Premessa
10
La legge 183/89 che ha istituito i piani di bacino, successivamente l’art. 12 della legge 4
dicembre 1993 n. 4931 e il decreto-legge n. 180/19982 che ha stabilito l obbligatoriet
dei Piani Stralcio di assetto idrogeologico, sottolineano come l esigenza di conoscere le
aree potenzialmente a rischio inondazione sia di fondamentale importanza, anche dal
punto di vista del legislatore. Obiettivo prioritario del Piano stralcio per l Assetto
Idrogeologico Ł infatti la riduzione del rischio idrogeologico entro valori compatibili
con gli usi del suolo in atto, in modo tale da salvaguardare l incolumit delle persone e
ridurre al minimo i danni ai beni esposti .
Lo stato attuale dei fatti, come indicato sul sito della Regione Liguria
(http://www.regione.liguria.it/) , individua due stadi per la formazione di mappe di aree
a rischio di inondazione:
a. la mappatura degli eventi storici di inondazione che spesso, non rappresentano
situazioni occasionali ed isolate ma piuttosto situazioni che periodicamente si
ripetono e che quindi individuano in generale aree potenzialmente a rischio (a
meno di successivi interventi di sistemazione);
b. l identificazione delle aree urbane contigue ai corsi d acqua che risultino
inondabili sulla base di studi idraulici di dettaglio a causa di esondazioni con
portate al colmo di piena con determinati periodi di ritorno3.
La mappatura delle aree a rischio di inondazione deve rappresentare le aree soggette ad
inondazione per portate al colmo di piena caratterizzata da uno specifico tempo di
ritorno. In generale essa pu non essere coincident e con quella delle aree storicamente
inondate, sia perchØ alcune aree inondate potrebbero essere state oggetto di interventi
che abbiano prodotto la riduzione o la completa eliminazione del rischio, sia perchØ
studi di dettaglio possono determinare una perimetrazione delle aree a rischio per
esondazione di corsi d acqua (come detto, con le portate di massima piena
convenzionalmente stabilite) in aree non ancora interessate da eventi storici.
1
Ha integrato l’art. 17 della legge 18 maggio 1989, n. 183, prevedendo la possibilit di redazione di piani
stralcio relativi a settori funzionali interrelati rispetto ai contenuti del Piano di bacino, che rimane lo
strumento generale ed organico dell’azione di pianificazione e programmazione delle azioni e delle norme
d’uso finalizzate alla conservazione, alla difesa e alla valorizzazione del suolo sulla base delle
caratteristiche fisiche e ambientali del territorio interessato.
2
Stabilisce che, entro il 30 giugno 1999, le Autorit di bacino di rilievo nazionale e interregionale e le
regioni, per i restanti bacini, adottino Piani stralcio di bacino per l’assetto idrogeologico. Tali piani
debbono essere redatti ai sensi del comma 6-ter dell’art. 17 della legge 18 maggio 1989 e contenere in
particolare la individuazione e la perimetrazione delle aree a rischio idrogeologico.
3
Da 20 a 500 anni, con particolare riferimento ai 200 anni, che spesso sono il tempo di ritorno con cui
progettare le opere idrauliche in ambito fluviale.
Premessa
11
Le aree storicamente inondate, per la loro stessa definizione, rappresentano aree con
evidenza di rischio idraulico, e quindi in mancanza di dati diversi, la "prima
approssimazione" della mappa delle aree a rischio.
Il presente lavoro propone una procedura automatica appositamente implementata, per
la realizzazione di Mappe di Inondazione Fluviale che consente di stimare le aree
potenzialmente a rischio allagamento per determinate portate caratteristica avente un
tempo di ritorno T. Attraverso l applicazione di un modello idraulico
monodimensionale si calcolano i profili della corrente, mentre si utilizza un software
GIS per ottenere in maniera automatica, a partire dai profili della corrente ricavati, una
perimetrazione delle aree inondabili, nota la conformazione del territorio circostante
attraverso un Digital Terrain Model.
Tale procedura Ł stata implementata utilizzando il GIS open-source e free software
GRASS 6.2 e poi applicata al fiume Tanaro.
Infatti in seguito agli eventi alluvionali del novembre 1994, che hanno causato circa 70
morti e ingenti danni sociali e economici, e dell ottobre 2000, Ł nato un programma
denominato Monitoraggio del fiume Tanaro che ha coinvolto l Universit di Genova,
l Universit di Firenze e il CNR-IRPI di Torino. In questo contesto l allora dipartimento
di Ingegneria Ambientale (DIAM)4 ha stipulato sin dal 2002 diverse convenzioni con
l Agenzia Interregionale per il Fiume Po (AIPo), che hanno permesso di disporre di
diversi dati aggiornati sul corso d acqua in esame, oltre che di un Digital Terain Model
molto accurato. Per le sue caratteristiche nel tratto vallivo, con ampie aree golenali
esterne all alveo inciso, tale fiume Ł l ideale per procedere ad un analisi critica
sull attendibilit della procedura implementata.
Si Ł quindi proceduto con un applicazione ad un tratto del fiume Tanaro compreso fra la
confluenza della Stura di Demonte e la confluenza dello stesso Tanaro nel Fiume Po,
tratto comprendente gli abitati di Alba, Asti e Alessandria e storicamente interessato da
numerosi eventi alluvionali.
Nel presente scritto si descrive sia l implementazione della procedura, sia la sua
applicazione al tratto in esame.
4
Dal 1 gennaio 2007 divenuto Dipartimento di Ingegneria delle Costruzioni, dell Ambiente e del
Territorio (DICAT).
Capitolo 1 - I modelli idrodinamici
12
Capitolo 1 I modelli idrodinamici
1.1 I modelli dell idrodinamica naturale
Con il termine modello interpretativo si intende un algoritmo matematico utilizzato al
fine di studiare il comportamento delle grandezze fisiche in gioco nei processi di moto
nei corsi d acqua. I modelli matematici di calcolo si basano sui modelli teorici di moto
di una corrente liquida all interno di un canale. Questi sono algoritmi che traducono in
linguaggio matematico il modo con il quale Ł stato schematizzato teoricamente il
fenomeno meccanico dello scorrimento del liquido.
Tali processi possono essere descritti appunto attraverso innumerevoli modelli
interpretativi che si distinguono l un l altro in b ase al diverso grado di complessit . Nel
presente paragrafo sono descritti gli strumenti matematici attraverso i quali, determinata
la piena di progetto, Ł possibile ricostruire il fenomeno della sua propagazione lungo il
corso del fiume ed il fenomeno dell esondazione con conseguente allagamento delle
aree limitrofe. Dopo una breve trattazione del fenomeno tridimensionale, si analizza
con maggior precisione il modello monodimensionale, che Ł quello che si Ł scelto di
utilizzare nel presente lavoro.
1.1.1 Le equazioni del moto turbolento
Come noto le equazioni che regolano il moto di un fluido sono l equazione di continuit
e le tre equazioni di Navier-Stokes scritte rispetto alla terna cartesiana x1, x2, x3:
( )
∂
∂
+
∂
∂
−=−
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
li
li
i
j
j
i
i
i
xx
xx
p
f
x
vi
v
t
v
x
v
2
1
0
ν
ρ
(1.1)
dove f rappresenta il campo di forze, ρ la densit del fluido ( OH2ρ =1000 Kg/m
3
) e ν
la viscosit cinematica ( OH2ν = 10
-6
).
Consideriamo il deflusso dell acqua, fluido viscoso ed incomprimibile, in un corpo
idrico naturale; si descrive il moto con riferimento ad una terna cartesiana (x1, x2, x3)
Capitolo 1 - I modelli idrodinamici
13
fissa nello spazio, assumendo pertanto, il cosiddetto approccio Euleriano: la generica
grandezza F che descrive il moto delle particelle d acqua risulta funzione della
posizione x e del tempo t =F f(x,t) = ),,,( 321 txxx . Per le notazioni si pu far
riferimento alla figura 1.1.
Figura 1.1 - Notazioni
Il moto dell acqua nei corpi idrici naturali, eccezion fatta per i moti di filtrazione, risulta
invariabilmente turbolento, il numero di Reynolds tipico delle correnti naturali Ł infatti
circa 107. In queste condizioni le grandezze che caratterizzano il campo di moto
assumono valori che sono funzioni casuali, cioŁ stocastiche, della posizione x e del
tempo t. Ossia di un moto turbolento non si Ł in grado di predire le grandezze dinamiche
e cinematiche a un tempo fissato t0 e in una posizione fissata x0, sulla base dei dati
macroscopici del problema. Si assume che siano predicibili le leggi probabilistiche che
controllano il fenomeno e in particolare i valori medi probabilistici o medie d insieme .
Applicando l ipotesi di stazionariet ed ergodicit del processo Ł possibile sostituire
alle medie d insieme (a tempo fissato) delle medie temporali e la generica grandezza f Ł
quindi rappresentata dalla somma di un termine medio F 1 e di un termine oscillante f’.
L approccio piø usato nello studio dei moti turbolenti Ł quello di trasformare
l equazione di continuit e quella di Navier-Stokes in equazioni che governano
l evoluzione spazio temporale delle grandezze medie. L equazione di continuit si
trasforma nell equazione di continuit mediata e le equazioni di Navier-Stokes
divengono le equazioni di Reynolds.
1
Con la notazione maiuscola, si indicheranno nel prosequio le grandezze medie sulla turbolenza.
Capitolo 1 - I modelli idrodinamici
14
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−=
−
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
)’’(
0
2
2
li
ll
i
i
i
j
i
j
i
i
i
vv
xx
V
x
P
F
x
V
V
t
V
x
V
ρµρ
(1.2)
Le equazioni di Reynolds si scrivono anche nella forma:
l
R
li
l
i
i
i
j
i
j
i
xx
V
x
P
F
x
V
V
t
V
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
−
∂
∂
+
∂
∂ T
2
2
µρ (1.3)
ove con
R
li
T si indica un tensore simmetrico, noto come tensore delle tensioni o tensore
di Reynolds definito da:
−−−
−−−
−−−
=
’’’’’’
’’’’’’
’’’’’’
332313
322212
312111
vvvvvv
vvvvvv
vvvvvv
R
ρρρ
ρρρ
ρρρ
T (1.4)
In pratica nel caso dei moti turbolenti, ai gradienti delle tensioni viscose si aggiungono
quelli delle tensioni turbolente o di Reynolds; si possono pertanto riscrivere le
equazioni di Reynolds nella seguente forma, detta equazione di Cauchy:
l
tot
li
i
j
i
j
i
x
F
x
V
V
t
V
∂
∂
=
−
∂
∂
+
∂
∂ T
ρ (1.5)
con ’’2
illili
tot
li
vvP ρµδ −+−= DT definito appunto quale somma del tensore delle
tensioni nel caso di moto laminare e del tensore di Reynolds.
Le tensioni turbolente costituiscono 6 incognite in piø per cui risulta chiaro che il
sistema che ha 4 equazioni e 10 incognite non Ł matematicamente chiuso.
Tale problema, noto in letteratura come problema d i chiusura dei moti turbolenti , pu
essere risolto con approcci in qualche misura empirici. Una possibile chiusura del
problema, Ł stata proposta nel 1877 da Bousinnesq, che ha istituito un analogia fra le
tensioni viscose presenti nei fluidi newtoniani, e quelle di Reynolds, definendo pertanto
il tensore
R
li
T nel seguente modo:
tliliTil Dvv εδµρ
3
2
2’’ −+=− (1.6)
dove µT Ł un coefficiente fortemente influenzato dal moto, detto viscosit turbolenta,
mentre εt rappresenta l energia cinetica turbolenta per unit di volume associata alle
oscillazioni di velocit definita dalla (1.7)
Capitolo 1 - I modelli idrodinamici
15
( ) ( ) ( )
2
3
2
2
2
1 ’’’
2
1
vvv
t
++= ρε (1.7)
BenchØ si siano evidenziati alcuni limiti della relazione proposta da Bousinnesq, essa Ł
alla base di diversi modelli di turbolenza usati nella pratica ingegneristica.
Il problema diviene pertanto definire la viscosit turbolenta µT o altres la viscosit
cinematica turbolenta νT .
Per la sistematica derivazione dei modelli interpretativi n-dimensionali utilizzati
nell idraulica fluviale Ł utile disporre di una stima di νT . Ci avviene facendo
riferimento a un moto turbolento a superficie libera, piano e uniforme, con l ulteriore
ipotesi di basse pendenze (si veda figura 1.2).
Figura 1.2 Moto piano turbolento a superficie lib era e uniforme: notazioni
In tal caso la viscosit turbolenta ha una distribu zione lungo la verticale prossima ad
una parabola ed Ł definita dalla relazione
−=
y
zzukT 1*ν con massimo in
corrispondenza del centro sezione che vale νT = 0.1 u* h .
1.1.2 Le condizioni al contorno
La scelta delle condizioni al contorno da associare al problema nella sua forma
tridimensionale Ł cruciale al fine di determinare νT come sopra esposto; le ipotesi che
si propongono influenzano quindi in maniera significativa tutti i modelli n-dimensionali.
Teoricamente, la condizione da imporsi in corrispondenza del contorno bagnato del
campo di moto Ł quella di aderenza; essa impone l annullarsi dei termini medi di
velocit
Capitolo 1 - I modelli idrodinamici
16
0VVV 321 === (1.8)
Tuttavia il carattere turbolento del moto, e il carattere fortemente scabro delle pareti
tipiche di un alveo naturale, rendono problematica l applicazione di tale condizione al
contorno.
Si ovvia al problema, ponendo convenzionalmente nulla la velocit , ad una distanza dal
fondo, empiricamente definita in funzione del regime di turbolenza.
Tale procedimento ignora l effettiva struttura del moto all interno di uno strato limite
aderente alla parete; in tale zona infatti il moto si presenterebbe come fortemente non
stazionario e instabile. L efficacia di tale procedimento si rivela assai soddisfacente, in
particolar modo ogni qual volta il moto si discosti poco da una configurazione
mediamente unidirezionale.
In casi di moti fortemente tridimensionale si impongono invece condizioni al contorno
sulla componente tangenziale di velocit ad una cer ta distanza dalla parete, e sulla
velocit relativa.
In corrispondenza della superficie libera h(x1,x2,t) la condizione al contorno cinematica
impone che la derivata sostanziale rispetto al tempo della funzione F (F = x3 - h) sia
nulla.
03
2
2
2
1
1
1 =−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= V
x
h
V
x
h
V
t
h
dt
dF
(1.9)
Accanto alla (1.9) occorre imporre la condizione di continuit per le tensioni in
corrispondenza della superficie libera; trascurando le tensioni viscose si ottiene:
=⋅⋅=⋅⋅
=⋅+−⋅
0
0)(
21 τTnτTn
nT In
RR
RP
(1.10)
Esendo n il versore normale alla superficie libera e TR il tensore di Reynolds definito
dalla (1.4), 21 ττ , due versori fra loro normali, appartenenti al piano tangente alla
superficie libera.
Il tutto sotto le ipotesi di:
superficie libera che non presenti curvature tali da fare indurre apprezzabili
effetti dovuti alla tensione superficiale;
assenza di significative variazioni della pressione atmosferica sulla superficie
libera;
assenza di apprezzabile effetto di eventuale vento spirante.
Capitolo 1 - I modelli idrodinamici
17
1.1.3 I modelli interpretativi 3D e 2D
Si illustrano ora brevemente il modello tridimensionale su acqua bassa e il modello
bidimensionale per poi soffermasi con maggior cura al modello monodimensionale,
poichŁ quello utilizzato nel lavoro svolto.
Modello 3D su acqua bassa:
Si utilizza quando la componente verticale di velocit risulta trascurabile rispetto alle
componenti orizzontali. L equazione lungo la coordinata verticale diventa la condizione
di idrostaticit e le restanti equazioni hanno la seguente forma:
( )
( )
=
∂
∂
+
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
0
0
0
32
3
2
2
2
21
123
2
3
2
2
2
1
2
1
2
31
3
21
2
2
1
113
1
3
2
1
2
1
1
1
1
'''
)''(
''
'')'(
vv
x
v
x
vv
xx
h
g
x
V
V
x
V
V
x
V
V
t
V
vv
x
vv
x
v
xx
h
g
x
V
V
x
V
V
x
V
V
t
V
x
V
i
i
(1.11)
Figura 1.3 Schema di un modello 3D per la rappresentazione di un corso d acqua naturale
Capitolo 1 - I modelli idrodinamici
18
Modello 2D:
Rimangono le ipotesi fatte in precedenza e le equazioni sono mediate lungo la
verticale2; assumendo y quale profondit si ottengono:
+=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
)(
x
h
g
x
V
V
x
V
V
t
V
)(
x
h
g
x
V
V
x
V
V
t
V
V
x
V
xt
fs
fs
22
22
2
2
1
2
1
2
11
12
1
2
1
1
1
1
2
2
1
1
y
1
~
~
~
~
~
y
1
~
~
~
~
~
0)
~
()
~
(
ττ
ρ
ττ
ρ
yy
y
(1.12)
Figura 1.4 Schema di un modello 2D per la rappresentazione di un corso d acqua naturale
2
Le medie sulla verticale vengono espresse dalla seguente notazione
3
1
dxFF
h
∫=
ηy
~
Capitolo 1 - I modelli idrodinamici
19
1.1.4 Il modello monodimensionale (1D)
Gli schemi monodimensionali sono i piø semplici tra i modelli di propagazione.
Tendono ad assimilare l alveo e l area inondabile a d un semplice canale, dove le
velocit si mantengono parallele all asse del corso d acqua. Si basa sul concetto di
direzione prevalente del campo di moto, per cui si individua la corrente, definita da una
coordinata curvilinea x. Sono definite sezioni della corrente le intersezioni dell ascissa x
con piani ad essa ortogonali. Si fa quindi riferimento a grandezze (velocit , quantit di
moto, energia, etc.) mediate nel piano della sezione3.
Figura 1.5 Planimetria di un tratto di un corso d acqua naturale, con rappresentazione della coordinata
curvilinea x (in blu) e localizzazione di alcune sezioni.
Le condizioni richieste perchØ sia giustificata l adozione di un tale schema sono che la
linea d asse del corso d acqua sia ovunque caratter izzata da curvatura molto piccola,
sicchŁ i moti secondari siano di modesta entit , e che le variazioni spazio-temporali
della forma della sezione siano sufficientemente lente da non violare il vincolo della
quasi-unidirezionalit del moto.
3
Le medie sulla sezione vengono espresse dalla seguente notazione
2
2
1
1
dxFF
b
b
∫
−Ω
= y
Capitolo 1 - I modelli idrodinamici
20
Si tratta di condizioni molto spesso verificate nel caso di un corso d acqua di cui si
voglia conoscere il valore del livello raggiunto dall acqua per determinate portate.
E per questa ragione che i modelli monodimensionali, benchØ non in grado di studiare
con precisione i moti secondari sono, per la loro semplicit , quelli piø utilizzati nella
pratica ingegneristica.
L integrazione dell equazione di continuit nella d irezione trasversale
0
2
1
2
1
2
1
22
2
21
1
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∫∫∫
−−−
b
b
b
b
b
b
dxV
x
dxV
x
dx
t
)
~
y()
~
y(
y
(1.13)
conduce alla formulazione dell equazione di continuit nella forma monodimensionale
(1.14):
0=
∂
∂
+
∂
Ω∂
x
Q
t
(1.14)
dove Q(x,t) rappresenta la portata volumetrica della corrente e Ω (x,t) rappresenta la
sezione della corrente.
L integrazione nella direzione trasversale dell equ azione di Navier-Stokes longitudinale
∫∫
−−
+=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ 2
1
2
1
2112
12
1
2
1
1
1
1
y
1
~
~
~
~
~ b
b
fs
b
b
dx)(dx
x
h
g
x
V
V
x
V
V
t
V
ττ
ρ
(1.15)
conduce invece all equazione del moto nella sua forma monodimensionale (1.16):
00
2
=+
∂
∂Ω+
∂
Ω∂
+
∂
∂
ρ
τβ
B
x
h
g
x
U
t
Q )(
(1.16)
L analisi idraulica effettuata nella presente tesi ha utilizzato un modello interpretativo
monodimensionale allo scopo di studiare una corrente stazionaria e non stazionaria, a
superficie libera, ed ha consentito il tracciamento dei profili di rigurgito, ovvero
dell andamento della superficie libera in tronchi quasi cilindrici del corso d acqua.
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