Prestazione di diverse tipologie di controllori predittivi per processi lineari multivariabili vincolati

Capitolo 1
Obiettivi ed organizzazione
dell’elaborato
L’obiettivo principale della tesi ` e stato quello di analizzare le prestazioni di
trediverse tipologiedicontrolloripredittiviper processilinearimultivariabili
vincolati e sviluppare un modello di simulazione in simulink.
Per facilitare la comprensione del lavoro, il Capitolo 2 dell’elaborato ` e sta-
to dedicato alla descrizione del controllo predittivo. In particolare vengono
chiarite le modalit` a con cui viene determinata la legge di controllo ovvero
risolvendo un problema di controllo ottimo a orizzonte finito ad ogni passo
di campionamento. Il controllo predittivo infatti disponendo di un modello
esplicito del sistema ottimizza, tramite la risoluzione di un problema di costo
minimo, il comportamento futuro di un processo lungo un orizzonte tempo-
rale, calcolando una sequenza di azioni di controllo.
Al processo generalmente viene fornita solamente la prima delle azione di
controllo calcolate, mentre al passo successivo l’intero calcolo viene ripetuto.
Lo svantaggio di dover ricavare un modello per le previsioni, ma soprattutto
quello di dover risolvere ad ogni passo di campionamento un problema di
costo minimo ` e ampiamente ripagato da numerosi vantaggi come ad esempio
la possibilit` a di controllare processi MIMO non quadrati e vincolati.
Il Capitolo 3 ` e stato dedicato a vari aspetti del controllo predittivo come ad
esempio le basi teoriche che dimostrano come questa tecnica porti alla stabi-
lit` a del sistema in anello chiuso, la relativa struttura, composta nel caso pi` u
generale dai moduli di filtraggio, target calculation, dynamic optimization e
predizione e la possibilit` a di includere il feed forward control per la reiezione
dei disturbi misurabili.
NelCapitolo4vengonoanalizzatetrediversetipologiedicontrolloripredittivi
ovvero
2
null MPC con i moduli di target calculation e dynamic optimization
null MPC senza modulo di target calculation
null MPCconununico moduloper iltargetcalculationedynamicoptimization
Dove il modulo di Target Calculation (TC) ha il compito ad ogni passo di
campionamento di determinare i valori ottimali di stazionario (target) degli
statiedegliingressi, mentreilmodulodiDynamicOptimization(DO)` epen-
sato allo scopo di calcolare le azioni di controllo ottimali capaci di portare il
sistema su quei valori.
L’analisi delle prestazioni ` e stata condotta in ambiente Matlab e pi` u in par-
ticolare attraverso lo schema simulink SimulatoreMPC appositamente rea-
lizzato durante il lavoro di tesi, ed analizzato sia dal punto di vista imple-
mentativo che funzionale all’interno del capitolo Sviluppo di un Modello di
Simulazione in Anello Chiuso con MPC.
Va chiarito che a questo scopo ` e stato scelto un modello simulink, e non ad
esempio una matlab function, per la sua semplicit` a sia di utilizzo che di ge-
stione.
NelcapitoloAnalisieRobustezzadiControlloriPredittivi inAssenza diVin-
coli vengono mostrati, nel caso appunto non vincolato, i passaggi essenziali
tramite i quali ricavare le FdT in forma di stato dei controllori predittivi in
esame.
Tale calcolo ` e importante non solo per rendere pi` u rapida l’esecuzione degli
algoritmi di controllo nel caso uncostrained, ma soprattutto nell’ambito di
uno studio di robustezza visto che la quasi totalit` a della teoria di controllo
robusto si basa sulla linearit` a sia del controllo che del processo in condizioni
nominali.
Nel capitolo Simulazioni vengono analizzate, sulla base dei risultati ottenuti
in simulazione, le prestazioni degli algoritmi predittivi in analisi, mentre nel
capitolo Conclusioni vengono riassunti i risultati del lavoro di tesi.
Infine in Appendice A viene riportata una breve descrizione dello Shell hea-
vy oil fractionator ovvero il sistema utilizzato per tutte le simulazioni, alla
scopo dichiarire in particolarei significati fisici delle varie grandezze in gioco
ovvero delle variabili manipolate, delle variabili controllate, dei disturbi etc.
3
Capitolo 2
Model Predictive Control:
premessa teorica
2.1 Introduzione
Come suggerisce il suo nome il Model Predictive Control ` e una tecnica di
controllo che consente di automatizzare un impianto attraverso la combina-
zione di una predizione ed una strategia di controllo.
InparticolareadogniistantedicampionamentoilMPCdisponendodiunmo-
dello esplicito del sistema, ottimizza, attraverso la minimizzazione di un’op-
portuna funzione di costo, il comportamento futuro di un processo lungo un
orizzonte temporale, calcolando una sequenza di valori delle variabili di in-
gresso chiamate anche variabili manipolabili (MV).
Generalmente per` o soltanto la prima delle azioni di controllo calcolate viene
inviata effettivamente all’impianto, mentre al tempo di campionamento suc-
cessivo, l’intero calcolo viene ripetuto.
La legge di controllo viene determinata perci` o risolvendo ad ogni passo di
campionamento un problema di controllo ottimo a orizzonte finito. Per tale
motivo il controllo predittivo si distingue dalle convenzionali metodologie di
controllo nelle quali si utilizza un controllore pre-calcolato.
Inoltre tale tecnica di controllo si differenzia dalle altre per la gestione dei
vincoli sia sulle variabili manipolate (MV) che sulle (CV): ci` o consente di
tener di conto gi` a nel calcolo dell’azioni di controllo dei limiti sull’attuazione
e di eventuali saturazioni sulle uscite.
In letteratura sono presenti vari algoritmi MPC, che differiscono tra loro
principalmente per il tipo di modello utilizzato, per le variabili di costo im-
piegate e per la modellazione matematica adottata; tutti gli algoritmi MPC
4
sono per` o accomunati dalla strategia di controllo sopra indicata.
L’MPC` e finora l’unica tecnica di controllo avanzata che ha riscosso un note-
vole successo in ambiente industriale, essendo stata applicata fin dall’inizio
per migliorare la gestione ed il controllo di un gran numero di processi che
spaziano dagli impianti chimici e petroliferi alle applicazioni robotiche.
Tale consenso ha creato come situazione anomala il fatto che, nei primi anni
di utilizzo, l’MPC sia stato usato senza che vi fossero dei risultati teorici va-
lidi che assicurassero almeno la stabilit` a del sistema a ciclo chiuso, requisito
ritenuto a ragione indispensabile nel mondo accademico.
Ci` o ha creato un gap notevole tra la ricerca applicata al controllo e l’utilizzo
pratico,chesolamentenegliultimianni,inseguitoalleseguentipubblicazioni,
` e stato colmato:
null Stabilit` anominale [KeerthiandGilbert, 1988,MayneandMichalska, 1990,
Rawlings and Muske, 1993]
null Ottimalit` a in anello chiuso [Chmielewski and Manousiouthakis, 1996, Sco-
kaert and Rawlings, 1998]
null Problematiche di ottimizzazione numerica [Rao et al., 1998, Bemporad et
al., 2002]
null Offset/disturbi [Muske and Badgwell, 2002, Pannocchia and Rawlings,
2003]
null Robustezza [Kothare et al., 1996, Kouvaritakis et al., 2000, Pannocchia,
2004]
Oggi infatti ci` o che consente alla grande industria di essere protagonista nel
mercato mondiale ` e la capacit` a di riuscire a produrre prodotti con qualit` a
sempre migliore sfruttando al massimo gli impianti esistenti.
Si pensi ad esempio all’industria petrolifera, dove la richiesta di prodotti con
qualit` achimicofisichesempremiglioriaumentanotevolmenteanchenelbreve
periodo costringendo le grandi societ` a di refining ad ottimizzare la gestione
degli impianti con notevoli investimenti.
Nuovi investimenti non mirati tanto a modificare gli impianti esistenti quan-
to ad ottimizzarli.
Da ci` o si intuisce immediatamente che per ottimizzare la gestione di un pro-
cesso vi ` e la necessit` a di sviluppare uno strumento di controllo che sia in
grado di sfruttare al massimo l’impianto mantenendo le specifiche di qualit` a
dei prodotti. Il controllo predittivo ` e senza dubbio la tecnica di controllo che
riesce meglio a soddisfare queste esigenze.
5
2.2 Vantaggi Svantaggi
I vantaggi del controllo predittivo possono essere cos` ı puntualizzati:
null pu` o essere utilizzato per risolvere problemi di controllo per iquali la sintesi
a priori (off-line) di una opportuna legge di controllo risulta diffcile se
non addirittura impossibile;
null attraverso di esso ` e possibile trattareun insieme molto vario di problemi di
controllo: daiprocessiSISOlacuidinamica` erelativamentesemplice, a
sistemi pi` u complicati, MIMO, con ritardi finiti e/o a fase non minima;
null l’MPC permette di controllare processi soggetti a vincoli sia sugli ingressi
che sulle uscite, fornendo ad ogni passo di campionamento la soluzione
ottima del problema di controllo vincolato considerato;
null risultamoltoutilepercontrollareprocessiperiodici,soprattuttoinrobotica
dove spesso il riferimento futuro ` e noto e periodico;
null applicabilit` a a schemi di feed forward, nel caso in cui alcuni disturbi risul-
tino misurabili.
Per quanto riguarda gli svantaggi va ricordato che il vero tallone d’Achille
di questa tecnica risiede nel fatto di avere un’approccio di controllo on-line,
ed in particolare nel dover risolvere una nuova ottimizzazione ad ogni istante
di campionamento. Per tale motivo il controllo predittivo ` e ad oggi appli-
cato solamente in quei processi la cui dinamica sia sufficientemente lenta da
rendere trascurabile il tempo impiegato dall’algoritmo di ottimizzazione nel
determinare l’ingresso ottimo.
Inoltre l’implementazione di una legge di controllo MPC richiede l’utilizzo di
strumenti di calcolo ben pi` u complessi (e costosi) di quanto si possa avere,
per esempio, nel caso si adotti dei semplici controllori PID.
Come ` e facile intuire, tali limitazioni assumono un carattere sempre me-
no restrittivo col procedere dello sviluppo tecnologico ed in particolare con
l’abbassamento dei tempi di calcolo in seguito all’introduzione di nuove tec-
nologie.
Altrisvantaggiche possonoessere imputatiaquesta tecnica dicontrollosono
i seguenti:
null le strategie MPC sono molto differenti dalle strategie classiche di controllo
multivariabile e sono poco familiari per il personale tecnico;
6
null la necessit` a di dover disporre di un modello dinamico del processo com-
porta una fase di elaborazione a partire dai dati dell’impianto che pu` o
richiedere un impegno di alcune settimane;
null la non disponibilit` a del modello del processo spesso comporta l’uso di
modelli empirici, validi solo con riferimento alle condizioni operative
considerate durante le relative prove di identificazione.
In conlusione va ricordato che poich´ e l’MPC ` e largamente usato e le sue
applicazioni sono sempre crescenti ` e opinione comune che i suoi vantaggi
superino ampiamente gli svantaggi.
7
2.3 Caratteristiche Principali del MPC
In questo paragrafo vengono analizzati gli aspetti pi` u caratteristici del con-
trollo predittivo allo scopo di sottolineare le grandi potenzialit` a d’impiego di
questa tecnica.
2.3.1 MPC nel caso MIMO
Una caratteristica del controllo predittivo riguarda la semplicit` a con cui pos-
sono essere gestiti i sistemi multivariabili anche nel caso di sistemi non qua-
drati in cui sia presente un elevato grado di interazione fra le variabili di
ingresso e quelle di uscita.
Ci` o` epossibile inquanto icontrollori MPC hanno a loro disposizione, a diffe-
renza di quanto accade con altre tecniche di controllo (es. PID), un modello
del sistema controllato e dunque posseggono un maggior quantitativo di in-
formazioni che consente loro di raggiungere performance migliori.
L’esperienza ha poi mostrato che il controllo MPC consente di ottenere una
buona larghezza di banda, buoni margini di fase e di guadagno (almeno per
il caso nominale) anche nel caso in cui vi siano forti interazioni tra ingressi
ed uscite.
2.3.2 Orizzonte di Predizione e Orizzonte di Controllo
Come gi` a sottolineato in precedenza, una delle caratteristiche principali del
controllo MPC consiste nel considerare l’implicazione futura delle azioni di
controllo non tanto in termini di dinamica in ciclo chiuso, come accade nei
controlli classici, ma sulla base del calcolo esplicito del comportamento pre-
detto del processo su un determinato orizzonte temporale.
Ci` o consente di restringere la scelta delle traiettorie di ingresso possibili a
quelle che non portano difficolt` a nel futuro, scelta che l’algoritmo pu` o sem-
pre modificare nel momento in cui vengano raccolte nuove informazioni.
Si pensi ad esempio a cosa ` e necessario fare quando si vuole attraversare una
strada in sicurezza: non` e sufficente che non ci siano macchine tra la persona
e l’altro lato della via.
E’ necessario infatti stare attenti anche durante l’attraversamento in modo
tale da correggere il nostro percorso ed evitare pericoli improvvisi.
Inquestocontestogiocadunqueunruolofondamentalel’aggiornamentodelle
previsioni con i nuovi dati che via via vengono raccolti e che possono farci
propendere per un cambiamento di traiettoria. In particolare queste traiet-
torie vengono calcolate lungo un orizzonte temporale che prende il nome di
8
orizzonte di predizione costituito da N campioni ed il cui valore rappresenta
un vero e proprio parametro di tuning.
Figura 2.1: Orizzonte di Predizione
Unaltro importante parametro di tuning` erappresentato dalla lunghezza
in campioni L dell’orizzonte di controllo lungo il quale il controllo MPC
calcola la sequenza di azioni di controllo future.
Figura 2.2: Orizzonte di Controllo
Ovviamente al crescere di N e L migliorano le prestazioni del controllo a
scapito per` odiunmaggiorcosto computazionaledovutoaicalcoliaggiuntivi.
9
2.3.3 Le previsioni sono basate su un modello
Allo scopo di predire il comportamento futuro delle uscite di un processo ` e
necessario disporre di un opportuno modello che nel seguito considereremo
sempre in forma di stato.
Per la relativa realizzazione non ` e necessario che si modelli tutta la fisica, la
chimica ed il comportamento interno. Va ricordato infatti che normalmente
tutti questi dettagli vengono presi in considerazione solo se esplicitamente
richiesto.
Una regola di base dell’identificazione infatti consiste nell’utilizzare un mo-
dello che garantisca un buon equilibrio tra semplicit` a e accuratezza nelle
previsioni.
2.3.4 Performance Ottimale o di Sicurezza
La possibilit` a di controllare un processo in modo veramente accurato non
pu` o necessariamente prescindere dalla conoscenza di un relativo modello al-
trettanto accurato.
Ad esempio quando si sta imparando a giocarea tennis la mente ha solamen-
te un modello impreciso riguardo a come i movimenti del braccio influiscono
sulla traiettoria della pallina.
Di conseguenza i risultati non potranno che essere modesti. Nel momento
in cui viene fatta un po’ di pratica, il modello interno diventa pi` u accurato
e di qui la qualit` a del gioco tender` a di certo a migliorare permettendo di
aumentare la complessit` a dei colpi e dunque delle strategie di controllo da
adottare.
Se dunque per un novizio l’obiettivo principale` e quello di tenere in campo la
pallina, un giocatore pi` uesperto, avendo a disposizione una buona conoscen-
za dei propri movimenti, ha la possibilit` a di adottare strategie di controllo
pi` u complesse basate su uno o pi` u colpi in avanti. Strategie che unite ad
una maggiore precisione nei colpi permetteranno di costruire aperture con
cui vincere la partita.
La stessa cosa vale per l’MPC. E’ possibile dunque controllare tanto pi` u
precisamente un sistema quanto pi` u ` e alta la qualit` a del relativo modello
in nostro possesso. Se si vuole infatti un controllore estremamente perfor-
mante` econseguentemente necessario disporrediunmodelloparticolarmente
accurato.
10
2.3.5 Tuning
Da sempre sia in ambito accademico che industriale c’` e stato un forte inte-
resse nel tuning dei controllori per assicurare sia la stabilit` a del sistema che
ovviamente il raggiungimento delle performance desiderate.
Nel momento in cui si ` e scelta la giusta funzione di costo ` e necessario attra-
verso il tuning dei parametri prima di tutto garantire la stabilit` a ed inoltre
trovare un giusto compromesso tra performance nei diversi loop, buona sen-
sitivit` a ed anche un giusto bilanciamento tra velocit` a di risposta ed input
activity.
Classicamente questi trade off vengono definiti attraverso opportune matrici
di pesi, e molto spesso mettendo differente enfasi sulle performance di loop
diversi in base alla loro importanza.
Poich` eogniprocessohacaratteristichediverseilprocessodituningdeveesse-
re necessariamente gestito in base alle caratteristiche particolari del sistema
in esame.
11
2.3.6 Formulazione dei Vincoli
Uno dei punti di forza del controllo predittivo riguarda la possibilit` a di for-
mulare vincoli attraverso i quali tenere in considerazione gi` a nel calcolo delle
azioni di controllo di molti aspetti pratici come ad esempio lo sono i limiti
sull’attuazione e le saturazioni sulle uscite.
Esistono varie tipologie di vincolo comunemente utilizzate nella tecnologia
MPC industriale, anche se in questo lavoro si distingue solamente tra vincoli
hard e soft.
I vincoli hard sono quelli che non devono essere mai violati mentre i vincoli
soft invece, sono quelli che possono essere violati e la cui violazione ` e gene-
ralmente minimizzata utilizzando una penalizzazione quadratica all’interno
della funzione obiettivo.
Figura 2.3: Vincoli hard (sinistra) e soft (destra)
I vincoli normalmente vengono applicati sul valore assunto dalle variabili
di controllo e da quelle manipolabili.
Inoltre` e spesso opportuno utilizzarli anche per contrastare variazioni troppo
aggressive delle variabili manipolate, soprattutto nell’ambito delle applica-
zioni servomeccaniche allo scopo di preservarne l’integrit` a.
Va sottolineato che i vincoli hard sulle uscite possono provocare infeasibility,
ovvero l’irresolubilit` a del problema di ottimizzazione.
12
Capitolo 3
Aspetti Essenziali del Controllo
Predittivo
In questo capitolo vengono analizzati alcuni aspetti essenziali rigurdanti il
controllo predittivo riguardanti la struttura, l’integrazione del feed forward
control, la stabilit` a ed i vantaggi/svantaggi di una formulazione QP o LP dei
problemi di costo minimo su cui questa tecnica di controllo si basa.
Si introdurr` a inoltre una notazione a cui si far` a riferimento sia nei capitoli
seguenti che nel codice di Simulatore MPC, in base alla quale si indica con
m il numero delle variabili manipolate (MV), con p il numero delle variabili
controllate (CV), con n il numero degli stati dell’impianto, con n
c
il numero
delle CV controllate ad un set-point e con n
b
il numero delle MV bloccate.
13
3.1 Struttura del Controllo Predittivo
In questo capitolo viene analizzata in maggior dettaglio la struttura di uno
schema di controllo predittivo. In figura 3.1 ne viene mostrata una schema-
tizzazione relativa al caso pi` u generale
z
1
z
1
DYNAMIC OPTIMIZATION
Yc
TARGET CALCULATION
PREDIZIONE
PLANT
FILTRAGGIO
xk|k
xk|k
xk|k
dk|k
dk|k
dk|k
yk
yk
yk
dk+1|k
dk|k- 1
xk+1|k
xk|k- 1
yc
w0
us
uk
uk
Figura 3.1: Struttura impianto di controllo MPC
La struttura di un controllore predittivo ` e costituita essenzialmente dai
moduli di
null Filtraggio che ha il compito di stimare lo stato corrente x
k|k
ed il disturbo
integrale d
k|k
da sommare all’uscita predetta
null Target Calculation che ad ogni passo di campionamento ha il compito di
calcolare i valori ottimali di stazionario degli statix
s
e degli ingressi u
s
null Dynamic Optimization che calcola ad ogni passo le azioni di controllo ot-
timali su un orizzonte temporale{u
j
}
j=N−1
j=k
per portare il sistema ai
target
null Predittore che effettua la predizione per il passo di campionamento succes-
sivo dello stato x
k+1|k
e del disturbo integrale d
k+1|k
Nei paragrafi seguenti verranno analizzati nel dettaglio i moduli precedente-
mente elencati.
14
3.1.1 Filtraggio
All’inizio di ogni passo di campionamento il controllore stima lo stato cor-
rente dell’impianto. Una conoscenza accurata dello stato migliora la qualit` a
della previsione e di conseguenza le performance del controllore.
Se tutti gli stati del sistema sono misurati il problema della stima ` e relati-
vamente semplice in quanto il problema si riconduce banalmente alla misura
degli effetti del rumore.
Purtroppo per` o normalmente le grandezze interne di un generico impianto
non sono misurate ed il controllore ` e costretto a stimare il loro valore, oltre
a quello del disturbo, sulla base delle misure disponibili.
Per capire il procedimento seguito per stimare la misura corrente dello stato
x
k|k
e del disturbo integrale d
k|k
, nel caso in cui non sia presente per sempli-
cit` a il disturbo misurato, ` e necessario ricordare che il modello del processo
utilizzato dal controllore ` e un modello in variabili di stato, lineare, discreto
e tempo-invariante:
x
k+1
=Ax
k
+Bu
k
+B
d
d
k
(3.1a)
y
k
=Cx
k
+D
d
d
k
(3.1b)
in cui x
k
∈R
n
, u
k
∈R
m
, y
k
∈R
p
, d
k
∈R
p
, A∈R
n×n
, B∈R
n×m
, C∈R
p×n
,
B
d
∈R
n×p
, D
d
∈R
p×p
.
Da notare che come ipotesi iniziali si assume che il sistema sia stabilizzabile
e rivelabile.
La stabilizzabilit` a di un sistema comporta la possibilit` a di portare gli stati,
e quindi le uscite, asintoticamente a zero, partendo da un valore non nullo di
questi.
La rivelabilit` a invece implica la rintracciabilit` a degli stati del sistema che
fannotendereazerol’erroredipredizioneequindilapossibilit` adifartendere
il valore stimato dell’uscita al valore misurato.
Inparticolareilmodulodifiltraggioforniscelastimadeglistatiedeldisturbo
integrale al passo k, basandosi sulla stima di queste stesse grandezze fatte al
passo precedente ovvero x
k|k−1
e d
k|k−1
.
Indicando con e
k
l’errore nella predizione dell’uscita al tempo k
1
e
k
=y
k
−(Cx
k|k−1
+D
d
d
k|k−1
) (3.2)
gli stati ed il disturbo integrale vengono stimati come segue:
null
x
k|k
d
k|k
null
=
null
x
k|k−1
d
k|k−1
null
+
null
L
x
L
d
null
e
k
(3.3)
1
[Cx
k|k−1
+D
d
d
k|k−1
] rappresenta la predizione effettuata al tempo (k−1) delle uscite
al tempo k.
15