Metodi numerici per la valutazione delle opzioni americane

 5
Nello stesso anno fu di fondamentale importanza la pubblicazione di un 
articolo del matematico Fisher Black e dell’economista Myron Scholes [2] 
all’interno del quale vennero sviluppate per la prima volta formule esplicite 
per la valutazione del prezzo di opzioni call e put europee, nonché strategie 
di coperture (hedging) e di replicazione dei portafogli di titoli. Sempre nel 
1973 anche Robert Merton [9] sviluppa ed estende il suddetto articolo 
arrivando anche a dimostrare un importantissimo risultato nel campo della 
matematica finanziaria (rif. Par.: 2.1.3). Da questo momento in poi, in 
parallelo con la crescita esplosiva del volume della compravendita di titoli 
derivati, tanti vecchi contratti sono stati ridefiniti proprio sulla base della 
teoria delle opzioni. Ci si è resi conto che molti contratti incorporano 
implicitamente nella loro struttura opzioni (embedded options) e non 
possono essere quindi valutati correttamente senza un modello di pricing 
delle stesse. Tra le più comuni opzioni implicite si possono citare i zero 
cupon bond (zcb) emessi da imprese che sono soggetti a rischio di 
insolvenza (default), gli investimenti con minimo garantito e i buoni postali.  
E’ da sottolineare che alla base dei modelli di valutazione c’è un concetto 
determinante nella valutazione e nel commercio dei derivati: il principio di 
assenza di arbitraggio. L’arbitraggio non è altro che una transazione che 
non presuppone un esborso monetario, il cui risultato è un sicuro profitto. 
All’interno di questo lavoro verrà dato spazio in egual misura sia alla 
presentazione dei metodi utilizzati per la valutazione del prezzo delle 
opzioni, con particolare enfasi al confronto dei vari metodi attraverso il 
calcolo e la valutazione delle lettere Greche, sia alla struttura del 
linguaggio di programmazione utilizzato per ottenere tale valutazione. Si 
metteranno in risalto in particolar modo le caratteristiche teoriche che sono 
alla base della costruzione di alberi binomiali di tipo Leisen – Reimer e si 
vedrà la rispondenza, l’accuratezza e la precisione che questi hanno su 
opzioni effettivamente quotate sul mercato.  
 6
CAPITOLO PRIMO 
I concetti base 
 
1.1 Opzioni europee ed opzioni americane: le differenze e le analogie 
 
Si definisce un’opzione call europea su una certa attività con prezzo S(t) un 
contratto che dà il diritto al detentore, detto holder, ad acquistare l’attività 
sottostante ad una data futura prefissata T, detta maturity o scadenza, ad un 
prezzo prefissato K, detto strike price o prezzo d’esercizio. Di conseguenza 
definiamo un’opzione put europea come un analogo contratto che dà al 
detentore il diritto a vendere l’attività sottostante alla data prefissata T e al 
prezzo prefissato K. Le opzioni di tipo americano sono definite come un 
contratto che dà diritto al detentore di acquistare, nel caso di una call, o di 
vendere, nel caso di una put, l’attività sottostante in un qualsiasi istante 
fino alla scadenza T. Tale caratteristica è conosciuta con il nome di early 
exercise o esercizio anticipato. Quindi in un contratto di opzione americana 
l’esercizio è consentito non solo alla scadenza ma anche in ogni istante 
precedente di apertura del mercato. In generale per un’opzione call su 
un’attività con prezzo S(t), con prezzo di esercizio K (positivo), alla 
scadenza T si ha: 
  ⊥ 0,)(max)( KTSTC     
. 
Per un’analoga opzione put si ha: 
  ⊥ 0),(max)( TSKTP     
. 
C(T) e P(T) sono il guadagno (payoff) prodotto in T. La possibilità di 
esercizio anticipato per i contratti di opzione di tipo americano ha 
logicamente un prezzo: dato che il diritto di esercizio anticipato deve avere 
un valore non negativo, il prezzo di una opzione americana deve essere non 
inferiore a quello della corrispondente opzione europea.  
 7
Merton ha dimostrato [9], nel 1973, che se il titolo del sottostante non paga 
dividendi, per un’opzione call si ha sempre 
Tt   
  
, cioè l’esercizio 
anticipato non è mai ottimale, dove t* rappresenta l’istante di esercizio 
ottimale. Pertanto un’opzione call americana su un titolo che non paga 
dividendi ha lo stesso valore della corrispondente opzione europea. 
Analogamente per una put americana si ha Tt  δ
  
, cioè il valore di una put 
americana non è mai inferiore al valore della corrispondente opzione 
europea.  
 8
1.2 Le lettere Greche 
 
Le lettere Greche, o più semplicemente le Greche, misurano l’effetto di una 
variazione nel prezzo delle opzioni rispetto a cambiamenti nei fattori di 
rischio sottostante. Ogni Greca misura una dimensione diversa del rischio 
associata alla partecipazione dell’opzione. L’importanza che viene data alle 
Greche deriva dal fatto che esse determinano la strategia di mercato 
necessaria a coprire l’opzione e sono lo strumento indispensabile per 
ridurre in modo significativo il problema di rischio amministrativo e far si 
che il rischio complessivo rimanga all’interno di limiti accettabili. 
In genere si cerca di immunizzare i portafogli di opzioni da piccole 
variazioni di prezzo dell’attività sottostante che possono verificarsi in un 
breve periodo di tempo. Questa strategia è nota come delta hedging. La 
posizione di un investitore resta coperta rispetto al delta per un periodo di 
tempo relativamente breve. Ciò dipende dal fatto che il delta varia al 
variare del prezzo dell’azione e con il passare del tempo. In pratica, quando 
si utilizza il delta hedging, il portafoglio deve essere aggiustato 
periodicamente. Si parla in questo caso di ribilanciamento (rebalancing). Si 
sposta poi l’attenzione verso due misure chiamate gamma e vega. 
Annullando il gamma, il portafoglio può essere immunizzato dalle 
variazioni relativamente grandi del prezzo dell’attività sottostanti. 
Annullando il vega, il portafoglio può essere reso insensibile alle variazioni 
di volatilità. Vengono inoltre esaminati anche il theta e il rho. Il theta è la 
derivata del valore del portafoglio rispetto al tempo, il rho è la derivata del 
valore del portafoglio rispetto al tasso di interesse privo di rischio. 
Il problema di Greche approssimate precisamente potrebbe non sembrare di 
concreto significato. Nella pratica questo può risultare falso, infatti piccoli 
errori di calcolo nelle Greche in presenza di grandi portafogli possono 
 9
accumulare errori rilevanti. Per tutte queste ragioni non si può sottovalutare 
l’importanza di determinare correttamente gli strumenti delle Greche. 
 
 
1.2.1 Il delta 
 
Il delta di un’opzione è definito come la derivata del prezzo dell’opzione 
rispetto al prezzo dell’attività sottostante. E’ uguale alla pendenza della 
curva che lega il prezzo dell’opzione al prezzo dell’attività sottostante. 
Supponiamo ad esempio che il delta di un’opzione call scritta su un’azione 
sia di 0.6. Ciò vuol dire che, se il prezzo dell’azione aumenta di un piccolo 
importo, il prezzo della call aumenta in misura pari a circa il 60 per cento 
di tale importo.  
Prezzo dell'azione
Prezzo 
della call
B
A
Pendenza = ∆=0.6
 
Figura 1.2.1: Calcolo del delta di una opzione call 
 
Quando il prezzo dell’azione corrisponde al punto A, il prezzo dell’opzione 
corrisponde al punto B e  il delta  della call è la pendenza della retta 
tangente, come si vede dalla Figura 1.2.1. In termini matematici si ha: 
 10
S
f
 ∋
 ∋
   ∋
 
dove 
S ∋
 è una piccola variazione del prezzo dell’azione e 
f ∋
 è la 
corrispondente piccola variazione del prezzo dell’opzione. Nell’esempio 
fatto precedentemente se il prezzo dell’azione è di 1€ il prezzo dell’opzione 
tende a salire di €6.0€16.0    υ , se il prezzo scende di 1€ il prezzo 
dell’opzione tende a scendere di 0.6€. 
Prezzo dell'azione
Delta
della call
1
0
X
        
Prezzo dell'azione
Delta
della put
-1
0
X
 
Figura 1.2.2: Il delta in funzione del prezzo dell’azione per una call e una put scritte su un titolo che non 
paga dividendi. 
 
La relazione che lega il delta di una call e di una put al prezzo dell’azione 
sottostante è mostrata nella figura 1.2.2.  
In generale per gli alberi binomiali e per il metodo delle differenze finite il 
delta può essere calcolato direttamente a partire dai valori ottenuti sul 
reticolo. In particolare per gli alberi binomiali al tempo t ∋ si ha una stima 
11
f
 del prezzo dell’opzione quando il prezzo dell’azione è 
aS
 ed una stima 
10
f
 del prezzo dell’opzione quando il prezzo dell’azione è 
bS
, dove a e b 
rappresentano rispettivamente un movimento al rialzo ed un movimento al 
ribasso del sottostante. In altre parole, quando 
    baSS     ∋
, il valore di 
f ∋
 è pari a 
1011
ff   
.  
 11
Pertanto una stima di  ∋ al tempo t ∋ è data da 
    baS
ff
  
  
   ∋
1011
. 
Questa procedura viene spesso usata anche come stima del delta al tempo 
zero. Quando la derivata prima e seconda viene calcolata per differenze 
finite è possibile usare le seguenti approssimazioni: 
 
Tavola 1.2.1: Approssimazione per xf  ω ω  
 
 
Tavola 1.2.2: Approssimazione per 
2
2
xf  ω ω  
 
 
 
 
 
 
 
 
 Rapporto incrementale 
 
a 
 
b 
 
c 
 
       
h
xfhxf    
 
 
       
h
hxfxf   
 
 
        
h
hxfhxf
2
    
 
 Rapporto incrementale
 
a 
 
b 
 
c 
 
           
2
2
h
hxfxfhxf       
 
 
                   
2
14
22222
h
hxfhxfxfhxfhxf            
 
 
                   
2
12
21630162
h
hxfhxfxfhxfhxf              
 
 
 12
Nel seguito è stata adottata la definizione a sia per approssimare la derivata 
prima (Tavola 1.2.1) che per approssimare la derivata seconda (Tavola 
1.2.2). 
 
 
 1.2.2 Il gamma 
 
Il gamma,  ∗, di un derivato è la derivata del delta rispetto al prezzo 
dell’attività sottostante, ossia la derivata seconda del valore del derivato 
rispetto al prezzo dell’attività sottostante: 
2
2
S
f
 ω
 ω
   ∗
. 
Così come per il delta, anche questa nuova misura può essere calcolata 
direttamente prendendo i valori dal reticolo sia per gli alberi binomiali che 
per il metodo delle differenze finite.  
Se invece si prende in esame un portafoglio di derivati, se il gamma risulta 
essere piccolo, il delta cambia molto lentamente e gli aggiustamenti per 
mantenere il portafoglio neutrale rispetto al delta non vanno fatti di 
frequente. Al contrario, se il gamma è grande in termini assoluti, il delta è 
molto sensibile alle variazioni del prezzo dell’attività sottostante. E’ allora 
molto rischioso lasciare invariato per molto tempo un portafoglio che deve 
essere neutrale rispetto al delta. La Figura 1.2.3 mostra che quando il 
prezzo dell’azione passa da S a S’, il delta hedging assume che il prezzo 
dell’opzione passi da C a C’, mentre in effetti passa da C a C’’. La 
differenza tra C’ e C’’ rappresenta lo scostamento tra il prezzo dell’opzione 
ed il prezzo dell’azione: il gamma misura tale curvatura. In effetti il gamma 
viene talvolta chiamato dagli operatori curvatura dell’opzione. Inoltre la 
Figura 1.2.4 mostra il tipico andamento del gamma in funzione del prezzo 
del sottostante. 
 13
Per quel che riguarda il modello di Cox, Ross e Rubinstein [3] il gamma 
può essere calcolato in questo modo: 
      
h
bS
ff
aS
ff
 ≈
 …
 ≡
 ↔
 ←
 ♠
 
  
  
  
  
   ∗
2
2021
2
2122
1
)(
1
)(
 
dove 
    
22
0
2
1
baSh     
. 
Questa procedura fornisce una stima del gamma al tempo t ∋2  ma in 
pratica viene spesso usata anche come stima del gamma al tempo zero. 
 
Prezzo dell'azione
Prezzo 
Opzione
S S'
C
C'
C''
 
Figura 1.2.3: Illustrazione dell’errore di copertura determinato dalla curvatura o gamma. 
 14
 
Gamma
Prezzo dell'azione
X
 
Figura 1.2.4: Gamma di un’opzione call in funzione del prezzo dell’azione. 
 
 
 
 1.2.3 Il theta 
 
Il theta, 
 4
, di un portafoglio di derivati è la derivata del valore del 
portafoglio rispetto al tempo: 
t ω
 3 ω
   4
 
Misura la variazione del valore del portafoglio in conseguenza del 
passaggio di un istante di tempo ovvero del ridursi della vita residua dei 
derivati. A volte è anche detto “declino temporale” (time decay) del 
portafoglio. Il theta delle opzioni è quasi sempre negativo; un’eccezione 
potrebbe essere rappresentata dalle opzioni put europee in the money scritte 
su titoli che non pagano dividendi o dalle opzioni call europee in the money 
scritte su valute con tassi di interesse molto alti.  
 15
Al diminuire della vita residua, l’opzione tende a valere meno. Quando il 
prezzo dell’azione è at the money, il theta è relativamente grande e 
negativo. 
Il theta è un tipo di parametro con caratteristiche diverse dal delta e dal 
gamma. C’è incertezza sul futuro prezzo dell’azione sottostante ma non c’è 
incertezza sul passare del tempo. 
Per gli alberi binomiali che hanno le caratteristiche strutturali e di 
parametro come quelle definite nell’albero di Cox, Ross e Rubinstein e se 
l’albero binomiale inizia al tempo zero, una stima del theta può essere la 
seguente: 
t
ff
 ∋
  
   4
2
0021
, 
dove 
00
f
 rappresenta il prezzo dell’opzione in corrispondenza della radice 
dell’albero e 
21
f
 rappresenta il nodo corrispondente alla radice ma 
all’istante di tempo t ∋2 . Nei modelli di BAW [1] e di LR [7] il theta deve 
essere calcolato con il rapporto incrementale, nel metodo delle differenze 
finite possiamo prenderlo direttamente dal reticolo. Ciò implica un 
notevole costo computazionale per gli alberi binomiali i quali dipendono 
dall’ipotesi di utilizzo della formula          hxfxf
h
 
1
 oppure di quella 
         hxfhxf
h
    
2
1
.  
Le Greche che seguiranno possono essere determinate solo usando il 
rapporto incrementale delle Tavole 1.2.1 e 1.2.2. La scelta del parametro h 
è cruciale. Se lo scegliamo troppo piccolo, allora la mancanza di precisione 
nella funzione valore porterà ad un errore possibilmente più ampio nel 
parametro di copertura.  
 16
La Figura 1.2.5 mostra il tipico andamento del theta in funzione del prezzo 
del sottostante. 
Theta
Prezzo dell'azione
0
X
 
Figura 1.2.5: Il theta di una call in funzione del prezzo dell’azione. 
 
 
1.2.4 Rho 
 
Il rho di un portafoglio di opzioni è la derivata del valore del portafoglio 
rispetto all’intensità istantanea di interesse: 
r
rho
 ω
 3 ω
  
. 
Misura la sensitività del valore del portafoglio rispetto al tasso di interesse 
r. Questa Greca viene calcolata con il rapporto incrementale b della Tavola 
1.2.1 per mantenere sotto controllo il costo computazionale. In particolare, 
c’è bisogno soltanto di un calcolo ulteriore del valore del portafoglio o del 
derivato fissando 
hrr     
 per calcolare l’approssimazione 
 17
         hrfrf
h
  |
1
 Υ
. 
Per una maggiore precisione viene di solito preso 01.0  h . La Figura 1.2.6 
mostra l’approssimazione per 
 Υ
. 
 
Prezzo dell'azione
Rho
 
Figura 1.2.6: Rho di una call in funzione del prezzo dell’azione. 
 
 
 1.2.5 Vega 
 
Il vega di un portafoglio di derivati è la derivata del valore del portafoglio 
rispetto alla volatilità dell’attività sottostante: 
 ς ω
 3 ω
  vega
. 
Se il vega è elevato in termini assoluti, il valore del portafoglio è molto 
sensibile a piccole variazioni della volatilità. Se il vega è basso in termini 
assoluti, le variazioni di volatilità hanno poca influenza sul valore del 
portafoglio. La Figura 1.2.7 mostra l’andamento del vega in funzione del 
prezzo dell’azione.