Microgenerazione di energia elettrica mediante oscillatori piezoelettrici bistabili

Introduzione
Lo sviluppo e la produzione di dispositivi microscopici e a basso consumo ha avuto
un notevole incremento negli ultimi dieci anni. Questo ne ha permesso una diffu-
sione capillare e ha sollevato il problema, sempre più pressante, di come fornire loro
energia poiché la durata di una batteria è limitata e la sua sostituzione presenta
difficoltà di natura economica, logistica e ambientale. Una possibile soluzione al
problema è garantita dall’approccio denominato ”energy harvesting” (letteralmente
raccolta di energia) cioè la raccolta di energia dall’ambiente in cui questi micro di-
spositivi si trovano. Nel caso di energia cinetica di tipo vibrazionale questa raccolta,
o trasferimento di energia, generalmente avviene tramite sistemi dinamici risonanti;
questo approccio è efficace solo nel caso in cui l’energia presenti dei picchi ad una
o più frequenze ben determinate. Contrariamente, in presenza di un tipico rumore
ambientale come può essere quello delle vibrazioni prodotte da un’automobile sul-
l’asfalto, l’energia è ampiamente distribuita con prevalenza delle basse frequenze (<
1 KHz) senza avere un picco ben determinato. In questi casi, l’utilizzo di sistemi
non lineari può produrre un forte aumento dell’energia trasferita; è stato dimostra-
to ([1]) che l’utilizzo di un sistema bistabile, ottenuto ad esempio tramite un uso
appropriato di magneti posizionati in modo da respingersi, può aumentare l’energia
trasferita fino al 600%.
In questo studio di ”energy harvesting” vibrazionale, il trasduttore preso in con-
siderazione è costituito da un sistema oscillante di ceramica piezoelettrica; la scelta
del meccanismo piezoelettrico è dovuta a due motivi: in primo luogo perché per lo-
ro stessa natura i materiali piezoelettrici convertono l’energia meccanica in energia
elettrica e in secondo luogo perché se confrontata con le altre tecniche disponibili
per fare ”energy harvesting” è quella con la densità di energia maggiore ([2]).
In questo lavoro di tesi sono riportati degli studi sia teorici che sperimentali su
due tipologie di oscillatori:
1. Studi su oscillatori piezoelettrici macroscopici commerciali, al fine di valutare
l’incremento dell’energia trasdotta che si ha sfruttando la bistabilità.
2. Studi su oscillatori piezoelettrici microscopici, con lo scopo di caratterizzar-
li e capirne le potenzialità sia come microgeneratori sia come dispositivi di
accumulo di energia cinetica.
iii
INTRODUZIONE iv
In quest’ottica, il lavoro di tesi è stato dedicato tanto alla caratterizzazione di oscil-
latori macroscopici da utilizzare anche come fonti di energia per dispositivi wireless
autonomi, quanto alla ricerca e caratterizzazione di dispositivi microscopici, esegui-
ta con lo scopo di determinare le caratteristiche necessarie per tali oggetti come
dispositivi di produzione ed accumulo di energia per nodi wireless microscopici.
In particolare, il primo capitolo di questa tesi è dedicato ad una introduzio-
ne sui materiali piezoelettrici, mentre nel secondo capitolo sono passati in rasse-
gna gli aspetti fondamentali del ”energy harvesting” con particolare attenzione alle
possibilità offerte dai sistemi non risonanti.
Ilterzocapitoloaprelapartesperimentaledellavoroditesieriguardalostudiodi
un trasduttore piezoelettrico macroscopico modificato per operare in regime di dina-
mica non lineare. Di questo trasduttore sono stati misurati tutti i parametri caratte-
ristici e l’incremento della deviazione standard della differenza di potenziale dovuta
alla dinamica non lineare, quando questo è eccitato con rumori esponenzialmente
correlati e con rumori campionati in situazioni reali.
Il quarto e il quinto capitolo sono invece dedicati ai dispositivi per ”energy har-
vesting” alle microscale. In particolare, nel quarto capitolo sono riportate le misure
effettuate su oscillatori piezoelettrici quadrati di lato 320 m, caratterizzati al fi-
ne di capirne le potenzialità come riserve di energia elettromeccanica per dispositivi
microscopici. Nel quinto capitolo sono riportate le analisi che hanno permesso di de-
finire le linee guida da seguire per realizzare dei cantilever piezoelettrici da utilizzare
come trasduttori alle microscale.
Nel sesto capitolo sono riportati i passi che hanno permesso di realizzare un
primo prototipo di sensore wireless, che la dinamica non lineare permette di rendere
completamente autonomo dal punto di vista energetico.
L’ultimo capitolo è quindi dedicato alle conclusioni e agli sviluppi futuri di questi
lavori.
Alcuni dei risultati ottenuti durante il lavoro di tesi sono stati oggetto di comu-
nicazioni a conferenze internazionali ([3]) e di pubblicazione su riviste scientifiche
([4]).
Capitolo 1
Materiali Piezoelettrici
Il fenomeno della piezoelettricità fu scoperto nel 1880 da Jacques e Pierre Curie che
osservarono la polarizzazione elettrica indotta su certi cristalli se sottoposti ad una
forza di natura meccanica. Fu inoltre osservato che tensioni e compressioni, sono in
grado di generare differenze di potenziale di segno opposto e proporzionali alla forza
applicata. Al contrario, applicando una differenza di potenziale ad una cristallo
piezoelettrico, questo si allunga o si accorcia a seconda della polarità del campo e
proporzionalmente all’intensità di questo. L’effetto piezoelettrico è esibito da diversi
cristalli naturali, come ad esempio il quarzo, la tormalina e il tartarato di sodio e
potassio. Affinchè un cristallo esibisca un comportamento piezoelettrico, è necessa-
rio che non abbia un centro di simmetria delle cariche. In questo modo uno stress
tensile o compressivo applicato al cristallo stesso altera la distribuzione delle cariche,
dando luogo ad una polarizzazione netta sulla superficie del cristallo. L’effetto ai
fini pratici è lineare, quindi la polarizzazione varia con lo stress applicato e dipen-
dentemente dalla direzione. Attualmente i materiali piezoelettrici sono utilizzati in
una vasta gamma di applicazioni che spaziano dai sensori di forza o spostamento, ai
microposizionatori, ai generatori sonici e ultrasonici fino ai comunissimi accendigas.
Le ceramiche piezoelettriche tradizionali sono un agglomerato di cristalli di pero-
vskite, ognuno dei quali costituito da un elemento di un metallo tetravalente leggero,
generalmentezirconiootitanio, inunreticolodielementidivalentipiùpesanti, piom-
bo o bario. Per preparare un prodotto finito, polveri sottili degli ossidi dei metalli
sovra elencati, sono mescolati in proporzioni specifiche e scaldati insieme al fine di
formare un’unica polvere. A questa nuova polvere è aggiunto un legante organico e
la miscela è poi riscaldata secondo un certo profilo di temperatura. Durante que-
sto processo le polveri fondono e raggiungono una struttura cristallina. Gli oggetti
così ottenuti sono infine rifiniti e gli elettrodi applicati alle superfici appropriate. Il
cristallo sintetizzato in questo modo, sopra la temperatura di Curie, presenta una
semplice struttura cubica senza momento di dipolo; tuttavia sotto la temperatura di
Curie il reticolo ha una simmetria tetragonale e i centri delle cariche non coincidono
più, il che conferisce alla cella cristallina un momento di dipolo non nullo. Variazioni
1
CAPITOLO 1. MATERIALI PIEZOELETTRICI 2
nelle percentuali dei metalli divalenti o tetravalenti, profili diversi nell’andamento
della temperatura all’interno del forno, pressioni differenti o piccole percentuali di
materiali droganti possono alterare significativamente il valore di alcune costanti
fondamentali usate per caratterizzare una specifica ceramica.
Figura 1.1: Struttura cristallina del PZT sopra e sotto la temperatura di Curie.
L’allineamento dei dipoli adiacenti non è casuale, ma in analogia ai materiali
ferromagnetici, questi si dispongono in domini, i domini di Weiss, all’interno dei
quali i dipoli sono tutti allineati, conferendo a questi una polarizzazione netta. I
domini di Weiss, tuttavia, hanno un’orientazione reciproca casuale per cui la pola-
rizzazione totale del cristallo è nulla. Al fine di poter sfruttare l’effetto piezoelettrico
è necessario quindi polarizzare il materiale così ottenuto applicando un forte campo
elettrico ad una temperatura poco al di sotto della temperatura critica. Una volta
rimosso il campo elettrico, i domini tendono a restare in una posizione di allinea-
mento concorde fra i vicini e il materiale è elongato permanentemente. A causa di
ciò il materiale piezoelettrico presenta delle curve di isteresi per quanto riguarda la
polarizzazione e la variazione di lunghezza lungo la direzione di polarizzazione.
Figura 1.2: Isteresi nella polarizzazione del piezoelettrico
La forma della curva di isteresi varia da materiale a materiale, ma la pola-
rizzazione residua, ossia la polarizzazione che rimane dopo che il campo elettrico
polarizzante viene rimosso, è generalmente dell’ordine di 0. 3
C
m
2
.
CAPITOLO 1. MATERIALI PIEZOELETTRICI 3
Stress meccanici che agiscono sulla ceramica, ne alterano temporaneamente il
momento di dipolo, creando una differenza di potenziale. Se lo stress è una com-
pressione lungo la direzione di polarizzazione, la differenza di potenziale prodotta
avrà la stessa polarità del campo polarizzante, al contrario, se lo stress è uno sti-
ramento, la differenza di potenziale avrà la polarità opposta a quella del campo
polarizzante.
Tutte le proprità dei materiali piezoelettrici sono dipendenti dalla temperatura e
dal tempo, e quest’ ultima caratteristica è particolarmente importante. La velocità
di cambiamento di parametri, quali la permittività e il coefficiente di accoppiamen-
to, tuttavia decresce logaritmicamente, per cui dopo una rapida variazione iniziale, i
valori di questi possono essere considerati pressochè costanti nel tempo. Fra i para-
metri più fortemente soggetti a variazioni temporali e il cui mutamento può portare
alla perdita totale delle proprietà piezoelettriche è la polarizzazione. La perdita
di questa può essere imputata principalmente a cause di tipo elettrico, termico e
meccanico. La depolarizzazione elettrica può essere causata da forti campi elettrici,
applicati al materiale e di polarità opposta a quella del campo polarizzante, o da
una differenza di potenziale alternata che ha effetti depolarizzanti solo nel semi pe-
riodo in cui il campo è opposto a quello polarizzante. Valori tipici di questi campi
sono dell’ordine di 2 10
5
V=m. Un secondo fattore depolarizzante, come asserito in
precedenza, può essere individuato nella temperatura, perchè scaldando la ceramica
sopra il suo punto di Curie, i domini vengono disorientati e la polarizzazione persa.
La depolarizzazione meccanica avviene invece quando sul materiale sono applicati
degli stress sufficientemente intensi da influire sull’orientazione dei domini e quindi
sufficienti a distruggere l’allineamento globale dei dipoli.
Per poter selezionare un determinato materiale piezoelettrico per una certa ap-
plicazione è necessario conoscere alcune delle costanti fondamentali usate per descri-
verli. Data l’anisotropia intrinseca del materiale ogni costante è sempre riportata
con due indici che specificano le direzioni.
Figura 1.3: Convenzioni sulle direzioni di un PZT, l’asse Z è scelto in modo da
coincidere con l’asse di polarizzazione.
Le costanti fondamentali che vanno ricordate sono:
CAPITOLO 1. MATERIALI PIEZOELETTRICI 4
• Costante di carica: generalmente indicata con la lettera d, indica la pola-
rizzazione generata per unità di stess meccanico applicato, o in alternativa,
è la deformazione sperimentata dalla ceramica per unità di campo elettrico
applicato.
• Costante di voltaggio: indicata con la lettera g, rappresenta il campo elet-
trico generato per unità di stress meccanico applicato, o in alternativa, è
la deformazione sperimentata dalla ceramica per unità di campo dieletrico
applicato.
• Costante dielettrica: è il coefficiente dielettrico del mezzo, può essere riferito
al caso di stess costante "
T
o al caso di deformazione costante "
S
.
• Costante di cedevolezza elastica (inverso del modulo di Young): rappresenta la
deformazione prodotta per unità di stess applicato, può essere riferito al caso
di un campo di spostamento elettrico costantes
D
, o al caso di campo elettrico
costante s
E
.
• Coefficiente di accoppiamento elettromeccanico: generalmento indicato con la
lettera k, rappresenta la frazione di energia meccanica fornita al trasduttore
che viene convertita in energia elettrica o vice versa.
1.1 Equazioni piezoelettriche
Il modello descritto nella sezione precedente è una trattazione sviluppata a partire
dalle equazioni e dal modello base riportato in seguito.
Il comportamento elettrico di un qualsisi mezzo non stressato meccanicamen-
te, considerando un sistema lineare, può essere descritto dalla semplice equazione
D="E, dove" come definito in precedenza è la costante dielettrica del mezzo, E e D
sono il campo elettrico e lo spostamento elettrico. Analogamente il comportamento
meccanico di un mezzo in assenza di un campo elettrico può essere descritto da
S=sT, dove S è la deformazione del mezzo mentre T è lo stress applicato e s, come
definito in precedenza, è l’inverso del modulo di Young.
La piezoelettricità, per sua stessa natura coinvolge l’interazione tra la parte elet-
trica e la parte meccanica di un determinato mezzo, per cui per descrivere il com-
portamento è necessario introdurre delle coppie di equazioni che legano fra loro
grandezze elettriche e meccaniche.
8
<
:
S =s
E
T +dE
D =dT +"
T
E
(1.1)
CAPITOLO 1. MATERIALI PIEZOELETTRICI 5
Lasceltadellevariabiliindipendenti,unaelettricaeunameccanica,ècompletamente
arbitraria, per cui è possibile ottenere altre tre coppie di equazioni indipendenti e
equivalenti utili al fne di descrivere il comportamento di un materiale piezoelettrico.
8
<
:
E =gT +
D
"
T
S =s
D
T +gD
(1.2)
8
<
:
E =hS +
D
"
S
T =c
D
S hD
(1.3)
8
<
:
D =dS +"
S
E
T =c
E
S eE
(1.4)
Gli apici utilizzati nelle formule si riferiscono alle condizioni al contorno; E e
D sono relativi a grandezze riferite al caso in cui il campo elettrico sia tenuto co-
stante (corto circuito), o al caso in cui ad essere tenuto costante è lo spostamento
elettrico (circuito aperto), gli apici T e S sono invece relativi alle permittività die-
lettriche ottenute a stress costante o a deformazione costante. Le relazioni riportate
in precedenza possono essere ricavate a partire da una funzione potenziale definita
come:
 (S;E) =
1
2
ScS S"E 1
2
EeE (1.5)
La deformazione S è un tensore di rango 2 mentre il campo elettrico E è di rango 1,
di conseguenza,visto che il potenziale è una funzione scalare anche le costanti c, "
ed e devono essere dei tensori. A partire da questo potenziale ad esempio è possibile
ricavare la coppia di equazioni 1.4 tramite una semplice derivazione:
8
<
:
T
ij
=
@ @S
ij
D
i
= @ @E
i
(1.6)
Osservando le equazioni è quindi possibile notare che il tensore c deve essere di
rango 4 mentre il tensore "
S
è di rango 3, per cui la prima delle equazioni 1.4 può
essere esplicitamente scritta nella forma:
T
ij
=c
E
ijlm
S
lm
+e
ijn
E
n
(1.7)
i;j;l;m;n = 1::3 (1.8)
Una volta che il materiale piezoelettico, è stato polarizzato l’asimmetria viene
rotta e viene sostituita da una simmetria cilindrica in quanto gli assi perpendicolari
CAPITOLO 1. MATERIALI PIEZOELETTRICI 6
a quello di polarizzazione diventano equivalenti. In questo caso gli indici ij possono
essere rimappati in un indice  secondo la trasformazione :
8
<
:
 =i; i =j
 = 9 (i +j); i6=j
(1.9)
E analogamente per la coppia di indici l,m che possono essere mappati in  .
In questo modo le equazioni 1.7 diventano:
T
 =c
E
 S
 +e
n
E
n
(1.10)
; = 1::6;n = 1::3 (1.11)
Il tensore delle costanti e
n
può ora essere interpretato come una matrice 6X3 e
quindi con al massimo 18 elementi. Tuttavia considerando la simmetria cilindrica,
il numero degli elemento indipendenti e diverso da zero si riduce a 3. E’ possibile
osservare quindi che applicando un campo elettrico parallelamente alla direzione
di polarizzazione, si generareranno degli stress lungo tutte e tre le direzioni. gli
elementi della matrice e
n
diversi da zero saranno quindi e
13
=e
23
e e
33
. Gli stress
di taglio possono essere generati solo in caso in cui la direzione di applicazione del
campo elettrico è perpendicolare alla direzione di polarizzazione. Questo fa si che
gli ultimi due elementi diversi da zero e uguali tra loro per simmetria sono e
23
ee
15
.
La matrice delle costanti piezoelettriche risulta essere quindi:
e
n
=
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
0 0 e
31
0 0 e
32
0 0 e
33
0 e
24
0
e
15
0 0
0 0 0
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
(1.12)
Con dei ragionamenti analoghi è possibile ottenere la forma per la matrice dei
coefficienti c
E
 :
c
E
 =
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
c
11
c
12
c
13
0 0 0
c
12
c
11
c
13
0 0 0
c
13
c
13
c
33
0 0 0
0 0 0 c
44
0 0
0 0 0 0 c
44
0
0 0 0 0 0
c
11
c
22
2
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
(1.13)