Modellistica e simulazione di un sistema di configurazione satellitare a tre corpi

Usualmente, per il controllo d�assetto le principali tecniche applicate rientrano 
nell�utilizzo di gas jet o di volani di reazione. 
Entrambe presentano indubbiamente dei vantaggi, ma anche i seguenti svantaggi: per 
i gas jet si hanno problemi di ingombro e di autonomia del carburante, nonch� della 
variazione del centro di massa dovuto alla variazione della massa fluida, mentre per i 
volani di reazione si hanno problemi di usura delle parti mobili e di saturazione degli 
attuatori dovuti all�alta velocit� di rotazione. 
Perci�, � molto interessante cercare tecniche alternative che permettano di superare 
tali inconvenienti senza pagare troppo in termini di costi e complessit�. 
Le strategie utilizzate nel controllo di configurazione e assetto di sistemi 
multiarticolati nello spazio rientrano fondamentalmente in due principali categorie: i 
free-flying robots e i free-floating robots. 
Considerando tali sistemi come manipolatori in cui si � liberi di scegliere come base 
un qualunque elemento (corpo) della struttura
1
, per i primi l�approccio � quello tipico 
della robotica tradizionale: il controllo del manipolatore viene effettuato come su un 
qualunque robot terrestre e il moto indesiderato della base viene corretto tramite 
tecniche di controllo d�assetto quali quelle con i gas jet. 
Per i secondi invece la dinamica del sistema si presenta pi� complessa poich� la base 
� libera di muoversi sotto l�influenza del manipolatore e non � sottoposta ad alcun 
controllo diretto: ci si trova cio� nel caso di assenza di forze esterne. 
La tecnica utilizzata nella presente tesi rientra proprio in quest�ultima categoria e si 
basa perci� sulla possibilit� di variare l�assetto e la configurazione agendo 
semplicemente sulle forze interne; essendo il sistema in questione costituito da corpi  
connessi tra loro tramite giunti rotoidali, tali coppie interne vengono attuate tramite 
motori elettrici: ci� si presenta molto vantaggioso in quanto l�energia fornita a tali 
motori viene continuamente rinnovata attraverso i pannelli solari, permettendo 
notevoli riduzioni di costi e ingombro dovuti dalla presenza di carburante. 
Inoltre tale tecnica pu� essere applicata, ad esempio, qualora si presentino guasti sui 
razzetti o sui volani. 
La trattazione a seguire � sostanzialmente suddivisa come segue: 
                                                           
1
 Nelle applicazioni di robotica spaziale � improprio parlare di base in quanto nessun elemento della 
struttura � vincolato ad un punto fisso. Proprio per  questo per�, si pu� definire base un qualunque 
elemento preso come riferimento per l�assetto dell�intera struttura. 
 Cap I) Nel primo capitolo vengono introdotti gli aspetti del controllo d�assetto e 
delle strategie di controllo di sistemi multiarticolati e vengono definiti i problemi P1 
e P2 che si intende risolvere nel seguito. Sono inoltre forniti dei brevi richiami 
riguardanti il concetto di vincoli olonomi ed anolonomi che, come si vedr�, 
presentano un ruolo chiave nel resto della tesi. 
Un altro aspetto fondamentale nella trattazione di sistemi multicorpo nello spazio � 
dato dal verificarsi della conservazione del momento angolare conseguentemente 
all�assenza di forze esterne: in pi�, vengono elencati al riguardo alcuni esempi 
chiarificatori, individuabili nella vita di tutti i giorni. 
Infine, viene introdotto un metodo per il calcolo della lagrangiana di un qualunque 
sistema planare rigido a N  corpi che ritorner� utile nel capitolo successivo. 
 
Cap II) Nel secondo capitolo viene effettuata la modellizzazione di due classi di 
sistemi a tre corpi: la prima, cio� quella che rappresenta il caso generale, in cui i 
corpi esterni presentano una distribuzione di massa asimmetrica rispetto al loro asse 
di rotazione (caso di masse eccentriche) e la seconda, caso particolare, in cui invece 
tale asse passa proprio per il centro di massa dei corpi esterni (caso di masse 
concentriche). Tale differenziazione risulta nel primo caso nella dipendenza della 
matrice d�inerzia dalle variabili di configurazione (angoli assoluti dei corpi rispetto a 
un riferimento inerziale) e nel secondo, invece, nell�assoluta indipendenza da tali 
variabili. 
Viene calcolata per entrambe la lagrangiana e, attraverso la tecnica di Eulero-
Lagrange, si ricavano i sistemi di equazioni dinamiche che vengono poi posti 
secondo una rappresentazione con lo spazio di stato: si viene ad ottenere un sistema 
non lineare nel caso generale (masse eccentriche) e un sistema lineare nel caso 
particolare (masse concentriche). 
Alla conclusione del capitolo viene messo in evidenza come la caratteristica del 
sistema di essere sottoattuato porti ad ottenere da quest�ultimo l�equazione del 
momento angolare che si rivela avere, per il caso di sistema con masse concentriche, 
una struttura simile a quella di un vincolo olonomo; come si vedr� nel seguito, per il 
caso generale l�equazione del momento angolare presenta invece la struttura di un 
vincolo anolonomo. 
 Cap III) Nel terzo capitolo viene analizzata la controllabilit� dei sistemi, cercando di 
verificare la risolvibilit� dei problemi P1 e P2. In particolare, per il sistema lineare, 
ci si deve accontentare di risolvere il problema P2 per il sistema ridotto, ottenuto 
grazie alla propriet� dell�olonomia dell�equazione del momento angolare. 
Per il caso non lineare, dopo aver verificato tramite l�uso di concetti e teoremi di 
geometria differenziale l�anolonomia dell�equazione del momento angolare,  
vengono introdotte le nozioni di controllabilit� non lineare e viene dimostrato, su un 
sistema ricavato dal modello cinematico che si dimostra essere equivalente a quello 
ricavato dal modello dinamico ma con una struttura pi� semplice (non presenta il 
vettore di drift), come la controllabilit� (e quindi la risolvibilit� di P1) sia una diretta 
conseguenza dell�anolonomia del sistema. 
 
Cap IV) Nel quarto capitolo viene trattato il problema della ricostruzione e il 
controllo di riorientamento e di riconfigurazione per sistemi a tre corpi. 
Il problema della ricostruzione consiste nel pianificare le manovre da effettuare nello 
spazio dei giunti (shape space) per ottenere un orientamento voluto. 
Tale problema pu� essere risolto grazie alla non linearit� della relazione che si viene 
ad avere, nel caso generale, tra l�angolo assoluto e gli angoli relativi. Ci� non � 
possibile per il caso con masse concentriche, ove si viene ad avere una relazione 
lineare e stazionaria tra angolo assoluto ed angoli relativi dovuta all�invarianza della 
matrice d�inerzia rispetto alla configurazione. 
Per quanto riguarda il controllo, viene fornita una dimostrazione sulla stabilit� 
asintotica globale attorno al punto d�equilibrio di una legge di controllo di tipo PD; 
l�applicazione di tale tecnica al problema del riorientamento si traduce nella 
realizzazione di un controllore PD costante a tratti, tale da soddisfare le condizioni 
necessarie di Brockett [3]. 
Successivamente viene fornita una procedura di riorientamento che sfrutta tale 
tecnica, alla quale segue una procedura per la pi� generale riconfigurazione, che 
provvede a imporre angolo d�assetto e angoli relativi a piacimento. 
Infine, attraverso il metodo dell�assegnazione degli autovalori, viene mostrato come 
poter riconfigurare due dei tre corpi di un sistema con masse concentriche, 
soddisfacendo delle specifiche imposte sull�andamento della risposta del sistema. 
 Cap V) Nel quinto capitolo vengono descritte le simulazioni numeriche che 
permettono di comprendere meglio, da un punto di vista applicativo, i 
comportamenti dei sistemi a tre corpi con masse eccentriche nelle manovre di 
riorientamento e riconfigurazione e dei sistemi a tre corpi con masse concentriche 
riguardo alla riconfigurazione di due dei tre corpi. 
 
Infine, vengono esposte le conclusioni e una breve rassegna bibliografica sulla 
letteratura scientifica riferita agli aspetti studiati nella presente tesi.  
 
 
 
 Capitolo I 
 
Definizione del problema 
 
 
 
1.1 Generalit� sul problema 
 
Il problema del controllo d�assetto di strutture multiarticolate � di notevole interesse 
nell�ambito della ricerca scientifica per l�importanza che esso riveste nelle 
applicazioni aerospaziali. Basti pensare, ad esempio, all�esigenza di dover mantenere 
l�antenna di un satellite geostazionario per le telecomunicazioni perennemente 
orientato verso una zona della superficie terrestre ed alla circostanza che piccole 
perturbazioni nell�assetto si possono tradurre in errori proibitivi nel puntamento. 
Altri aspetti d�interesse sono la necessit� di orientare i pannelli solari per la 
generazione di potenza a bordo dei veicoli spaziali, ovvero di evitare l�esposizione di 
alcuni componenti alla radiazione solare. 
Le tecniche utilizzate nel controllo d�assetto [46] si dividono in passive e attive: le 
prime non comportano consumi energetici e rientrano per lo pi� nella stabilizzazione 
d�assetto, inoltre non permettono di ottenere precisioni particolarmente spinte; le 
seconde, al contrario, sono adattabili a qualunque esigenza di orientamento, sono pi� 
veloci ma hanno lo svantaggio di essere pi� complesse da progettare e richiedono 
pertanto maggiori costi anche a causa dei consumi. 
Queste ultime fanno uso, solitamente, dei seguenti tipi di attuatori: gas jet, volani di 
reazione ed elettromagneti; principalmente vengono usati i primi due in quanto 
l�ultimo funziona solamente in presenza di campi magnetici esterni, quali ad esempio 
quello terrestre. 
I gas jet sono dei razzetti posizionati simmetricamente rispetto al baricentro del 
satellite e sono rivolti parallelamente a quest�ultimo con versi opposti. Grazie alla 
conservazione della quantit� di moto, la fuoriuscita di gas di scarico da un razzetto in 
una certa posizione determina un corrispondente spostamento della sua posizione in 
direzione opposta. Per la conservazione del momento angolare, l�emissione 
simultanea di gas da parte di due razzetti simmetrici aventi versi opposti, provoca un 
movimento rotatorio invece che traslatorio; se tali razzetti vengono posti in modo da 
permettere rotazioni attorno a ciascun asse, si ha un controllo d�assetto a tre assi. 
I volani di reazione, invece, non sfruttano forze esterne ma interne: attraverso la 
rotazione in un verso di ciascun volano, per la legge della conservazione del 
momento angolare si ha una rotazione del satellite nel verso opposto. 
Le tecniche finora citate per il controllo d�assetto hanno indiscutibili vantaggi 
rispetto a capacit�, precisione e rapidit� di manovra, ma presentano anche svantaggi: 
i gas jet creano problemi d�ingombro e autonomia di carburante, inoltre la 
diminuzione della massa fluida porta a variazioni del centro di massa del sistema con 
conseguenti complicazioni nel controllo; i volani di reazione, a causa dell�alta 
velocit� di rotazione, presentano problemi di saturazione e di usura. 
Fin qui si � parlato di sistemi aerospaziali senza considerare che in essi si trovano 
sempre pi� componenti meccaniche mobili interconnesse tramite giunti: per esempio 
manipolatori robotici, pannelli solari e antenne. Il movimento di tali appendici, a 
causa degli accoppiamenti dinamici con la base alla quale sono connesse, creano 
problemi di variazione d�assetto di tutta la struttura. 
� chiaro, quindi, come nasca l�esigenza di fare in modo che tutti i corpi tra loro 
collegati si portino in configurazioni volute. 
Esempi di tali applicazioni possono essere: l�orientamento di un�antenna puntata 
verso la Terra o di un telescopio verso lo spazio in modo che non vengano provocate 
perturbazioni d�assetto sulla struttura complessiva, operazioni di manipolazione 
robotica per l�assemblaggio e la manutenzione di satelliti e navette spaziali, oppure 
anche semplici variazioni d�assetto qualora si verifichino guasti nei gas jet o nei 
volani di reazione. 
Vi sono due principali classi di strategie di controllo per questi sistemi multicorpo: 
1) la classe dei robot a volo libero (free-flying robots), in cui l�errore 
d�orientamento della base causata da movimenti degli altri corpi ad essa 
collegata, viene corretto attraverso le usuali tecniche d�assetto finora menzionate. 
2) La classe dei robot a fluttuazione libera (free-floating robots), in cui la base � 
libera di muoversi sotto l�effetto degli altri corpi e pertanto sono necessarie 
tecniche di controllo pi� complesse che sfruttano unicamente forze interne. 
� proprio su questo secondo punto che si sviluppa la presente tesi: lo scopo � quello 
di studiare un sistema di controllo che permetta a un sistema articolato posto in 
ambiente inerziale, di assumere configurazione e assetto desiderati. 
Risultano inoltre evidenti i seguenti vantaggi rispetto alle tradizionali tecniche per il 
controllo d�assetto: tramite i pannelli solari si ha energia rinnovabile che alimenta gli 
attuatori costituiti tipicamente da motori elettrici montati sui giunti, permettendo cos� 
notevoli risparmi sui consumi di carburante; inoltre � possibile effettuare manovre a 
velocit� ridotte, in modo da ridurre i problemi di saturazione e di usura tipici dei 
volani di reazione. 
Nel seguito verr� effettuata la modellizzazione di due particolari categorie di sistemi 
a tre corpi: la prima, che rappresenta il caso generale, � costituita da masse che non 
presentano simmetrie rispetto al proprio asse di rotazione (masse eccentriche) e la 
seconda, caso particolare, in cui invece i corpi presentano tali simmetrie (volani di 
reazione). 
Definendo come �riconfigurazione� una manovra in grado di modificare l�assetto 
geometrico di un sistema multiarticolato, verranno presi in considerazione due 
problemi: 
 
P1: Dato un sistema multiarticolato a tre corpi, realizzare una legge di controllo che 
permetta la soluzione del problema di riconfigurazione dei tre corpi. 
P2: Qualora venga verificata l�impossibilit� di risolvere P1, studiare l�eventuale 
riconfigurazione su 3<N  corpi. 
Viene data di seguito una breve introduzione sulle caratteristiche dei vincoli olonomi 
e anolonomi, in modo da chiarire alcuni aspetti fisici del problema. 
 1.2 Vincoli olonomi ed anolonomi 
 
Dato un sistema dinamico a n  gradi di libert� descritto da n  coordinate 
generalizzate o lagrangiane {})(),...,(),()(
21
tqtqtqtq
n
=  con 
n
Mtq ℜ⊂∈)( , si 
dice che esso � vincolato quando tali variabili presentano delle limitazioni alla loro 
libert� d�evoluzione. 
Un vincolo, in generale, pu� essere rappresentato analiticamente dalla seguente 
relazione 
 
),,...,,,...,(
11
tqqqqf
nn
&&
 
 
che lega coordinate generalizzate, le loro derivate e la variabile temporale. 
In particolare, vi sono le seguenti categorie di vincoli: 
vincoli geometrici, in cui vi � la sola dipendenza dalle coordinate generalizzate 
 
0)( =qf  : vincolo geometrico bilaterale 
0)( ≤qf  : vincolo geometrico unilaterale 
 
vincoli cinematici, dove si ha la dipendenza anche dalle derivate prime delle 
coordinate generalizzate 
 
0),( =qqf &
 : vincolo cinematico bilaterale 
0),( ≤qqf &
 : vincolo cinematico unilaterale 
 
A questo punto � utile vedere quali sono le condizioni che determinano la 
caratteristica di olonomia e non olonomia. 
Si considerino per il momento i vincoli geometrici bilaterali: essi godono della 
propriet� di olonomia se soddisfano le condizioni del teorema della funzione 
implicita. Infatti, dati k  vincoli indipendenti per i quali valgono tali condizioni, � 
possibile porre k  coordinate in funzione delle restanti kn − , ottenendo come segue 
 ),...,(
),...,(
),...,(
1
122
111
nkkk
nk
nk
qqfq
qqfq
qqfq
+
+
+
=
=
=
M
 
 
da ci� � evidente che si � ottenuta una riduzione nello spazio di stato da n  a kn − . 
� facile vedere come tale risultato implichi legami anche tra le velocit�: si supponga 
1=k , si pu� scrivere allora 
 
),...,,,...,(
111 niii
qqqqfq
+−
=  
 
Derivando tale relazione rispetto al tempo si ottiene 
 
n
n
i
i
i
i
i
q
q
f
q
q
f
q
q
f
q
q
f
q &&&&&
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
++
∂
∂
=
+
+
−
−
......
1
1
1
1
1
1
 
 
la quale, da come si pu� notare, � lineare nelle velocit� e appartiene alla classe dei 
vincoli cinematici bilaterali. 
Si supponga ora di avere un vincolo cinematico nella seguente forma: 
 
0)(...)()(
2211
=+++
nn
qqqqqq &&& ααα               (1.1) 
 
tale relazione � equivalente a un vincolo geometrico se � possibile rappresentarla in 
forma di differenziale esatto, ossia se � integrabile. 
Se (1.1) pu� essere scritto come differenziale esatto, esister� una funzione ψ  tramite 
la quale l�espressione del vincolo diventa: 
 
0
)()(
==
∂
∂
dt
qd
q
q
q
ii
ψψ
&
 
 
con ℜ→ℜ
n
i
:ψ , da cui, integrando 
 
kicq
ii
,...,1)( ==ψ  
 
In tal modo si ottiene nuovamente un legame diretto tra le coordinate generalizzate 
i
q . Da ci� � facile vedere che, mentre un vincolo geometrico anolonomo implica 
anche un vincolo cinematico, non � sempre vero il contrario. 
Un esempio di vincolo olonomo pu� essere dato da un veicolo che si muove lungo 
una rotaia le cui coordinate generalizzate sono le coordinate di posizione )(tx  e 
)(ty ; il vincolo imposto dalla rotaia fa s� che ci sia una certa relazione 
))(()( txfty =  tra le due coordinate, in modo tale da rendere l�una dipendente 
dall�altra: si passa cos� da due a una variabile indipendente, per cui si ha una 
riduzione della dimensione dello spazio di stato tipica dei sistemi olonomi. 
Qualora non si riesca a porre la (1.1) come differenziale esatto, ovvero a verificare la 
condizione di integrabilit�, non � possibile eliminare alcuna coordinata indipendente 
e si arriva cos� ad avere un vincolo anolonomo. 
Un primo caso di vincolo anolonomo � dato dai vincoli unilaterali: si supponga di 
avere 
 
0),...,(
1
≤
n
qqf  
 
e si fissino  1−n  coordinate al tempo t ; la presenza della disuguaglianza comporta 
l�esistenza di infiniti valori della man −  variabile che soddisfano il vincolo al 
tempo t  e la scelta di tale valore si pu� desumere solo dalla storia passata del 
sistema, cio� dalla traiettoria da zero a t . 
L�altro caso, che � poi quello di interesse per la tesi, si ha in presenza di una 
relazione differenziale del tipo: 
 
0),( =
ji
qqf &  
 
da cui si pu� vedere come la coordinata 
i
q  al tempo t  pu� non dipendere dal valore 
di 
j
q  allo stesso istante ma dalla storia passata di quest�ultima e cio� dalla sua 
traiettoria da zero a t : come esempio, si pu� pensare alla posizione della ruota di un  
veicolo al tempo t , che � legata a quella dello sterzo da un legame anolonomo. 
Prima di passare al paragrafo successivo, � bene tener conto delle due seguenti 
definizioni che risulteranno chiarificatrici successivamente. 
Si parla di vincoli anolonomi cinematici o esterni quando si hanno restrizioni 
imposte dalla cinematica: si pensi al vincolo di rotolamento che si ritrova ad esempio 
nei veicoli a ruote. 
Si hanno poi i vincoli anolonomi dinamici o interni: essi non sono imposti 
dall�esterno al sistema, piuttosto sono una conseguenza delle equazioni del moto e 
cio� vengono a presentarsi direttamente nel modello dinamico; un valido esempio � 
dato dalla legge di conservazione del momento angolare che si presenta 
strutturalmente come un vincolo cinematico, ma che � pi� propriamente definibile 
come invariante del sistema piuttosto che come vincolo.