Pricing di Credit Derivatives Esotici mediante Programmazione in C++

Introduzione
Lo sviluppo delle tecniche di securitization e dei mercati dei contratti derivati,
unitamente alle crescenti interconnessioni tra mercati e tra intermediari fi-
nanziari, ha fornito nuove e piu` efficienti opportunita` di allocazione, diver-
sificazione e mitigazione dei rischi tra le diverse componenti dei sistemi fi-
nanziari. In tale contesto, una peculiare rilevanza ha assunto il trasferimento
dei rischi creditizi dai portafogli delle banche a quelli di investitori istituzion-
ali (quali i fondi pensione e di investimento, le assicurazioni, gli hedge funds)
attratti dai rendimenti di tali investimenti in una fase congiunturale carat-
terizzata da una forte contrazione dei tassi di interesse, e dalla possibilita` di
diversificare i portafogli assumendo rischi non correlati con quelli dei rispet-
tivi core business. Rispetto alle ordinarie operazioni di cessione di credito, i
credit derivatives sono strumenti molto efficienti nel realizzare la negoziabilita`
di attivi tipicamente non negoziabili quali i crediti. Tra questi si distinguono
i basket products, come i Basket default swaps (BDS) e le Collateralized debt
2
INTRODUZIONE 3
obligations (CDO), che consentono la copertura, e l’esposizione, sul rischio di
credito che caratterizza un pool piu` o meno numeroso di crediti sottostanti.
Il presente lavoro si propone di descrivere ed implementare, mediante
programmazione in C++, un modello per la valutazione dei multiname credit
derivatives. L’introduzione delle funzioni di copula e` necessario per tener
conto della struttura delle dipendenze tra i tempi di default degli n obligors.
Il modello adottato si avvale della simulazione Monte Carlo di scenari di
default da una copula normale n-dimensionale. La distribuzione dei default
ottenuta, porta alla definizione del payoff atteso dei contratti oggetto di
valutazione, e quindi alla stima dei prezzi di equilibrio. L’applicazione del
modello descritto al caso di multiname products correntemente scambiati sui
mercati OTC, quali i first-to-default basket swaps e le DJ iTraxx tranches,
ha reso possibile l’analisi della sensibilita` dei prezzi rispetto alle principali
variabili che concorrono a determinarne il valore, ovvero default correlation,
recovery rates, e credit quality. Il lavoro prosegue con l’analisi del valore delle
tranches di un Cdo al variare della correlazione di default. La differenza
nelle aspettative dei partecipanti al mercato circa la correlazione produce
nuove opportunita` di investimento, trasformando la correlazione, al pari della
volatilita`, in oggetto di scambio mediante titoli derivati.
Capitolo 1
Pricing e analisi degli
Nth-to-default basket swap
1.1 I Basket default swaps
I prodotti multiname sono credit derivatives il cui sottostante e` correlato
al rischio di credito di piu` reference entities. L’elemento che caratteriz-
za tali contratti e` l’effetto leva, o leverage. Con tale termine si intende il
meccanismo in base al quale l’ammontare nominale del contratto rappre-
senta un’esposizione creditizia, assunta nei confronti di piu` reference enti-
ties, che vale contemporaneamente e singolarmente per ciascuno di essi. Al
contrario, nei derivati creditizi privi di leverage, l’ammontare del contratto
rappresenta l’esposizione creditizia nei confronti di una sola reference entity.
4
1.2. FIRST TO DEFAULT BASKET DEFAULT SWAP 5
Dal punto di vista economico, quindi, l’esposizione creditizia e` per l’intero
ammontare del contratto nei confronti di ciascuna reference entity compresa
nel basket, sebbene la perdita massima sia limitata all’ammontare del con-
tratto. Gli esempi riportati nei prossimi paragrafi permetteranno di valutare
le implicazioni concrete che il leverage porta con se´.
1.2 First to Default Basket Default Swap
Un classico esempio di basket product sono i first-to-default (FTDB), la cui
struttura e` simile a quella di un single name CDS, con la differenza cruciale
che il venditore di protezione in un FTDB si impegna ad effettuare il contin-
gent payment al verificarsi del primo evento creditizio rispetto ad una qualsi-
asi delle reference entities componenti il basket. In cambio di tale protezione,
il protection buyer versa, periodicamente o in un unica soluzione anticipata
(upfront), lo spread concordato. Qualora, durante il periodo contrattuale, si
verifichi un evento creditizio, o trigger event :
• il venditore di protezione effettua il contingent payment, ovvero la dif-
ferenza tra il valore nominale e il recovery value 1 del corrispondente
nominativo, al netto dell’accrued premium, ovvero la frazione di spread
1Per recovery value si intende il valore di mercato del sottostante post-default, de-
terminato mediante una tecnica di dealer pool. Quest’ultima consiste nella media delle
valutazioni effettuate da alcuni dealer predeterminati per un arco temporale che va da
uno a tre mesi.
1.2. FIRST TO DEFAULT BASKET DEFAULT SWAP 6
maturata nel periodo di tempo tra il versamento dell’ultimo spread e
l’istante in cui avviene il default. Il contingent payment puo` anche es-
sere effettuato nella forma del phisycal settlement : in questo caso, il
protection seller e` tenuto a versare l’ammontare nozionale del contrat-
to, ed in cambio riceve un ammontare, di pari valore nominale, di titoli
di credito dell’emittente in default, o titoli ad essi assimilabili derivable
obligation2;
• il compratore di protezione cessa di versare lo spread periodale al
protection seller ;
• il contratto puo` considerarsi chiuso.
Per chiarire ulteriormente il funzionamento dei suddetti strumenti, si con-
sideri un FTD su un basket composto da 5 crediti con un nozionale di
e10Mln. Se uno qualunque di questi crediti incorre in un credit event, lo
Swap termina e il protection seller versa il nozionale al netto del recovery
value. Se si ipotizza una percentuale di recupero r pari al 40% del valore
nominale, e se si trascura, almeno per il momento, l’accrued premium, il
venditore di protezione dovra` versare l’importo DP (Default Payment) :
DP = (1− r)N = (1− 0.4)10 = e6Mln (1.1)
2
I parametri che individuano le obbligazioni e i titolo di debito assimilabili sono definite
dall’ISDA International Swaps and Derivatives Association, Inc.,1999, Master agreement.
1.2. FIRST TO DEFAULT BASKET DEFAULT SWAP 7
Entrando in posizione corta sul FTD sopra descritto, l’investitore crea
un’esposizione simultanea su un insieme di crediti, motivato dal leverage ot-
tenuto investendo su tale struttura: il venditore e` infatti esposto al rischio
di credito legato ai 5 entita` di riferimento, con un ammontare nominativo
complessivo pari a e50Mln. A fronte di cio`, ottiene uno spread periodale
maggiore di quello legato ad ogni singolo credito componente il basket, men-
tre la perdita massima cui puo` incorrere e` limitata all’ammontare nominale
di uno solo di essi; in sostanza il venditore di protezione vende n credit de-
fault swaps , ma dopo il primo default che si verifica i restanti 4 perdono
efficacia. Per il compratore di protezione , un basket swap consente l’hedging
(o comunque la crezione di un cuscinetto di protezione) su un portafoglio di
crediti ad un costo minore rispetto all’acquisto di un cds per ogni esposizione.
Tale copertura non e` pero` perfetta, in quanto il compratore rimane esposto
all’eventualita` di default multipli. La probabilita` di default multipli e quindi
la correlazione tra i default dei diversi nominativi, assumono un’importanza
cruciale nella strutturazione e valutazione di questi contratti, per mezzo dei
quali gli operatori attuano strategie di correlation trading.
1.3. BASKET CDS: ALTRE VARIANTI CONTRATTUALI 8
1.3 Basket Cds: altre varianti contrattuali
Quanto detto a proposito dei FTD resta valido rispetto ai successivi nth-to-
default, nei quali il trigger event e` rappresentato dal n-esimo default rela-
tivo ai nomi componenti il basket [?]. Il contingent payment coprira` in tal
caso la perdita legata al n-esimo default registrato3. Qualora il contratto
preveda che al verificarsi di un credit event relativo ad una reference entity,
l’ammontare del contratto venga ridotto di un importo corrispondente alla
perdita derivante dal credit event e continui per l’ammontare ridotto con
riferimento alle altre reference entities comprese nel portafoglio, ci si trova
dinnanzi alla fattispecie di basket products comunemente definita Green Bot-
tle. Riprendendo l’esempio precedente, nel caso in cui la perdita effettiva
(ovvero al netto del recovery Value) derivante dal credit event di una delle
reference entities sia pari a 4 milioni di dollari, il contratto prosegue, dopo la
liquidazione della perdita, per l’ammontare nominale ridotto a 6 milioni di
dollari. Qualora si verifichi, entro la scadenza del contratto, un secondo credit
event, si verifichera` un’ulteriore riduzione dell’ammontare nominale fino al-
l’azzeramento dell’ammontare nominale di tale contratto. Un’altra variante e`
rappresentata dagli n-out-of-m-to-default swap, in cui il venditore sostiene le
perdite legate ai primi n default in un basket composto da m nominativi, e il
3Maggiori dettagli circa il funzionamento dei contratti successivi al first to default sono
disponibili su Hull e White[?]
1.3. BASKET CDS: ALTRE VARIANTI CONTRATTUALI 9
compratore cessa di pagare il premio una volta che l’n-esimo default ha avuto
luogo. Nel caso di un all-to-default swap il compratore versera` il premio fino
a che tutti i crediti sottostanti siano andati in default, o, se anteriore, fino
alla scadenza del contratto; la controparte in cambio si impegna a coprire
ogni perdita sul nozionale del basket. Questa tipologia sara` esaminata piu` in
dettaglio nel seguito del presente lavoro. Altri ancora offrono protezione per
un numero di default compreso tra dm e dM , con 1 ≤ dm ≤ dM ≤ n.
1.3.1 Basket Cds: principali motivazioni
I basket cds sono generalmente impiegati per ottenere rendimenti superiori
mediante l’utilizzo del leverage che permettono. Chi cerca di monetizzare le
proprie credit views detenendo posizioni corte sul rischio di credito, tende,
infatti, a preferire questo tipo di strumenti rispetto ad esempio, a derivati
creditizi il cui sottostante sia rappresentato da reference entities di dubbio
standing creditizio4. I basket Cds sono, inoltre, utili all’acquirente della pro-
tezione nel caso in cui questo abbia gia` assunto esposizioni creditizie sulle
reference entities comprese nel basket. In questo caso puo` assicurarsi dal
rischio di credito relativo agli emittenti di debito compresi nel basket ad un
costo inferiore rispetto a quello che sosterrebbe nel caso in cui si coprisse
4e che, quindi, come tali portano ad ottenere rendimenti maggiori, ma sono
accompagnati ad un significativo incremento del rischio
1.4. LA VALUTAZIONE DEI BASKET DEFAULT SWAPS 10
su ciascun nominativo. La convenienza dell’acquirente della protezione nello
stipulare un contratto di questo tipo rispetto ad una serie di single name
products dipende dal grado di correlazione esistente tra i titoli presenti nel
basket.
1.4 La valutazione dei Basket Default Swaps
I principali fattori che entrano in gioco nella valutazione di un basket default
swap, indipendentemente dalla forma contrattuale che questo assume, sono i
seguenti:
• il numero di nominativi;
• la probabilita` di default legata ai diversi nominativi e quella del pro-
tection seller ;
• la correlazione di default tra i nominativi (pairwise default correlation);
• la correlazione di default tra i nominativi e la controparte (protection
seller);
• la scadenza del contratto, T;
• il tasso di recupero atteso relativo agli emittenti dei crediti sottostanti.
1.5. IMPLEMENTAZIONE IN C++ DEL METODO MONTE CARLO 11
Il prezzo del contratto sara` crescente al crescere delle probabilita` di de-
fault, del numero di nominativi e della scadenza. Nelle applicazioni seguenti
viene trascurato per semplicita` il rischio di controparte; per maggiori appro-
fondimenti su tale determinante si suggerisce Hull e White[?]. La relazione
piu` complessa ed interessante da analizzare e` quella tra il prezzo del contratto
e la default correlation tra i crediti sottostanti, la quale esercita un influenza
diversa a seconda del tipo di contratto. Per una analisi completa di questa
relazione si rimanda al paragrafo 1.7.2.
1.5 Implementazione in C++ del metodo Monte
Carlo
La simulazione Monte Carlo implementata nel programma riprende i concetti
esposti in Galiani [?]. Per ogni simulazione, il programma effettua le seguenti
operazioni:
1. generazione di un vettore N-dimensionale i cui elementi siano variabili
casuali indipendenti, normalmente distribuite, una per ogni obligor;
2. trasformazione5 del vettore cos`ı ottenuto in uno tale che abbia matrice
di correlazione pari a Σ;
5Cio` e` reso possibile dalla fattorizzazione di Cholesky, illustrata di seguito.
1.5. IMPLEMENTAZIONE IN C++ DEL METODO MONTE CARLO 12
3. trasformazione, per ogni obligor, della variabile ottenuta in un tempo
di default;
4. una volta disposto in ordine ascendente il vettore che ha per elementi i
tempi di default, si prende in esame l’n-esimo elemento di tale vettore;
5. calcolo del valore attuale del flusso dei premi corrisposti o discounted
value of premium payments, (PL), dell’accrued premium (AP ) e del
valore atteso attualizzato del default payment (DP ).
Al termine delle simulazioni il programma calcola la media dei risultati ot-
tenuti per le due gambe del contratto, e restituisce il valore dello spread s∗
che rende equo il contratto al momento della stipula.
La generazione di un vettore di variabili casuali distribuite normalmente
(punto a) e` affidata al random number generator NewRan. Quest’ultimo
trasforma dei numeri pseudocasuali generati da un LGM6, e restituisce nu-
meri pseudocasuali normalmente distribuiti, mediante l’algoritmo per l’ap-
prossimazione creato da Box e Muller [?]. In ogni simulazione, quindi, il
programma crea un vettore ~u che ha per elementi dei numeri casuali estratti
da variabili casuali normalmente distribuite; per tener conto della dipendenza
tra i tempi di default, e` necessario correlare gli elementi del vettore: l’algo-
6LGM sta ad indicare la metologia adottata, descritta da Lewis-Goodman-Miller [?]
per ulteriori dettagli. Il LGM passa il diehard test di Marsaglia se utilizzato con Marsaglia
mixing.
1.5. IMPLEMENTAZIONE IN C++ DEL METODO MONTE CARLO 13
rimo si serve a tal fine della fattorizzazione di Cholesky. Date M variabili
u1, u2, ..., uM non correlate e con distribuzione normale, possiamo ottenere
variabili correlate attraverso la trasformazione:
~Y = M~u (1.2)
dove ~Y e ~u sono i vettori colonna con yj e uj nelle j-esime righe. La
matrice triangolare inferiore M e` ottenuta attraverso la scomposizione di
Cholesky, e gode di una particolare proprieta`:
MMT = Σ (1.3)
dove Σ e` la matrice di correlazione inserita come input. Data Σ, e` pos-
sibile costruire la matrice triangolare M , i cui elementi mi,j sono calcolati
attraverso l’algoritmo di Cholesky :
mi,j = ρi,j −
∑j−1
s=1 mi,j ·mj,s√
1−∑j−1s=1 m2j,s
1 ≤ j ≤ i ≤ n (1.4)
avendo posto per definizione
∑0
s=1(•) = 0, e ricordando che:
• per i > j il denominatore dell’equazione e` pari a mj,j;
• gli elementi di M devono essere calcolati dall’alto verso il basso e da
1.5. IMPLEMENTAZIONE IN C++ DEL METODO MONTE CARLO 14
sinistra verso destra.
Il programma si serve della funzione inclusa nella libreria Newmat 7 per
il calcolo della matrice di Cholesky. I dati di input sono la matrice di cor-
relazione8, o un unico fattore di correlazione se si assume la correlazione
costante per ogni coppia di securities, e il numero di nominativi sottostanti.
Le linee di codice esposte di seguito dispongono la creazione della matrice di
correlazione:
1 SymmMatrix Fmatr iceDiCorre laz ione (double rho , int dimensione )
{
3 SymmericMatrix A ( dimensione ) ; for ( int i =1; i<=dimensione ; i++)
{
5 double a [ i −1] ;
for ( int j =0; j<=i ; j++)
7 {
i f ( j<i ){ a [ j ]=rho ;}
9 i f ( i= =j ){ a [ j −1]=1; }
}
11 A.Row( i ) << a ;
}
13 stampaMatrice (A) ;
return A;
15 }
Sulla matrice di correlazione A ottenuta, viene applicato l’algoritmo di
Cholesky (3.4) richiamato dalla libreria Newmat:
1 SymmetricMatrix mat r i c eCor r e l a z i one ( n names ) ;
mat r i c eCor r e l a z i one=Fmatr iceDiCorre laz ione ( rho , n names ) ;
3
5 LowerTriangularMatrix MatriceCholesky =
7Per informazioni circa il funzionamento di Newmat10b, si veda la documentazione
online [?] .
8
In questo caso, il programma richiama una funzione esterna al main, che, dato un rho,
crea una matrice simmetrica di dimensioni nnamesXnnames, che ha tutti gli elementi
uguali a ρ tranne quelli sulla diagonale principale, che sono uguali a 1.
1.5. IMPLEMENTAZIONE IN C++ DEL METODO MONTE CARLO 15
Cholesky ( mat r i c eCor r e l a z i one ) ;
7
// Corre la l e v a r i a b i l i uni formi ind i p enden t i mediante l a ( 3 . 2 )
9 Matrix Ve t t o r iCa sua l iCo r r e l a t i ( grandezzaVettoreCasuale , 1 ) ;
Ve t t o r iCa sua l iCo r r e l a t i = MatriceCholesky ∗ ve t t o r eCasua l i ;
Ora e` necessario derivare i tempi di default: il vettore ~Y si distribuisce
come una normale multivariata con matrice di correlazione Σ. Dato ~Y e`
necessario calcolare i corrispondenti tempi di default T1, T2, ..., Tn, attraverso9
la
T = F−1N [(Y )] (1.5)
La F−1, descritta in Li [?], assume la forma seguente:
T = −1
h
ln[1−N(Y )] (1.6)
Con N() funzione di ripartizione Normale. Nel riquadro che segue sono
riportate le linee di codice scritte per tale operazione:
Matrix TimeUnti lDefault ( n names , 1 ) ;
2 double app [ n names ] ;
double k ;
4
// Appl ica l a formula 3.6 per r i ca va r e i tempi d i d e f a u l t
6 for ( int j =0; j<n names ; j++)
{
8 k = Ve t t o r iCa sua l iCo r r e l a t i ( j +1 ,1) ;
app2 [ j ]= (− l og (1 − CumulativeNormal ( k ) ) ) / Hazard Rate ( j +1, 1 ) ;
10 }
12 TimeUnti lDefault << app2 ;
// Ordina g l i e l ement i d e l v e t t o r e in senso c r e s c en t e
14 SortAscending ( TimeUnti lDefault ) ;
9Questo e` un passaggio del procedimento gia` descritto nel §??.
1.5. IMPLEMENTAZIONE IN C++ DEL METODO MONTE CARLO 16
Fatto cio`, la funzione Sort Ascending della libreria Newmat dispone in
ordine ascendente (punto d) i tempi di default ottenuti. Questi vengono
poi espressi come numero di periodi di sopravvivenza o periods until de-
fault, per tenere conto della convenzione periodale stabilita dalle parti10. Si
introducono le notazioni adottate nei successivi paragrafi:
N numero di reference entities ;
nth variabile che definisce la tipologia del contratto; per un first-to-default
nth sara` pari a 1, per un second-to-default sara` pari a 2 e cos`ı via;
M ammontare nozionale del contratto, che nel caso dei basket omogenei
coincide con l’ammontare nominale di ogni obbligazione sottostante;
T = tn scadenza del contratto, misurata in anni (o periodi) dalla data di
stipula t0 = 0;
s∆ il cds premium, o cds spread periodale;
B(0, ti) valore in t = 0 di una unita` monetaria incassata al tempo ti
DL default leg : il flusso netto dei pagamenti che il protection seller versa in
caso di default, ovvero la differenza tra il contingent payment (DP) e
l’accrued premium (AP);
10Lo standard per i Cds e` l’anno, α = 1, per le tranches di Collateralized debt obligation
e` il trimestre, α = 0.25.
1.6. IL MECCANISMO DI PRICING 17
AP accrued premium;
PL premium leg: rappresenta il flusso dei pagamenti che il protection buyer
effettua periodicamente in cambio della protezione
Rr recovery rate;
1.6 Il meccanismo di pricing
Il programma prende in esame l’nth-esimo elemento del vettore dei tempi di
default: se questo risulta inferiore alla scadenza del contratto, la default leg
e` pari a zero, in quanto non essendosi verificato il trigger event, il protection
seller non e` tenuto ad effettuare alcun pagamento. La premium leg e` pari
al valore attuale dei premi versati dal protection buyer il quale, in questa
fattispecie, continua a corrispondere al protection seller il premio periodale
fino alla scadenza del contratto. Formalmente, si ha:
PLj = s∆M ·
n∑
i=1
B(0, ti) (1.7)
e
APj, DLj = 0 (1.8)
Negli scenari in cui il trigger event si verifica prima della scadenza del
contratto, la default leg e` pari all’ammontare del contingent payment, dedotto
1.6. IL MECCANISMO DI PRICING 18
l’accrued premium. La premium leg sara` data dalla somma dei valori attuali
dei premi versati dal protection buyer fino al momento in cui si verifica il
trigger event e il contratto si chiude. Analiticamente si ha:
DPj = M(1−Rnth)B(0, tnth), (1.9)
APj = sM∆i+1 tnth − ti
ti+1 − ti
, (1.10)
con
DLj = DPj − APj (1.11)
per quanto riguarda la default leg. La premium leg e` data dalla relazione
1.12:
PLj = s∆M ·
nth∑
i=1
B(0, tnth) (1.12)
Per ogni simulazione, quindi, il programma calcola quante volte corrispos-
to il premio s∗, che sara` noto soltanto alla fine delle simulazioni, a quanto
ammonta l’accrued premium e a quanto ammonta il default payment DP.
Nella procedura adottata, l’accrued premium viene aggiunto alla premium leg
piuttosto che sottratto al default payment11. Quanto detto viene effettuato
11Tale procedimento e` necessario, in quanto non sarebbe possibile dedurre dal valore del
1.6. IL MECCANISMO DI PRICING 19
mediante le linee di codice riportate nel riquadro:
1 double premium leg = 0 . 0 ; double accrued premium =
0 . 0 ;
3 int p = int ( Pe r i od s Unt i l De f au l t ( n th , 1 ) ) ;
5 i f ( Pe r i od s Unt i l De f au l t ( n th , 1)< T) {
7
accrued premium =(Pe r i od s Unt i l De f au l t ( n th , 1)− p)∗
9 ( exp((− de l t a )∗ Per i od s Unt i l De f au l t ( n th , 1 ) ) ) ; }
for ( int j = 1 ; j <= n pe r i od i ; j++)
11 {
i f ( ( j <= p) && ( j <= (T / per iodo ) ) )
13 {premium leg += noz i ona l e ∗
∗ d i s c o un t f a c t o r [ j ]+accrued premium ;}
15 else { j = n pe r i od i ;}
}
17 This premium leg = premium leg ;
19
i f ( TimeUnti lDefault ( n th , 1 ) <= T) {
21
d e f a u l t l e g = ( exp((− de l t a )∗
23 Per i od s Unt i l De f au l t ( n th , 1 ) ) ) ∗ ( (R R)∗ ( noz i ona l e ) ) ; }
25 else { d e f a u l t l e g = 0 ;}
27 Th i s d e f a u l t l e g = d e f a u l t l e g ;
Ora, calcolando la media dei valori ottenuti per le due legs del contratto
in ogni run, e dato che s∗ ⇒ PL(s∗) − DL(s∗) = 0, il fair spread s∗ viene
calcolato in basis points per periodo attraverso la:
s∗ = E[DL]
E[PL]
· 10.000 (1.13)
default payment una quantita` espressa in termini percentuali rispetto al premio s∗ che,
essendo l’output principale delle simulazioni Monte Carlo, sara` noto soltanto al termine
del processo. La variazione introdotta non comporta scostamenti del risultato finale, in
quanto il procedimento e` del tutto equivalente.
1.7. LE DETERMINANTI DEL BASKET SPREAD 20
dove
E[DL] = 1N
MC∑
j=1
DLj e E[PL] =
1
N
MC∑
j=1
PLj (1.14)
Quanto detto viene implementato mediante le linee di codice:
1 PV premium leg = sum premium leg/ n s imu l a z i on i ; PV de fau l t l e g =
sum de f au l t l e g / n s imu l a z i on i ;
3
cds spread = ( ( PV de fau l t l e g / PV premium leg ) ∗ 10000) ;
1.7 Le determinanti del basket spread
L’analisi presentata in questo paragrafo si propone di chiarire i concetti fin
qui esposti circa i prodotti basket ; il valore di tali strumenti derivati e` collega-
to alle molteplici determinanti descritte nel corso della trattazione. L’espo-
sizione mediante grafici dei dati restituiti dal programma in C++ agevolano
la comprensione delle dinamiche e dei meccanismi, attraverso i quali la de-
fault correlation, il numero di reference entities sottostanti (obligors) e le
ipotesi effettuate circa il recovery rate, esercitano la loro influenza sui profili
di rischio-rendimento dei basket default swaps. Lo studio che segue si basa
sulle seguenti ipotesi:
• la curva dei cds spread sui singoli nomi e` piatta ed uguale per ogni
obligor ;
• la curva dei rendimenti risk free e` piatta, ad un livello del 5%;
1.7. LE DETERMINANTI DEL BASKET SPREAD 21
• la default correlation e` costante per tutti i nominativi presi a due a due
(pairwise default correlation);
• Il cds premium e` corrisposto annualmente (α = 1);
• il numero di simulazioni e` fissato a 500.000;
1.7.1 Basket spread e recovery rate
Il grafico seguente mostra le variazioni che subisce il prezzo di un basket de-
fault swap al variare del tasso di recupero dei crediti sottostanti. I recovery
rates sono elaborati dalle maggiori agenzie di rating, e derivano dall’analisi
delle serie storiche disponibili. Fitch ratings [?] presenta numerosi dati circa
i tassi di recupero di crediti ed attivita` finanziarie caratterizzati da diversi
livelli di subordinazione, settore d’attivita` ecc. Maggiore e` il recovery rate
atteso, minore sara` la perdita per il portafoglio collaterale, e dunque mi-
nore sara` il premio richiesto per la protezione sul basket, a prescindere dalla
tipologia:
1.7.2 Basket spread e Default correlation
Gli nth-to-default e, piu` in generale, i basket credit derivatives sono essen-
zialmente dei prodotti di correlation trading. Cio` in conseguenza del fatto
che il premio di un BDS dipende strettamente dalla tendenza dei nomina-
1.7. LE DETERMINANTI DEL BASKET SPREAD 22
Figura 1.1: Basket Spread e Recovery Rate: maggiore e` il recovery rate atteso, minore sara` la perdita
per il portafoglio collaterale, e dunque minore sara` il premio richiesto per la protezione sul basket
tivi sottostanti a sopravvivere, o meno, insieme. Ad un livello globale, ogni
emittente e` soggetta al medesimo set di variabili macroeconomiche, e percio`
si e` soliti ipotizzare l’esistenza di una default correlation positiva. Si prenda
in esame un Ftd Basket: ipotizzando l’indipendenza tra i tempi di default
(ρ = 0) o la massima correlazione (ρ = 1), e` possibile effettuare la valutazione
del contratto mediante formule chiuse di valutazione12:
perfetta correlazione, ρ = 1 : in questa fattispecie limite, il verificarsi di
un credit event riguardo uno qualsiasi dei sottostanti implica il verifi-
carsi del credit event anche per il nominativo con la piu` alta probabilita`
di default, ovvero quello che offre il maggiore spread sul single name
12Si veda Galiani [?] per una derivazione analitica del basket spread in assenza di
correlazione.
1.7. LE DETERMINANTI DEL BASKET SPREAD 23
cds. Di conseguenza, la probabilita` che si verifichi un default e` pari
alla probabilita` di default del titolo piu` rischioso; quindi un FTDB in
questa situazione sara` rischioso quanto il piu` rischioso dei crediti com-
ponenti il basket, e lo spread equo sara` pari allo spread che offre il cds
scritto sul credito piu` rischioso;
indipendenza, ρ = 0 : se i tempi di default dei nominativi sottostanti sono
indipendenti, e non diventano mai correlati durante la vita del con-
tratto, vendere protezione su un FTDB sara` equivalente a vendere pro-
tezione su ogni singolo cds: data l’assenza di correlazione,infatti, la
probabilita` di default multipli e` trascurabile. Fissata l’ipotesi di assen-
za di arbitraggi, il basket spread dovra` risultare pari alla somma degli
spread dei singoli cds.
Figura 1.2: Distribuzione del numero di default in un portafoglio composto da 5 reference entities.
1.7. LE DETERMINANTI DEL BASKET SPREAD 24
Per analizzare il comportamento dei basket spread tra i due casi limite, e`
utile introdurre la distribuzione delle perdite13 per il portafoglio omogeneo,
rappresentata nel grafico in figura 1.2.
Figura 1.3: Basket spread e default correlation
Lo spread offerto da un FTDB dipende dalla probabilita` che si verifichi
almeno un default, che e` data dal complemento a 1 della probabilita` di 0
default. La probabilita` di zero default cresce al crescere della correlazione; in
altri termini, maggiore e` la correlazione, maggiore e` la probabilita` che tutti i
crediti sottostanti sopravvivano, e di conseguenza lo spread del FTDB tende
a diminuire. Per i successivi nth-to-default il discorso e` differente, nel sen-
so che il valore dello spread tende a crescere con la correlazione, in quanto
13Per la derivazione della distribuzione delle perdite si consulti il presente lavoro,
paragrafo ??
1.7. LE DETERMINANTI DEL BASKET SPREAD 25
una maggior correlazione significa una maggiore probabilita` di default multi-
pli. Lo spread di un 2nd-to-default, in particolare, subisce allo stesso tempo
l’influenza dei due fenomeni descritti sopra: il grafico (Fig.1.3) evidenzia la
tendenza a crescere prima e poi a diminuire all’aumentare della correlazione.
Conclusioni
Gli algoritmi descritti per il pricing dei multiname credit derivatives pre-
suppongono un’elevata capacita` computazionale, garantita dal C++, che
ha consentito un’implementazione piuttosto efficiente, con tempi di calco-
lo relativamente brevi. La programmazione consiste di circa 1500 linee di
codice, e si avvale di alcune librerie disponibili sul web, (i.e. la matrix library
Newmat). L’applicazione degli algoritmi a strutture modello, quali i Bds
su portafogli omogenei, ha reso possibile la verifica di coerenza dei risultati
ottenuti: i grafici costruiti nell’ambito dell’analisi di sensibilita` dei prezzi
rispetto alle principali variabili in gioco, ossia la default correlation, il recov-
ery rate e la probabilita` di default, forniscono evidenza empirica all’analisi
teorica, confermando la coerenza dei dati restituiti dal programma. Vicev-
ersa, l’attendibilita` dei valori e` stata verificata adottando come benchmark
i prezzi direttamente osservabili sul mercato per le tranches sull’indice DJ
iTraxx Europe; lo scarto massimo con i prezzi di mercato risulta minore di un
26
CONCLUSIONI 27
punto percentuale, ed e` dovuto in larga misura alle semplificazioni adottate
nel corso della trattazione (ad esempio, si trascurano i costi di strutturazione
dell’operazione).
La complessita` dei modelli utilizzati dagli operatori per la valutazione dei
credit derivatives costituisce un ostacolo alla trasparenza, e di conseguenza
alla liquidita`, del mercato: il pubblico retail non ha accesso alle informazioni,
ne´ dispone degli strumenti di valutazione necessari per operare sul mercato,
e pertanto non rientra direttamente tra le tipologie di investitori su derivati
credtizi.
La mancanza di trasparenza, a sua volta, porta con se´ implicazioni rile-
vanti circa gli effetti del mercato dei credit derivatives sul sistema finanziario.
Dal punto di vista delle banche, che vi fanno ricorso su ampia scala, i cred-
it derivatives consentono di smobilizzare parte del capitale di regolamento,
per investire in attivita` piu` redditizie. A livello sistemico, contribuiscono ad
aumentare la stabilita` del sistema bancario: a testimonianza di cio` si ricorda
che, nonostante i diversi shock finanziari del periodo 2001-03, in America ed
in Europa non e` fallita nessuna banca di dimensioni rilevanti. Quanto detto
non significa che la cartolarizzazione sintetica sia priva di potenziali fattori
destabilizzanti: il rischio di credito viene trasferito dai bilanci delle banche,
nei quali viene contabilizzato nel rispetto di precise disposizioni normative,
ai bilanci di istituzioni finanziarie che non sono sottoposte ad una stretta
CONCLUSIONI 28
regolamentazione in questo senso, ne´ gestiscono una relazione diretta con i
prenditori originari di fondi. In sostanza, la capacita` di controllo delle au-
torita` di vigilanza circa l’allocazione del rischio di credito, unitamente alla
mancanza di liquidita` del mercato, puo` provocare crisi di vsta portata al sis-
tema finanziario. Nessuna delle ipotesi circa l’impatto dei credit derivatives
sui mercati finanziari puo` essere verificata mediante l’analisi dei dati empiri-
ci, ancora insufficienti per trarre conclusioni attendibili; in ogni caso, spetta
alle autorita` di vigilanza il compito di monitorare il volume complessivo dei
rischi transferiti , ed e` quindi auspicabile che queste siano fornite dei mezzi
necessari a tal fine.