Pricing di derivati di credito multi-name: il caso delle synthetic CDO

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Introduzione 
 
 
Il mercato dei derivati di credito ha avuto la sua esplosione a partire dalla fine 
degli anni Novanta, raggiungendo in breve un buon livello di contrattazioni per poi 
crollare con lo scoppio della crisi del 2007. 
Il problema principale, come per ogni strumento finanziario, è quello di riuscire a 
calcolare un prezzo che si avvicini il piø possibile alla realtà, in modo da individuare il 
premio al rischio insito nell’attività rischiosa. Questo non è molto complicato quando si 
parla di singoli eventi di credito come i credit default swap in quanto la probabilità di 
default è facilmente individuale. Le cose cambiano quando si analizzano i derivati di 
credito multi-name; in essi si manifesta infatti il problema del calcolo della default 
congiunta tra i vari titoli che compongono il basket. Riuscire a dare un valore alla 
correlazione è il problema piø difficile.  
Una svolta radicale si ebbe quando, il matematico David X. Li, nel 2000 elaborò una 
teoria che avrebbe cambiato il mondo dei derivati di credito
1
. Il metodo innovativo 
prevedeva il calcolo della correlazione attraverso l’utilizzo dei credit default swap senza 
utilizzare i dati storici. Tutto questo però, come vedremo successivamente, non fu privo 
di problemi.      
Il lavoro di seguito presentato ha come obiettivo lo studio del modello di Li e la sua 
implementazione attraverso la metodologia di Morgan Stanley di Bloomberg e l’analisi 
delle problematiche che si possono presentare. 
Entrando piø nello specifico, nel primo capitolo si esamineranno i diversi tipi di derivati 
di credito: single-name e multi-name analizzando nello specifico le loro caratteristiche e 
lo sviluppo che hanno avuto negli anni. 
Nel capitolo successivo si darà una definizione teorica del metodo copula e si 
descriveranno le principali proprietà del modello. Il lavoro proseguirà con l’analisi delle 
copule ellittiche (ossia quelle gaussiane e la t di student). Infine si esaminerà la copula a 
singolo fattore che verrà utilizzata nella simulazione. 
                                                 
1 LI D. X., 2000
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Nel terzo capitolo si osserverà il modello del matematico David X. Li che, grazie 
all’utilizzo della copula gaussiana, è riuscito a modellare la correlazione tra default e a 
prezzare i derivati di credito. In questa analisi si prenderanno in considerazione le tre 
metodologie piø popolari per il calcolo della default correlation: CreditMetrics, 
correlazione tempo di sopravvivenza e copula. Successivamente si presenteranno le tre 
metodologie necessarie alla costruzione della credit curve; la prima deriva dalle 
informazioni storiche di default delle agenzie di rating, la seconda dall’approccio di 
Merton e la terza dall’utilizzo degli asset swap spread. Infine si affronteranno le 
problematiche del modello di Li e le conseguenze devastanti che hanno avuto 
sull’economia mondiale. 
Nel quarto e ultimo capitolo si presenterà un’analisi empirica basata sulla metodologia 
Morgan Stanley di Bloomberg per quanto riguarda il pricing di una synthetic CDO. In 
primo luogo si illustreranno nel dettaglio i metodi copula, analizzando la correlazione 
con riferimento ai due modelli principali: compound correlation e base correlation. In 
seguito verrà spiegato come si costruisce una credit curve, utilizzando il metodo 
J.P.Morgan. Si procederà, quindi, ad analizzare passo per passo la metodologia 
utilizzata da Bloomberg, andando a spiegare nel dettaglio quelli che sono i campi di 
nostro interesse interpretando infine i risultati ottenuti.
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CAPITOLO 1 - Introduzione ai derivati di credito 
 
 
 I derivati di credito sono nati per rispondere alla necessità delle banche e degli 
investitori di controllare il rischio d’insolvenza di un investimento. Questi strumenti 
finanziari hanno la capacità di separare il rischio di credito dal titolo e di renderlo 
negoziabile sui mercati finanziari. Grazie a questo, per l’investitore è possibile 
monitorare l’andamento della qualità del credito del debitore ed inoltre dà la possibilità 
di assumere il rischio d’insolvenza di una società senza comprare i titoli. Il rischio di 
credito può essere definito come la probabilità che un debitore non sia in grado di 
fronteggiare i pagamenti derivanti da un prestito bancario o da un titolo di debito. 
Normalmente la probabilità di default aumenta nel periodo di crisi mentre tende a 
diminuire durante le espansioni economiche.  
Una misura del rischio di credito normalmente utilizzata è il rating o merito creditizio, 
attribuito dalle società di rating
2
, in base ai bilanci e alle prospettive di crescita del 
soggetto, il merito creditizio del debitore. Un’altra possibilità per misurare il rischio di 
credito di una impresa è quello di guardare il differenziale tra il tasso d’interesse che 
paga per ricevere finanziamenti e il tasso d’interesse risk-free
3
. Questo rappresenta il 
premio al rischio che il mercato richiede per prestare i soldi ad una società a rischio 
default.  
Le banche o gli investitori per valutare il rischio di credito utilizzano le tecniche di 
diversificare i crediti concessi e di valutare attentamente le prospettive economiche e 
finanziarie del debitore. L’attività di diversificazione per le banche risulta spesso 
limitata in quanto è concentrata in una certa area geografica e in un specifico settore 
industriale. 
Per valutare il rischio di credito abbiamo a disposizione tre metodi. Il primo si basa 
sull’utilizzo dei rating e sull’analisi statistica di matrici di transizione, dalla quale si 
                                                 
2
 Le società di rating sono: Moody’s, Standard & Poors e Fitch. 
3
 I tassi d’interesse risk-free presenti nel mercato sono rappresentati dai titoli di stato della Germania e 
degli Stati Uniti.
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riesce ad individuare la probabilità d’insolvenza o di downgrade di un soggetto
4
. Il 
secondo utilizza il metodo di Merton (1974) che si fonda sulla valutazione delle 
opzioni
5
. Il terzo si basa sugli spread di mercato per valutare il rischio di credito. 
L’avvento dei derivati di credito si ha negli anni Novanta ma la loro diffusione si è 
manifestata dopo il 2000, come è illustrato nel grafico sottostante. Essi hanno anche 
portato ad un aumento delle opportunità di investimento presenti nel mercato, 
consentendo di arrivare a dei debitori che nel mercato a pronti sarebbe stato impossibile 
raggiungere per la loro limitata liquidità.  
 
CONTRATTI DERIVATI DI CREDITO
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
2004-H2 2005-H1 2005-H2 2006-H1 2006-H2 2007-H1 2007-H2 2008-H1 2008-H2 2009-H1 2009-H2 2010-H1
SEMESTRI
VALORI IN MILIONI
 
Fonte: Bank for International Settlements, www.bis.org  
 
I derivati di credito hanno permesso di assumere posizioni bidirezionali sul sottostante 
permettendo di scommettere anche sul loro ribasso.  
I maggiori beneficiari della nascita di questi strumenti sono le banche, le quali hanno 
potuto, soprattutto grazie alla cartolarizzazione, esternalizzare il rischio di credito 
liberando capitale e migliorando così gli indici patrimoniali. Anche gli hedge fund
6
 
hanno visto di buon occhio l’avvento dei derivati, in quanto offrono ottimi rendimenti 
sfruttando l’effetto leva. Come è facile intuire, le banche saranno acquirenti di 
protezione, poichØ vogliono coprirsi dal rischio default della controparte, a differenza 
degli hedge fund, che si porranno in una posizione di vendita di protezione. 
                                                 
4
 I modelli principalmente usati sono: JP Morgan (CreditMetrics), Credit Suisse (Creditrisk
+
) e McKinsey 
(Creditportfolio View). 
5
 Questo metodo è stato adottato da KMV Corporation con le relative modifiche.  
6
 Sono fondi speculativi rivolti a soggetti detentori di grandi patrimoni.
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I derivati di credito quindi sono degli accordi bilaterali in cui una parte, detta acquirente 
di protezione, si protegge dal rischio d’insolvenza dell’attività sottostante trasferendola 
ad un terzo soggetto chiamato venditore di protezione dietro il pagamento di un premio. 
Il compratore di protezione è chiamato protection buyer ed è colui che vende il rischio 
di credito sul mercato per proteggersi da eventuali perdite mentre il venditore di 
protezione è chiamato protection seller ed è colui che si accolla il rischio per ottenere 
un profitto dato dal premio. 
I contratti dei derivati creditizi presentano alcune caratteristiche comuni che si 
riferiscono al sottostante, al credit event e al settlement. 
Il sottostante può essere rappresentato da un prestito, un’obbligazione, un rischio 
sovrano e può essere associato ad un credito singolo o ad un pool di crediti.  
Il credit event fa riferimento all’evento che obbliga il venditore di protezione ad 
adempiere alla propria obbligazione. Questo cambia da contratto a contratto. Qui di 
seguito si riportano i credit event principali: 
• Mancato pagamento di un’obbligazione; 
• Abbassamento del suo rating creditizio ; 
• Ristrutturazione del debito; 
• Dichiarazione giudiziale di insolvenza (bancarotta). 
Il settlement dell’operazione può avvenire con la consegna fisica del sottostante, con 
denaro, oppure in base al binary payout. In quest’ultimo caso il venditore della 
protezione, se si verifica il credit event, dovrà pagare un importo prefissato, determinato 
all’inizio del contratto al buyer. 
I derivati di credito si possono dividere in due categorie: i single-name e i multi-name. 
Della prima categoria fanno parte: i credit default swaps, i total return swaps, i basket 
credit default swaps. Per la categoria dei multi-name si fa riferimento agli asset-backed 
securities (ABS) e alle collateralized debt obligations (CDO). 
I contratti multi-name hanno mantenuto un trend di crescita molto simile ai contratti 
single-name come si può vedere nel grafico in basso. Nel luglio del 2007 però, con la 
crisi dei mutui subprime negli Stati Uniti, si è assistito ad un improvviso calo dei 
contratti sia multi-name che single-name.
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VOLUMI CONTRATTI DERIVATI
0
5
10
15
20
25
30
35
2004-H2 2005-H1 2005-H2 2006-H1 2006-H2 2007-H1 2007-H2 2008-H1 2008-H2 2009-H1 2009-H2 2010-H1
SEMESTRI
VOLUMI IN MILIONI
Single-name Multi-name
 
Fonte: Bank for International Settlements, www.bis.org  
 
1.1 Single-name 
 
1.1.1 Credit default swap 
 
 I credit default swap (CDS) rappresentano la forma piø standardizzata dei 
derivati di credito (plain vanilla) ed anche quella piø usata nel mercato. Essi sono degli 
strumenti finanziari che offrono protezione dal rischio d’insolvenza di una determinata 
società. Il compratore della protezione ha diritto a rivendere alla pari le obbligazioni 
della società nel momento in cui si verifica il credit event, dietro il pagamento di un 
premio al venditore della protezione. Questo premio viene pagato con cadenza 
trimestrale, semestrale o annuale fino alla scadenza o fino a quando si verifica il credit 
event.  
 
 
Fonte: De Zordo A., p. 20
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In caso di insolvenza, lo swap viene liquidato con la consegna fisica delle obbligazioni 
o con contante. Nel primo caso il buyer consegna materialmente il titolo soggetto a 
default al seller in cambio di un prezzo stabilito all’inizio del contratto mentre, nel 
secondo caso, il buyer riceverà la differenza fra il valore nominale e il prezzo di mercato 
dell’attività di riferimento. In entrambi i casi è importante conoscere il nozionale per 
poter poi determinare l’ammontare dovuto al compratore della protezione in caso di 
credit event. 
Per inquadrare meglio i rischi che rimangono in capo all’acquirente della protezione è 
importante specificare che in caso di default del venditore della protezione il protection 
buyer può sempre sostituirlo con un’altra controparte senza subire perdite.  Piø 
complicata è la situazione in cui contemporaneamente cadono in default sia il protection 
seller sia il sottostante di riferimento. In questo caso l’acquirente della protezione 
sarebbe scoperto quindi per lui è preferibile che le parti non siano correlate tra di loro.   
Il CDS spread indica il rapporto tra il pagamento su base annua effettuato dal 
compratore e il suo capitale nozionale. Le maggiori banche agiscono da market makers 
nel mercato dei credit default swap, quotando un prezzo denaro (bid) e uno lettera 
(offer), grazie ai quali i diversi soggetti si scambiano gli strumenti. 
Un aspetto importante dei CDS riguarda il recovery rate, ossia il rapporto tra valore di 
mercato immediatamente dopo l’insolvenza e il valore nominale del titolo. Quindi, in 
altri termini, il recovery rete è il tasso di recupero dopo che la società ha dichiarato 
default. 
I CDS sono prodotti tipicamente over-the-counter e quindi sono soggetti a una propria 
documentazione che è conosciuta con il nome di ISDA
7
 Master Agreement. Grazie a 
questa intesa si è potuto assistere ad un aumento della standardizzazione del mercato, 
che ha portato a un miglioramento della trasparenza e dell’efficienza. L’ISDA permette 
di semplificare i rapporti di natura corrente minimizzando gli obblighi contrattuali e 
garantendo una cornice legale uniforme in caso d’insolvenza di una delle controparti. 
                                                 
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 ISDA è tra le maggiori associazioni al mondo che si occupa del commercio di strumenti derivati over-
the counter.  Fu fondato nel 1985 e oggi conta oltre 830 membri di istituzioni provenienti da 59 Paesi. 
Fonte: www.isda.org
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L’ISDA prevede che un contratto relativo al CDS sia un documento di sei pagine 
contenente le informazioni e i termini riguardanti il derivato creditizio. Di seguito si 
riportano solamente gli aspetti piø importanti del contratto.  
Il sottostante relativo al CDS deve essere determinato in maniera chiara per evitare 
spiacevoli discrepanze che potrebbero sorgere tra soggetto venditore della protezione e 
obbligazione, evitando l’insorgere del rischio di base
8
. 
La scadenza può essere flessibile e a discrezione delle parti. Nella fattispecie tra i credit 
default swap standardizzati i contratti con scadenza 5 anni sono i piø diffusi ma si 
possono anche trovare scadenze di 1, 2, 3, 7 e 10 anni. Nella maggior parte dei casi i 
CDS scadono: il 20 marzo, 20 giugno, 20 settembre e 20 dicembre, date che coincidono 
con quelle del mercato dei future. 
Le obbligazioni coperte dal contratto possono essere restrittive, cioè viene individuata 
l’obbligazione specifica da coprire, oppure borrowed money, che coprono tutte quelle 
che l’emittente ha esposto al rischio ad esclusione dei contratti derivati e obbligazioni 
generiche. 
In caso di credit event, il buyer consegna al seller un titolo scelto nel paniere dei 
consegnabili che sono obbligazioni o prestiti che godono dello stesso diritto di 
prelazione del sottostante. I titoli devono essere: denominati in una valuta accettata, 
liberalmente trasferibili, avere scadenza non superiore ai 30 anni e, infine, non essere 
titoli al portatore. 
Il protection buyer ha diritto di scegliere qualsiasi titolo all’interno del paniere dei 
consegnabili, in modo da ottenere il maggior surplus. Quindi, il cheapest-to-delivery, 
consente di fare questa operazione scegliendo quel titolo che sul mercato a pronti viene 
quotato al prezzo inferiore. 
Il credit event, come sottolineato in precedenza, rappresenta una parte fondamentale del 
contratto, in quanto permette di individuare l’evento che fa scattare il meccanismo di 
copertura. Gli eventi di credito previsti dall’ISDA dei CDS negoziati su emittenti 
corporate di elevato rating sono: bankruptcy, failure to pay e restructuring. 
                                                 
8 Con questo termine si possono indicare due fenomeni: il rischio di base in senso stretto denota un 
imperfetta correlazione tra la copertura e il sottostante; il rischio di base in senso lato la base rappresenta 
il differenziale tra il premio al rischio di credito implicito nel rendimento delle obbligazioni di un 
determinato emittente e quello quotato dal mercato dei CDS.
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Per quanto riguarda il primo, può scattare anche quando si assiste alla dichiarazione 
dello stato d’insolvenza del debitore o alla nomina del commissario giudiziale e quindi 
prima della formale dichiarazione di fallimento.        
Il failure to pay avviene quando si determina lo stato di default del debitore dovuto al 
mancato pagamento di una cedola oppure al mancato rimborso del capitale. A questo 
punto è utile distinguere il default di una società dal suo fallimento. Il primo rappresenta 
un concetto di natura contrattuale che può essere tradotto come decorrenza dei termini 
mentre il secondo fa riferimento allo stato di fallimento della società dichiarato con 
sentenza dall’autorità giudiziaria competente. E’ importante capire che uno stato di 
default non determina necessariamente il fallimento della società, ma sarà il giudice a 
stabilirlo.  
Il restructuring avviene quando c’è un accordo tra l’emittente e i creditori sulla 
riduzione o sul differimento degli interessi o del capitale rimborsato, causando la 
risoluzione del contratto. 
 
1.1.2 CDS forward e option 
 
 Con lo sviluppo dei mercati dei CDS si è reso necessario trattare anche i 
contratti forward e le opzioni sui credit default swap.  
I contratti forward danno la possibilità a due soggetti di scambiare il credit default swap 
scritto su un soggetto di riferimento con scadenza T. Colui che assume una posizione 
lunga ha una prospettiva di miglioramento del merito creditizio mentre chi assume una 
posizione corta ha un’aspettativa opposta. Se il soggetto di riferimento fallisce entro il 
tempo T, il contratto forward cessa di esistere.  
Il CDS su opzioni concerne nell’acquisto (call) o nella vendita (put) di un’opzione su un 
credit default swap scritto su un soggetto di riferimento entro il tempo T. Le parti, come 
analizzato sopra per il forward, possono speculare sulla qualità creditizia del soggetto. 
Un venditore avrà diritto a ricevere un premio ma in caso di deterioramento del merito 
creditizio dovrà corrispondere all’acquirente il bene sottostante allo strike price.    
Anche in questo caso se il soggetto di riferimento fallisce il contratto cessa di esistere.