Introduzione
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INTRODUZIONE
La teoria del portafoglio nasce intorno ai primi anni ’50, ed ancora oggi è elevato l’interesse
per le applicazioni in ambito finanziario, anche grazie al costante progresso informatico di cui
siamo tuttora testimoni. L’ideazione di modelli e procedure risolutive per problemi di
ottimizzazione finanziaria deve necessariamente tenere in considerazione l’ambiente
altamente instabile e rischioso cui il prodotto ultimo è diretto. La tempestività con la quale si
richiede la soluzione di problemi finanziari comporta la formulazione di modelli e algoritmi
robusti ed al tempo stesso efficienti e rapidi. Risolvere un problema pervenendo ad una
soluzione buona è sempre preferibile al raggiungimento della soluzione ottima se quest’ultima
è ottenuta in tempi troppo lunghi.
I problemi di programmazione matematica rappresentano uno strumento indispensabile in
molti settori applicativi. In ambito finanziario, dove la dinamicità del contesto reale
rappresenta un continuo stimolo allo sviluppo di nuove ed efficienti tecniche risolutive, sono
stati proposti diversi modelli matematici.
Questa tesi si propone di descrivere numerosi modelli di programmazione lineare e
quadratica, per il problema di selezione di un portafoglio azionario.
Nel problema di selezione di portafoglio, l’investitore, che deve allocare un capitale tra più
prodotti finanziari, si trova di fronte a numerose incertezze. La modellizzazione matematica
diventa dunque uno strumento indispensabile per razionalizzare il suo processo di scelta in
condizioni di incertezza. La valutazione operata dall’investitore riguardo alla diverse
caratteristiche degli investimenti candidati alla scelta, è soggetta alla sua razionalità limitata.
La mente umana è infatti limitata sia nell’osservare i dati sia nel trasformarli in informazioni,
sia successivamente nel trasferire le informazioni raccolte in una decisione di investimento.
Inoltre potrebbero esserci semplicemente troppe variabili e alternative di scelta da monitorare,
per cui l’investitore è portato ad utilizzare ogni circostanziata evidenza per formare un quadro
sintetico della situazione. Per questo motivo l’approccio seguito nel corso della tesi di laurea,
è quello basato sui concetti media rischio, i quali quantificano il problema della selezione di
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portafoglio in una chiara forma di solo due criteri in rapporto di trade-off: massimizzazione
rendimento e minimizzazione rischio.
La teoria delle decisioni in condizioni di rischio si basa sulla massimizzazione dell’utilità
attesa. Nonostante una dettagliata analisi dell’utilità non rientri nello scopo di questo lavoro,
viene spesso data una interpretazione delle diverse funzioni di rischio nei termini delle
preferenze dell’investitore.
Problemi finanziari in condizioni di incertezza richiedono l’utilizzo della programmazione,
stocastica, che seppur da tempo risulti essere adottata può ancora essere migliorata, come si
discuterà in questo lavoro, attraverso un opportuno adattamento dei dati in ingresso.
Più recentemente, alla ricerca di continui miglioramenti, si è cercato un canale parallelo alla
programmazione stocastica per la soluzione di problemi finanziari, optando per l’introduzione
della logica fuzzy, in particolare la programmazione matematica fuzzy. In questa tesi verrà
analizzato anche questo tipo di approccio.
La tesi è strutturata su diversi livelli per offrire una visione completa dell’argomento e per far
comprendere i numerosi settori di possibile approfondimento ed applicazione.
Nel primo capitolo è doveroso introdurre la teoria che si trova a fondamento della scelta
razionale del portafoglio ottimo. Partendo da un semplice caso in cui l’investitore deve
scegliere l’investimento ottimo avendo a disposizione tutte le informazioni necessarie, si
passa al caso più generale in cui si deve operare in condizioni di incertezza. Vengono trattati
in dettaglio i termini che permettono di valutare in maniera rigorosa un portafoglio: a tal
proposito, dopo aver indicato come calcolare in modo analitico il rischio (σ ) ed il rendimento
atteso (E) associati ad un portafoglio, si passa a descrivere le caratteristiche e le proprietà
della regione E-σ , all’interno della quale è possibile individuare tutti i possibili portafogli,
fra i quali scegliere quello ottimo. Attraverso una dimostrazione matematica viene illustrata
l’importanza della diversificazione del portafoglio in presenza di correlazione tra gli
strumenti finanziari. Infine vengono esposti i concetti di frontiera efficiente e di funzione di
utilità, e si dimostra come siano sempre validi anche in alcuni casi particolari, come quello in
cui siano ammesse le short sale, e come quello di azioni a rischio nullo come gli zero coupon.
Nel secondo capitolo viene fatta una completa ed aggiornata revisione della teoria di
selezione del portafoglio in ambito uniperiodale. La trattazione fornisce un percorso logico
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abbastanza particolareggiato di tutti i modelli di programmazione esistenti sull’argomento,
partendo dall’originario modello media varianza (MV) di Markowitz (1952) fino a quelli più
recenti ed evoluti come quello di Ogryczack (2000). MV è un modello parametrico di
programmazione quadratica che, sebbene risulti di enorme rilevanza teorica, presenta il
principale limite di una elevata complessità computazionale, crescente all’aumentare del
numero di titoli considerati. Nel tentativo di risolvere l’originario modello MV, diversi autori,
come Sharpe(1971), e Stone (1973), hanno proposto metodi di linearizzazione del complesso
problema di Markowitz, ottenendo enormi vantaggi sul tempo di soluzione computazionale.
In seguito numerosi altri studiosi hanno proposto misure alternative di rischio, per migliorare
la qualità delle soluzioni rimanendo nell’ambito della programmazione lineare, per la
necessità di risolvere tale tipo di problemi con velocità, chiarezza e semplicità.
In particolare si evidenzia il lavoro di Konno e Yamazaki (1991), che rappresenta il punto di
partenza per la formulazione di successivi e più elaborati metodi che adottano come misura di
rischio le semideviazioni dal valore atteso del rendimento del portafoglio. Questo filone è
stato successivamente ampiamente analizzato ed approfondito da numerosi autori come
Speranza (1993), Feinstein e Thapa (1993), Ogryczack (2000).
In parallelo nascono altre tendenze sulla misura del rischio, prima tra esse la funzione Regret
(rincrescimento), che misura la differenza tra il portafoglio scelto e quello che poteva essere il
migliore. Questo ramo di ricerca risulta essere molto promettente, numerosi sono gli studiosi
che si sono cimentati nella formulazione di tali modelli lineari ( Yitzhaki (1984), Dembo
(1991), King (1993) ), tra essi il miglior compendio è fornito da Rudolf, Wolter e
Zimmermann (1999).
Un modello alternativo che ha avuto molto successo, per la sua originalità ed effettiva
funzionalità è quello di Young (1998), che si discosta da tutti i precedenti, in quanto utilizza il
criterio Minimax per la ricerca del portafoglio ottimo. Pur rimanendo nell’ambito della
programmazione lineare, e proponendo come misura di rischio il rendimento minimo, questo
modello raggiunge risultati apprezzabili, mantenendo ridotta complessità computazionale.
Tuttavia tutti questi modelli si basano su ipotesi di stazionarietà, che non conferiscono una
visione dinamica dei dati storici, cosa che in realtà andrebbe valutata.
Nel terzo capitolo, sulle orme di quanto asserito da Speranza (1993), nel suo articolo sui
modelli di programmazione lineare per l’ottimizzazione del portafoglio, si cerca di dare una
Introduzione
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corretta interpretazione alla necessità di considerare i dati storici non ugualmente importanti
per la determinazione del portafoglio ottimale. Tutti i modelli illustrati nel secondo capitolo
assegnano un peso pari ad 1/T ad ogni osservazione nell’orizzonte temporale di analisi T, e
considerano azioni particolarmente volatili allo stesso modo di azioni che mantengono una
certa uniformità nelle quotazioni. In questo capitolo si discuterà sulla necessità di introdurre
dei pesi di confidenza dell’azione, che penalizzino azioni troppo volatili e che nel contempo
conferiscano maggiore importanza alle osservazioni recenti nella misura in cui il
comportamento azionario lo consente. Sarà proposto quindi un tipo di peso che rispecchia tali
caratteristiche e che verrà applicato contemporaneamente ai dati storici ed alle misure di
rischio.
Questa innovazione si è ben adattata a tutti i principali modelli presentati in questo lavoro e
pertanto vengono presentate varianti ai modelli di programmazione lineare inizialmente
proposti, che pur mantenendo una certa semplicità di formulazione, si adattano ai concetti
sopra esposti.
Nel quarto capitolo si concede spazio a un nuovo promettente ambito della programmazione
lineare matematica, che utilizza come fonte di innovatività la logica Fuzzy, che ha come
capostipiti Zadeh (1965) e Zimmermann (1987). Dopo aver introdotto tramite una breve
rassegna i principali concetti su cui si basa la logica fuzzy, ed in particolare le ipotesi su cui si
basa la programmazione matematica fuzzy, si introduce un esempio per far comprendere
come si opera con la programmazione possibilistica. Partendo dal concetto che
programmazione stocastica e programmazione possibilistica sono in stretta connessione
(Inuiguchi, Sakawa, 1995), si adattano i concetti della teoria del portafoglio a questo nuovo
ambito, in particolare si evidenziano i vantaggi e gli svantaggi che comporta il considerare le
variabili aleatorie rendimento come numeri fuzzy.
Attraverso lo studio di alcuni esempi di programmazione possibilistica si indaga
l’applicabilità dei concetti della logica fuzzy ad alcuni problemi di selezione di portafoglio,
seppure con la consapevolezza di non fornire una trattazione completa, anche per il fatto che
il settore di studio è molto giovane ed ancora ricco di prospettive ( Tanaka e Guo,1999).
Nel quinto capitolo si riportano gli esiti di una approfondita fase sperimentale condotta per
alcuni dei modelli proposti in questa tesi. Lo studio computazionale è stato svolto per due
Introduzione
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diversi insiemi di rendimenti settimanali registrati sul mercato azionario della borsa valori di
Milano, al fine di verificare oltre la bontà dei modelli testati, anche l’eventuale influenza di
un intervallo di osservazioni più o meno esteso. Avvalendosi di un ottimo software risolutore,
CPLEX, si è analizzato il modello Minimax e l’omologo Wminimax, ovvero la versione
pesata dello stesso, al fine di confermare o smentire le ipotesi avanzate sulla necessità
dell’utilizzo di pesi nei modelli media rischio. La analisi dei risultati ottenuti è stata effettuata
attraverso una valutazione ex-ante ed ex-post, ed un paragone tra le performance del modello
normale e del modello pesato.
Successivamente sono state effettuate anche delle prove sperimentali sui modelli fuzzy, al
fine di verificare se le soluzioni che generano offrono prospettive di approfondimento e di
utilizzo anche in questo settore.
Il presente studio computazionale fornisce importanti evidenze circa la possibilità di un utile
impiego di pesi, sia in funzione del tempo che delle singole azioni, nei problemi di selezione
di portafoglio. Inoltre esso apre delle interessanti prospettive di ricerca in questo campo e
nuovi approcci di analisi dei mercati finanziari per l’analisi tecnica.
CAPITOLO 1 : Selezione del portafoglio ottimo
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CAPITOLO 1
Selezione del portafoglio ottimo
1.1 Introduzione
Il problema di selezione di un portafoglio può essere considerato come un problema più
generale di scelta tra un insieme di beni che presentano determinate caratteristiche. Tale
problema è generalmente noto nella microeconomia come la teoria delle scelte e del
comportamento del consumatore. Le scelte dell’individuo considerato razionale, non sono
dettate dal caso, ma da precise regole di comportamento che sono conosciute in economia
come massimizzazione della utilità del singolo. È proprio in questa parte dell’economia che
affonda le sue radici la teoria del portafoglio, per poi diramarsi in un contesto più analitico
che rispecchia la reale complessità e ingegnosità del problema. Nelle scelte finanziarie ci si
trova di fronte ad una natura incerta e mutevole degli scenari futuri e questo comporta una
complicazione della decisione che l’individuo deve effettuare. Il problema della selezione di
portafoglio nasce proprio in un ambito di incertezza, in cui si cerca, tramite diversi strumenti
matematici, di rendere più prevedibile ciò che in realtà non lo è per nulla. La scoperta di
interazioni e di correlazioni tra i titoli azionari presenti all’interno di un portafoglio è senza
dubbio stato il primo passo in avanti, grazie al quale si sono in seguito sviluppate tutte le
moderne tecniche di selezione di portafoglio. Alla luce di questa basilare osservazione si
sviluppa la teoria dell’utilità di Markowitz (1953), che descrive un metodo analitico per la
massimizzazione della utilità dell’investitore, sotto determinate ipotesi. Sulle orme del lavoro
di Markowitz, altri studiosi come Black (1972) e Tobin (1965) modificarono tale modello
CAPITOLO 1 : Selezione del portafoglio ottimo
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analitico per ovviare ad alcuni problemi pratici che si potevano incontrare nel mondo reale
della borsa, come il brockeraggio, vendita di azioni che non sono in prestito all’azionista, e la
presenza di azioni a rischio nullo (zero coupon). In questo capitolo sono contenuti quindi i
principi economici alla base delle scelte di portafoglio, nonché il primo approccio alla reale
teoria di selezione del portafoglio ottimo, che trova nei lavori di Elton e Gruber (1987), Farrel
(1997), Gordon (1986), Haim e Marshall (1986), Maggin e Tuttle (1983), Markowitz
(1952,1959), e Sharpe (1964), una compiuta trattazione.
Il capitolo è strutturato nel seguente modo: nel paragrafo 2 viene mostrato il metodo di
soluzione, in condizioni di certezza, del problema di decisione tra diverse alternative, mentre
nel paragrafo 3 si introducono le considerazioni più formali dovute al caso in cui si operi in
condizioni di incertezza. Il problema della selezione di un portafoglio è ambientato in un
contesto di incertezza, e ciò giustifica la ricerca di strumenti di modellizzazione della
complessa dinamica del problema; nel paragrafo 4 si illustra quindi il principale effetto che
provoca la combinazione di più titoli in un portafoglio, e si indica come tale diversificazione
possa essere usata a nostro vantaggio. I paragrafi 5 e 6 servono a introdurre i concetti di
analisi di utilità e di frontiera efficiente che sono alla base del processo di selezione di un
portafoglio ottimo, il quale viene graficamente ed analiticamente descritto nei problemi
formulati da Markowitz , Black e Tobin nel paragrafo conclusivo.
1.2 Il problema in termini economici
In questa sezione si intende passare in rassegna alcuni noti concetti economici che sono di
importanza basilare per la teoria del portafoglio (Samuelson 1995).
La selezione di un portafoglio ottimo è un tipico problema decisionale e come tale presenta le
seguenti caratteristiche: l’individuazione di un insieme di alternative, criteri di selezione tra le
diverse possibilità ed infine la soluzione del problema.
Si consideri il caso di un investitore che riceverà con certezza un introito di 10 milioni di lire
nei prossimi due anni. Si ipotizzi che l’unico investimento disponibile sia un conto corrente
bancario, con rendimento annuo del 5%; inoltre all’investitore vengono concessi dei prestiti
ad un tasso del 5%. L’investitore deve quindi decidere quanto spendere e risparmiare in
questo lasso di tempo.
CAPITOLO 1 : Selezione del portafoglio ottimo
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Tutte le alternative possibili sono rappresentabili mediante la figura 1.1:
Figura 1.1
Il punto B rappresenta la possibilità di non risparmiare nulla e di spendere 10 milioni in
entrambe gli anni. Il punto A rappresenta la possibilità di risparmiare tutto l’introito del primo
anno e di consumare tutto il secondo anno. L’altra possibilità estrema rappresentata dal punto
C è quella di consumare tutto immediatamente, il che implica spendere tutti i 10 milioni del
primo anno più altro denaro che può prendere a prestito. Si può facilmente dimostrare che
tutte le opportunità sono rappresentabili lungo una linea retta, la cui equazione può essere
espressa come segue:
C
2
=10+(10-C
1
)(1+0,05)
dove:
C
2
= consumo del secondo anno;
(10-C
1
) = risparmio del primo anno.
È da notare il fatto che non esiste vincolo di non negatività sul valore del risparmio del primo
anno.
Dalla microeconomia è noto che l’investitore sceglie tra tutte le alternative della figura
utilizzando una serie di curve chiamate curve di indifferenza. Per costruzione, spostandosi in
qualsiasi direzione lungo di esse, l’utilità o soddisfazione della scelta dell’investitore rimane
invariata.
Consumo del primo anno
Consumo del secondo anno
A
B
C
CAPITOLO 1 : Selezione del portafoglio ottimo
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Prima di ritornare all’esempio in questione definiamo alcune ipotesi ritenute universalmente
valide nel caso in cui si debba scegliere determinati panieri ( insieme di beni):
1. completezza: ogni persona è in grado di ordinare tutti i possibili panieri esistenti
secondo una propria logica.
2. transitività: se il paniere A è preferito al paniere B, ed il paniere B è preferito al
paniere C, allora A è preferito a C. Similmente se A è equivalente a B, e B è
equivalente a C, allora A è equivalente a C.
3. non sazietà: un paniere con maggiori quantità di uno o più beni (e quantità uguali
degli altri) è sempre preferito.
Sotto tali ipotesi, è possibile dimostrare che queste curve sono convesse, con pendenza
negativa, e che non si intersecano. Per ipotesi di completezza un consumatore sarà in grado di
suddividere l’universo dei panieri in tanti gruppi e di ordinarli secondo una scala di
preferenza. I panieri all’interno di ciascun gruppo sono detti ugualmente preferiti, cioè
indifferenti. Vediamone la dimostrazione tramite l’ausilio della figura 2.2:
A B
D
C
Figura 1.2
I panieri A e B non possono essere indifferenti perché investono quantità uguali del bene 1,
ma non del bene 2; quindi la curva non può essere piatta. Nemmeno C e D sono indifferenti
in quanto C investe meno di D in entrambe i beni; quindi la curva non può avere pendenza
positiva. È invece possibile che B e D siano indifferenti: perciò le curve di indifferenza hanno
pendenza negativa.
Bene 2
Bene 1
CAPITOLO 1 : Selezione del portafoglio ottimo
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Dimostriamo ora la non intersezione per assurdo, tramite l’ausilio della figura 2.3. Se si
ipotizza la curva di indifferenza U
B
con un’utilità maggiore di U
A
, significherebbe che il
paniere B è preferito ad A, ma ciò è assurdo poiché la non sazietà impone che A
’
sia preferito
a B e la transitività che B
’
sia
indifferente a B; quindi A è preferito a B. Lo stesso discorso è
valido partendo dall’ipotesi che l’utilità di A sia maggiore di quella di B.
A
B’
B
A’
Figura 1.3
Per dimostrare la convessità è necessario introdurre il concetto di costo opportunità. Il costo
opportunità può essere inteso come la quantità del bene 1 a cui è necessario rinunciare per
avere una unità in più del bene 2 a parità di utilità ( e viceversa). Facendo riferimento alla
figura 2.4 si può vedere che nel punto A si è disposti a sostenere un costo opportunità alto,
mentre nel punto B basso; questo perché in A si ha poco bene 2 ed una sua unità in più
darebbe molta utilità (si rinuncia volentieri al bene 1), mentre in B si ha molto del bene 2 ed
una sua unità in più non aggiungerebbe molta utilità. Questo significa anche che l’utilità
marginale decresce al crescere della quantità di bene 2 posseduta.
Bene 1
Bene 2
CAPITOLO 1 : Selezione del portafoglio ottimo
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' A ∆
' B ∆
A→ B→ Bene 2
Figura 1.4
Le curve di indifferenza e l’insieme delle opportunità rappresentano gli strumenti necessari
all’investitore per risolvere il problema di selezione dei beni. Il consumo ottimo per
l’investitore è determinato dal punto al quale una delle curve di indifferenza è tangente
all’insieme delle opportunità. L’investitore si muoverà su curve di indifferenza sempre più in
alto possibile, caratterizzate da maggiore utilità, fino a che non raggiungerà la più alta
contenente una soluzione ammissibile (appartenente all’insieme opportunità). Tale curva è la
tangente all’insieme delle opportunità. In figura la soluzione ottima per l’investitore è
rappresentata dal punto di tangenza D.
D
Consumo del primo anno
Figura 1.5
Bene 1
Consumo del secondo anno
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