Oscillazioni quantistiche su background di shwarzschild con costante cosmologica

 2
I.1.1 Azione per il campo gravitazionale. 
L’azione per il campo gravitazionale si scrive in genere (in assenza di costante cosmologica) 
A   
1
16 ΣG
Rd Π
U
 ≥
  
1
16 ΣG
R(x)   g(x)d
4
x
U
 ≥
 
Equazione I.1-1 
Quest’espressione ha il pregio della covarianza, ma contiene derivate seconde, nelle quali è 
lineare. Esse si possono, in virtù del teorema di Gauss, scaricare ai bordi. Se tuttavia, come 
nel nostro caso, il campo non garantisce di annullarsi al bordo, dovremo sottrarre a 
quell’espressione un termine di quadri divergenza
1
, ottenendo  
A   
1
16 ΣG
d
4
x   gR   ω
 Π
  gw
 Π
    >  ≅
U
 ≥
w
 Π
 {g
 ∆ Ε
 ∗
 ∆ Ε
 Π
 g
 ∆ Π
 ∗
 ∆ Ε
 Ε
 
Equazione I.1-2 
O, in forma esplicita, 
 Κ Ο Π
 Κ Κ Ο Ο Π Π
 Ο Κ Π
 Σ
 χχ χ
 χχχ
 ω ω    
 ≥
gGggxd
G
A
U
4
16
1
  
con 
 Κ Ο Ο Κ Π Π
 Ο Κ Κ Π Π Ο Κ Κ Ο Π Ο Π Κ Κ Ο Ο Π Π Κ Κ Ο Ο Π Π
 χχ χ
 χχχ χχ χ χ χ χ χχχ
  
       {
ggg
gggggggggG
4
1
                 
2
1
2
1
4
1
 
Equazione I.1-3 
                                                 
1
 Per esempio [1] Cap. XI § 93 
 3
Quest’ultima espressione non contiene derivate seconde: variandola si ottengono 
direttamente le equazioni di Einstein, senza scaricare termini al bordo. Da questo punto di 
vista si presta bene alla nostra trattazione. Sostituendovi la decomposizione ADM
2
 dello 
spazio tempo 
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♦
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣     
  
3
)3(
2
1
321
)3(2
)4(
N
gN
N
NNNgNNN
g
ij
ij
ji
 Π Θ
 
Equazione I.1-4 
 
k
ijk
ij
jiij
gg
N
N
NNNgN
N
NNN
g
 Γ
 Π Θ
  
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♦
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣
  
  
  
)3()3(
2
3
2)3(2
1
321
)4(
1
1
 
Equazione I.1-5 
 - dove 
jk
g
)3(
rappresenta la metrica tridimensionale indotta sulle ipersuperfici space-like 
che foliano lo spazio tempo e
i
NN , sono detti rispettivamente Lapse Function, and Shift 
Vector - si ottiene 
    
 ≥
    
U
VTxdA
4
 
Equazione I.1-6 
                                                 
2
 Vedi per esempio [2],[3],[4] 
 4
dove T soltanto contiene le derivate temporali di 
jk
g
)3(
(che da ora in poi scriveremo 
solo
jk
g ). O In forma esplicita, 
    
  
mlnl
m
m
m
mnlm
m
nlnl
lnnlllnnlnnl,
)(
nl
nl
)(lnnl
lnnl,
)(
NgNgNgNg
N
g
G
T
gggg
N
g
G
T
gTggTT
 ω   ω   ω   ω  
    
      
 χ χ χ χ χ χ
 χ χ
 χ χ
21ln
16
1
216
1
(...)
2
1
)1(
2
12
 Σ
 Σ
con
&&&
 
Equazione I.1-7 
Ricordiamo che con g si indica il determinante della metrica spaziale, mentre 
vale
    
gNg   
4
.  
Vediamo che non compaiono derivate temporali di N e
m
N , che pertanto non 
rappresentano variabili dinamiche, ma solo moltiplicatori di Lagrange. Il termine indicato 
con (…), nel secondo membro della prima equazione, corrisponde alla somma di una 
derivata totale nel tempo più un termine di divergenza spaziale. La derivata totale è data da 
 ÷
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣
 ω  
 ÷
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣
 ω
dt
dN
N
g
N
N
g
dt
d
m
m
l
l
è bordoal  termine il mentre  
Sia ora il dominio U costituito da un ipercilindro avente per basi due delle superfici space-
like della decomposizione ADM e per generatrici le linee vettoriali del campo 
 ∆
t ; allora i 
due termini cui sopra sono costanti e non entrano nella variazione dell’azione. L’argomento 
della derivata temporale contiene, infatti, solo derivate spaziali, che sono assegnate sul 
bordo time-like, mentre l’argomento della divergenza contiene solo derivate temporali, che 
sono assegnate sui bordi space-like. 
 5
Sostituendo nell’Equazione I.1-3la decomposizione ADM si trova, con laboriosi calcoli,  
V     Ng
( 3)
R   ω
 χ  m
Ng(g
ml
g
 χ  m n
  g
m  χ  m
g
nl
) ω
m
g
nl > ≅⊥ 
  
1
2
T
(1)
lm
A
..
lm  χ  l χ  m T
(1)
 χ  l χ  m 
A
..
lm  χ  l χ  m {16 ΣG
2N
g
g
n  χ  n
g
l  χ  l
 
1
2
g
nl
g
 χ  n  χ  l
 ♣  
 ♥  
 ♦  
 •  
 ≠  
÷  
 
Equazione I.1-8 
Osserviamo che 
mllm
∆
 χ χ
rappresenta l’inverso di 
lnnl,
)(
T
 χ χ
2
nello spazio delle matrici simmetriche 
di rango tre. Inoltre, nell’espressione di V, compare già il termine di divergenza spaziale che 
darà luogo all’energia di ADM. 
I.1.2 Hamiltoniana per il campo gravitazionale; calcolo di 
ADM
E. 
Dall’ Equazione I.1-7 si trova subito il momento coniugato 
nl
)(ln
lnnl,
)(
nl
TgT
12
    
 χ χ
 χ χ
& Σ  
Equazione I.1-9 
e quindi la densità di Hamiltoniana 
VT∆TT∆∆
ln
)(lnnl
nl
)(
ln
)(lnnl
nlln
lnnl
nl
        
 χ χ
 χ χ
 χ χ
 χ χ
 χ χ
 χ χ 1,11,,
2
1
2
1
 ΣΣ ΣH  
Equazione I.1-10 
Sostituendo dalle precedenti si ottiene finalmente 
 6
    
    
   
 ≥
 ≥
 ≥ ≥
 6 ω
 χ χ
 χ
 6 ω
 χ χ
 χ
 ω   ω  
 ω   {
 ÷
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣
    {
  
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♥
 ♣
   {
       
m
m
mm
m
m
m
nlm
nlmmnmml
mADM
lj
l
j
l
l
l
lnl
nl
adm
U
j
j
U
NNNN
N
g
dS
G
ggggggNdS
G
E
g
gP
R
G
g
g
G
P
EPNNPxdxdH
2
)(
)3(
)3(
)(
33
16
1
16
1
2
162
116
con
 Σ
 Σ
 Σ
 Σ
 Σ Σ Σ Σ
 Σ
H
 
Equazione I.1-11 
dove 
l
  
)3(
rappresenta la derivata covariante rispetto alla metrica tridimensionale 
ij
g . 
Mentre per P e
j
P abbiamo ritrovato semplicemente la consueta espressione per 
superhamiltoniana e supermomento di ADM
3
, la 
)( ADM
E  da noi calcolata rappresenta una 
generalizzazione rispetto al caso di spazio-tempo asintoticamente piatto. Osserviamo da 
principio che il secondo termine dipende solo dal valore di 
nl
g sul bordo. Si consideri nel 
generico punto della superficie una terna ortogonale con asse 1 normale alla superficie 
stessa: per 2,1  m  le derivate parziali sono assegnate sulla superficie, mentre l’ unico 
termine non assegnato è quello relativo ad 1  m , che è identicamente nullo. 
Se ci rifacciamo al caso asintoticamente piatto, la nostra scrittura di 
)(adm
E si riduce alla 
solita: per  φ νR , si ha 1,  οgN  mentre 
ijij
g  Γ ο e si ottiene dall’Equazione I.1-11  la 
più familiare 
    
 ≥
 6 ω
 ω  ω  
llmlmlmADM
hhdS
G
E
 Σ16
1
)(
 
Equazione I.1-12 
Con 
ijijij
gh  Κ    . 
                                                 
3
 Confronta per esempio [2],[3],[4],[5] 
 7
 Le equazioni del moto che si ottengono variando l’azione 
    
 ≥
 6
       
ADM
i
inl
nl
EPNNPgA &Σ  
Equazione I.1-13 
rispetto a 
ij
ij
g  Σ e
 
sono 
ij
adm
ij
s
s
ij
ij
nl
s
s
ij
ij
g
E
g
P
N
g
P
N
P
N
P
Ng
 Γ
 Γ
 Σ
 Σ Σ
 Π
 Π
 Π
 Π
 Π
 Π
 Π
 Π
  
 ÷
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣
 ω ω
 ω
 ω  
 ω
 ω
    
 ÷
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣
 ω ω
 ω
 ω  
 ω
 ω
  
)(
)(
&
&
 
Equazione I.1-14 
Mentre variando l’azione rispetto a 
 Π
N si ottiene il constraint  
0
0
  
  
j
P
P
 
Equazione I.1-15 
Usando le parentesi di Poisson, si verifica che è sufficiente imporre il vincolo sui dati 
iniziali, perché questo sia soddisfatto dalle soluzioni delle equazioni di Hamilton a tutti i 
tempi. Nel caso dei vincoli di supermomento, un modo molto veloce per sincerarsene è 
usare il teorema della Noether: l’ hamiltoniana espressa nell’ Equazione I.1-11 è invariante 
per trasformazioni di gauge 
)(
)3(
jiijij
hh  [       χ  
Equazione I.1-16 
cui corrispondono le quantità conservate 
 8
j
ij
ij
ij
ji
g
gxd
dt
d
xd
dt
d
 [
 Σ
 [ Σ [
  
 ÷
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣
      
 ≥ ≥
)3(3
)(
)3(3
0
 
Equazione I.1-17 
Abbiamo pertanto, nel caso del campo gravitazionale, una dinamica hamiltoniana  con 
vincoli del tutto analoga a quella del caso elettromagnetico, illustrata in§ I.4Appendice.I: al 
moltiplicatore di Lagrange       Ι(potenziale scalare dl campo EM), corrispondono, nel caso 
gravitazionale, gli 
 Π
N . Anch’essi possono essere scelti con una certa libertà, e ciò 
corrisponde a fissare il “gauge dinamico”. Ciò è conseguenza diretta del fatto che anche nel 
caso gravitazionale il constraint può essere posto già solo sul dato iniziale. Con tale scelta 
del dato iniziale, il constraint non rappresenta più equazioni linearmente indipendenti 
rispetto a quelle del moto. Non può essere quindi usato per eliminare i moltiplicatori di 
Lagrange, che restano così parametri liberi. La libertà di scelta è in questo caso limitata dal 
fatto che gli 
 Π
N  interpretano un significato fisico nella decomposizione ADM cui non 
possono venir meno. Per esempio è impossibile scegliere 0  N : otterremmo una metrica 
semidefinita. Esaurita la libertà di gauge dinamico con la scelta degli
 Π
N , resta ancora il 
gauge statico sul dato iniziale.  
Per l’Equazione I.1-15, i vincoli di superhamiltoniana e di supermomento fanno si che l’ 
energia on-shell si riduca al termine di ADM. 
    
 ≥
 6 ω
 χ χ
 χ  
ω      
nlm
nlmmnmml
mADMshellon
ggggggNdS
G
EH
 Σ16
1
)(
 
Equazione I.1-18 
 9
§ I.2 Quantizzazione su Background.  
I.2.1 Il funzionale di Schrödinger. 
Come in [6],[7], considereremo la dinamica del campo gravitazionale su di un Background, 
soluzione statica delle equazioni di Einstein, e ne   quantizzeremo le fluttuazioni. Al solito 
introdurremo 
ijijij
hg     Κ  
Equazione I.2-1 
ed useremo la metrica del Background 
ij
 Κper alzare ed abbassare gli indici di 
ij
h . 
Promuoveremo l’ hamiltoniana, i momenti e le coordinate ad operatori sullo spazio dei 
funzionali di Schrödinger )]([    <
ij
h , ossia 
    
    
    
           
    
ijij
ijijij
ij
ij
ij
hHH
hxhxh
h
xh
ix
ˆ
,
ˆ
ˆˆ
][
ˆ
][
ˆ
ˆ
Σ
 Γ
 Γ
 Σ
  
   <    <
  <   <
rr
r
r
 
Equazione I.2-2 
Lo spazio di Hilbert dei funzionali sarà costituito dal nucleo degli operatori 
 Π
P
ˆ
, avremo 
cioè 
0
ˆ
   <
 Π
P  
Equazione I.2-3 
che esprime in forma quantistica il vincolo dell’Equazione I.1-15 .  Il prodotto interno di 
tale spazio sarà dato da 
     < χ < ∋   < χ <
  
≥
FP
hD  
Equazione I.2-4 
 10
dove hD  rappresenta una misura sullo spazio funzionale, mentre 
FP
 ∋è il determinante di 
Fadeev-Popov per la trasformazione di Gauge che scriviamo 
ijjiijij
hh  [ [          χ   
Equazione I.2-5 
j
  rappresenta la derivata covariante della metrica tridimensionale
ij
g . Nell’ 
approssimazione lineare che adopereremo in seguito (Hamiltoniana al secondo ordine, 
equazioni dinamiche per i campi al primo, vincoli al primo)  il determinante di Fadeev-
Popov potrà essere trascurato
4
: in questa approssimazione di campo debole il gauge è 
lineare in 
ij
h . Si riduce, infatti, a  
ijjiijij
DDhh  [ [       χ  
Equazione I.2-6 
dove
j
D rappresenta la derivata covariante della metrica tridimensionale
ij
 Κ, e non dipende 
da 
ij
h .  
I.2.2 Valutazione dell’energia di funzionali test gaussiani. 
Esattamente come in [6], [7], [8] procederemo alla valutazione dell’ energia su funzionali 
gaussiani. Taglieremo l’hamiltoniana al secondo ordine, nell’ ipotesi che le fluttuazioni 
quantistiche siano piccole (ciò vale per i modi stabili, naturalmente). Questo ci permetterà 
uno studio esatto dell’ energia dei modi stabili (che come noto si distribuiscono con legge 
gaussiana)
5
, e l’ individuazione di eventuali modi instabili. Tale studio non ci restituirà il 
funzionale relativo ai modi instabili. Quest’ ultimo non può certo avere forma gaussiana: 
come noto i modi instabili crescono fino a raggiungere una configurazione classica, di 
minima energia tra quelle raggiungibili, ed attorno a questa effettuano oscillazioni 
quantistiche.  
                                                 
4
 Vedi [6]. 
5
 Vedi per esempio [9] Cap. VII f, pp. 195 edizione citata