Modelli matematici per la pesca industriale

Il modello base viene poi arricchito, introducendo la dipendenza dal tempodelle variabili presenti in modo che la soluzione precedentemente trovata siasoluzione di equilibrio. Queste modiche rendono possibile lo studio di unaseconda situazione altrettanto important: il mercato con operatore unico.Per denizione l'operatore unico è il proprietario esclusivo della risorsa equindi l'unico a poterla sfruttare; si parla di operatore unico e non di mono-polista perché per denizione il monopolista ha anche potere decisionale sulprezzo di vendita della risorsa, mentre si suppone che per l'operatore unicoil prezzo di vendita sia ssato da autorità dello Stato. Nelle ipotesi fatte, sidimostra che un alto tasso di sconto bancario porta ad avere un basso livellodi conservazione della risorsa. Per dimostrare la fondatezza delle ipotesi, ilmodello viene applicato alla situazione della pesca alle balene nell'Antartide,mostrando come l'incremento degli interessi bancari porti realmente ad unariduzione del numero dei cetacei.Il capitolo si chiude con l'esposizione di un modello alternativo ideato per lagestione della pesca nel Nord dell'Australia.Nel secondo capitolo il modello di Gordon viene reso realistico, abbandonan-do l'ipotesi restrittivadiavere molti parametri costanti, come ad esempio ilprezzo di vendita. Questo porta ad avere un numero maggiore di variabiliche richiedono un'analisi più sosticata. Per chiarire questo problema vieneanalizzato il caso di un rapido cambiamento del prezzo di vendita.Successivamente, abbandonando l'ipotesi che il prezzo di vendita sia indi-pendente dalla quantità di pesce venduto, si analizza il comportamento diun possibile monopolista, dimostrando che questi tenderebbe a sottoprodur-re e quindi a vendere ad un prezzo superiore rispetto a quello che è l'ottimosociale.Si arricchisce poi il modello introducendo la necessità per l'operatore unicodi arontare degli investimenti per mantenere competitiva la otta: a questoscopo si deniscono nuovi parametri come i costi ssi, legati all'acquisto deimezzi, e il tasso annuo di svalutazione delle imbarcazioni. Gli investimentipossono essere reversibili, quando vi è la possibilità di rivendere le imbarca-zioni, o irreversibili, quando le barche in eccesso non si possono rivendere.Nonostante le maggiori complessità della seconda situazione, in quanto l'o-peratore unico deve trovare un equilibrio nell'acquisto dei mezzi anché lasua otta non sia né eccessiva nè insuciente, in entrambi i casi determinala politica ottimale, e si dimostra che sul lungo termine il sistema tende auna posizione di equilibrio.A titolo illustrativo, il modello viene applicato ai dati ricavati dalla pesca allebalene, ottenendo una previsione sul possibile andamento dell'ecosistema.Nella quarta sezione si modica il modello base in modo da eliminare l'ipotesiche gli operatori del settore vendano direttamente al dettaglio, introducen-
ii
do un settore di lavorazione del pesce, intermediario tra i due. Viene postaparticolare attenzione ai rapporti che si vengono a creare tra i vari poterieconomici in gioco, nelle possibili situazioni ed in particolar modo viene stu-diato quello che accade se in uno dei due settori si viene a creare un regimedi monopolio. Si dimostra che, se il settore della lavorazione è perfettamentecompetitivo, l'esistenza di questo settore può essere ignorata dal punto divista del modello. Analogamente, il caso di una industria, proprietaria unicadella risorsa, in cui raccolta e lavorazione siano settori cooperativi, può esseretrattato come quello dell'operatore unico. Il modello acquista caratteristichenuove solo quando i due settori sono indipendenti tra loro e non sono entram-bi competitivi: per esempio, se il settore della lavorazione è controllato da ununico operatore e se la raccolta rimane competitiva, si ottiene che l'operatoreunico tende ad usare il proprio potere economico per portare la raccolta aduna sottoproduzione, aumentando così il proprio guadagno.Nella quinta sezione è stata modellizzata la cosiddetta scompensazione nellacurva di crescita. Questo fenomeno si riscontra quando la funzione G(X)=Xè decrescente, dove G(X) rappresenta la funzione di crescita: un caso tipico èquello di una specie attaccata sistematicamente da un predatore. Per esem-pio, i branchi di giovani salmoni subiscono forti perdite durante la discesa delume, e quindi un numero minore di pesci raggiunge il mare aperto, rispettoal numero originale dei nati in acqua dolce.Grazie al modello si mostra che, come è naturale, le popolazioni in cui si ri-scontra questo fenomeno sono più esposte al rischio estinzione. Addirittura,in particolari condizioni, la specie si estingue anche se la pesca cessa primadi ridurre il branco a zero; esiste cioè un livello minimo di sussistenza sottoil quale la specie si estingue automaticamente.Aggiungendo al modello le componenti economiche si stabilisce sotto qualiipotesi sia conveniente estinguere la specie nell'ottica di massimizzare ilguadagno.Nell'ultima parte del secondo capitolo si discutono versioni del modello atempi discreti che, oltre ad essere più realistiche, permettono di introdurreconsiderazioni di tipo economico, come ad esempio la regolamentazione delmercato tramite le quote di raccolta.La scelta tra modello a tempi continui e modello a tempi discreti è dovutaalla particolare natura del fenomeno in analisi. Nel caso della popolazionedei pesci, è spesso usato un modello misto, questo perché alcuni fenomeni,come le nascite, si vericano in momenti ben precisi, mentre altri, come lemorti, avvengono in maniera continua.Si analizzano anche modelli di struttura per età, in cui si tiene conto dellevarie età dei pesci nelle popolazioni sfruttate. Viene enunciato il modellodi Leslie, senza però arontarne uno studio approfondito, che richiederebbe
iii
strumenti matematici troppo complessi. Vengono invece descritti altri duemodelli, il modello Sviluppo con ritardo, studiato da Clark nel 1976 e daGoh e Agnew nel 1978, ed il modello  Gruppo dinamico sviluppato da Be-verton e Holt.Il metodo di Clark viene applicato ai dati sulla pesca alle balene, ottenendorisultati concordanti con il modello senza ritardo.Il terzo capitolo è dedicato allo studio dei possibili metodi di regolamenta-zione della pesca, come tasse, quote di raccolta e restrizioni all'ingresso. Si èanalizzato il comportamento dei pescatori nel mercato competitivo e si sonostudiati gli eetti delle varie strategie.In particolare, utilizzando metodi di teoria dei giochi, vengono studiate lepossibili strategie nel contesto di un mercato competitivo e ristretto ad unnumero limitato di persone, mostrando che, sotto opportune ipotesi, il rischioestinzione cresce al crescere del numero dei partecipanti.Successivamente vengono studiati metodi di controllo basati sull'applicazionedi tasse sul pescato e di quote individuali di raccolta, mostrando l'equivalenzadei due metodi. Nell'ultima parte del capitolo vengono confrontate le varieforme di controllo di fronte al problema di dover rinnovare la otta, all'arrivosul mercato di un nuovo peschereccio tecnologicamente più avanzato.I modelli matematici per l'industria della pesca hanno ormai raggiunto unnotevole grado di complessità e di essibilità. L'analisi fatta in questa tesi,seppur necessariamente sommaria, permette di delineare alcune conclusioni.Non è possibile pensare ad un mercato ad accesso libero perché questo por-terebbe ad avere una situazione in cui i partecipanti non avrebbero prottied il rischio estinzione sarebbe molto alto. D'altra parte abbiamo visto comeuna gestione da parte di un'operatore unico privato sarebbe altrettanto ri-schiosa; infatti gli alti tassi di interesse delle banche verso le grandi industrie,incentiverebbero uno sfruttamento intensivo della risorsa. Sarebbe in questocaso auspicabile l'imposizione di tassi di interesse pari a zero, assicurando inquesto modo la conservazione della risorsa ed al tempo stesso fornendo unasorta di equità intergenerazionale.È emerso che in molti casi siano gli interessi bancari praticati ad essere real-mente responsabili dell'estinzione delle specie di pesci; infatti un forte ca-pitale può produrre, grazie agli interessi, un ricavo maggiore di quello datodalla pesca praticata nell'ottica conservativa.Appare quindi necessaria una gestione del mercato da parte dello Stato, cheregoli il settore, limitando il controllo della risorsa da parte dei privati, trami-te una seria normativa. È stato infatti dimostrato che un sistema di licenzepuò non bastare a scongiurare il rischio estinzione, ed è quindi necessario uncontrollo su più livelli. Abbiamo visto che una limitazione agli ingressi asso-ciata ad una quota di raccolta individuale può fornire una soluzione ottimale.
iv
Capitolo 1Concetti fondamentali1.1 Modello di GordonIl primo modello matematico analizzato è dovuto all'economista Gordon chelo ideò negli anni cinquanta.Pur essendo un modello ormai superato, è comunque utile approfondirne lostudio, essendo stato la base di teorie più complesse.Deniamo pesca ad accesso libero la condizione in cui vi sia competizione tratutti i partecipanti e non vi siano limitazioni alla possibilità di ingresso nelsettore da parte di altri. Sia Y (t) il raccolto, inteso come quantità di pescecatturata al tempo t, e sia E(t) lo sforzo, termine che rappresenta il concettogenerico di impegno profuso nella pesca da tutti i partecipanti al tempo t.La funzione E(t) può rappresentare, ad esempio, il numero di ore passate apescare, o il numero delle barche impiegate, o ancora la lunghezza delle reticalate.Tutta l'analisi è basata implicitamente sulla assunzione cheY (t)=f(E(t))con f(x)=x(b x)sottoposta ai vincoli 0  E(t)  bUna seria limitazione del modello è il fatto che la f sia costante nel tempo.Deniamo con MSY il massimo raccolto sostenibile,che corrisponde al valoremassimo della funzione f ; e con EMSY il corrispondente valore di E.Gordon chiama eccesso di pesca la condizione che si verica ogni volta cheE(t) >EMSY . 1
b E(t)
Y (t) MSY
EMSYDenotiamo con p il prezzo a cui viene venduta una unità di pesce e con c ilcosto per unità di sforzo. Sia p che c sono assunte costanti.Il costo ingloba sia i costi materiali, come benzina, stipendi dell'equipaggio,sia l'eventuale svalutazione del capitale.Deniamo R(t)=pY (t) C(t)=cE(t)dove con R(t) intendiamo il ricavo totale e con C(t) il costo totale.Sia (t) = R(t)  C(t) il guadagno totale; sostiuendo i valori di R(t) e diC(t) otteniamo (t)=g(E(t))dove g(x)=px(b x) cx.
b cp E(t)E
(t)
Gordon formula l'ipotesi che un andamento positivo del mercato, in cui ilguadagno totale è positivo, porti nuovi operatori nel settore, aumentando2
conseguentemente lo sforzo totale; viceversa un valore negativo del guadagno,cioè una perdita, porti al fallimento di qualche partecipante, riducendo quindiil valore dello sforzo.Volendo rappresentare matematicamente questa ipotesi, supponiamo sia kuna costante positiva, diciamo chedE(t)dt = k(t)Questo ci permette di enunciare la principale previsione del modello di Gor-don.In una pesca ad accesso libero, lo sforzo E(t) tende a E = b cp pert che tende all'innito, punto in cui i protti pareggiano i costi.Infatti E(t) <b c=p implicadE(t)dt = k(t)=kg(E(t)) > 0 ;quindi E(t) è crescente.Viceversa, se E(t) >b c=p,avremo E(t) decrescente.Essendo E(t)=b c=p soluzione didE(t)dt = kg(E(t))otteniamo la tesi.Deniamo E equilibrio bionomico nella pesca ad accesso libero.Chiaramente sorgono problemi quando E >EMSY , perché questo porterebbead una situazione di eccesso di pesca. Questo accade quandob cp > b2 ;quindi b2 > cp ;Se il prezzo di vendita p è molto alto, oppure i costi sono molto bassi, con-dizioni apparentemente ottimali per gli operatori del settore, è inevitabileche si crei una situazione di eccesso di pesca. Il problema della politica dell'accesso libero, è che più è vantaggioso pescare, più intensamente questo vienefatto.Nell'ottica di massimizzare i guadagni imponiamo g0(E) = 0, ottenendoE = 12(b cp).Notiamo che E =2E e che 12b cp < b2 ;3
questo signica che per p e c ssati il corrispondente E rappresenta lo sforzoche massimizza il guadagno, ed essendo E < EMSY questo ci garantisce ilnon raggiungimento dell'eccesso di pesca.I beneci di una riduzione dello sforzo dalla posizione di equilibrio biono-mico ad E, in una pesca ad accesso libero, appaiono ovvi, ma questo puntodi vista sembra venir accettato con dicoltà dagli operatori del settore.Un aspetto del problema che non viene messo in evidenza dal modello staticodi Gordon, e che può spiegare l'atteggiamento dei pescatori, è il fatto che èimpossibile spostarsi istantaneamente dalla posizione di equilibrio bionomicoa quella di E.Per poter applicare questa politica di riduzione è necessario permettere aibranchi di ritornare ad un alto livello, ma questo necessita di un periodo ditempo in cui la pesca viene fermata, quindi un periodo di mancato introitoper i pescatori.Il problema diventa far accettare una perdita sul breve periodo, per avere poiun guadagno maggiore sul lungo termine. Per questo è richiesto un interventoche regoli il settorePolitiche di controlloEsaminiamo un esempio di una politica di controllo.Supponiamo che si sia raggiunta la condizione di equilibrio bionomico e l'ec-cesso di pesca, cioè che per qualche t1 si abbiaE(t1)=E eche E(t1) >EMSY .Allora si impone un fermo biologico, con E(t)=0per t 2 [t1;t2], supponendoche l'intervallo di tempo sia suciente per il totale ripristino del branco. Pert>t2 imponiamo E(t)=E, come abbiamo visto questo punto corrispondeal massimo valore della g(E). In questa maniera si consente ai pescatori diavere il massimo guadagno possibile.La condizione g(E(t)) = g(E) > 0 implica dE(t)=dt > 0, si ha cioè che laricchezza del mercato attira nuovi operatori, quindi lo sforzo totale tende adaumentare.Volendo mantenere costante lo sforzo, vengono poste delle limitazioni sulladurata della stagione di pesca. Questo fa aumentare i costi ssi, cosa cheporta a rimpiazzare c con c0. Si avrà allora g1(x)=px(b x) c0x.Se g1(E(t)) > 0 ci ritroviamo nella situazione precedente, in cui i guadagniattirano nuovi concorrenti, portando ad un ulteriore aumento dei costi. Lasituazione tende a ripetersi nché gi(E(t)) > 0, arriveremo quindi ad avereun n tale che gn(E(t)) = 0. A quel punto non ci saranno più ingressi nelmercato,maperi presenti non ci saranno utili.4