Metodi qualitativi in tomografia a microonde: applicazioni alla diagnosi del tumore al seno

2 1. Il problema diagnostico
sviluppare questa patologia. L’eta` e la familiarita`, per esempio: piu` dell’80%
dei casi del tumore al seno colpisce donne sopra ai 50 anni e circa il 10%
delle donne a cui sia stato riscontrato questo tipo di cancro ha avuto piu`
di un familiare stretto malato (soprattutto nei casi giovanili). Ma sono an-
che rilevanti la presenza di alcuni geni (BRCA1 e BRCA2) le cui mutazioni
sono responsabili del 50% delle forme ereditarie di cancro o condizioni di
iperestrogenismo o anche il fumo e l’obesita`.
Esiste una precisa classificazione in stadi di avanzamento del tumore ad
ognuno dei quali corrispondono determinate margini terapeutici con con-
seguenti prospettive di guarigione e di sopravvivenza.
• Stadio 0: carcinoma in situ. Non e` un tumore aggressivo ma puo`
rappresentare un fattore di rischio per la formazione successiva di una
lesione maligna.
• Stadio 1: cancro in fase iniziale, con meno di 2 cm di diametro e senza
coinvolgimento dei linfonodi.
• Stadio 2: cancro in fase iniziale, con meno di 2 cm di diametro ma
con coinvolgimento dei linfonodi ascellari, o un tumore con piu` di 2 cm
di diametro.
• Stadio 3: tumore localmente avanzato, di dimensioni variabili, ma che
ha coinvolto i linfonodi sotto l’ascella o i tessuti limitrofi (per esempio
la cute).
• Stadio 4: cancro gia` metastatizzato che ha coinvolto altri organi al di
fuori del seno.
Se il tumore viene identificato allo stadio 0, la sopravvivenza a cinque anni
nelle donne trattate e` del 98 per cento, anche se le ricadute variano tra il 9
e i 30 per cento dei casi, a seconda della terapia effettuata. Se i linfonodi
sono positivi, cioe` contengono cellule tumorali, la sopravvivenza a cinque
anni scende al 75%.
1.2 Mammografia a raggi X 3
Nel cancro metastatizzato, cioe` quello che ha gia` colpito altri organi al di
fuori del seno, la sopravvivenza media delle pazienti curate con chemioterapia
e` di due anni.
E’ chiaro che, quanto prima venga scoperto il tumore, tanto maggiori
siano le probabilita` di sconfiggerlo. Un ulteriore ostacolo ad una efficace di-
agnosi preventiva e` costituito dal fatto che, in genere, il tumore al seno nel
suo iniziale manifestarsi, non provoca alcun tipo di dolore e, nella maggior
parte dei casi, non da` alcun segno di se`. Al di la` del mantenere compor-
tamenti sani in modo tale che da far decrescere le probabilita` di sviluppare
il tumore, l’unico modo per avere un serio controllo sull’effettiva salute del
proprio seno e` quello di sottoporsi periodicamente ad una serie di esami.
Ecografia (per donne giovani) e mammografia sono attualmente le tecniche
piu` utilizzate e piu` efficaci e, se effettuate con una cadenza adeguata alla pre-
senza dei fattori di rischio, garantiscono un efficace monitoraggio sulla salute
del seno. Tuttavia alcuni di questi metodi di diagnosi precoci presentano
dei difetti: strutturali, di costo e anche di invasivita` (come nel caso della
mammografia a raggi X). Al fine di risolvere queste problematiche si stanno
sviluppando nuove tecniche, come quella della tomografia a microonde di cui
ci occuperemo - in una sua schematizzazione - in questo lavoro.
(Fonte: AIRC - Associazione Italiana per la Ricerca sul Cancro)
1.2 Mammografia a raggi X
La mammografia a raggi X e` il piu` alto livello di sviluppo finora raggiun-
to nelle tecnologie relative all’imaging del tumore al seno. A parte alcune
rielaborazioni durante e dopo l’acquisizione delle immagini, l’approccio basi-
lare dell’imaging relativo alla mammografia a raggi X e` essenzialmente lo
stesso della radiografia convenzionale, basato cioe`, nel produrre un’immag-
ine, sul contrasto creato dalle piccole differenze nei coefficienti di attenuazione
lineare tra il tessuto adiposo e quello ghiandolare.
Un recente miglioramento alle tradizionali tecniche di mammografia e` il
4 1. Il problema diagnostico
Full-Field Digital Mammography (FFDM), in cui la pellicola a raggi X e`
sostituita dalla presenza di alcuni rilevatori che convertono le radiazioni in
segnali elettrici: questi ultimi sono utilizzati per produrre immagini digitali
che possono essere rielaborate attraverso l’uso di appositi sistemi di indi-
viduazione che riescono a focalizzare le aree in cui siano presenti densita`
anomale, masse o calcificazioni servendosi di algoritmi di segmentazione o di
ricognizione di modelli.
La mammografia a raggi X ha pero` difetti significativi: per prima cosa, e`
una modalita` a bassa sensibilita`, infatti perde approssimativamente uno ogni
cinque tumori maligni presenti al momento della radiografia. Questo falso-
negativo incorre frequentemente nelle donne con un tessuto particolarmente
denso, spesso le donne piu` giovani. Anche i falsi-positivi sono frequenti:
attualmente circa il 75% di tutti i campioni testati risultano, erroneamente,
come affetti da lesioni benigne ([13]). Tutto cio` si traduce in una bassa
specificita` di questo tipo di imaging i cui risultati, non si deve trascurare,
sono sempre da mettere in relazione anche con l’abilita` del medico che prende
visione della radiografia.
A quanto detto si deve aggiungere, poi, l’inconveniente di una necessaria
ma fastidiosa compressione del seno al momento dell’esame e, soprattutto, la
nota controindicazione dell’invasivita` dei raggi X che, per quanto le tecniche
di ultima generazione riducano a quantita` minime l’esposizione del paziente
alle radiazioni, non e` tuttavia ancora trascurabile.
1.3 Tecniche alternative per la diagnosi del
tumore al seno
Numerose nuove tecnologie sono tutt’ora in fase di sviluppo e potranno
nei prossimi anni migliorare notevolmente la qualita` dei risultati ottenibili
nella prevenzione del tumore al seno, incrementandone la precisione della
1.3 Tecniche alternative per la diagnosi del tumore al seno 5
diagnosi, abbassandone i costi e riducendo al minimo la pericolosita` delle
tecniche utilizzate.
Ne sono esempi la CAD (Computer Aided Detection), la mammografia
digitale e l’MRI-screening. Mentre i primi due sono evoluzioni della classica
tomografia a raggi X - della seconda abbiamo gia` accennato nel paragrafo
precedente mentre la prima si distingue perche` provvista di una modalita`
automatica di individuazione di caratteristiche sospette senza che queste
debbano essere svelate da occhio umano - la terza e` invece una tecnica rad-
icalmente diversa da quella della mammografia: qui, infatti, il corpo viene
immerso in un forte campo elettromagnetico statico e, mano a mano che
la situazione si rilassa per tornare alla normalita` di partenza, se ne misura
la magnetizzazione nei tessuti. Ricordiamo che nella tomografia a raggi X,
invece, i tessuti venivano colpiti ripetutamente e da diverse angolazioni da
fasci di raggi, i cui residui venivano poi misurati tramite antenne recettrici
appositamente situate intorno all’oggetto.
In fase ancora prototipale sono il tomografo EIT (Electrical Impedance
Tomography), che sfrutta le proprieta` di impedenza elettrica del corpo, il
tomografo ottico ed il tomografo a microonde. Il primo, che nella sua ri-
costruzione si basa sul confronto tra le misurazioni delle variazioni del poten-
ziale elettrico relativo a vari punti appartenenti all’oggetto del quale si vuole
ottenere un’immagine, ha il fondamentale difetto di basarsi sulla risoluzione
di un problema matematico non lineare e fortemente mal posto. Il secon-
do ricrea un’immagine dell’oggetto in base al modo in cui questo respinge o
assimila fasci di luce intensa inviatigli contro; ha pero` il difetto di poter lavo-
rare soltanto su oggetti almeno parzialmente luce-trasmittenti e, per questo,
e` indicato in particolar modo per imaging relativo a tessuti leggeri: il tessuto
da cui e` formato il seno e` tra questi.
L’ultimo, il tomografo a microonde, e` un’altra innovazione alla quale si
sta lavorando da qualche anno e, come tale, presenta, parallelamente a tutta
una serie di buone qualita`, anche un numero di problemi che dovranno es-
sere risolti affinche` le microonde possano davvero essere proposte come seria
6 1. Il problema diagnostico
alternativa all’uso dei raggi X.
1.4 Tomografia a microonde
I principi alla base della teoria relativa alla tomografia a microonde of-
frono numerosi vantaggi nella rilevazione sistematica della salute corporea.
L’utilizzo delle microonde, intanto, porta bassi (se non nulli) rischi per la
salute e ha la non trascurabile qualita` di non necessitare di un supporto
tecnologico eccessivamente sofisticato, caratteristica che ha anche un signi-
ficativo impatto sul costo di produzione di apparecchiature e onde che restano
bassi rispetto a quelli relativi agli altri tomografi. Dal punto di vista delle
proprieta` di imaging, poi, si hanno ulteriori vantaggi: le applicazioni diag-
nostiche delle microonde sono basate sul contrasto tra proprieta` dielettriche
che, nel caso di tumore al seno, possono avere anche il 40% di differenza
rispetto a quelle del tessuto sano. Inoltre, alla frequenza delle microonde,
l’attenuazione e` molto contenuta. Da tutte queste premesse ne puo` seguire
la conclusione che la mammografia possa davvero rappresentare una tipolo-
gia di screening sensibile, specifico, non invasivo e poco costoso, ideale per la
routine della mammografia.
Tuttavia, esistono anche alcuni difetti: il problema fondamentale del-
l’imaging a microonde e` insito nel processo di misurazione dei dati. Un’onda
elettromagnetica di circa 1 Ghz di frequenza ha, in un tessuto biologico, una
lunghezza d’onda pari a qualche centimetro, cioe` pressapoco la stessa dimen-
sione dell’organo sotto investigazione. Vigenti alcune condizioni di risonanza,
gli effetti di diffrazione non sono trascurabili e il problema inverso di ricostru-
ire cio` che un tessuto racchiude sotto di se` si traduce in un problema non
lineare fortemente instabile.
L’individuazione di un tumore attraverso l’uso delle microonde puo` es-
sere perseguita in due modi: analizzando il campo diffuso, cioe` paragonando
quello relativo al soggetto in questione a quello del caso di un individuo
1.4 Tomografia a microonde 7
sano, in una modalita`-radar, oppure ricostruendo l’interno del tessuto at-
traverso le informazioni sul campo diffuso misurate tramite rilevatori, in una
modalita`-tomografo. Di questi, siamo qui interessati esclusivamente al sec-
ondo approccio. Ne daremo ora una veloce descrizione per cio` che riguar-
da il suo funzionamento globale nel caso della mammografia, a partire dal-
la modellizzazione delle quantita` in gioco, fino ad arrivare ad una piccola
schematizzazione dell’hardware che, a tutti gli effetti dovra` entrare in gioco
al momento dell’applicazione della teoria, senza tralasciare un breve accenno
ai principi di massima della teoria matematica che risolve il problema inverso
di ricostruzione e di cui ci occuperemo piu` approfonditamente in seguito.
Nella modellizzazione del seno assegneremo ad ogni tessuto un corrispon-
dente indice di rifrazione scritto come funzione della frequenza ω compresa
tra 100 Mhz e 20 Ghz:
n2(x) = 1
0
((x) + iσ(x)
ω
) = ∞ +
s − ∞
1 + iωτ − i
σs
ω0
dove i parametri di Debye s, ∞, τ , σs sono scelti coincidenti con i dati
scientifici pubblicati [18].
Diamo, poi, un’idea di quella che sara` la struttura materiale del mam-
mografo a microonde. Come mostra la figura 1.1, le misurazioni verranno
effettuate considerando sezioni circolari del seno: su opportune guide cir-
colari parallele, poste tutt’intorno ad esso, ruoteranno sorgenti ed antenne.
La sezione di seno individuata dal piano a cui una di queste circonferenze
appartiene sara`, chiaramente, quella sulla quale indagheremo la presenza di
un tumore. Infine, variando la coordinata dell’altezza delle sezioni otterremo
una rappresentazione tridimensionale del seno e dei suoi tessuti interni.
Un accenno alla teoria matematica reggente l’inversione: il problema inverso
di scattering a microonde e` un problema non lineare e mal posto ed e`, pertan-
to, molto difficile da trattare. Esistono alcuni differenti metodi di approccio
al problema e, di tutti, qui abbiamo scelto di occuparci della famiglia dei
metodi qualitativi. Questa classe di metodi - come vedremo in seguito - non
si pone come obiettivo di ricostruire il valore dei parametri elettrici in gioco
punto per punto, bens`ı si propone di individuarne esclusivamente le discon-
8 1. Il problema diagnostico
100 200 300 400 500 600
20
40
60
80
100
120
Figura 1.1: Schema del funzionamento di un mammografo e motivazione
della scelta di un modello circolare per la sezione di seno.
tinuita`. In questo modo, si potra` pervenire ad una riscrittura equivalente del
problema la cui risoluzione corrispondera` - lo dimostreremo - a quella di una
equazione integrale lineare. Come si puo` capire, questa e` una semplificazione
notevole del problema: prima dell’avvento di questo nuovo approccio, infatti,
soltanto due erano le strade percorribili. Da un lato, attaccare il problema
nella sua non linearita` con l’ausilio di metodi iterativi, dall’altro linearizzarlo,
nei casi in cui valgano condizioni che lo permettano. Senza bisogno di en-
trare nei dettagli, si puo` capire come risoluzioni del genere della prima citata
abbiano, intrinseco, un costo computazionale elevato; anche la differenza che
intercorre tra un metodo linearizzato e un metodo qualitativo e` facile a dirsi:
il primo e` un’approssimazione valida soltanto sotto alcune ipotesi; il metodo
qualitativo, invece, e` una riscrittura equivalente del problema di scattering
inverso. Se e` vero, pero`, che per le caratteristiche sopra elencate i metodi
qualitativi risultano piu` evoluti degli altri, non bisogna dimenticare che essi
risolvono un problema piu` semplice: a differenza di quelli che ricostruiscono
il valori dei parametri elettrici punto per punto, i metodi qualitativi ne indi-
vidueranno soltanto le discontinuita`, e cioe`, nel caso di una loro applicazione
alla tomogafia, forniranno soltanto posizione, forma e grandezza di un tu-
more senza informazioni ulteriori sulle sue caratteristiche fisiche o di quelle
dei tessuti circostanti.
Capitolo 2
La tomografia a microonde
come problema inverso di
scattering
Allo scopo di giungere ad una dettagliata decrizione della risoluzione del
problema di cui abbiamo parlato, nelle sue caratteristiche generali, nel capi-
tolo precedente, dobbiamo soffermarci sul passaggio dal fenomeno fisico reale,
alla sua schematizzazione matematica.
Il nostro obiettivo sara` di ricostruire con la maggior precisione possi-
bile la posizione, le dimensioni e la forma del tumore incognito presente nel
seno: per perseguirlo, in linea con la schematizzazione dell’hardware illus-
trata in precedenza, in luogo di una - piu` complicata - ricostruzione 3D,
indagheremo su sezioni bidimensionali riducendoci, in definitiva, ad un prob-
lema matematico 2D. Passiamo, quindi, a considerare una sezione di seno: ne
approssimeremo la superficie esterna con una circonferenza; vene, ghiandole
e tutto cio` che nella realta` del corpo umano si differenzia da quella che e`
la carne - per noi materia omogenea di riempimento - nella nostra schema-
tizzazione si manifestera` unicamente in una discontinuita` nelle proprieta` di
rifrazione dell’onda, ove essa non sia trascurabile. Naturalmente, anche la
forma che queste si trovano ad avere in una sezione reale, non potra` che
9
10 2. La tomografia a microonde come problema inverso di scattering
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
 
 
Figura 2.1: Modellizzazione di una sezione di seno: le due circonferenze
piu` grandi in blu delimitano lo strato di pelle; in rosso abbiamo le vene,
una tagliata parallelamente (rettangolo), l’altra ortogonalmente; in grigio la
sezione di una ghiandola e in bordeaux quella del tumore; lo strato, bianco,
di riempimento sara` quello del grasso.
essere ricondotta, nel nostro modello, ad una geometria piu` semplice e piu`
regolare.
In pratica, quella che nella realta` e` una sezione di seno, verra` modellizzata
in una circonferenza avente racchiuse all’interno altre forme piu` piccole; in
ognuna delle aree di piano da queste delimitate - esternamente e internamente
- avremo coefficienti di rifrazione costanti. Considereremo l’oggetto come
immerso nel vuoto.
Questo per cio` che riguarda la descrizione statica del modello; dobbi-
amo ora descrivere il modello nelle sue caratteristiche dinamiche, ovvero la
schematizzazione del quando - come nella realta` - inviamo un’onda elettro-
magnetica nella direzione dell’oggetto e, di questa, ne misuriamo il rifrarsi
ed il propagarsi.
2.1 Formulazione del problema diretto 11
2.1 Formulazione del problema diretto
Nel piano cartesiano R2, consideriamo la seguente situazione: un punto x0
posto di fronte ad un oggetto di forma circolare e di definite proprieta` fisiche,
delle quali il coefficiente di rifrazione n(x) sara` costante a tratti. Dal punto si
propaga un’onda elettromagnetica che, nella porzione di piano a cui l’oggetto
appartiene, lo andra` ad urtare, penetrandolo in parte ed essendone rifratta in
altra parte, in base alle caratteristiche fisiche dell’oggetto sopra definite. Cio`
che ci interessa, nella risoluzione del problema diretto, e` ricostruire il campo
elettromagnetico u generatosi dopo il contatto onda-oggetto, calcolandolo in
uno qualsiasi dei punti del piano.
Cominciamo definendo le equazioni che regolano la situazione sopra de-
scritta:
∆u+ k2n2(x)u = 0 in R2 (2.1)
u(x) = ui + us con ui = expikx·d (2.2)
lim
r→∞
√
r(
∂us
∂r
− ikus) = 0. (2.3)
Nell’equazione 2.1 k e` il numero d’onda e n(x) l’indice di rifrazione puntuale;
la 2.2 descrive il comportamento fisico dell’onda al contatto con una superfi-
cie costituente una discontinuita` nell’indice di rifrazione n rispetto a quello,
(uguale a 1), proprio del vuoto: il campo, qui, sara` costituito dalla somma
del valore dell’onda nella sua parte proveniente direttamente dalla sorgente
ui e dell’onda scatterata us, cioe` il residuo d’onda rimbalzato dalla superficie
dell’oggetto discontinuo o, a seconda della posizione del punto rispetto alla
sorgente, penetrato attraverso la superficie di discontinuita`.
L’equazione 2.1, detta condizione di radiazione di Sommerfeld, costitu-
isce la condizione di decadimento all’infinito dell’onda che e` poi cio` tramite
cui riusciamo a distinguere l’onda uscente (che la verifica e che e` l’onda
che ci interessera` misurare quando definiremo il problema inverso) da quella
entrante.
12 2. La tomografia a microonde come problema inverso di scattering
La condizione di Sommerfeld assieme alle condizioni di continuita` del
campo e della sua derivata normale che imporremo ai bordi delle superfici
di discontinuita` del coefficiente di rifrazione dell’onda, ci dara` l’unicita` del-
la soluzione e, come vedremo nel prossimo paragrafo, contribuira` al buon
posizionamento del problema diretto.
Elenchiamo, ora, alcuni risultati introduttivi:
Definizione 2.1. Definiamo rispettivamente funzione di Bessel Jn, funzione
di Neumann Yn e funzione di Hankel di primo tipo H(1)n le seguenti:
Jn(z) =
∞
k=0
(−1)kz2k+n
k!Γ(k + n+ 1)22k+n ;
Yn(z) =
Jn(z)cos(npi)− J−n(z)
sen(npi)
;
H(1)n (z) = Jn(z) + iYn(z).
Proposizione 2.1. Nelle coordinate polari (r, θ), dato n intero, se la fun-
zione y(r) e` soluzione dell’equazione di Bessel
y′′ + 1
r
y′ + (1− n
2
r2
)y = 0 (2.4)
allora y(kr) expinθ e` soluzione dell’equazione di Helmholtz.
Proposizione 2.2. Jn, Yn, H(1)n sono soluzioni dell’equazione di Bessel 2.4
e le {Jn, Yn} e {Jn, H(1)n } sono coppie di soluzioni linearmente indipendenti.
Definizione 2.2. Definiamo soluzione fondamentale dell’equazione di Helmholtz
la funzione:
Φ(x, y) = i
4
H(1)0 (k | x− y |).
Osserviamo che Φ(x, y) soddisfa la condizione di radiazione di Sommerfeld
rispetto ad entrambe le variabili in entrata, in quanto per | x − y |→ 0
abbiamo che
Φ(x, y) = 1
2pi
log
1
| x− y | +O(1).
2.2 Buona posizione del problema diretto 13
2.2 Buona posizione del problema diretto
In questo paragrafo ci proponiamo di dimostrare la buona posizione del
problema di scattering diretto descritto nel precedente paragrafo. Quella
che vedremo sara`, pero`, la risoluzione del caso piu` semplice di un oggetto
di tipo conduttore-imperfetto con l’aggiunta di una condizione di bordo. La
dimostrazione della buona posizione del problema diretto nel caso da noi
considerato di ostacolo non omogeneo si svolgera` in maniera analoga. Il
sistema di equazioni, nel caso, quindi, di conduttore imperfetto, si presentera`
cos`ı:
∆u+ k2n2(x)u = 0 in R2 \ D¯ (2.5)
u(x) = ui + us con ui = expikx·d (2.6)
lim
r→∞
√
r(
∂us
∂r
− ikus) = 0. (2.7)
∂u
∂ν
+ iλu = 0 (2.8)
dove λ ∈ C(∂D), λ(x) > 0 per x ∈ ∂D e ν vettore normale a ∂D.
Cominceremo dimostrando l’esistenza di un’unica soluzione u ∈ C2(R2D¯)∩
C1(R2D) con D dominio limitato contenente l’origine e avente frontiera
∂D di classe C2. Successivamente, proveremo la dipendenza continua della
soluzione u rispetto all’onda incidente ui, in una norma appropriata, il che
ci portera` a concludere la buona posizione del problema diretto.
Teorema 2.1 (Teorema di rappresentazione). Sia us ∈ C2(R2 \ D¯) ∩
C1(R2 \ D) una soluzione dell’equazione di Helmholtz all’esterno di D sod-
disfacente la condizione di radiazione di Sommerfeld. Allora, per x ∈ R2 \ D¯
abbiamo che:
us(x) = 

∂D
(us(y)
∂
∂ν(y)
Φ(x, y)− Φ(x, y)∂us
∂ν
(y))ds(y)
con ν vettore unitario normale al bordo ∂D.
Dimostrazione. Sia x ∈ R2 \ D¯ ed in esso centriamo il disco Ωx, = {y :|
x− y |< }, dove Ωx, ⊂ R2 \ D¯.
14 2. La tomografia a microonde come problema inverso di scattering
Sia ΩR un disco di raggio R centrato nell’origine e contenente al suo
interno sia D sia Ωx,. Per il secondo teorema di Green, abbiamo che
us(x) = 

∂D+∂Ωx,+∂ΩR
(us(y)
∂
∂ν(y)
Φ(x, y)− Φ(x, y)∂us
∂ν
(y))ds(y) = 0.
Per la definizione di funzione di Hankel, abbiamo che ddrH
(1)
0 (r) = −H(1)1 (r);
sfruttando cio` e quanto visto prima, su ∂Ωx, si ha che
∂
∂ν(y)
Φ(x, y) = 1
2pi
1
| x− y | +O(| x− y | log(| x− y |)).
Sfruttando la precedente ed il fatto che la soluzione fondamentale e` radiattiva,
per → 0 abbiamo che
us(x) = 

∂D
(us(y)
∂
∂ν(y)
Φ(x, y)− Φ(x, y)∂us
∂ν
(y))ds(y)−
− 

|y|=R
(us(y)
∂
∂ν(y)
Φ(x, y)− Φ(x, y)∂us
∂ν
(y))ds(y).
A questo punto, per concludere la dimostrazione, ci basta far vedere che
il secondo membro tende a zero per R tendente ad infinito. Prima, pero`,
osserviamo che
lim
R→∞ 
|y|=R | us |2 ds = O(1). (2.9)
Infatti, per la condizione di radiazione di Sommerfeld, vale:
lim
R→∞ 
|y|=R | ∂us∂r − ikus |2 ds =
= lim
R→∞ 
|y|=R | (| ∂us∂r |2 +k2 | us |2 +2kIm(us∂u¯s∂r ))ds. (2.10)
Applicando il primo teorema di Green al dominio DR = ΩR \ D¯ otteniamo

|y|=R
us
∂u¯s
∂r
ds = 

∂D
us
∂u¯s
∂ν
ds− k2 

DR
| us |
2 dy + 

DR
| ∇us |2 dy
e cos`ı si ha che 2.10
lim
R→∞ 
|y|=R(| ∂us∂r |2 +k2 | us |2)ds = −2kIm 
∂D us∂u¯s∂ν ds (2.11)
2.2 Buona posizione del problema diretto 15
dalla quale possiamo concludere che
lim
R→∞ 
|y|=R | us |2 ds = O(1).
Vale inoltre la seguente identita`:

|y|=R
(us(y)
∂
∂ν(y)
Φ(x, y)− Φ(x, y)∂us
∂ν
(y))ds(y) =
= 

|y|=R
us(y)(
∂
∂ | y |
Φ(x, y)− ikΦ(x, y))ds(y)−
− 

|y|=R
Φ(x, y)( ∂us
∂ | y |
(y)− ikus(y))ds(y).
Applicando ad ognuno degli integrali al membro di destra di quest’ultima
identita` la diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, e maggiorandone gli elementi
attraverso la 2.9, utilizzando il fatto che Φ(x, y) = O( 1√R) e che Φ e us
soddisfano la condizione di radiazione di Sommerfeld, abbiamo che
lim
R→∞ 
|y|=R(us(y) ∂∂ν(y)Φ(x, y)− Φ(x, y)∂us∂ν (y))ds(y) = 0
e la dimostrazione e` terminata.
Sia adesso D un dominio limitato con frontiera ∂D ∈ C2 e u ∈ C2(D) ∩
C1(D¯) soluzione dell’equazione di Helmoltz in D. Attraverso le stesse tec-
niche utilizzate nella dimostrazione del teorema precedente, si puo` dimostrare
che per x ∈ D vale la formula di rappresentazione
u(x) = 

∂D
(Φ(x, y)∂u
∂ν
(y)− u(y) ∂
∂ν(y)
Φ(x, y))ds(y).
E di qui, dal momento che Φ(x, y) e` una funzione analitica reale delle variabili
x1 e x2 dove x = (x1, x2) e x 6= y, abbiamo che anche u e` una funzione
analitica reale in D. Cio` prova il teorema seguente:
Teorema 2.2. Le soluzioni dell’equazione di Helmholtz sono funzioni analitiche
reali delle rispettive variabili indipendenti.