Modelli matematici per fenomeni quantistici

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unità di volume. Si è quindi ricavata   e discussa l‘equazione differenziale cui 
soddisfa la funzione d‘onda . 
Nel capitolo V , è stato studiato l‘ambiente matematico ,detto “spazio 
delle configurazioni‖, in cui si sviluppa il modello di Schrödinger . E‘   stato 
dimostrato che lo spazio suddetto è lo  Spazio Matematico di Hilbert e sono state 
date le definizioni formali degli strumenti matematici detti ―operatori‖ che 
vengono usati  per lo studio dei sistemi quantistici  .  
Nel capitolo VI è stata trattata  l‘applicazione  del  modello di Schrödinger 
nel caso in cui i  sistemi quantistici siano soggetti a forze non conservative e che 
abbiano degli stati energetici ―non stazionari‖ . Per la soluzione di questo 
problema , è stata data la definizione di rappresentazione di  Schrödinger, la 
definizione di operatore di traslazione , e si è   mostrato come applicarlo nella 
dinamica dei sistemi atomici .Infine  è stata riportata l‘equazione del moto 
secondo Schrödinger di una particella elementare .  
Nel capitolo VII , sono state presentate alcune applicazioni fisiche della 
teoria, quali il problema del gradino di potenziale e l‘oscillatore armonico .  
Nelle Appendici  si è discusso  il fenomeno degli spettri di emissione ed 
assorbimento degli atomi  prendendo come esempio l‘atomo di Litio . 
In particolare  è stata illustrata la rappresentazione delle variabili quantistiche 
nella formulazione di  Dirac , e ci si è soffermati sul modo di esprimere le 
proprietà dello Spazio di Hilbert con la notazione ad elementi matriciali (bra – 
ket) .  
 Infine nell‘Appendice A sono state incluse delle note storiche; 
nell‘Appendice B sono stati richiamati dei concetti di  Teoria della Probabilità;  
nell‘Appendice C sono stati analizzati lo spettro del corpo nero , la teoria di 
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Planck , l‘effetto fotoelettrico  e l‘effetto Compton ; nell‘Appendice D è stata 
trattata la teoria di Bohr e l‘interpretazione degli spettri atomici . 
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I  –  LE  ORIGINI DELLA MECCANICA 
QUANTISTICA. 
Prima del 1900 era generalmente accettato che la luce fosse dovuta ad un 
fenomeno elettromagnetico . Questa teoria scaturita dalle equazioni di Maxwell e 
dall‘equazione delle onde che ne deriva, riusciva a spiegare in termini di onde 
molti fenomeni ottici, quali ad esempio, la diffrazione , l‘interferenza , la 
rifrazione e la riflessione della luce . Tuttavia era difficile spiegare ad esempio , 
sulla base del concetto di onda , perché l‘intensità della radiazione emessa da un 
corpo riscaldato variava con la temperatura .  
Infatti all‘inizio del XX° secolo lo studio di una serie di fenomeni 
assolutamente inspiegabili in termini di natura ondulatoria della radiazione, ha 
dato un forte  scossone quella che sembrava una teoria accertata ed ha spinto i 
fisici ad inoltrarsi in nuove teorie ponendo le basi della fisica moderna. Si deve a 
Bohr il primo tentativo di formulare nuove leggi della meccanica valide nel 
campo dei fenomeni atomici dopo che Planck ed Einstein avevano introdotto il 
concetto di “quanto‖. Esso e‘ un corpuscolo elementare puramente energetico e 
non ulteriormente divisibile ed affianca altre unita‘ fondamentali della fisica come 
gli elettroni, gli ioni ed infine i nuclei. Altri importantissimi fisici di quel periodo 
come De Broglie , Heisenberg , Schrödinger ,  Born e Dirac contribuirono 
notevolmente alla nascita della meccanica quantistica, che ha rivoluzionato la 
concezione della struttura della materia,  e che è riuscita a spiegare molti 
fenomeni che la fisica classica non era riuscita a spiegare. Prima Planck  e poi  
Einstein , posero dunque le basi di questa vera e propria rivoluzione, iniziata con 
lo studio di due fenomeni: il problema del corpo nero e l‘effetto fotoelettrico che 
contribuirono ad associare al campo elettromagnetico una struttura  quantizzata. 
 5 
Anche se al giorno d‘oggi questa teoria sembra scontata, bisogna riuscire a 
comprendere che agli inizi del nostro secolo essa non lo era1. Questo spiega come 
mai queste teorie trovarono numerosi ostacoli, creati soprattutto dai fedeli della 
meccanica classica, che aveva ―spiegato‖ le leggi che regolano il mondo fino 
all‘inizio del nostro secolo.  
Nonostante il concetto di ―quanto‖ non è immediato da concepire, esso 
infatti non è visibile ad occhio nudo,  i risultati sperimentali riguardanti i 
fenomeni molecolari, atomici e nucleari, nonché molti altri direttamente connessi 
con le particelle elementari, sono sempre in perfetta armonia con la teoria 
quantistica. In conseguenza a questo anche le radiazioni hanno acquistato un 
aspetto granulare come quello della materia.  
 
1) Il crollo della visione “classica” del mondo . 
Per teoria classica si intende l‘apparato teorico costituito dalla Meccanica Classica  
all‘Elettromagnetismo .   
La Meccanica Classica tratta del movimento dei corpi materiali come 
determinato dalle forze che agiscono su di essi, che si manifestano quali attrazioni 
o repulsioni mutue tra particelle, mentre l‘ Elettromagnetismo , tratta dei 
fenomeni elettrici e magnetici basandosi sul concetto di campo elettromagnetico.  
In pratica con questo apparato teorico non si riescono a spiegare alcuni 
fondamentali fenomeni fisici :  
 
 La dipendenza dalla temperatura del colore degli oggetti ,  ad esempio 
una sbarra di ferro riscaldata che emette calore cambiando colore. 
                                                 
1
 Note storiche  - Appendici  (A) 
 6 
. 
 Gli atomi e le loro proprietà. In qualunque modo un atomo di una certa 
sostanza venga prodotto, esibisce sempre le stesse caratteristiche (spettri 
atomici) che ne determinano in modo univoco il comportamento nei 
processi chimici e fisici cui prende parte .  
 Stabilita degli atomi . Secondo le leggi dell‘elettromagnetismo, le cariche 
soggette ad un moto di traiettoria ellittica devono irraggiare, quindi 
perdendo energia ben presto le loro orbite dovrebbero collassare. 
In ordine cronologico i fenomeni ―inspiegabili‖ dal punto di vista della 
teoria―classica‖ sono lo spettro del corpo nero, l‘effetto fotoelettrico, l‘effetto 
Compton e lo studio degli spettri di emissione e di assorbimento della struttura 
atomica e molecolare.  Questi fenomeni sperimentali verranno meglio  illustrati  
in Appendice 2.   
 
2) La meccanica classica come limite dell’ottica geometrica 
 Mentre l‘aspetto corpuscolare della materia è stato evidenziato con fatti 
sperimentali , l‘ipotesi che la materia abbia anche aspetti ondulatori è precedente 
alla constatazione sperimentale.  
Tale fatto ha la sua base matematica nella formulazione   di Hamilton .  
L‘equazione di Hamilton – Jacobi è la risolvente del sistema delle equazioni di 
Hamilton . L‘equazione descrive il moto dei sistemi dinamici  e se in particolare  
questi sono composti da particelle , essa descrive il moto di particelle . 
L‘equazione di Hamilton – Jacobi ha però anche un aspetto ondulatorio nel 
senso che la sua soluzione S(q,t) ,introdotta nelle equazioni delle trasformazioni di 
contatto , fornisce il moto del sistema , e  varia nello spazio delle configurazioni 
esattamente come una superficie d‘onda. In altre parole l‘equazione di Hamilton – 
                                                 
2
 Fenomeni fisici e prove sperimentali    – Appendice C. 
 7 
Jacobi  descrive nello stesso tempo e mediante la stessa soluzione S(q,t) il moto di 
un sistema di particelle ed un moto ondoso . Consideriamo , per semplicità un 
sistema di punti materiali  soggetto a forze conservative . Per un tale sistema la 
funzione hamiltoniana ha il significato di energia totale ed è inoltre costante ed 
indipendente dal tempo . L‘equazione di Hamilton si scrive allora  
       ωW 
           H(q ,   ) = E   (1.1) 
        ωq 
con W(q) , la funzione caratteristica di Hamilton, legata alla funzione principale di 
Hamilton dalla relazione   
S(q,t) = W(q) –Et .    (1.2) 
Se tale funzione viene posta uguale ad una costante , diciamo a, l‘equazione S(q,t) 
descriverà una superficie , variabile nel tempo   
S(q,t) = a          (1.3) 
nello spazio  delle configurazioni .   
 Osserviamo che all‘istante  t = 0  , S(q,0) = W(q) = a  la superficie (1.3) 
coincide con la superficie  W(q) = a , che è indipendente dal tempo . Cioè il moto 
della superficie nel tempo è analogo alla propagazione di un fronte d‘onda . Al 
generico istante deve aversi : 
      S(q,t) = W(q) –Et = a   (1.4) 
e quindi       W(q) = a+Et     (1.5) 
 
analoga all‘equazione delle onde d‘urto f(x-vt). Dunque la superficie  (1.3) si 
muove nello spazio delle configurazioni , esattamente , come la superficie 
equifase di un‘onda ed in questo senso la (1.1)  descrive oltre al moto del sistema 
materiale il fronte di un’onda associata .  Durante la propagazione la superficie 
(1.3)  si deforma , sicché non ha senso parlare della sua velocità ma si può 
considerare la velocità di un generico suo punto .  Per osservare questo fatto è 
 8 
[ ] ( ( ) ) 
  ‾‾‾   ‾‾‾‾‾‾‾ 
( ) 
bene semplificare ulteriormente il problema, considerando un sistema costituito da 
un unico punto materiale non vincolato. In tal caso le coordinate lagrangiane 
coincidono con le coordinate cartesiane del punto e lo spazio delle configurazioni 
si riduce allo spazio fisico tridimensionale .  
La (1.1) si può scrivere :  
   1        ωW         ωW                    ωW 
              +         +                + V(r)  =  E  (1.6)  
 2m          ωx           ωy                      ωz 
 
cioé        (   W)2  = 2m (E – V)   (1.7) 
Ora la velocità del generico punto della superficie (1.1) è     u = ds/dt  con ds  lo 
spostamento , normale  alla superficie compiuto nel tempo dt da un punto della 
superficie stessa . Ora la variazione infinitesima della superficie nel tempo dt è 
tale che essa si porta dalla superficie W(q) = a alla superficie W + dW = a + Edt. 
Ed ovviamente dW =  ≈  W ≈ds  , ma anche dalla forma analitica della superficie  
W=a , dw = Edt .   
Dunque :  
  ds       E       E      E 
 u  =      =       =          =      (1.8) 
  dt   ≈  W ∼    2m(E-V)          2mT 
 
 
E poiché per il sistema in considerazione 2mT = p2 la velocità è data in definitiva 
da u= E/p ; poi visto che in base alla (1.7)  p =   W , il gradiente di una superficie 
è sempre ortogonale alla superficie stessa  si deve concludere  che : 
a) le superficie S = cost  sono in ogni istante ortogonali alla traiettoria delle 
particelle ; 
b) la velocità  delle suddette superfici è inversamente proporzionale alla 
velocità delle particelle. 
2 2 2 
 9 
Il moto ondulatorio descritto dall‘equazione di Hamilton – Jacobi è quindi 
semplicemente associato al moto delle particelle dal momento che superficie 
d‘onda e particelle hanno velocità che sono inversamente proporzionali .  
Questa constatazione che ad ogni moto di particelle è associato un moto 
ondulatorio è estremamente interessante , però la lunghezza d‘onda  Ο e la 
frequenza  Θ del moto possono essere forniti soltanto dalla corrispondente 
equazione delle onde e non dalla superficie equifase. Consideriamo quindi 
l‘equazione delle onde elettromagnetiche :  
      n2            ω2  Ι 
    2 Ι   -     -      = 0     (1.9) 
     c
2            ωt2 
 
dove n è l‘indice di rifrazione del mezzo , che in generale è funzione del posto , e 
della frequenza delle onde la cui ampiezza è descritta dallo scalare  Ι(r,t) . Se n 
non varia col posto , le soluzioni della (1.9)  possono essere assunte nella forma di 
onde monocromatiche sinusoidali caratteristica delle onde piane :  
   Ι(r ,t) = Ι0 exp[i(k r - Ζt) = Ι0 exp[ik0( nr - ct)]  (1.10) 
dove  Ι0 é una costante  e k è il vettore d‘onda nel mezzo , legato alla lunghezza 
d‘onda ed alla frequenza dalle relazioni :  
k= (2 Σ)/ Ο = (n Ζ) /c   e   k0 = Ζ /c   (1.11) 
dove k0  è il vettore d‘onda che la stessa onda ha nel vuoto . Sia k che k0 sono 
sempre ortogonali  alle superfici equifase della (1.11)  definite da  
S = k r - Ζt = cost   (1.12) 
Se l‘indice di rifrazione del mezzo dipende dal posto la (1.9) non é più risolvibile 
tramite la (1.10) ma si può risolvere introducendo due funzioni reali A(r) e L(r) , 
da determinare , scrivendo la soluzione nella forma :   
 Ι(r,t) = exp { A(r) +i k0 [L(r) – ct]}    (1.13) 
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In quest‘ultima forma  A(r) é un fattore di ampiezza  ;  mentre L(r) è nota come 
“iconale” ossia quello che in ottica geometrica è detto lunghezza del cammino 
ottico e, per n costante ,  deve essere uguale   al  prodotto nr . 
Sostituendo la (1.13) nella (1.9) si trova :  
i k0 [ 2  A  L +  2L ] Ι + [  2A  + (  A)2 – k02 (  L)2 + n2k02] Ι = 0 (1.14) 
A e L sono funzioni reali per ipotesi , allora le due parentesi quadre si annullano 
separatamente  si perviene al sistema di equazioni :  
 
2  A  L +  2L = 0       (1.15) 
  2A  + (  A)2 – k02 (  L)2 + n2k02  = 0    (1.16) 
Che permettono di trovare A e L . In questa fase siamo interessati alla forma che 
la seconda equazione assume nel limite dell‘ottica geometrica .Tale limite  si ha 
quando la lunghezza d‘onda nel mezzo è piccola in confronto alle regioni dello 
spazio su cui l‘indice di rifrazione varia apprezzabilmente . Dunque k0 ,deve 
essere grande rispetto ai termini  della (1.16) per cui  si arriva all‘equazione  nota 
come “equazione dell’iconale”  :      (  L)2 = n2       (1.17)  
Il confronto tra quest‘ultima equazione e  quella di Hamilton – Jacobi      
(   W)2  = 2m (E-V) 
evidenzia un analogia formale fra le due equazioni . Da questa analogia formale 
segue che la grandezza che in meccanica classica ha il ruolo dell‘indice di 
rifrazione   è  [2m (E-V) ] ½  , la funzione caratteristica di Hamilton risulta inoltre 
l‘analogo meccanico dell‘iconale .  
Al di fuori dei  limiti in cui è valida l‘analogia fra la meccanica classica e l‘ottica 
geometrica , il moto dei sistemi di particelle deve essere descritto da una funzione 
d‘onda ∴(r,t) di cui le superficie S = W –  Et = cost    sono le superfici equifase . 
{