero essere abbandonate perché comportavano comunque una 
serie enorme di operazioni algebriche difficilmente eseguibili manualmente, ma furono 
riprese quando, la nascita dei primi elaboratori, risolse il problema di svolgere i calcoli. 
Il metodo degli elementi finiti, così come anticipato da Coutant, permette di svolgere il 
calcolo di costruzioni molto complesse, trasformando un problema differenziale in un 
calcolo algebrico. 
Operando la discretizzazione suggerita dal matematico statunitense è possibile ridurre 
una struttura ad una serie di parti più semplici, di cui siano note le soluzioni. Le 
relazioni fra le variabili di ciascun elemento finito (non infinitesimo) così ottenuto, 
vengono espresse con il metodo di Rayleigh o Ritz. Si ottiene così la matrice che 
rappresenta l’elemento, di dimensioni pari al numero delle incognite in gioco. Si giunge 
insomma ad avere, per ogni porzione della struttura, un legame lineare algebrico e non 
una equazione differenziale. Il problema completo si presenta come sistema di più 
equazioni. 
                                                 
6
Personal Computer, nel linguaggio dell’informatica significa Elaboratore Elettronico Personale e si 
riferisce a quelle macchine che oggigiorno molti possiedono individualmente. 
PARTE PRIMA 
10 
La potenza di un computer moderno permette la soluzione di migliaia di equazioni 
algebriche in tempo reale e consente agli ingegneri di concentrarsi più sull’impostazione 
del problema che non sullo sviluppo laborioso del calcolo. 
2.2 Criteri di applicazione del metodo F.E.M. 
Campi di applicazione 
Tra i programmi di calcolo ad elementi finiti ce ne sono di generali e di specifici. Quelli 
generali si prestano al calcolo di vari tipi di strutture in condizioni differenti di 
sollecitazione: questi calcolano ad esempio l'effetto di un campo elettromagnetico su di 
un corpo, prevedono la diffusione di un'onda sonora all’interno di un mezzo elastico e i 
relativi effetti di risonanza, svolgono calcoli statici o modali, e così via.  
Altri programmi, invece, si occupano del calcolo di fenomeni specifici. Ai fini della 
Tesi interessano particolarmente quelli strutturali: la determinazione delle forze, delle 
tensioni e degli spostamenti in una struttura. 
La discretizzazione 
Come accennato i programmi ad elementi finiti si basano sul calcolo di modelli discreti, 
in cui ciascun elemento costituisce un legame tra punti nello spazio. Esistono infiniti 
modi per discretizzare una struttura continua e diverse teorie per la creazione di modelli 
affidabili dell’oggetto. 
In generale, comunque, la discretizzazione porta sempre alla creazione di elementi 
ciascuno caratterizzato da una serie di coordinate (che ne definiscono la posizione dei 
punti fondamentali) e da un insieme di matrici (che ne esprimono le caratteristiche 
fisiche come la rigidezza). 
Fortunatamente nel campo delle strutture reticolari, costituite di solito da sole bielle, 
ogni asta può essere fatta corrispondere con un elemento monodimensionale del 
modello discreto. Di per sé, infatti, una struttura reticolare spaziale è già costituita da 
elementi finiti, senza bisogno di creare modelli o procedere ad ulteriori operazioni di 
suddivisione: ogni asta ha rigidezza costante lungo il suo sviluppo e, nell’ipotesi in cui 
le azioni siano concentrate ai nodi, si può quindi considerare come l’elemento di un 
modello di calcolo.  
Il calcolo 
Il calcolo strutturale col metodo degli elementi finiti, si basa a sua volta sul tradizionale 
metodo degli spostamenti. Questo permette la determinazione del completo stato 
tensionale e deformativo essendo definita la geometria iniziale, le caratteristiche statiche 
e geometriche degli elementi e l’insieme delle azioni. 
Il metodo degli spostamenti si basa sulla determinazione dell’unica configurazione 
equilibrata fra le infinite congruenti. Esso consiste nellimpostazione del sistema di 
PARTE PRIMA 
11 
equazioni di equilibrio dei nodi nella struttura assumendo come incognite gli 
spostamenti ai nodi stessi. 
Le relazioni tra forze e spostamenti, che permettono di ottenere il sistema, esprimono 
legami fisici. Se si opera in regime elastico, nell’ambito del calcolo strutturale, tali 
relazioni hanno la seguente forma: 
 
Fk=⋅ξ
 (1) 
 
dove F rappresenta la reazione applicata dall’elemento al nodo, k la rigidezza 
dell’elemento e ξ spostamento del nodo. 
 
La biella 
Le strutture reticolari sono generalmente costituite da bielle, cioè da elementi soggetti 
solo a coppie di forze opposte, collegati da cerniere e caricati assialmente agli estremi. 
x
ξ
1
ξ
2
S
2
S
1
k 21
 
 
Con riferimento alla figura La biella il legame è dato dalla: 
 
ξξ ξ=−=
⋅
⋅
=
21
S
A E
S
k
 (2) 
 
in cui ξ  è lo spostamento relativo dei due nodi. 
 
Si ottiene: 
 
S kk
Sk k
112
221
=−
=−
ξ ξ
ξξ
  (3) 
 
PARTE PRIMA 
12 
ed in forma sintetica: 
 
{} {}{}Sk=⋅ξ
 (4) 
 
dove: 
 
{}S
S
S
=
1
2
 {}kk=
−
−
11
11
 {}ξ
ξ
ξ
=
1
2
 (5). 
 
La matrice di rigidezza è composta da due righe e due colonne perché ciascun estremo 
dell’asta ha un solo grado di libertà (g.d.l.) alla traslazione orizzontale. La matrice è 
simmetrica e i termini diagonali sono positivi. La prima colonna rappresenta l’equilibrio 
se il primo estremo viene spostato di un’unità e il secondo estremo vincolato; la seconda 
colonna rappresenta l’equilibrio se il secondo estremo viene spostato di un’unità e il 
primo estremo vincolato. Termini diagonali positivi indicano che spostamenti positivi 
richiedono forze positive. 
La matrice di rigidezza sopraindicata potrebbe essere chiamata matrice di rigidezza 
locale dell’elemento, in quanto riferita ad un sistema di riferimento orientato secondo 
l’asta. Se si considera un elemento comunque inclinato, occorre esprimere le coordinate 
locali in un sistema di riferimento globale. 
 
La biella inclinata 
La figura rappresenta un’asta inclinata di un angolo α in un sistema di coordinate 
cartesiane. Questo sistema ha quattro gradi di libertà: due traslazioni per ciascun nodo. 
α
x
y
V
1
2
1
ξ
1
ξ
2
H
2
H
1
V
2
η
1
η
2
 
 
PARTE PRIMA 
13 
La matrice di rigidezza globale dell’elemento, con riferimento alla figura La biella 
inclinata, è data da: 
 
{}kk
cc cs cc cs
cs ss cs ss
cc cs cc cs
cs ss cs ss
=
−−
−−
−−
−−
 (6) 
 
dove 
 
c
s
=
=
cos
sin
α
α
  (7). 
 
Analizzando la matrice si osserva che sommando le colonne si ottiene sempre zero. 
Inoltre imponendo α =0 si ritorna a: 
 
{}kk=
−
−
11
11
 (8). 
 
La matrice di rigidezza globale dell’elemento viene utilizzata per la costruzione della 
matrice di rigidezza della struttura intera: 
 
{}
... ...
... ... ...
... ...
k
kk k
kk
kk
=
11 12 1
21 22
...
...
m
n1 nm
 (9). 
 
PARTE PRIMA 
14 
2.3 Programmi di calcolo F.E.M. 
Premessa 
Ansys
7
 e Sargon
8
 sono due programmi afferenti a due diverse tipologie: quella del 
calcolo e quella del progetto.  
Il primo permette di risolvere un enorme numero di calcoli di natura fisica e il suo scopo 
è solo quello di risolvere. Il secondo per la sua specificità consente, appoggiandosi al 
calcolo svolto da solutori generali, di verificare e progettare strutture metalliche. Sargon, 
infatti dispone di librerie di profili per il dimensionamento e moduli di verifica relativi 
alle norme vigenti. 
Ansys: un programma generale di calcolo 
Ansys è uno dei programmi più potenti e completi di calcolo agli elementi finiti. Nella 
sua grande generalità esso richiede computer molto sofisticati per l’esecuzione: in 
generale si utilizza su workstations
9
 Unix
10
. Esistono anche versioni per Personal 
Computer che lavorano sotto Dos
11
, ma non senza limitazioni rispetto alla versione 
completa per Unix: queste riguardano il numero dei nodi e di elementi generabili. 
Ansys è articolato nelle seguenti tre parti: 
Pre-elaborazione: 
Durante questa fase si genera un modello di nodi ed elementi, definendo i parametri 
generali del modello matematico: 
1. la geometria: definita dalle coordinate dei nodi e dalle incidenze degli elementi, 
2. il tipo di elemento, che dà al computer le informazioni su quale tipo di calcolo si 
intende svolgere, 
3. le proprietà e i materiali, cioè le caratteristiche fisiche che definiscono il legame tra 
nodi, 
                                                 
7
Ansys è prodotto dalla Swanson Analysis Systems, Inc. 
8
Sargon è prodotto da Castalia s.r.l. di Novara. 
9
Le workstations sono elaboratori molto potenti, progettati per lo svolgimento di operazioni specifiche. 
10
Unix è il sistema operativo di molte workstations. 
11
Dos è il sistema operativo utilizzato dalla gran parte dei Personal Computers. 
PARTE PRIMA 
15 
4. le costanti reali, cioè parametri addizionali che definiscono completamente gli 
elementi. 
Elaborazione: 
A questo punto si generano: 
1. i vincoli 
2. le sollecitazioni 
e si procede al calcolo. 
Post-elaborazione: 
Infine si stampano i risultati in forma: 
1. numerica 
2. grafica. 
Con Ansys è possibile eseguire calcoli di tipo 
1. strutturale 
2. termico 
3. magnetico 
4. elettrico 
5. fluido 
6. combinato. 
Le istruzioni per generare il modello di una struttura possono essere immagazzinate in 
un file ASCII
12
.  Il file viene poi interpretato da Ansys per generare la soluzione. Questo 
sistema consente di, utilizzare il programma in modo parametrico, come in un 
linguaggio Fortran
13
 o C.  La parametrizzazione di un modello consente di lavorare 
molto velocemente specialmente nei seguenti casi: 
• si debbano fare diverse ipotesi di carico, 
• o correggere gli errori nel modello di base, 
• ed ottimizzare il modello. 
                                                 
12
ASCII è un formato molto diffuso per i files di archivio che associa ad ogni byte di memoria del 
computer un carattere alfanumerico. 
13
Il Fortran ed il C sono linguaggi di programmazione. 
PARTE PRIMA 
16 
Sargon: un programma di calcolo strutturale 
Sargon è un programma specifico per il calcolo strutturale di costruzioni metalliche. 
Essendo orientato ad un tipo di calcolo particolare, esso permette un’analisi più puntuale 
ed approfondita del problema. I programmatori hanno fornito un modulo predisposto 
alla verifica normativa delle strutture metalliche, con riferimento a standard italiani, 
europei ed americani. 
Da altri punti di vista il programma, però, è meno sofisticato di Ansys, specialmente per 
quanto riguarda la parte grafica di creazione, visualizzazione del modello e stampa dei 
risultati. Per questa ragione si è preferito affiancare al suo utilizzo programmi di disegno 
e di grafica che ne valorizzassero i risultati. 
Sargon è costituito dai seguenti moduli: 
• creazione o importazione di modelli vettoriali: 
nel corso del lavoro svolto con Sargon, si è preferito utilizzare il modulo di 
importazione del modello piuttosto che quello di creazione ex-novo, in modo da 
usufruire della duttilità e potenza di programmi come Autocad. 
• dimensionamento: 
questo è caratteristico dei programmi di progettazione di strutture metalliche in cui è 
possibile una standardizzazione delle sezioni. Il dimensionamento consiste 
nell’assegnare a ciascun elemento caratteristiche dimensionali tratte da librerie 
preposte di profili. 
• vincolo: 
il sistema di vincolo previsto da Sargon è di tipo classico, anche se nella attuale 
versione si hanno certe limitazioni sulla possibilità di orientare i vincoli secondo 
angoli qualsiasi. 
• carico: 
è prevista la possibilità di creare condizioni di carico ponderate a seconda 
dell’importanza della sollecitazione e di combinare i vari carichi in modo libero. 
• calcolo: 
il calcolo è svolto mediante un solutore interno che permette l’elaborazione di 
modelli sino a circa 30 000 elementi. 
PARTE PRIMA 
17 
• verifica in rapporto alla normativa: 
c’è la possibilità di compiere verifiche rispetto a varie normative, tra cui la 
CNR10011
14
, tenendo conto di fattori di stabilità oltre che di resistenza. 
 
 
Nel corso della trattazione si approfondiranno vari aspetti di Sargon, evidenziandone 
potenzialità e limiti in rapporto ad esempi pratici di calcolo strutturale di costruzioni 
reticolari in acciaio. 
 
                                                 
14
La CNR10100 è la normativa italiana per le strutture in acciaio. 
  
Parte seconda 
PARTE SECONDA 
19 
Premessa 
In questa seconda parte verranno proposte alcune integrazioni a quel processo di 
progettazione automatico che la Tesi si propone di esplorare e mettere alla prova.  
Si tenterà, con l’utilizzo dei programmi esistenti sul mercato e altri ausili creati dal 
sottoscritto, di stabilire un percorso progettuale continuo che porta dalla forma 
geometrica iniziale alla struttura finale ottimizzata. 
I programmi di disegno elettronico e di calcolo automatico descritti nella prima Parte 
della Tesi costituiscono gli strumenti di base di questa progettazione computerizzata, ma 
la loro applicazione alla tipologia specifica delle strutture reticolari spaziali comporta 
delle lacune. 
Inoltre, la non completa compatibilità tra programmi autonomi come Autocad e Sargon 
richiede la creazione di una serie di interfacce che permettano di trasferire i dati grafici e 
numerici dall’uno all’altro in modo rapido. 
Infine, all’interno dei programmi generali stessi, è spesso possibile e necessario 
personalizzare l’ambiente di lavoro stabilendo automatismi capaci di accelerare talune 
operazioni. Questo sarà realizzato in particolare all’interno di Autocad, mediante la 
creazione di programmi specifici in Autolisp.