Modelli GARCH multivariati e strategie di allocazione ottimale di portafoglio

10 
 
Capitolo 1 : Modelli univariati per la previsione dei rendimenti 
Il primo passo per l’analisi di un’attività finanziaria non è necessariamente basato sullo studio della serie 
storica dei suoi prezzi. I prezzi dei titoli finanziari sono difficilmente confrontabili e secondo alcune 
conclusioni teoriche le loro serie sono non stazionarie,
8
 in virtù di diverse ipotesi tra cui quella di efficienza 
dei mercati borsistici
9
. Queste considerazioni assumono che il processo generatore dei prezzi sia 
classificabile come random walk, come fece notare Mandelbrot, è che quindi ogni informazione risulti 
immediatamente incorporata nei prezzi stessi. 
Se invece ci si sofferma a comprendere il processo che genera i rendimenti, ci si può orientare verso lo 
studio dei log – rendimenti delle serie storiche ed a modelli che includono le ipotesi di stazionarietà sotto 
determinate condizioni. 
I rendimenti percentuali delle serie storiche aggiustate per i dividendi distribuiti, sono definiti dalla 
seguente espressione:  
   
(1.1)     �� �� = 100 log  
�� �� �� ��− 1
 = 100 (log �� �� − log �� ��− 1
 ) 
 
dove �� �� definisce il prezzo al tempo t della generica attività finanziaria. Il log-rendimento è 
un’approssimazione semplificatrice molto utile perché gode di diversi vantaggi inerenti alla riduzione della 
complessità di calcolo computazionale. 
Oltre a queste descrizioni ipotetiche è possibile comunque determinare un processo generatore per queste 
grandezze, che si sviluppa dall’intenso lavoro svolto nel tempo dallo studio teorico riguardante le varie 
distribuzioni seriali, da cui si è  giunti ad accumunare diverse regolarità empiriche a queste serie. 
Una prima caratteristica di spiccata importanza, soprattutto per l’applicabilità dei modelli ad 
eteroschedasticità condizionale, è l’esistenza del fenomeno definito come volatility clustering (volatilità in 
grappoli). Il fenomeno è descritto dal Verbeek (2006): “shock (residui) elevati tendono ad essere seguiti da 
shock elevati in entrambe le direzioni, e shock contenuti tendono a sentarsi subito dopo shock contenuti”. 
Questa identificazione, che nella teoria quantitativa evolve dalla forte dipendenza dei vari shock seriali, 
permette di determinare un legame tra i residui al quadrato della serie, indicando la possibilità d’uso  di un 
modello a varianza condizionata. Questo processo della volatilità è supposto formarsi nel mercato a causa 
del comportamento degli operatori finanziari, che assorbendo la notizia in momenti diversi, si trovano ad 
                                                             
8 M. Verbeek, Econometria, (2006) 
9  E. Fama, Efficient Capital Markets, The journal of Finance, (1991)
11 
 
operare in momenti temporali divergenti. Se consideriamo come esempio il mercato finanziario telematico 
internazionale, ci è facile presumere un leggero ritardo nel recepimento delle notizie tra gli investitori con 
diverso fuso orario e quindi un frazionamento della loro operatività nel tempo. 
E’anche individuata l’esistenza di una correlazione positiva tra le volatilità di attività finanziarie provenienti 
dallo stesso mercato, facendo presumere l’influenza di determinati fattori latenti su queste variazioni. Si 
evince dal lavoro di Fama e French
10
, che fattori nascosti relativi al mercato dei titoli di stato sono in grado 
di influenzare i mercati azionari domestici, avendo così la conseguenza di alterare la volatilità dei medesimi. 
Tornando nuovamente sulle caratteristiche proprie dei rendimenti, è possibile sottolineare una non 
significatività nell’autocorrelazione dei primi ritardi, se non consideriamo intervalli temporali molto brevi
11
. 
Quest’indicazione fa presumere l’efficienza dei mercati, e fa corrispondere tutta l’informazione all’ultimo 
prezzo osservato; da questo si evince chiaramente che non è possibile prevedere l’esatta grandezza dello 
shock futuro partendo da quello passato. 
Le evidenze empiriche hanno mostrato una correlazione positiva tra le quantità scambiate e la dimensione 
della volatilità, questo fenomeno è trattato in maniera approfondita da G. Andersen
12
. 
Si mostra anche che alcuni risultati in letteratura hanno individuato nella distribuzione dei rendimenti due 
caratteri ricorrenti: asimmetria negativa e leptocurtosi. 
L’asimmetria negativa è facilmente visibile in relazione alla presenza di elevati shock negativi ricorsivi nelle 
serie storiche, e che quindi rendono presumibile una non normalità della distribuzione non condizionata. 
Anche la leptocurtosi, o eccesso di curtosi, fa presumere la non normalità delle serie finanziarie, e può 
essere spiegata dalla dottrina che cerca di determinare la ragione economica di questa connotazione; 
questa motiva, avvalendo la proposta che i vari operatori percepiscano diversamente le aspettative future 
di perdita rispetto a quelle di guadagno, il realizzarsi di scenari fortemente negativi in occasione di eventi 
imprevedibili di forte interesse economico. Per un lavoro più specifico sull’analisi dell’asimmetria si può 
considerare Pierò (1999), Hong e Stein (1999), e ancora Chen (2000),. 
Tra i caratteri connotativi empirici delle serie, si sono denotati i fenomeni definiti: “effetto dimensione”
13
, 
“l’effetto gennaio”
14
 e “l’effetto fine settimana”
15
. 
                                                             
10  E. Fama, K. French, Common risk factors in the returns on stocks and bonds, Journal of financial 
economics, (1993) 
11 A. Bertazzo, Studio dell’asimmetria delle distribuzioni dei rendimenti finanziari, (2005) 
12 G. Andersen, Return Volatility and Trading Volume: An Information Flow Interpretation of Stochastic 
Volatility, Journal of finance, (1996) 
13 Banz, “The relationship between return and market value of common stock”, Journal of finance, (1981) 
14 Keim, Donald B., “Size related anomalies and stock return seasonality further empirical evidence”, 
Journal of financial economics (1983)
12 
 
L’effetto dimensionale è riscontrato da Banz (1981) sia in termini statistici sia in termini di rilevanza 
empirica. Nel suo lavoro di analisi, svoltosi sul mercato USA riguardante i profitti differenziali annuali tra 
l’investimento in aziende di modeste dimensioni rispetto a quelle di grande dimensioni, si evince un divario 
del 19,8% tra le medesime. Questo divario di rendimento però sembra essere discontinuo nei vari periodi 
storici. L’effetto gennaio si è definito proprio nell’analisi del extrarendimento delle “small cap”, fornito da 
Keim(1983), dove viene illustrato che queste società sarebbero in grado di garantire metà del differenziale 
di rendita proprio nel primo mese dell’anno. 
L”effetto fine settimana”, riscontrato da Gabbi (1999), ci dichiara che l’aumento della volatilità alla 
riapertura settimanale dei mercati è caratteristico nei momenti successivi alla riapertura del mercato di 
scambio degli asset mobiliari. Infatti, secondo sue parole, “l’effetto non trading period sembra 
direttamente correlato all’accumulo di informazioni che avviene quando i mercati cono chiusi e che riflette 
immediatamente la sua apertura; esiste inoltre una differente volatilità osservabile sulle rilevazioni 
infragiornaliere”. 
L’ultimo effetto, ma non il meno importate, è l”effetto leva” (leverage effect) che ci informa su come sia 
presunta l’eteroschedasticità delle serie. Va infatti ripetuto che fasi di mercato crescenti per i rendimenti 
sono accompagnate da relative volatilità inferiori, creando una vischiosità dei corsi rialzisti Schwert (1989). 
Questa condizione, che prevale soprattutto per shock negativi, induce a presumere la possibile influenza 
del segno dell’errore sulla dimensione della relativa volatilità condizionata. 
Riconsiderando le seguenti caratteristiche, siamo in grado di stabilire che: i rendimenti sono 
completamente diversi dal teorico processo white noise gaussiano, e proprio perché le variabili casuali che 
descrivono il processo non sono tra loro identicamente distribuite è possibile determinare dei legami tra le 
diverse osservazioni; nel concreto è quindi possibile associare alle varie serie un processo di generazione 
dei dati, che è in grado di considerare un istante di partenza per ottenere informazioni sulle realizzazioni 
future. Le realizzazioni future diventano così stimabili in media secondo la definizione di rendimento atteso 
condizionato. 
Il rendimento atteso condizionato si sviluppa dalla definizione dei modelli a media condizionata, che 
partendo dai modelli autoregressivi lineari, evolve poi in letteratura con diverse formulazioni più complesse 
arrivando fino ad espressioni non lineari. 
 
                                                                                                                                                                                                          
15  G. Gabbi, “Definizione, misurazione, gestione del rischio reputazionale degli intermediari bancari”, 
(1999)
13 
 
Modelli Autoregressivi e Media Mobile 
 
Per la specificazione dei nostri processi stocastici, siamo partiti dalla letteratura concernente le 
modulazione lineare nei parametri, che fa presumere l’esistenza di una dipendenza lineare tra le 
osservazioni del processo generatore dei log-rendimenti. Definiamo così il modello auto regressivo di primo 
ordine (Auto-regressive of order 1 – Ar(1)): 
 
(1.2)      �� �� = �� + ���� ��− 1
+ �� �� ,  
 
dove �� �� indica un’innovazione serialmente non correlata con media nulla e varianza costante, classificata 
come processo white noise. In questo modello sono assunte indirettamente le condizioni di stazionarietà e 
le condizioni di invertibilità. Infatti, un processo stocastico è definito stazionario in senso stretto se, le sue 
proprietà non dipendono dalla variazione della data che individua l’origine del tempo. Questo impone che 
le covarianze tra due generiche �� �� non dipendano da t. Nel momento in cui si ha interesse solo per le 
medie, varianza e covarianze è possibile imporre la loro indipendenza dal tempo in maniera meno 
restrittiva, operando le seguenti assunzioni: 
 
(1.3)      �� �� �� = µ < ∞, 
 
                   �� �� �� = �� [(�� �� − µ)
2]
= ƴ
0
 < ∞, 
 
   ������ �� �� ,�� ��−�� = �� [ �� �� − µ   �� ��−�� − µ = ƴ
�� , 
 
    e per il caso in cui �� �� ~ AR(1), |�� | < 1. 
 
Dove le prime tre condizioni individuano le proprietà di stazionarietà in senso debole per un processo 
stocastico. La prime due espressioni impongono che la media e la varianza siano finite e costanti nel tempo, 
mentre la terza determina che la funzione di autocovarianza dipenda esclusivamente dalla distanza 
temporale tra le due osservazioni. L’ultima assunzione identifica la condizione di invertibilità del polinomio 
di ritardo, che permette la riformulazione del processo stesso in uno a media mobile di ordine infinito 
MA(∞). 
Nel caso di assunta stazionarietà, si è in grado di determinare le informazioni fondamentali per la 
formulazione delle previsioni future: valore atteso, auto covarianza e varianza, che altrimenti sarebbero 
caratterizzate da esplosività nei processi o trend aleatori imprevedibili.
14 
 
Se infatti si assume che E(�� �� ) e V( �� �� ) non dipendano da t e quindi sia imposta la (1.3), è possibile ottenere 
dal modello i seguenti risultati: 
 
(1.4)            �� �� �� = 
�� 1− �� ; 
 
(1.5)             �� �� �� = 
�� 2
1− �� 2
 ; 
 
(1.6)           Cov  y
t
, y
t−k
 = θ
k
σ
2
1− θ
2
 . 
 
Un processo AR(1) può anche essere riformulato come un processo a media mobile di ordine infinito 
MA(∞) secondo il Teorema di Wold, sotto la condizione di stazionarietà in (1.3), ed iterando n volte la 
sostituzione al secondo membro del valore ritardato di �� ��− 1
 otteniamo la seguente espressione: 
 
(1.6) �� �� = µ + �� ��  �� ��−�� − µ  +   �� �� �� ��−�� 
��− 1
�� =0
 ; 
 
dove  µ è riconducibile alla equazione (1.4). 
Se però n → ∞, l’espressione in (1.6) può essere semplificata, eliminando il secondo termine a destra 
dell’uguaglianza a causa della sua convergenza a zero, fino ad ottenere: 
 
(1.7)                                                  �� �� = µ +   �� �� �� ��−�� 
∞
�� =0
; 
 
dove µ rappresenta il valore atteso espresso in (1.4). 
L’espressione formulata in (1.6) è molto utile per determinare il nostro obiettivo previsionale, perché 
permette la semplice definizione dell’entità definita come predittore ottimale di �� �� . Il predittore ottimale è 
la misura che viene stimata da una funzione dipendente dal set informativo di dati seriali, quest’ultimo 
definito con �� �� : 
 
(1.8)                                                         �� �� = {�� �� 
,�� ��− 1 
,�� ��− 2
 , . ..  ,�� ��−�� } ; 
 
dove �� �� contiene, in forma generica, l’insieme di informazioni relative alle nostre variabili d’interesse 
disponibili all’istante temporale in cui viene fatta la previsione. 
Il criterio di scelta del predittore, determinato tra i vari possibili, corrisponde alla minimizzazione della 
seguente equazione:
15 
 
(1.9)  Min. : �� [( �� �� +�� − ŷ
�� +�� |�� )
2
|�� �� ]; 
con cui viene espressa la volontà di minimizzare l’errore quadratico medio, dato l’insieme informativo �� �� . 
E’ intuitivamente facile comprendere che il predittore ottimale corrisponde al valore atteso condizionale di 
�� �� +�� . In termini più rigorosi possiamo generalizzare, partendo dall’espressione (1.6), la formulazione della 
previsione relativa ad h passi avanti come: 
(1.10)   �� �� +�� | �� = µ + �� �� (�� �� − µ ) ; 
che determina, nel caso in cui la previsione coinvolga una serie di passi in avanti tale da portare n → ∞ , la 
convergenza della previsione al suo valore centrale, µ . Questa valutazione sulla convergenza asintotica 
risulta importante per comprendere l’evolversi della previsione all’allontanarsi dall’istante campionario t. 
Come evidenziato nella formulazione (1.6) il processo AR(1) può essere trasformato in un modello MA (∞), 
che rappresenta un modello a media mobile con ritardi aggiuntivi al primo. Definiamo prima per chiarezza il 
modello MA(1): 
 
(1.11)   �� �� = µ + �� �� + �� �� ��− 1
 ; 
 
dove il processo �� �� è generato dalla ponderazione di un processo a rumore bianco (white noise). Il valore 
atteso, varianza e autocovarianze  del modello sono esprimibili nella seguente forma: 
 
(1.12)               �� �� �� = ��   �� �� + �� �� ��− 1
 
2
 = 1 + �� 2
 �� 2
; 
   
   ��  �� �� = µ ;   
 
(1.13)  ������ �� �� ,�� ��− 1
 = ��  �� �� + ���� ��− 1
  �� ��− 1
+ ���� ��− 2
  = �� �� (�� ��− 1
2
 ) = �� �� 2
; 
 
(1.14) ������ �� �� ,�� ��−�� = 0,  per �� = 2, 3, 4,… 
nella quale si evince il fatto che le autocovarianze si riducano a zero per ritardi che differiscano di due o più 
periodi. Questa notazione ci permette di sottolineare come le autocorrelazioni varino nei i due modelli tra 
ritardi della serie. Nei grafici relativi alle figure 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, vengono rappresentate le funzioni di 
autocorrelazione relative alle due implicazioni strutturali AR(1) e MA(1).
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Funzione di autocorrelazione teorica: 
AR(1), θ= 0,9
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Funzione di autocorrelazione teorica: 
Ma(1), θ= 0,9
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Funzione di autocorrelazione teorica: 
AR(1), θ= 0,5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Funzione di autocorrelazione teorica: 
Ma(1), θ = 0,5
Figura 1.1 
 
 
   Figura 1.2 
 
 
Figura 1.3 
 
 
Figura 1.4
17 
 
Il caso più generale: formulazione del processo ARMA 
 
Il processo autoregressivo ed il processo a media mobile sono possibili di estensione, tramite l’aggiunta di 
ritardi d’ordine superiore al primo nelle equazioni espresse in (1.2) e in (1.11), e mantengo comunque 
l’invertibilità del polinomio di ritardo sotto alcune condizioni
16
. Il polinomio di ritardo è definibile come un 
filtro, che applicato ad un processo generico �� �� , determina la trasformazione del medesimo in un white 
noise process
17
. 
Con l’introduzione di questo nuovo operatore siamo in grado di esprimere in maniera sintetica le 
formulazioni generalizzate AR(p) e MA(q), per poi descrivere la forma ARMA(p,q). Il processo AR(p) è 
definito secondo l’equazione seguente: 
 
(1.15)      �� �� �� �� = �� �� , 
 
dove ���� è un polinomio di ordine p nell’operatore �� , espresso da: 
 
(1.16)       �� �� = 1 − �� 1
�� 1
− �� 2
�� 2
− …− �� �� �� �� , 
 
mentre il processo MA(q) è definito come: 
 
(1.17)             �� �� = �� �� �� �� , 
 
dove �� ��  è un polinomio di grado q in �� espresso da: 
 
(1.18)         �� �� = 1 + �� 1
�� 1
+ �� 2
�� 2
+ … + �� �� �� �� . 
 
                                                             
16 L’operatore ritardo è definito da: �� �� �� = �� ��−�� ,  
e gode delle seguenti proprietà: �� 0
= 0, �� −1
�� �� = �� �� +1
 , �� µ = µ .  
Le condizioni di invertibilità sono realizzate se il polinomio di ritardo definito in (1.16) sussistono nel caso in 
cui | ф
�� | < 1  e ∀ �� ∈ �� �� , dove ф
�� è il generico coefficiente del polinomio ritardo nell’uguaglianza: 
1 − �� 1
�� 1
− �� 2
�� 2
− …− �� �� �� �� =    (1 − ф
�� �� )
�� 1
 .  
17 Ad esempio se applichiamo l’operatore ritardo ad un processo AR(1) otteniamo: �� �� = ������ �� + �� �� = 
= (1 – θL) �� �� = �� �� , dove �� �� è il processo predefinito �� �� ~ ���� ( 0 ,�� 2
). Quindi possiamo verificare 
l’espressione (1.6) �� �� = (1 − ���� )
−1
�� �� =   �� �� �� �� �� �� 
∞
�� =0
.
18 
 
Entrambe le specificazioni possono essere trasformate nelle diverse forme sopraindicate quando i polinomi 
in �� risultano invertibili, e sotto l’ipotesi che tutte le soluzioni dell’equazione caratteristica siano esterne al 
cerchio unitario
16
. 
L’utilità delle seguenti specificazioni permette l’identificazione della specificazione ARMA, che si sviluppa 
come rappresentazione più parsimoniosa contenente una componente autoregressiva ed una componente 
a media mobile. Il modello ARMA(p,q) può essere scritto come:  
 
(1.19) �� �� �� �� = �� �� �� �� , 
 
che può, a verificate condizioni di invertibilità, essere riscritto sotto forma di MA(∞) o di AR(∞): 
 
(1.20) �� �� = �� −1
 ��  �� �� �� �� , 
 
(1.21)                                                                   �� −1
 ��  �� �� �� �� = �� �� . 
 
I polinomi �� −1
 ��  �� �� �� �� , �� −1
 ��  �� �� �� �� hanno lunghezza di ordine infinito con coefficienti vincolati. 
La comodità della formulazione ARMA(p,q) si scontra con il problema delle radici comuni, o radici 
semplificabili. Questo fenomeno insorge nel caso in cui le componenti autoregressive e quelle a media 
mobile contengono due radici uguali tra di loro, con conseguenza di possibile semplificazione. E’ possibile 
comprendere il problema con un semplice esempio generico.  
Se si suppone, che la corretta specificazione per un processo �� �� , sia il modello ARMA(2,1) descritto da: 
 
            1 − �� 1
�� 1
− �� 2
�� 2
 �� �� = 1 + �� 1
�� 1
 �� �� , 
 
che può essere riformulato come: 
 
     1 − ф
1
��  1 − ф
2
��  �� �� =  1 + �� 1
�� 1
  �� �� . 
 
Nel caso in cui sia �� 1
= − ф
2
 , è possibile semplificare il modello dividendo entrambi i membri per 
 1 + �� 1
�� 1
 , ottenendo così: 
 
         1 − ф
1
��  �� �� = �� �� , 
 
che è uguale all’identificare un modello ARMA(1,0) (ovvero un AR(1)) come espressione del  processo �� �� .