Politica dei dividendi ottimale in un modello strutturale di rischio di credito

1 Introduzione
In questa tesi tenteremo di dare un contributo alle domande che pi` u spesso ci
si pone quando si parla di modelli probabilistici di tipo aziendale, aiutandoci
con un modello di Yann Braouezec e Charles Albert Lehalle. Le domande in
questione sono:
1.Qual’` e l’impatto della liquidit` a aziendale nel valore di un’azienda?
2.Come varia il valore di un’azienda al variare della politica adottata sui
dividendi?
3.Qual’` e l’impattodella volatilit` a dei guadagni(cash flows) su tutto questo?
Le nostre scoperte quando possibile saranno dimostrate, vedremo dei criteri uti-
li per certificare rapidamente che un’azienda non pu` o fallire, ne calcoleremo il
valore con e senza tassazione, troveremo per alcuni casi la politica dei dividendi
ottimale ed altri importanti risultati riguardanti il tempo di fallimento e come
questo influenza il valore di un’azienda.
Di due importanti problemi presenteremo risultati computazionali sul modello
per congetturare dati alla mano su tutto ci` o che ancora non ` e stato dimostrato.
Ricaveremo in questo modo risultati qualitativi importanti sul valore dell’azien-
da quando gli azionisti vogliono massimizzare il proprio profitto a scapito dei
creditori.
2
2 Concetti base del modello
Cominciamo delineando quelli che sono i concetti di base presenti nel nostro
modello.
Chiameremosolvibilit` a(solvency) la capacit` a dell’azienda di restituire com-
pletamente i debiti contratti con i creditori, sia grazie alla propria liquidit` a, sia
grazie alla vendita dei propri fattori (asset) produttivi.
Chiameremoliquidit` a(liquidity) la capacit` a dell’azienda di pagare le cedole
dei debiti contratti con i creditori solo grazie al proprio denaro posseduto.
Per esempio un’azienda in grosse difficolt` a finanziarie dovute magari ad una
grossa multa ricevuta non ` e liquida, ma magari, grazie alla vendita di qualche
immobile o brevetto, pu` o facilmente ripagare i propri creditori e dunque ` e sol-
vibile, mentre un’azienda con grosse vendite e importanti commesse potrebbe
essere molto liquida, ma se avesse contratto un grande debito per poter avviare
l’azienda potrebbe non essere in grado di restituirlo ad oggi, neanche vendendo
tutte le sue propriet` a.
ChiameremoVlavariabiledistatocherappresenter` ailvaloredell’aziendasenza
debiti: per noi sar` a il valore degli asset produttivi.
Per alcuni modelli questa` e l’unica variabile economica, e si ha il fallimento (de-
fault) quando il valore diVdiventa troppo piccolo, supera una certa barriera
di solvibilit` a (solvency trigger), un limite deterministico o stocastico superato il
quale l’azienda fallisce.
Per altri modelli, tra cui quello che andremo a trattare, il valore degli asset
produttivi ` e la somma dei valori attualizzati dei futuri guadagni, guadagni che
per` o non vengono tutti distribuiti agli azionisti o ai creditori, ma possono essere
destinati in una certa misura ad un conto bancario con un rendimento senza
rischi (risk free rate), che serve a pagare le cedole dei debiti nei periodi pi` u dif-
ficili per l’azienda, quando senza tale riserva l’azienda si troverebbe in carenza
di liquidit` a.
Il modello che andiamo a trattare ` e a tempo discreto, infatti dal nostro punto
di vista l’azienda alla fine di ogni periodo di durataδtsvolge tutte le operazioni
finanziarie e fiscali del periodo stesso.
Nel caso non ci siano abbastanza soldi in azienda per pagare i debiti non ci sono
aumenti di capitale n´ e qualsivoglia tipo di salvataggio: l’azienda fallisce e di
conseguenza viene messa in liquidazione.
Parliamo ora di quelle che sono le assunzioni con cui lavoreremo nel nostro
modello, cio` e i punti cardine:
1.Ilmercato` eliberodaarbitraggi,inoltrel’informazione` esimmetrica. Que-
stofas` ıche,perunnototeorema,esistaunamisuradiprobabilit` aneutrale
al rischio, e cio` e una misura tale che il valore attualizzato (scontato) del
sottostante ` e una martingala. Poich´ e l’informazione ` e simmetrica, sia gli
azionisti che i creditori conoscono le possibili variazioni di prezzo ed i
possibili rischi legati alla nostra azienda ed ai propri guadagni.
2.La politica degli investimenti aziendali ` e fissata sin dall’inizio e non pu` o
essere modificata: gli asset produttivi sono sempre gli stessi, producono
sempre la stessa quantit` a che viene venduta al prezzoP. In pratica con
questa assunzione non ci possono essere ulteriori prestiti o aumenti di
capitale per nessun motivo, n´ e per pagare debiti, n´ e per comprare asset.
3
3.Quando arriva il momento di pagare le cedole e l’azienda non possiede il
denaronecessarioapagarle, oppurearrivailmomentodipagareilcapitale
del prestito, l’azienda viene liquidata, il denaro ottenuto dalla liquidazio-
ne serve a risarcire i creditori. Nel caso in cui la liquidazione frutti pi` u
del debito con i creditori o questo sia gi` a stato pagato grazie all’EBIT
(acronimo che sta per Earnings Before Interests and Taxes, che significa
il guadagno dell’azienda prima del pagamento delle tasse e delle cedole) e
al conto bancario dell’azienda, i soldi in sovrappi` u vengono distribuiti agli
azionisti.
4.La politica sui dividendi aziendali viene scelta prima di chiedere il presti-
to. Questo ` e l’unico punto che metteremo in discussione in un capitolo
dedicato e vedremo appunto nel caso in cui tale politica sia programmata
dopo il prestito quale sia la migliore per l’azienda.
4
3 Il modello
3.1 Guadagni, tasse, dividendi e conto dell’azienda
Consideriamo un intervallo di tempo [0,T]divisoinJintervalli di ampiezzaδt.
La notazione per ogni variabile dipendente dal tempo sar` a, per semplicit` a, con
indicejintero piuttosto chejδt. Chiamiamoril tasso di interesse privo di
rischioe lo supponiamo uguale per ognij.
Sia (Ω,F,P) lo spazio di probabilit` a con:
Ω={ω=(z,...,z)|z=±1∀i=1,...,J}
1Ji
F=P(Ω)
−J
P(A)=2|A|conA∈Fe|A|la cardinalit` a diA.
Definiamo orazcome una variabile aleatoria, conj=1,...,J,dovez(ω)` e
jj
il valore delj-esimo elemento del vettoreω,z` e dunque tale cheP(z= 1) =
jj
1
P(z=−1) =.
j
2
Scegliamo perPun processo binomiale, motivo per cui abbiamo definito in
quella manieraΩ. L’evoluzione diPsar` a data da:
j
P=P(1+µ)(1)
nn−1n
dove, seguendo il modello binomiale, abbiamo cheµ` e una variabile aleatoria
n
t.c.:
usez=1
n
1+µ=
n
dsez=−1
n
Dunque possiamo supporre nel nostro modello, per come abbiamo definitoP,
1
che siaP(1+µ=u)=p=P(1+µ=d)=.
nn
2
Definiamo ora{F}come la filtrazione naturale associata agliz.
jj=1,...,Jj
Poniamo dunque:
√
µδt+σδt
u=e
√
µδt−σδt
d=e
√
rδt
per evitare arbitraggi, si dovr` a avere ched<e<udunqueσ>|r−µδt|.
Chiameremoσlavolatilit` adiP.
Supponiamo per semplicit` a che non vi siano costi di produzione e dunque che
l’EBIT al tempojsia proprioP.
j
Definiamo inoltreQcome lamisura martingala equivalenteassociata al
prezzoP, essa sar` a dunque definita pi` u esplicitamente da:
j
1+r−d
Q(1+µ=u)=1−Q(1+µ=d)=q=
nn
u−d
Definiamo oraCcome lacedoladel debito che l’azienda paga alla fine di ogni
intervallo di tempoδt. Supponiamo ora che la tassazione del paese in cui si
trova la nostra azienda preveda una flat tax (assunzione perfettamente in linea
1
con la realt` a italiana dell’IRES, la tassa sulle imprese) e siaτla sua aliquota.
c
Allora se chiamiamoRil guadagno al netto delle tasse abbiamo che:
j
1
L’IRES, acronimo di Imposta sul Reddito delle Societ` a ` e una imposta proporzionale e
personale con aliquota del 27,5% avente come oggetto il reddito percepito da societ` a, enti,
ecc...
5
￿
R=(P−C)(1−τχ)(2)
jjcP>C
j
doveχ` e la funzione indicatrice che vale 1 seP>C, 0 altrimenti, visto
P>Cj
j
che le tasse si pagano solo se i guadagni sono maggiori della cedola da pagare.
Supponiamo ora che la politica dei dividendi sia definita da un certoα∈[0,1]
costante per ogni intervalloj, tale che, ogni volta cheR>0 si abbia:
j
D:=αR(3)
jj
doveD` e il dividendo staccato agli azionisti.
j
Il restante (1−α)Rviene depositato nel conto dell’azienda e ad ogni intervallo
j
di tempo tale conto cresce al tasso d’interesserprivo di rischio. Questo conto,
come gi` a accennato in precedenza, serve a pagare la differenza tra la cedola e
Pnel caso essa fosse positiva, cio` eP<C, e dunque ad evitare un prematuro
jj
fallimento alla nostra impresa. In questo casoD= 0 e dunque non si distri-
j
buiscono dividendi. Nel caso in cui anche il conto sia troppo basso per poter
pagare i debiti si passa al fallimento e la societ` a viene liquidata.
Troviamo ora l’entit` a dei soldi depositati in questo conto all’istantejela
chiamiamoL:
j
rδt
L=Le+R−D(4)
jj−1jj
Inoltre supponiamoL= 0. Ora sostituendo tra i risultati trovati in (2) e (3)
0
otteniamo che
D=αRχ=α(P−C)(1−τ)χ(5)
jjP>CjcP>C
jj
e dunque per (4) e (5)
rδt
L=Le+(P−C)(1−(τ+α−ατ)χ)(6)
jj−1jccP>C
j
Dimostriamo subito un lemma che ci sar` a utile nelle dimostrazioni in futuro:
3.1 Lemma.
K−1
rδtr(K−j)δt
Le=e(P−C)(1−(τ+α−ατ)χ)(7)
K−1jccP>C
j
j=1
conK=1...,J.
Dimostrazione.Dimostriamo il lemma dato per induzione: perK= 1 ` e vero,
infattiL= 0, inoltre se ` e vero perL, allora perLabbiamo per la (6)
0K−1K
che:
rδt
L=Le+(P−C)(1−(τ+α−ατ)χ)=
KK−1KccP>C
K
K−1
r(K−j)δt
e(P−C)(1−(τ+α−ατ)χ)+
(8)
jccP>C
j
j=1
(P−C)(1−(τ+α−ατ)χ)
jccP>C
j
per l’ipotesi induttiva e dunque:
K
rδtr(K+1−j)δt
Le=e(P−C)(1−(τ+α−ατ)χ)
KjccP>C
j
j=1
che dunque dimostra la nostra tesi.
6
￿￿￿