Nozioni fondamentali di gamma convergenza

Capitolo 1
Nozioni preliminari
1.1 Limite inferiore e limite superiore
Sia a:n!a
n
2R una successione a valori reali estesi.Posto:
‚
n
= inf
p‚n
a
p
⁄
n
=sup
p‚n
a
p
risulta
‚
n+1
‚‚
n
; ⁄
n+1
•⁄
n
:
Infatti
⁄
n
=sup
 a
n
; sup
p‚n+1
a
p
¶
‚⁄
n+1
:
Essendo la successione ‚
n
non decrescente e la successione ⁄
n
non cres-
cente,esistono (flniti o inflniti) i limiti
‚= lim
n!1
‚
n
= lim
n!1
inf
p‚n
a
p
=sup
n
inf
p‚n
a
p
1
2 1. Nozioni preliminari
⁄= lim
n!1
⁄
n
= lim
n!1
sup
p‚n
a
p
=inf
n
sup
p‚n
a
p
:
Deflnizione 1.1. ‚ si dice limite inferiore (o minimo limite) di a
n
per n!
1;⁄sidicelimitesuperiore(omassimolimite)dia
n
pern!1.Sidenotano
anche con
‚=liminf
n!1
a
n
⁄=limsup
n!1
a
n
:
Osservazione 1.
‚=liminf
n!+1
a
n
=lim
n
inf
p‚n
a
p
•lim
n
sup
p‚n
a
p
=limsup
n!+1
a
n
=⁄:
Osservazione 2. ⁄ elimitesuperioreperlasuccessione a
n
se el’estremoinfe-
riore dei maggioranti deflnitivi. Un maggiorante deflnitivo per la successione
 e un numero M per cui esiste „2R t.c. a
n
< M 8n > „ (analoga def. per
il limite inferiore).
Dalla deflnizione segue dunque la seguente caratterizzazione:⁄  e limite
superiore per la successione se veriflca entrambe le seguenti propriet a:
8">0;9„2R: a
n
<⁄+" 8n>„
8">0 , per inflniti indici a
n
>⁄¡".
Analogamente ‚  e limite inferiore se veriflca entrambe le propriet a:
8">0;9„2R: a
n
>‚¡" 8n>„
8">0 , per inflniti indici a
n
<‚+".
Esempio 1.1. Determina limite superiore e inferiore della successione a
n
=
sinn.L’estremo inferiore dei maggioranti deflnitivi  e 1 quindi il limite supe-
riore  e:
⁄=limsup
n!1
a
n
=inf
n
sup
p‚n
sinp=1
analogamente il limite inferiore: