Opzioni. Caso americano e relativo option/pricing.

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INTRODUZIONE 
 
Il presente lavoro si occupa di una specifica tipologia di strumento derivato: le opzioni. 
 
Dopo una generale panoramica sulle opzioni europee, più agevoli da esaminare in termini di 
pricing e di hedging ma di indubbia importanza per il proseguo, il cuore della tesi affronta un esame 
più approfondito della categoria delle opzioni americane.  
L’analisi si focalizza sul loro pricing, la cui complessità deriva dalla facoltà di poter essere 
esercitate in anticipo rispetto alla scadenza. Tale caratteristica le differenzia da quelle europee, 
dandone a priori un valore superiore o al più eguale.  
In particolare, ai fini della stima, vedremo che questo diritto aggiuntivo si risolve 
nell’impossibilità di definire una strategia ammissibile – nel senso classico - che replichi l’opzione 
americana, a causa del fatto che il prezzo attualizzato della stessa è un generico processo adattato e 
non una martingala, come nel caso di un’opzione europea. 
 
L’aspetto più importante sviluppato della tesi consiste nell’esaminare il pricing delle opzioni 
secondo un approccio analitico, anziché probabilistico – più tipico in un’ottica di Teoria del Rischio 
Finanziario, sebbene per le opzioni americane quest’ultimo sia considerato come punto di partenza 
da cui sviluppare la trattazione analitica. Sotto tale punto di vista, ciò si rivela molto interessante in 
quanto consente di effettuare una sorta di parallelismo tra i due differenti metodi. 
 
Più in dettaglio la tesi consta di quattro capitoli. 
 
Nel primo, si traccia un quadro introduttivo sulle opzioni individuandone i lineamenti 
fondamentali. 
 
Dapprima si precisano due imprescindibili classificazioni: da un lato, la distinzione tra 
opzioni europee ed americane e, dall’altro, quella tra opzioni di acquisto, ovvero le  Call e quelle di 
vendita, ovvero le Put. Poi, a partire da una breve premessa storico-evolutiva dello sviluppo di tali 
titoli derivati e dei relativi mercati, si iniziano ad analizzare più da vicino quelle europee, anche 
tramite esempi numerici che siano chiarificatori delle loro modalità di funzionamento. In tal senso, 
verranno indicati e rappresentati graficamente i loro pay-off.
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Si esaminano anche brevemente i mercati in termini generali. Essi sono essenzialmente 
distinti in “regolamentati” ed Over The Counter (OTC),
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 delineandone i rispettivi sistemi di 
contrattazione delle opzioni e ci si sofferma sulle tipologie di operatori presenti in essi. Ciò 
essenzialmente al fine di evidenziare la presenza della categoria dei cosiddetti “arbitraggisti” che 
costituisce – per paradosso - l’imprescindibile giustificazione del principio di assenza di opportunità 
di arbitraggio (AOA), o NFL (No Free Lunch), vale l’ipotesi di impossibilità di acquisire ricchezze 
senza assumere rischi e senza immissioni di fondi. Essa connoterà tutti i contesti di mercato in cui ci 
si porrà per valutare le opzioni. 
Successivamente, dopo aver fornito una rapidissima rassegna delle possibili tipologie di 
opzioni esistenti rispetto all’attività su cui esse vengono scritte, ci si concentra su quella con 
sottostanti azioni, con un’analisi quantitativa delle loro proprietà fondamentali in termini di limiti 
inferiori e superiori. In particolare, si effettua la distinzione tra quelle scritte su titoli che 
corrispondono dividendi e quelle i cui sottostanti non ne pagano. 
 
Inoltre, si dimostra il noto teorema riguardante la cosiddetta relazione di Call-Put parity e si 
verifica l’equivalenza tra il valore di una Call europea e quello di una corrispondente Call 
americana, qualora il comune sottostante non stacchi dividendi. 
 
Infine, si conclude il capitolo focalizzando l’attenzione sul prezzo delle opzioni. Da un lato, 
interpretandolo come somma delle due componenti di valore intrinseco e temporale; dall’altro 
esaminando in dettaglio i fattori che influiscono su di esso. 
 
Nel secondo capitolo, dopo aver illustrato alcune delle principali strategie sviluppabili via 
opzioni, si passano ad analizzare aspetti più marcatamente valutativi delle stesse, con la trattazione 
del famoso modello di Black&Scholes (B&S) e la definizione delle cosiddette Greche. 
 
Rispetto alle strategie, s’inquadrano brevemente quelle più note nell’ambito delle tre macro-
categorie esplorate: coperture, spread e combinazioni. 
 
Il nucleo del capitolo risiede tuttavia negli argomenti attinenti il modello di B&S, analizzato 
piuttosto diffusamente, e delle Greche, studiate in virtù delle importanti loro funzioni di copertura. 
 
                                                 
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 Ovvero fuori borsa.
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Ipotizzando di operare in un mercato perfetto, immediatamente dopo si introducono 
opportune premesse al modello di B&S, tra le quali quella relativa alla dinamica del prezzo 
dell’azione identificata con un processo stocastico di Markov di tipo log-normale viene qui 
approfondita, sebbene più avanti si mostri come essa si riveli essere uno dei limiti del modello. 
 
Poi si procede allo studio di tale modello in via analitica, partendo dalla costruzione di un 
portafoglio autofinanziante che sia privo di rischio, giungendo alla dimostrazione di un’ equazione 
molto importante: quella di valutazione alle derivate parziali, la cosiddetta EDP
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 di B&S.  
In effetti, tale formula consente di stimare il prezzo di un qualunque derivato che soddisfi le 
ipotesi del modello di B&S, non solo quindi quello delle opzioni. Pertanto, per l’effettiva 
risoluzione della EDP vengono imposte opportune “condizioni al contorno”, dipendenti dalle 
caratteristiche del derivato in questione, per poi risolverla proprio nel caso delle opzioni. 
In più, si fa accenno all’alternativo procedimento di stima del prezzo di un siffatto derivato – 
sempre nel quadro del modello di B&S – rappresentato da quello di taglio probabilistico che, via la 
regola di valutazione neutrale al rischio, ricorre ad elementi di calcolo stocastico quali i processi di 
martingala ed il teorema di Girsanov, in un contesto di validità dei due teoremi fondamentali 
dell’Asset Pricing.
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Infine, al netto di ulteriori passaggi di natura tecnica, si individuano le espressioni di 
valutazione in forma chiusa di B&S. 
 
Una volta precisate queste formule, si esamina la volatilità ottenibile via la forma inversa 
delle stesse, vale a dire la cosiddetta “volatilità implicita”. 
Per concludere, si osservano alcuni limiti del modello di B&S, quali la dinamica log-normale 
del sottostante rischioso e la costanza della volatilità. 
 
In chiusura di capitolo, sono specificati gli indicatori della sensitività del valore della 
posizione assunta in opzioni rispetto alla variazione dei possibili fattori di rischio presenti, le già 
citate Greche, per la loro utilità ai fini di copertura. Esse vengono brevemente elencate e ci si 
sofferma sulle due principali, ovvero la Delta e la Gamma, nonché su un’analisi delle 
corrispondenti strategie di hedging. 
 
                                                 
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 Appunto Equazione alle Derivate Parziali. 
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 Concetti e proprietà che verranno ripresi diffusamente nel terzo capitolo.
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Il terzo capitolo funge da cerniera tra il secondo ed il quarto, segnatamente tra la trattazione 
analitica del modello di B&S e l’analogo approccio di valutazione del prezzo delle opzioni 
americano seguito con il cosiddetto “problema con frontiera libera”. In particolare, il capitolo 
esamina i modelli discreti e più specificamente quello binomiale, altrimenti detto Cox-Ross-
Rubinstein (CRR). 
 
Si inizia con la descrizione delle caratteristiche di un generico mercato discreto, in 
condizioni classiche di AOA, corredato dalle relative ipotesi sui titoli, nonché dalle caratteristiche di 
ammissibilità e, dunque, implicitamente di autofinanziabilità delle strategie. 
Vengono definiti in maniera rigorosa i concetti di martingala e trasformata martingala, a 
partire dai quali si introduce quello di misura martingala equivalente (MME), che include quello di 
probabilità neutrale al rischio, imprescindibile strumento per delineare i due teoremi fondamentali 
dell’Asset Pricing. I mercati che verificano la validità di questi due teoremi vengono definiti 
completi e ciò consente di individuare l’univoco prezzo equo di ogni derivato presente in essi, in 
virtù della sua (unica) replicabilità. 
 
Dopo aver trattato il tema dei mercati discreti in generale, se ne tratteggia brevemente la 
forma più semplice quella binomiale, delineando le caratteristiche del modello e dimostrando come 
la validità di una specifica relazione garantisca le condizioni di AOA e completezza dello stesso. 
 
Nel quarto ed ultimo capitolo, infine, viene affrontata la tematica più interessante del lavoro, 
ovvero il pricing delle opzioni americane. Allo scopo di agevolarne la comprensibilità, inizialmente 
la questione è posta in un contesto discreto e solo successivamente viene esaminata sul continuo, 
nel caso del modello di B&S. 
 
Innanzitutto, ci si pone appunto sul discreto e si procede ad una rapida premessa 
sull’opzione americana. espressa in termini di processo stocastico. Da qui si andrà a trattare il tema 
del pricing di tale derivato sotto due profili: prima quello probabilistico e dopo quello analitico. 
 
In particolare, lo studio del pricing in ottica probabilistica è mostrato come soluzione di un 
problema di arresto ottimale. 
 
In via propedeutica si introducono i concetti di strategia d’esercizio come tempo d’arresto, 
di pay-off della stessa come processo arrestato, di tempo d’esercizio ottimale rispetto ad una MME
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(come maggior pay-off atteso rispetto alla MME considerata). E poi si prosegue con la costruzione 
del cosiddetto “inviluppo di Snell”, utile per la rappresentazione del valore attualizzato di 
un’opzione americana. Grazie all’utilizzo dei due teoremi di Doob (quello di optional sampling e 
quello di decomposizione), si dimostra che il prezzo equo iniziale di un’opzione americana è 
univocamente determinato e che esiste una strategia di copertura coincidente con quella d’esercizio 
ottimo. 
 
Il capitolo continua orientandosi verso un contesto continuo e mostrando le proprietà di 
asintoticità del modello binomiale, a cui ci si era riferiti finora per la trattazione delle opzioni 
americane. Infatti, applicando all’inviluppo di Snell il risultato di consistenza che garantisce che il 
modello binomiale approssimi quello di B&S classico, si ottiene un cosiddetto “problema con 
frontiera libera”. 
Esso contiene una disequazione differenziale di complessa risoluzione, che per essere 
compresa appieno necessita di un propedeutico esame dell’uguaglianza differenziale in essa 
contenuta che, a sua volta, corrisponde ad un “problema di Cauchy parabolico”. Si mostra come la 
soluzione dello stesso fornisca la stima del prezzo equo di un’opzione europea e, prima di 
approfondire il problema con frontiera libera, viene anche individuata la separazione del dominio in 
due differenti regioni, quella di continuazione e quella di esercizio anticipato, implicata dalla 
soluzione della diseguaglianza. 
 
Infine, nella conclusione del presente capitolo, si affrontano in dettaglio pricing ed hedging 
delle opzioni americane sul continuo, via un’estensione a tale ambito delle idee presentate sul 
discreto, seppur limitando l’analisi al modello di B&S, per comprensibili ragioni di semplificazione 
e di continuità teorica.  
In conformità al taglio prevalentemente analitico scelto per l’elaborato, si presenta un 
approccio in ambito Markoviano fondato sia sui risultati di esistenza per il problema a frontiera 
libera con ostacolo, relativo ad equazioni differenziali paraboliche a coefficienti variabili che sul 
teorema di Feynman-Kač, che individua una formula di rappresentazione per la soluzione forte al 
problema con frontiera libera. 
 
In particolare, come primo passo, si mostra l’equivalenza tra il problema con frontiera libera 
per le EDP paraboliche a coefficienti variabili ed il cosiddetto “problema con ostacolo” e poi, come 
passo ulteriore, si prova come sia possibile risolverlo in due fasi successive, anche in virtù del fatto 
che esso implica un classico problema di Cauchy-Dirichlet.
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Infatti, prima si dimostra l’esistenza, sotto precise ipotesi, di una soluzione classica del 
problema di Cauchy e, successivamente, si verifica l’esistenza non soltanto di una “soluzione forte” 
ma anche di una “super-soluzione forte” al problema con frontiera libera, via l’introduzione di una 
nuova ipotesi.  
Da qui, si pongono in correlazione il problema con frontiera libera e quello dell’arresto 
ottimo tramite il teorema di rappresentazione di Feynman-Kač. Ques’ultimo fornisce, inoltre ed 
appunto, una formula che giustifica in via rigorosa l’evidente analogia tra il problema con frontiera 
libera e l’inviluppo di Snell, nonché il conseguente parallelismo tra i risultati individuati via il 
metodo analitico e le risultanze del problema dell’arresto ottimo.  
Di fatto, grazie a tale teorema, si dimostra che la soluzione e la super-soluzione 
corrispondono, rispettivamente, alla più piccola super-martingala che domina il pay-off dell’opzione 
americana ed alla medesima super-martingala arrestata al tempo d’esercizio ottimale, che è dato dal 
primo tempo d’arresto che rende l’inviluppo di Snell una martingala. 
 
Una volta esaminati gli strumenti tecnici necessari per una valutazione via un approccio 
analitico delle opzioni americane sul continuo, essi vengono calati nel modello di B&S: in sostanza, 
il generico problema con ostacolo parabolico viene applicato a quello specifico relativo all’EDP di 
B&S e così si dimostra l’esistenza per quest’ultimo di un’unica soluzione forte, caratterizzata da 
opportune condizioni di regolarità e rappresentabile con la formula di Feynman-Kač. 
 
A questo punto si passa alla fase vera e propria di pricing e hedging, nel corso della quale 
viene individuato l’importante concetto di “martingala locale”, con cui si identifica il valore 
attualizzato di ogni strategia autofinanziante nel nuovo contesto continuo. Ciò consente di 
riconoscere una familiare corrispondenza tra questo nuovo concetto probabilistico e quello analitico 
di soluzione di una EDP parabolica, a sua volta assimilabile a quello di soluzione di un problema di 
Cauchy nonché al prezzo equo di un’opzione europea (per quanto visto finora). Ed allora alla luce 
di questo nuovo elemento, per la stima del prezzo di un’opzione americana si esplicita la necessità 
di ricorrere ad un argomento di localizzazione per poter mostrare, anche sul continuo, che il valore 
iniziale della soluzione forte al problema con ostacolo rappresenta il prezzo equo dell’opzione 
americana e che esiste una strategia ottimale d’esercizio, individuata dal primo tempo d’arresto che 
rende uguali la soluzione forte ed il valore del derivato stesso.
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In definitiva, si giunge all’individuazione delle espressioni dei prezzi di opzioni Call e Put 
americane nel modello di B&S, nonché all’approfondimento di una particolare relazione di 
simmetria fra tali prezzi ed allo studio di interessanti proprietà qualitative degli stessi. 
Inoltre, si effettuano brevi osservazioni sul cosiddetto smooth fit principle e sull’esistenza 
del premio per l’esercizio anticipato, che è dato dalla differenza tra il prezzo equo di un’opzione 
americana e quello della corrispondente opzione europea e che rappresenta il valore del diritto 
aggiuntivo di esercizio anticipato delle opzioni americane, rispetto a quelle europee. 
 
Infine, a conclusione del capitolo e della tesi, sebbene per la stima dei prezzi e delle strategie 
di copertura per le opzioni americane si ricorra normalmente a metodi numerici - poiché per esse 
non è possibile determinare formule esplicite come nel caso europeo – al fine di ovviare ad 
eccessive complessità di calcolo che esulano dagli scopi del presente lavoro, si illustra un esempio 
di valutazione delle opzioni americane via l’algoritmo binomiale.  
Malgrado esso venga normalmente impiegato per la determinazione del prezzo equo di 
un’opzione europea tanto che, a posteriori, possa essere anche interpretato come uno schema 
numerico di un problema di Cauchy parabolico, esso può essere facilmente modificato per gestire la 
possibilità d’esercizio anticipato. In tal modo, esso costituisce uno schema iterativo facilmente 
implementabile e per la determinazione del prezzo e per l’individuazione della strategia di copertura 
di un’opzione americana. 
 
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