Moto peristaltico di un fluido newtoniano e di un fluido micropolare in una striscia

Capitolo 1
Fluidi Viscosi Classici
1.1 EquazioniCostitutivedeiFluidiViscosiClas-
sici
Come è noto, il più semplice modello di fluido è costituito dal fluido
perfetto che, dal punto di vista puramente meccanico, è un corpo continuo
caratterizzato, in ambito spaziale, dalla seguente relazione sforzo - defor-
mazione:
T =−pa
doveT è il tensore degli sforzi di Cauchy,p> 0 è la pressione ea è il tensore
fondamentale.
Indicheremo tensori e vettori con le lettere in carattere grassetto (bold).
In componenti abbiamo:
T
ij
=−pa
ij
.
Si ha perciò che il tensore degli sforzi di Cauchy è isotropo; l’isotropia di
T traduce in termini matematici l’osservazione sperimentale che i liquidi e
i gas reali schematizzabili con il modello di fluido perfetto hanno proprietà
meccaniche indipendenti dalla direzione.
Vediamo che forma assume per un fluido perfetto lo sforzo specifico relativo
1
2 1. Fluidi Viscosi Classici
ad un qualsiasi punto P e ad un qualsiasi istante t coordinato alla direzione
orientata di versore arbitrario u, t(P,t,u). Per il teorema di Cauchy sugli
sforzi si ha:
t(P,t,u) =T(P,t)·u =−p(P,t)a·u.
Le componenti di tale sforzo sono:
t
i
(P,t,u) =T
ij
(P,t)u
j
=−p(P,t)δ
ij
u
j
=−p(P,t)u
i
.
Alloradeduciamocheinunfluidoperfetto,tantoincondizionidiquietequan-
to in condizioni di moto, lo sforzo specifico è normale, e questo è tradotto
dal fatto che t(u)||u, ed inoltre ha carattere di pressione, e questo è tradot-
todalfattocheessendop> 0,t(u)euhannoversoopposto,qualunquesiau.
Questo comportamento viene riscontrato nel caso di molti gas reali (ad
esempio l’aria) e di alcuni liquidi (ad esempio l’acqua). Ma esistono molti
liquidi e alcuni gas reali per i quali, quando non sono in quiete o non si
muovono di moto rigido, gli sforzi non sono tutti normali, ma sono presenti
anche sforzi di taglio.
Quando ci sono sforzi di taglio, questi rallentano il moto delle particelle, le
une rispetto alle altre.
Una misura della velocità relativa delle particelle è fornita dagradv, in par-
ticolare dalla sua parte simmetrica, detta tensore di velocità di deformazione
D =
1
2
(gradv+grad
T
v).
Per schematizzare il comportamento di molti liquidi e gas reali la relazione
sforzo-deformazione dei fluidi perfetti è stata generalizzata, ed è stata in-
trodotta la classe dei fluidi propriamente detti.
Definizione 1.1.1. Un fluido propriamente detto è un corpo continuo carat-
terizzato, dal punto di vista puramente meccanico, dalla relazione sforzo-
deformazione:
T =−pa+
b
T, (1.1)
1.1 Equazioni Costitutive dei Fluidi Viscosi Classici 3
con
b
TfunzionetensorialedelIIordine, simmetrica(
b
T =
b
T
T
),
b
T =
b
T(D, ϑ, P),
con ϑ temperatura assoluta, e tale che
b
T(0, ϑ, P) = 0.
La funzione
b
T è fornita dall’esperienza.
La presenza di questa funzione aggiuntiva è quella che dà luogo a sforzi di
taglio, che però non sono presenti se il fluido si muove di moto rigido o è in
quiete.
In generale poi diciamo che un fluido propriamente detto èviscoso se
b
T non
è identicamente nulla, e per questo
b
T è detta anche parte viscosa del tensore
degli sforzi di Cauchy.
E’ evidente che i fluidi perfetti sono non viscosi, perchè per essi la parte
viscosa è identicamente nulla.
La più semplice sottoclasse dei fluidi viscosi propriamente detti è costituita
dai fluidi viscosi classici.
Definizione 1.1.2. Un fluido viscoso classico è un fluido viscoso propria-
mente detto per il quale
b
T è lineare rispetto a D, cioè è della forma:
b
T =C·D, (1.2)
doveC è un tensore del IV ordine, detto tensore di viscosità, dipendente dalla
temperatura assoluta ϑ e dal punto P, cioè C =C(ϑ, P), che gode delle due
proprietà seguenti:
• è simmetrico rispetto alla prima ed alla seconda coppia di indici,
• è isotropo.
La simmetria rispetto alla prima coppia di indici è conseguenza della sim-
metriadi
b
T; lasimmetriarispettoallasecondacoppiadiindicièconseguenza
della simmetria di D. Dunque in componenti:
b
T
ij
=C
ijrs
D
rs
con
4 1. Fluidi Viscosi Classici
C
ijrs
=C
jirs
C
ijrs
=C
ijsr
.
La proprietà di isotropia traduce matematicamente l’osservazione sperimen-
talecheneiliquidiegasrealicheschematizziamocolmodellodifluidoviscoso
classico, le proprietà meccaniche sono indipendenti dalla direzione.
Ora vogliamo vedere quali sono le conseguenze sulla forma di C delle due
proprietà di cui gode.
InprimoluogosihachelecomponentiindipendentidiCsiriducononotevol-
mente di numero rispetto ad un generico tensore del IV ordine.
Le componenti indipendenti di un tensore del IV ordine sono 3
4
= 81, ma la
prima proprietà, ossiala simmetriarispetto allaprima edallasecondacoppia
di indici, riduce da 81 a 36 le componenti indipendenti di C.
Infatti diamo ai ej due valori fissati, e vediamo quante componenti indipen-
denti di C abbiamo al variare di r e s. Queste sono 6. D’altra parte, fissati
r eds, facendo variarei ej, le componenti indipendenti che otteniamo sono
ancora 6, e dunque in totale le componenti indipendenti diC sono 6
.
6 = 36.
D’altra parteC è anche isotropo. A tale proposito si potrebbe dimostrare la
seguente:
Proposizione 1.1.1.
I tensori isotropi del IV ordine costituiscono un sottospazio dei tensori del
IV ordine, di dimensione 3, avente come base la terna
{A
(1)
,A
(2)
,A
(3)
}
con A
(1)
, A
(2)
, A
(3)
tensori del IV ordine di componenti
A
(1)
ijrs
=a
ij
a
rs
A
(2)
ijrs
=a
ir
a
js
A
(3)
ijrs
=a
is
a
jr
.
1.1 Equazioni Costitutive dei Fluidi Viscosi Classici 5
Grazie alla proposizione 1.1.1C è una combinazione lineare diA
(1)
,A
(2)
,
A
(3)
, ossia è esprimibile nella forma:
C =αA
(1)
+βA
(2)
+γA
(3)
α,β,γ ∈R, (1.3)
e dunque le 36 componenti indipendenti di C si esprimono tutte tramite 3
scalari.
Infatti:
C
ijrs
=αa
ij
a
rs
+βa
ir
a
js
+γa
is
a
jr
α,β,γ ∈R.
Ma grazie alle proprietà di simmetria si può provare la seguente
Proposizione 1.1.2.
Le componenti del tensore di viscosità di un fluido viscoso classico C si
esprimono mediante due scalari.
Dimostrazione. Come abbiamo visto
C
ijrs
=αa
ij
a
rs
+βa
ir
a
js
+γa
is
a
jr
.
Se scambiamo gli indici i e j nell’espressione scritta sopra, deduciamo:
C
jirs
=αa
ji
a
rs
+βa
jr
a
is
+γa
js
a
ir
.
Ma C
jirs
=C
ijrs
; dunque:
C
ijrs
=αa
ij
a
rs
+βa
jr
a
is
+γa
js
a
ir
,
da cui sommando membro a membro:
2C
ijrs
= 2αa
ij
a
rs
+(β+γ)(a
ir
a
js
+a
is
a
jr
)⇒C
ijrs
=αa
ij
a
rs
+
β +γ
2
(a
ir
a
js
+a
is
a
jr
).
A questo punto poniamo α =:λ, (β +γ)/2 =:μ ed otteniamo:
C
ijrs
=λa
ij
a
rs
+μ(a
ir
a
js
+a
is
a
jr
). (1.4)
Concludiamo che, per la proprietà di isotropia e per la simmetria rispetto
alla prima coppia di indici, il tensore di viscosità è individuato tramite due
6 1. Fluidi Viscosi Classici
soli scalari λ e μ.
Se sfruttiamo la simmetria rispetto alla seconda coppia di indici perveniamo
alla medesima conclusione.
Gli scalari λ = λ(ϑ,P) e μ = μ(ϑ,P) si dicono coefficienti di viscosità e
sono noti dall’esperienza.
Sussiste allora il seguente
Teorema 1.1.1. La relazione sforzo-deformazione dei fluidi viscosi classici
è
T = (λdivv−p)a+2μD (1.5)
Dimostrazione. Tenendo presente la proposizione 1.1.2, e ricordando che in
una base ortonormale a
ij
=δ
ij
, possiamo scrivere:
C
ijrs
=λδ
ij
δ
rs
+μ(δ
ir
δ
js
+δ
is
δ
jr
)
per cui
b
T
ij
= C
ijrs
D
rs
= λδ
ij
δ
rs
D
rs
+ μ(δ
ir
δ
js
+ δ
is
δ
jr
)D
rs
Ma
δ
rs
D
rs
=D
rr
=tr(D)
e dato che
D
ij
=
1
2
(v
i,j
+v
j,i
) ⇒ D
ii
=
1
2
(2v
i,i
) =divv.
Quindi
b
T
ij
=λdivva
ij
+μ(D
ij
+D
ji
) =λdivva
ij
+2μD
ij
e allora
b
T =λdivva+2μD
Ma
T =−pa+
b
T
1.1 Equazioni Costitutive dei Fluidi Viscosi Classici 7
da cui
T = (λdivv−p)a+2μD.
Se λ,μ sono costanti, il fluido viene detto fluido Newtoniano.
Si potrebbe dimostrare che la relazione sforzo - deformazione soddisfa,
oltre all’assioma dell’azione locale e del determinismo, anche all’assioma di
obiettività. Tale assioma richiede che le relazioni costitutive abbiano una
forma indipendente dall’osservatore.
Nelcasodeifluidiviscosiclassicitaleinvarianzaèassicurata,comesipotrebbe
dimostrare, dal fatto che
b
T dipende da D (che si annulla in corrispondenza
dei moti rigidi) e dall’isotropia del tensore di viscosità C.
Se un fluido viscoso classico è incomprimibile, abbiamo:
divv = 0 ossia tr(D) = 0 inS
dove S = {(P,t) ∈ E ×R : P ∈ S(t),t ∈ [t
0
,t
1
]}, E = spazio geometrico
tridimensionale, S(t) = regione occupata dal fluido all’istante t e
[t
0
,t
1
] = intervallo di tempo in cui si svolge il moto.
Dunque per un fluido viscoso classico incomprimibile la relazione sforzo-
deformazione si riduce a
T =−pa+2μD. (1.6)
I fluidi viscosi classici incomprimibili sono perciò caratterizzati da un solo
coefficiente di viscosità.
1.1.1 I Fluidi Viscosi Classici Comprimibili
Vediamo ora di enunciare le equazioni costitutive che caratterizzano un
fluido viscoso classico dal punto di vista termodinamico. Queste sono le
8 1. Fluidi Viscosi Classici
stesse che sussistono per un fluido perfetto.
Come per un fluido perfetto distinguiamo tra fluidi viscosi classici com-
primibili e fluidi viscosi classici incomprimibili.
In primo luogo abbiamo le tre equazioni di stato:
ψ =
b
ψ(ϑ,V) energia libera specifica
p = b p(ϑ,V) =−
∂
b
ψ(ϑ,V)
∂V
pressione
h =
b
h(ϑ,V) =−
∂
b
ψ(ϑ,V)
∂ϑ
entropia specifica
dove
• V è il volume specifico;
• lefunzioni
b
ψ,b p,
b
h, fornitedall’esperienza, sidiconofunzionirisposta;
• ϑ e V si dicono variabili di stato fondamentali e ψ, p, h variabili
di stato costitutive.
Inoltre
b
ψ si dice potenziale termodinamico, perchè, noto
b
ψ, mediante le
sue derivate, si ottengono b p e
b
h.
Le variabili p e V così come ϑ e h si dicono variabili di stato coniugate.
Si richiede che b p,
b
h∈C
1
, per cui si ha
b
ψ∈C
2
.
Alle equazioni di stato si aggiunge la legge della propagazione del
calore data da
q =−βgradϑ
dove q è il flusso di calore, β =β(θ, grad ϑ,P) è uno scalare detto coef-
ficiente di conducibilità termica.
Se β è costante tale legge prende il nome di legge di Fourier.
Si noti come anche nei fluidi viscosi classici la propagazione del calore sia
isotropa, essendo in ogni punto e in ogni istante qkgradϑ. Questo traduce
il fatto che nei liquidi e gas reali che schematizziamo con questo modello, le
proprietà termiche non dipendono dalla direzione.
1.2 Fluidi Viscosi Classici e II Assioma della Termodinamica 9
1.1.2 I Fluidi Viscosi Classici Incomprimibili
Nel caso di fluidi viscosi classici incomprimibili abbiamo a disposizione
anche la condizione cinematica di incomprimibilità, cioè:
divv = 0
Quindi, dall’equazione di continuità per la massa
˙ ρ+ρdivv = 0,
dove con ˙ ρ indichiamo la derivata materiale diρ fatta rispetto al tempo,cioè
˙ ρ =
∂ρ
∂t
+ gradρ·v, si ha che in S
˙ ρ = 0 =⇒
˙
V = 0.
Ciò comporta cheV non è più variabile di stato e nemmeno la sua coniugata
p. Perciò p nel caso di un fluido incomprimibile è una grandezza puramente
meccanica e non termodinamica.
Leequazionidistatoda3siriduconoa2elevariabilidistatoda5siriducono
a 3:
ψ =
b
ψ(ϑ)
h =
b
h(ϑ) =−
dψ(ϑ)
dϑ
Per quanto riguarda la legge di propagazione del calore, è identica a quella
che sussiste per i fluidi viscosi comprimibili.
1.2 Fluidi Viscosi Classici e II Assioma della
Termodinamica
1.2.1 Equazione Indefinita conseguenza del I Assioma
della Termodinamica
Vediamo dapprima quale forma assume l’equazione indefinita conseguen-
za del I assioma della termodinamica per un fluido viscoso classico com-
10 1. Fluidi Viscosi Classici
primibile.
Consideriamo l’equazione indefinita conseguenza del I assioma della ter-
modinamica per un generico corpo continuo:
ρ
˙
k =ρr−divq+T·D
dove k è l’energia interna specifica e r è la densità della potenza calorica,
dovuta a sorgenti interne di calore.
Se si considera un fluido viscoso classico comprimibile si ha:
T·D = T
ij
D
ij
= (λdivv−p)δ
ij
D
ij
+2μD
ij
D
ij
= −pdivv+λ(divv)
2
+2μD·D.
Dall’equazione di continuità
˙ ρ+ρdivv = 0
si ottiene che
divv =−
˙ ρ
ρ
.
Allora
T·D =−p
˙ ρ
ρ
+λ(divv)
2
+2μD·D
Posto ω(D) =
1
2
 λ(trD)
2
+2μD·D
 ∀D simmetrico,
si ha:
ρ
˙
k =ρr−divq+p
˙ ρ
ρ
+2ω(D).
Tale equazione viene dettaequazionedell’energiaperifluidiviscosi
classici comprimibili.
Possiamo scrivere anche l’equazione indefinita che traduce il primo as-
sioma della termodinamica per i fluidi viscosi classici incomprimibili.
Sappiamo che in questo caso si ha
T =−pa+2μD