Modelli di previsione del rumore di traffico stradale: impostazione di una nuova procedura

 6
contro sono molto elaborate e richiedono una gran quantità di tempo per essere 
apprese e utilizzate.  
I modelli che sfruttano tecniche di regressione sono molto più diretti e facili da 
utilizzare in quanto richiedono solo un minimo di dati di input. Per contro non 
possono essere utilizzati se si desidera ottenere una mappatura acustica del 
territorio, questo perché danno predizioni solo di tipo puntuale. 
I modelli di regressione presenti in letteratura sono modelli messi a punto da 
Istituti di ricerca, appartenenti a diverse nazioni europee ed extraeuropee, in 
conformità a rilievi sperimentali ottenuti durante campagne di misura che hanno 
preso in considerazione le situazioni più tipiche del traffico stradale delle singole 
nazioni.  
La presente tesi si pone tre linee obiettivi: uno sperimentale, durante il quale sono 
stati acquisiti dati accurati in diverse campagne di misura, nelle quali sono stati 
eseguiti rilievi fonometrici e di flussi di traffico stradale; uno teorico, durante il 
quale sono stati impiegati i dati su diversi modelli e per la creazione di un nostro 
modello; e in ultimo si è utilizzato un modello di “ray tracing”, nel caso specifico 
il software “MITHRA”, per lo studio di un’area nei pressi della tangenziale di 
Torino. Quest’ultima fase è uno studio pilota per un progetto di monitoraggio e 
bonifica acustica del tratto autostradale tangenziale di Torino, patrocinato dalla 
Provincia di Torino (Dipartimento Ambiente) in collaborazione con le ARPA 
(Agenzia Regionale Protezione Ambientale). 
Il secondo obiettivo del lavoro esamina dei programmi di predizione del rumore di 
traffico stradale, specificando i dati di ingresso utilizzati e le diverse ipotesi di 
calcolo. 
Il lavoro è concluso con una discussione dei risultati ottenuti. 
 
 
 
 
 
 7
 
 
CAPITOLO 1 
 
Nozioni Di Acustica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8
1.1    Introduzione 
 
 
In questo capitolo prenderemo in considerazione i principi fisici che descrivono la 
propagazione del suono. Inizieremo con il considerare le equazioni esprimenti la 
seconda legge di Newton del moto, la legge dei gas perfetti nella sua forma 
adiabatica, e la legge di conservazione della massa. Successivamente 
combineremo queste equazioni per ottenere l’equazione d’onda. 
La derivazione matematica può essere fatta in due modi: utilizzando o no 
l’algebra vettoriale. I due modi di procedere saranno sviluppati in parallelo; 
quando parleremo di equazione d’onda unidimensionale faremo uso di una 
semplice notazione differenziale; quando invece tratteremo l’onda in modo 
tridimensionale useremo la notazione vettoriale. 
 
 
1.1.2    Derivazione dell’equazione d’onda 
 
 
Consideriamo un volumetto di gas localizzato in un mezzo omogeneo e privo di 
attriti, in pratica la viscosità tra le particelle del gas all’interno e fuori 
dell’elementino è trascurabile. Le sole forze agenti saranno così quelle dovute alla 
pressione esercitata sulle facce dell’elemento di volume. Se scriviamo la seconda 
legge di Newton per il moto di questo elementino, otteniamo che dal punto di 
vista unidimensionale, supposto che la pressione sonora aumenti da sinistra a 
destra con un rateo di variazione spaziale ∂p/∂x, la forza agente sul volumetto 
nella direzione x è: 
zyx
x
p
f
x
∆∆







∆
∂
∂
−=                      (1.1) 
Se riguardiamo il tutto da un punto di vista tridimensionale, la variazione spaziale 
della pressione è ora descritta dall’operatore vettoriale: 
z
p
y
p
x
p
p
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= kjigrad       (1.2) 
dove i, j, k sono vettori unitari nelle direzioni x, y, z rispettivamente, e p è la 
pressione. 
 9
La forza adesso è: 







∆∆


	




∆
∂
∂
+∆∆



	






∆
∂
∂
+∆∆


	




∆
∂
∂
−= yxz
z
p
zxy
y
p
zyx
x
p
kjif    (1.3) 
Facciamo notare che un valore positivo del gradiente causa un’accelerazione del 
volumetto nella direzione negativa delle x. 
Dividendo ora la (1.1) e la (1.3) per il volume V occupato dall’elementino dato da 
V=∆x∆y∆z otteniamo le rispettive accelerazioni: 
x
p
V
f
x
∂
∂
−=               (1.4) 
p
V
−∇=
f
                (1.5) 
Per la seconda legge del moto, la forza per unità di volume deve essere uguale alla 
variazione della quantità di moto per unità di volume, abbiamo già assunto che il 
nostro elemento di fluido è deformabile in modo che la massa contenuta al suo 
interno sia costante, così otteniamo: 
t
u
t
u
V
M
x
p
V
f
x
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
−= 'ρ        (1.6) 
e in tre dimensioni: 
dt
d
dt
d
V
M
p
V
qqf
'ρ==−∇=          (1.7) 
dove ρ’ è la media spaziale della densità istantanea del gas nell’elementino, u è la 
velocità media del gas nella direzione x, q è il vettore velocità media e dq/dt non è 
la semplice derivazione temporale della velocità ma rappresenta la variazione 
totale della velocità nel tempo e nello spazio, cioè: 
z
q
y
q
x
q
tdt
d
zyx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
qqqqq
        (1.8) 
dove q
x
 ,q
y
 e q
z
 sono le componenti del vettore velocità q. 
Se la variazione della densità del gas è sufficientemente piccola, allora il valore 
istantaneo di ρ’ è approssimativamente uguale alla densità dell’ambiente 
circostante il volumetto data da ρ
0
.E se il vettore velocità delle particelle q è 
sufficientemente piccola, la variazione del momento delle particelle può essere 
approssimata dalla variazione in un punto fisso, così avremo che, dq/dt=∂q/∂ t. 
Allora: 
t
u
x
p
∂
∂
=
∂
∂
−
0
ρ         (1.9) 
 10
e: 
t
p
∂
∂
=∇−
q
0
ρ        (1.10) 
Diamo ora qualche richiamo di fluido dinamica, cominciando con il ricordare che 
per un gas ideale la legge di Boyle applicata ad un volume V afferma che: 
RTPV =               (1.11) 
In cui P è la pressione totale nel volume, T è la temperatura in gradi Kelvin, e R è 
una costante per il gas la cui grandezza dipende dalla massa di gas racchiusa nel 
volume. Utilizzando quest’equazione possiamo trovare una relazione tra la 
pressione sonora e la variazione del volume dell’elementino da noi in esame. 
Prima di fare ciò dobbiamo conoscere come varia la temperatura con i 
cambiamenti di pressione e di volume, cioè sapere se il processo è un fenomeno 
adiabatico o isotermo. 
Ora, ogni volta che una porzione di un qualunque gas è compressa rapidamente, la 
sua temperatura aumenta, e, per contro, quando è espanso velocemente, la sua 
temperatura decresce. In ogni punto di un campo sonoro alternato, quindi, la 
temperatura aumenta e diminuisce rispetto alla temperatura ambiente. Questa 
variazione ha la stessa frequenza dell’onda sonora ed è in fase con la pressione 
sonora. Facciamo per il momento l’ipotesi che l’onda sonora abbia una sola 
frequenza. In punti distanti mezza lunghezza d’onda la pressione e la temperatura 
sono in opposizione di fase con ogni altra fluttuazione. Ci chiediamo ora se è 
sufficiente mezzo periodo affinché possa avvenire tra i due punti uno scambio di 
calore. Si è stabilito che in condizioni atmosferiche normali la velocità di 
spostamento di un’onda termica di lunghezza λ=0,34 m è circa di 0,5 m/s, e per 
una di λ=3,4 m è circa di 1,5 m/s. Per un’onda sonora di λ=0,34 m, mezzo 
periodo d’onda corrisponde a 0,0005 s, in questo tempo l’onda termica compie un 
cammino di 0,00025 m che è trascurabile se confrontato con una mezza lunghezza 
d’onda dell’onda sonora. L’approssimazione è tanto più valida per un’onda con 
λ=3,4 m; possiamo quindi concludere con sicurezza che lo scambio di calore nella 
propagazione è trascurabile a frequenze udibili. Questo tipo di compressioni ed 
espansioni sono dette adiabatiche. 
La relazione quindi da prendere in considerazione è: 
cost=
γ
PV         (1.12) 
 11
dove γ è il rapporto tra il calore specifico a pressione costante e il calore specifico 
a volume costante del gas. Per aria, idrogeno, ossigeno, azoto, ed altri gas con 
molecole diatomiche,γ=1,4 
Esprimiamo ora in forma differenziale la (1.12): 
V
dV
P
dP
γ−=            (1.13) 
e sia anche: 
vVVpPP +=+=
00
                                                 (1.14) 
dove P
0
 e V
0
 sono la pressione e il volume del fluido indisturbato, e p e ν sono gli 
incrementi della pressione e del volume.  
Allora per le stesse approssimazioni fatte per ottenere le (1.9) e (1.10), e poiché 
p<<P
0
 e ν<<V
0
 possiamo scrivere: 
0
V
v
P
p
o
γ−=            (1.15) 
                            
 
Fig 1.1. Cambiamento del volume con la posizione. Dalle figure (a) e (b) si può notare che la 
variazione del volume è v=(∂ξ
x
/∂x)∆x∆y∆z. 
 
Derivandola ora nel tempo otteniamo: 
t
v
Vt
p
P ∂
∂
−=
∂
∂
00
1 γ
         (1.16) 
All’inizio di questo capitolo abbiamo detto che avremmo ricavato l’equazione 
della propagazione di un’onda sonora, derivandola dalle equazioni della seconda 
legge del moto, dei gas perfetti nella forma adiabatica, e della conservazione della 
massa o di continuità. Fin qui ci siamo adoperati per ricavare le prime due, adesso 
ricaviamo l’ultima in modo da poterle poi raggruppare assieme per ottenere il 
risultato desiderato. 
)(a )(b
 12
L’equazione di continuità afferma che la massa totale di un gas contenuto in un 
volume deformabile deve rimanere costante. Riferendoci alla figura (1.1), se la 
massa di gas all’interno del volume resta costante, la variazione di volume ν 
dipende solamente dalla differenza di spostamento delle particelle d’aria ai lati 
opposti del volume. Allora se in un dato intervallo di tempo le particelle d’aria sul 
lato sinistro si sono spostate di ξ
x
, nello stesso periodo le particelle sul lato destro 
si sposteranno di ξ
x
+(∂ξ
x
/∂x)∆x. La differenza tra le due quantità suddette, 
moltiplicate per la superficie ∆y∆z darà l’incremento di volume ν: 
x
Vzyx
x
v
xx
∂
∂
=∆∆∆
∂
∂
=
ξξ
0
       (1.17) 
differenziando rispetto al tempo: 
x
u
V
t
v
∂
∂
=
∂
∂
0
          (1.18) 
dove u è la velocità istantanea della particella. 
Nel caso tridimensionale la variazione di volume dipenderà dalla divergenza del 
vettore spostamento, dunque: 
ξdiv
0
Vv =        (1.19) 
Che derivata nel tempo produce: 
divq
0
V
t
v
=
∂
∂
       (1.20) 
Abbiamo ora tutti gli elementi che ci occorrono per ricavare l’equazione d’onda. 
Partiamo sempre dal caso unidimensionale per poi arrivare alla più generale 
formulazione tridimensionale.  
Combiniamo ora le relazioni (1.9), equazione del moto, (1.16), legge dei gas, e 
la(1.18) equazione di continuità. Dalle (1.16) e (1.18) abbiamo: 
x
u
P
t
p
∂
∂
−=
∂
∂
0
γ            (1.21) 
Se la deriviamo nel tempo abbiamo: 
xt
p
P
t
p
∂∂
∂
−=
∂
∂
2
0
2
2
γ          (1.22) 
Derivando ora la (1.9) rispetto a x si può scrivere: 
tx
p
x
p
∂∂
∂
=
∂
∂
−
2
0
2
2
ρ            (1.23) 
Assumendo valida l’intercambiabilità delle derivate spaziali e temporali, e 
inserendo la (1.22) nella (1.23), otteniamo: 
 13
2
2
0
0
2
2
t
p
Px
p
∂
∂
=
∂
∂
γ
ρ
      (1.24) 
In modo analogo possiamo ricavare l’equazione in forma tridimensionale, ora 
però le derivate saranno sostituite dai rispettivi operatori, trovando: 
2
2
0
02
t
p
P
p
∂
∂
=∇
γ
ρ
      (1.25) 
E’ possibile dimostrare la validità dell’uguaglianza: 
0
02
ρ
γ
P
c =      (1.26) 
Dove c è la velocità del suono. 
Così otteniamo per il caso unidimensionale e quello tridimensionale, 
rispettivamente: 
(1.27b)    
1
                                        (1.27a)    
1
2
2
2
2
2
2
22
2
t
p
c
p
t
p
cx
p
∂
∂
=∇
∂
∂
=
∂
∂
 
Ricordiamo che in coordinate cartesiane il laplaciano di p si scrive: 
2
2
2
2
2
2
2
z
p
y
p
x
p
p
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇         (1.28) 
Avremmo anche potuto all’inizio della trattazione ricavare l’equazione relativa 
alla velocità in luogo della pressione, e così si sarebbe ottenuto: 
(1.29b)     
1
                                    (1.29a)    
1
2
2
2
2
2
2
22
2
tct
u
cx
u
∂
∂
=∇
∂
∂
=
∂
∂ q
q  
Le equazioni (1.27) e le (1.29) sono le equazioni d’onda sonora applicate a un 
mezzo omogeneo, isotropico, privo di attriti e in campo libero. 
 
 
1.1.3 L’equazione d’onda in coordinate sferiche. 
 
 
Le equazioni, unidimensionale o tridimensionale, sopra scritte, sono valide in un 
sistema di coordinate geometrico. Nello spazio libero è solito scrivere la 
propagazione sonora in termini di onde sferiche. Per applicare l’equazione d’onda 
a questo tipo di onde dobbiamo rivedere la forma degli operatori nelle equazioni 
(1.27) e (1.29), introducendo in esse i corrispettivi operatori in coordinate 
 14
sferiche. Assumendo che la propagazione sia uguale in ogni direzione, 
l’equazione d’onda diviene ora: 
                                                
2
2
22
2
12
t
p
cr
p
rr
p
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
                (1.30) 
Semplici differenziazioni mostrano che questa può essere riscritta come: 
                                               
2
2
22
2
)(1)(
t
pr
cr
pr
∂
∂
=
∂
∂
                     (1.31) 
E’ interessante notare che questa equazione ha la stessa forma della (1.27a); 
quindi le stesse soluzioni formali possono essere applicate alle due equazioni, ad 
eccezione del fatto che in una la variabile è p(x,t) e nell’altra è p(r,t). 
 
 
1.1.4    Soluzioni delle equazioni d’onda 
 
• Caso unidimensionale. 
Partiamo dalla (1.27a), che ricordiamo essere: 
                                                   
2
2
22
2
1
t
p
cx
p
∂
∂
=
∂
∂
                          (1.32) 
La soluzione generale di questa equazione è la somma di due termini: 
                                         







++








−=
c
x
tf
c
x
tfp
21
                  (1.33) 
dove f
1
 e f
2
 sono funzioni arbitrarie. Assumiamo solo che esse possiedano derivate 
continue del primo e del secondo ordine. Notiamo che siccome x e t compaiono 
simultaneamente nella soluzione, la derivata prima rispetto a x o a t è la stessa 
eccetto che per un fattore ±c. Il rapporto x/c deve avere le dimensioni di un tempo, 
così c è una velocità. Dalla (1.26) troviamo che:  
                                         m/s 2.344
18.1
10
4.1
2/1
5
=










×=c  
in un’aria con pressione pari a 10
5
 Pa e temperatura di 22°C. Questo valore è 
molto vicino a quello misurato sperimentalmente di 344,8 m/s, cosicché 
riconosciamo in c la velocità con cui un’onda sonora si propaga attraverso l’aria. 
Dalla soluzione generale data dall’Eq. (1.33), osserviamo due importanti fatti: 
1. La pressione sonora in un punto x dello spazio può essere separata in due 
componenti: un’onda progressiva,  f
1
(t- x/c), e in una regressiva, f
2
(t+ x/c). 
 15
2. Senza badare alla forma dell’onda, questa si propaga (o regredisce) senza 
subire cambiamenti nella sua forma. Per mostrare ciò, assumiamo che, a t=t
1
, 
la pressione sonora in x= 0 è f
1
=(t
1
). Al tempo t= t
1
+ t
2
 il suono avrà percorso 
uno spazio uguale a t
2
c metri. In questo periodo di tempo la pressione è 
divenuta p=f
1
(t
1
+ t
2
 – t
2
c/c) = f
1
(t
1
). In altre parole la pressione sonora si è 
propagata senza cambiamenti. Le stesse argomentazioni sono valide per 
l’onda regressiva.
 
 
Deve essere chiaro che per ricavare la soluzione (1.33) dall’Eq. (1.32) si sono 
fatte due ipotesi. Primo, l’onda è un’onda piana che non si espande lateralmente, 
così la pressione non è funzione delle coordinate y e z, ma solo della x. Secondo, 
non ci sono perdite di dispersione nella propagazione (diffusione delle onde 
dovute a fenomeni turbolenti, perdite di calore per attrito nel mezzo di 
propagazione, etc.), in questo modo le onde non perdono energia. 
Soluzione di uno stato stazionario.   Come è ben noto dalla teoria delle serie di 
Fourier, un’onda periodica può essere espressa da una somma di funzioni seno o 
coseno, ognuna delle quali è della forma: 
                                          )cos(2
nnnn
t θωφψ +=                    (1.34) 
Per esempio se ψ
n
 è la pressione sonora, scriveremo 
                                  )cos(2)()(
nnn
nn
n
tptptp θω +==



       (1.35) 
dove ω
n
=2pif
n
 ; f
n
 = frequenza di vibrazione della n-esima componente d’onda; ϑ
n
 
è l’angolo di fase iniziale; e 
n
ϕ2 o ( 
n
p2 ) è l’ampiezza massima dell’ n-
esima componente. Poiché l’onda si propaga senza cambiare forma, 
considereremo, in uno stato stazionario, solamente quelle soluzioni per cui la 
dipendenza temporale in ogni punto dello spazio è sinusoidale e con stessa 
frequenza ω
n
 della sorgente. 
In accordo con la teoria dei circuiti elettronici, rappresentiamo una funzione 
sinusoidale con, una frequenza ω, con la parte reale di una annotazione 
esponenziale. Così in un punto fissato dello spazio, avremo per la pressione 
sonora 
                                                 []
tj
exptxp
ω
)(Re2),( =                   (1.36) 
dove p(x) è una funzione complessa che fornisce la dipendenza di p da x. 
Generalmente si omette di scrivere Re, sebbene si deve sempre ricordare che alla 
 16
fine di tutti i calcoli va presa come soluzione fisica sola la parte reale del risultato. 
Nel caso statico, allora, possiamo riscrivere f
1
 e f
2
 dell’equazione (1.33) come una 
somma di funzioni ognuna avente una particolare frequenza ω
n
, cosicché: 
        ()[]
tjcxjncxjn
nn
n
nnn
eepeptxptxp
ωωω //
Re2),(),(
−
−
+
+==



       (1.37) 
La parte di equazione entro parentesi ha lo stesso significato di quella entro le 
parentesi della (1.36). Il pedice + e − indica l’onda progressiva e l’onda regressiva 
rispettivamente. E’ evidente che il primo termine della (1.37) rappresenta un’onda 
progressiva che si propaga con (un’ampiezza 
n
p
+
 senza che quest’ultima cambi 
nello spazio e nel tempo. Un’affermazione simile si può fare per il secondo 
termine. 
In acustica si definisce un numero d’onda, 
                                                   
λ
pipiω 22
===
c
f
c
k                                    (1.38) 
Tralasciamo per comodità la notazione Re e l’apice n; in questo modo riscriviamo 
la (1.37) come: 
                       []()
)()(
2)(2),(
xctjkxctjktj
epepexptxp
+
−
−
+
+==
ω
        (1.39) 
Con analoghe considerazioni possiamo scrivere in luogo della (1.29a): 
                                     ())(2),(
)()( xctjkxctjk
eueutxu
+
−
−
+
+=                   (1.40) 
E’ sempre sottinteso che nel risultato finale vengono considerate solo le parti reali 
delle equazioni. Le ampiezze complesse p
+
 , p
-
 e u
+
 , u
-
 sono determinate dalle 
condizioni al contorno del problema in esame. Le radici complesse della pressione 
e della velocità si ricavano direttamente dalle (1.39) e (1.40), cancellando 
tj
e
ω
2  
dal secondo membro di entrambe. Allora la funzione rimanente è convertita in 
un’ampiezza e in un angolo di fase, l’ampiezza è la quantità che dovrebbe essere 
indicata come radice media quadratica (rms) della pressione sonora misurata. Si 
fa notare che se si parla di valore Re di p(x,t) o u(x,t), la quantità 
tj
e
ω
2  deve 
essere considerata nell’equazione per ottenere l’esatto valore della pressione o 
della velocità istantanea. 
 
• Propagazione in un tubo con pareti rigide. 
Per questo tipo di propagazione utilizziamo un tubo cavo con pareti rigide, chiuso 
ad un’estremità e con l’altra estremità mobile, collegata ad un pistone (Fig 1.2). 
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Fig 1.2. Tubo finito con pareti rigide. La velocità nel punto x=0 vale tu ωcos2
0
 m/s. 
 
La frequenza angolare del pistone è ω, e la sua radice media quadratica della 
velocità è u
0
. Assumiamo che il diametro del tubo sia sufficientemente piccolo, in 
modo da poter considerare che l’onda viaggiante all’interno del tubo sia piana e 
abbia un fronte d’onda costante. 
Affinché quest’ipotesi sia valida si deve avere che il rapporto tra la lunghezza 
d’onda dell’onda sonora e il diametro del tubo sia maggiore o uguale a sei. 
Velocità della particella. La forma della soluzione sarà analoga alla (1.40). 
Indichiamo con u
0
 la velocità della vibrazione del pistone in x=0, e scegliamo l 
uguale alla lunghezza del tubo. Le condizioni al contorno in questo caso sono: 
A x= 0, 
tj
eutu
ω
0
2),0( = , così 
                                                              
0
uuu =+
−+
 
A x= l , u = 0 , così 
                                     0=+
−
−
+
ljlj
eueu
ωω
                                     (1.41)  
Ricordando la notazione esponenziale della funzione seno, otteniamo per u
+
 e u
-
 
le relazioni: 
   (1.42b)              
)(2
              ;                   (1.42a)             
)(2
00
kljsin
eu
u
kljsin
eu
u
ljlj ωω
=
−
=
+
−
−
           
Che conducono alla: 
                                                     
)(
)(
2),(
0
klsin
xlsink
eutxu
tj
−
=
ω
                      (1.43) 
oppure: 
                                                             
)(
)(
0
klsin
xlsink
uu
−
=                         (1.43a) 
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Guardando ora la Fig.(1.3), se la lunghezza l e la frequenza sono presi essere 
costanti, la velocità della particella varierà dal valore zero in x = l a un valore 
massimo in l−x = λ/4, cioè, in l−x uguale a un quarto di lunghezza d’onda. 
 
 
Fig 1.3. Porzione del tubo mostrante la direzione e l’ampiezza del movimento delle particelle 
d’aria come funzione di l−x. Nel punto a la velocità raggiunge un massimo. Nel punto b si ha 
un minimo uguale a zero. 
 
Lungo l’intera lunghezza del tubo la velocità varia come una funzione seno. 
All’interno del tubo l’onda è un’onda stazionaria, in quanto nell’equazione della 
velocità x e ct non compaiono né come somma né come differenza. Quindi l’onda 
non si propaga. 
Nella regione tra l−x=λ/4 e l−x=λ/2, la velocità ha la stessa fase ma la sua 
ampiezza varia sinusoidalmente. In l−x=λ/2 la velocità è zero. Nella regione tra 
l−x=λ/2 e l−x=λ la velocità torna a variare come la funzione seno, ma adesso il 
moto oscillatorio si trova in opposizione di fase rispetto a prima. 
Se ora riguardiamo l’equazione (1.43) abbiamo che, quando kl è un multiplo di pi, 
la velocità diviene molto grande, eccetto in x=0 o in quei punti dove k(l−x) è un 
multiplo di pi, cioè, nei punti dove l−x è un multiplo di λ/2. Allora per kl = npi 
                                 ,....3,2,1           
2
==
∞=
n
n
l
u
λ
                           (1.44) 
Da quest’ultima equazione si evince che sotto le condizioni assunte la velocità 
assume un valore infinito. In realtà, la presenza di forze dissipative, qui trascurate, 
assicura una velocità finita. 
La velocità sarà zero in quei punti dove k(l−x) = npi con n intero o zero. Cioè: 
                                ,...3,2,1,0              
2
0
=−=
=
nnlx
u
λ
                    (1.45) 
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In altre parole ci sarà un piano di particelle con velocità zero ogni volta che l è più 
grande di λ/2. Alcuni esempi dell’andamento della velocità sono dati in figura 
(1.4), per diversi valori di n. 
 
 
Fig 1.4. Variazione della velocità u(x,t) per t=0, in funzione della distanza, per tre lunghezze 
d’onda. In x=0 la velocità vale u
0
 , in x=l, vale zero. Il periodo è T = 1/f. 
 
Pressione sonora.  La pressione sonora può essere ricavata dalla velocità 
utilizzando l’equazione (1.9), che, nel caso statico, diviene: 
                                               


−= dxujp  
0
ωρ                                   (1.46) 
Integrando la (1.46) dopo aver sostituito l’espressione di u otteniamo: 
                       
)(
)(cos
2),(
00
klsin
xlk
eucjtxp
tj
−
−=
ω
ρ                     (1.47)  
oppure scritta come: 
                                   
)(
)(cos
00
klsin
xlk
cujp
−
−= ρ                                  (1.48) 
Notiamo che 2  e l’esponenziale contenente il tempo sono spariti, cosicché sia p 
che u
0
 sono radici medie quadratiche complesse di numeri complessi, mediate nel 
tempo. Il valore di p sarà zero in quei punti del tubo dove k(l−x) = (n+1/2)pi, dove 
n è un numero intero o zero: 
                           







+−=
=
2
1
2
0
nlx
p
λ
                                     (1.49) 
L’andamento della variazione della pressione con la x nel tubo è dato in figura 
(1.5).