Nella prima parte della relazione sono stati messi in luce gli elementi strutturali di questa analisi, in
particolare la matrice degli scambi intersettoriali, degli input primari, degli impieghi finali, delle
importazioni etc. Partendo da questi elementi basilari, dunque, si è poi cercato di pervenire alla
formulazione di interessanti relazioni matematiche, utilizzando gli strumenti dell’algebra delle
matrici.
Nella seconda parte del lavoro, invece, tutte le matrici e le relazioni matematiche già citate sono
state utilizzate in chiave applicativa, nello specifico per testare la capacità di previsione dell’input-
output analysis nel contesto dell’economia italiana tra il 1995 e il 2003, con l’ausilio di dati già
raccolti e pubblicati dall’ISTAT.
Le evidenze empiriche che si sono manifestate, dunque, hanno ispirato alcune importanti riflessioni
ed osservazioni sull’efficacia previsiva e sull’applicabilità di questa analisi.
CAPITOLO 1: UN APPROCCIO TEORICO
1.1 Gli elementi fondamentali dell’analisi Input-Output
Si consideri una data economia composta di n settori. Questi settori, com’è intuibile, effettueranno
degli scambi tra di loro, e dunque al massimo si potranno avere scambi.
2
n
In termini più sintetici, questa situazione è rappresentabile con l’utilizzo di una matrice di
dimensione (n,n) che si indica comunemente con X e prende il nome di matrice degli scambi. Il suo
generico elemento (si legge “x di i in j”), rappresenta il flusso di scambi (in valore) tra il settore
i e il settore j. Tale flusso è , in sostanza, il valore dei beni intermedi che il settore j acquista, per i
suoi fini produttivi, dal settore i.
ij
x
Naturalmente è possibile utilizzare come unità di misura anche grandezze fisiche (ad esempio,
quintali di grano, tonnellate di acciaio e così via) ma è chiaro che per praticità e comparabilità è
preferibile l’impiego di valori monetari.
Un esempio di matrice X potrebbe essere il seguente:
Esempio di matrice degli scambi
≈
≈
≈
…
≡
↔
↔
↔
←
♠
333231
232221
131211
xxx
xxx
xxx
In questa economia semplificata, si hanno tre settori che effettuano scambi, e, per esempio,
l’elemento è il flusso di scambio tra il settore 3 e il settore 2, cioè l’input che il settore 2
acquista dal settore 3 per i propri fini produttivi.
32
x
Analogamente a quanto già fatto per la matrice X, è possibile definire anche la matrice delle
importazioni M, che è di dimensioni (n,n) e rappresenta tutti i flussi di importazione destinati ai
settori produttivi nazionali. In altre parole, il suo generico elemento è il valore del flusso di
scambio tra il settore i (estero) e il settore j (nazionale).
ij
m
Definite queste due matrici, occorre soffermarsi su altri due aspetti di rilievo della contabilità
nazionale, che contribuiscono a completare il quadro generale. Un’economia produce beni e servizi,
e per produrli deve impiegare sia flussi di beni intermedi sia fattori produttivi di diversa natura, i
quali concorrono a formare il valore finale dell’output. Questi input, detti anche input primari, sono
ad esempio i salari, gli oneri sociali, il valore aggiunto, le imposte etc. Tali valori sono riassunti in
una matrice che si indica con la lettera Y, la quale sarà di ordine (s,n), perché s sono i differenti
input primari, e n sono i settori produttivi.
Infine, è noto che in un sistema economico si produce per diversi scopi: beni di consumo, beni
strumentali, scorte etc.; è possibile inquadrare le voci degli impieghi finali in un’unica matrice Z
che sarà di ordine (n,c), dove c sono i tipi di impieghi (investimenti, consumi delle famiglie,
variazione delle scorte etc.) e n sono i settori produttivi. A sua volta, è possibile individuare una
matrice degli impieghi finali interni, e una matrice che sintetizza gli impieghi dei beni
importati. Alla luce di questi elementi, dunque, una possibile rappresentazione del sistema di analisi
Input-Output è la seguente:
x
Z
m
Z
Esempio di sistema I-O ” allargato”
232221
131211
131211
xxx
mmm
xxx
232221
131211
131211
xxx
mmm
xxx
zzz
zzz
zzz
321
yyy
Da notare che in tale esempio le matrici M e sono state inserite a righe alterne nelle matrici X e
(inoltre per semplicità è stato stabilito che n=3, c=1 e s=1).
m
Z
x
Z
Infine, l’ultimo elemento che completa il quadro è il vettore della produzione x, che ha per elementi
i singoli valori della produzione dei diversi settori (vettore di n elementi, dunque). Tale vettore può
essere posizionato come vettore riga appena al di sotto della matrice Y, oppure come vettore
colonna a fianco della matrice Z.
A questo proposito è da ritenersi doverosa una precisazione. Infatti, se si guarda la produzione dal
lato dei costi, senza dubbio un’azienda che produce plastica avrà il suo output, ad esempio, di 100,
ma è possibile che all’interno di questo output ci sia anche una quota di 10 che rappresenta sandali
di plastica prodotti dall’azienda. Sarebbe certamente più giusto considerare questi sandali come
output del settore calzaturiero, ed è per questo che la produzione finale del settore della plastica
andrà rettificata, perché parte di essa appartiene a un altro settore di competenza. Nel sistema Input-
Output, quindi, non è corretto considerare dal lato della distribuzione il vettore x da solo, ma
occorre tenere in considerazione il vettore x “rettificato” dal vettore dei trasferimenti finali t.
Un possibile esempio pratico di tutto il sistema descritto sono le rilevazioni effettuate dall’ISTAT
relative a diversi periodi, dove (in forma di “tavola” I-O) si evidenziano i valori monetari degli
scambi interni, delle importazioni, degli impieghi finali etc.
1.2 Una sintesi matematica: le equazioni di bilancio e di spesa
Nell’ambito della contabilità nazionale due sono le strade percorribili per arrivare a determinare il
valore della produzione finale dei singoli settori:
1. Si somma il valore degli impieghi intermedi con i valori degli impieghi finali (consumi,
investimenti, variazioni delle scorte etc.)
2. Si somma il valore degli impieghi intermedi con la somma delle remunerazioni dei vari
input primari, tenendo anche conto dei costi fiscali
Questi due metodi di calcolo danno luogo a due differenti equazioni, dette anche di bilancio e di
spesa.
L’equazione di bilancio viene così definita:
)( rx
iZiXx
2
In sintesi, con questa equazione si vanno a sommare le righe del sistema (ma si faccia attenzione a
sommare gli elementi della produzione e consumo “interni”), e poi si confrontano i dati ottenuti col
vettore x. Da notare che così facendo si elimina il problema di “rettifica” del vettore della
2
Delucidazioni maggiori in merito agli aspetti di calcolo di queste equazioni sono state fornite nell’appendice al
capitolo 1
produzione: infatti i consumi già contemplano i trasferimenti finali t, per il semplice motivo che,
all’atto del consumo, il sandalo di plastica dell’esempio precedente è già considerato una calzatura.
L’equazione della spesa, invece, considera il valore di un certo prodotto x come somma del valore
dei beni intermedi (importati e non) con i quali è stato prodotto, in aggiunta al costo degli input
primari (ossia la loro remunerazione) che hanno partecipato alla sua produzione. In simboli si avrà:
)(
'''
s
iYiMiXx
1
Si noti che, all’opposto di quanto avveniva nell’equazione di bilancio, nell’equazione della spesa
vengono sommate le singole colonne del sistema.
1.3 Le matrici dei coefficienti diretti
Essendo stati forniti i concetti basilari dell’analisi input-output, è ora possibile passare ad
elaborazioni molto interessanti. Con la matrice X, infatti, si conoscono con certezza il valore degli
scambi tra settori, ma può essere utile sapere in che misura uno specifico bene intermedio partecipa
alla “creazione” del valore finale del prodotto. In altre parole, è possibile calcolare il peso di
ciascuno scambio nella produzione di un determinato bene, e a tal fine basterà impostare un
rapporto del tipo:
j
ij
x
x
Tale rapporto appunto esprime quanto il settore j “dipende” dal settore i, da cui acquista il bene
intermedio necessario alla produzione del suo output.
Chiaramente un discorso del genere può essere fatto non solo per gli scambi interni al sistema, ma
anche per le importazioni e gli input primari. Ecco perciò che si ha la possibilità di calcolare tre
differenti matrici di coefficienti diretti. Tali matrici avranno il pregio di evidenziare al meglio il
peso dei beni intermedi interni, delle importazioni e degli input primari nella produzione di un
insieme di beni. Queste tre diverse matrici possono essere così calcolate:
1
! xXA
x
1
! xMA
m
1
! xYA
y
Il significato delle formule indica chiaramente che queste tre matrici risultanti hanno elementi del
tutto simili al rapporto illustrato inizialmente.
1.4 Coefficienti di attivazione ed “effetto onda”
Fino ad ora questo sistema è stato presentato in termini essenzialmente statici; infatti, non è stato
ancora posto il problema di come possa variare, ad esempio, la produzione, se si modificano gli
impieghi finali. Il cuore dell’analisi Input-Output consiste proprio in questo tipo di ragionamenti, e
peraltro essa costituisce un eccellente modello statistico per interpretare i processi di espansione o
contrazione della produzione.
Si supponga di ridurre o aumentare i consumi di un certo bene: cosa accadrà? Non ci si può limitare
a dire semplicemente che aumenterà la produzione di quel bene; è stata ipotizzata, infatti, una
complessa struttura di scambi intermedi, la quale implica di per sé un certo grado di interdipendenza
settoriale. L’espansione della domanda, perciò, provocherà anche l’espansione della produzione in
tutti quei settori che contribuiscono alla produzione finale con i loro beni intermedi, i quali a loro
volta “attiveranno” altri settori e così via. Questo è un effetto “a onda”, che trasmette i suoi impulsi
a tutto il sistema economico, fino all’esaurimento della “spinta” iniziale. Infatti se ,ad esempio,
raddoppia la domanda di automobili, la produzione di automobili raddoppierà, provocando
l’aumento della produzione dei settori intermedi (acciaio, elettronica, semilavorati, etc.); un
aumento che sarà ovviamente meno del doppio della produzione prima dell’espansione del settore
automobilistico. Continuando a ragionare in questo modo, si arriva a capire che gli “stimoli” alla
produzione diminuiscono progressivamente, fino ad esaurirsi.
Era esattamente questo che Leontief stesso aveva in mente, quando scrisse a proposito di un
ipotetico slittamento dei salari, nel passo che è stato citato nell’introduzione. La novità della sua
analisi consisteva appunto nell’interpretazione di questi passaggi intermedi con l’uso di specifici
strumenti matematici. Si consideri la definizione della matrice dei coefficienti diretti interni:
1
! xXA
x
La quale può anche essere scritta come: (si moltiplichino entrambi i membri per <x>)
XxA
x
!
A questo punto è sufficiente sostituire questo risultato nell’equazione di bilancio, ottenendo:
xiZixA
xx
!
xZxA
xx
xx
zxAI )(
xx
zAIx
1
)(
Quest’ultima espressione è di fondamentale importanza: essa infatti spiega matematicamente ciò
che a parole è stato chiamato “effetto onda”. Infatti si può dimostrare (ma non sarà fatto in questo
lavoro per esigenze di spazio e perché esula dalla sostanza vera e propria del discorso) che l’inversa
della matrice (I- ) esiste, ed è così definita:
x
A
121
.......)(
n
xxxx
AAAIAI
Diventa perciò facile interpretare la precedente relazione. Infatti, la matrice inversa sopra esposta
(che prende il nome di matrice dei coefficienti di attivazione, e funge da “moltiplicatore” di ),
consente di prevedere precisamente quale sarà l’impatto della variazione degli impieghi finali sulla
produzione totale. Essa consente, inoltre, di formalizzare il concetto di “effetto onda”. In altre
parole, visto che:
x
Z
lim = 0
n
x
A
φ ο n
È chiaro che “l’effetto moltiplicativo” della matrice si esaurisce progressivamente, come già era
stato anticipato. Inoltre, tutti gli elementi di tale matrice hanno un preciso significato: in altre
parole, l’elemento di posto (i,j) della matrice inversa rappresenta il fabbisogno totale di input diretti
ed indiretti del settore j, forniti dagli altri settori i, al fine di produrre un’unità di output.
Infine va detto che l’equazione trovata sovente assume la seguente forma:
)()(
1
tzAIx
xx
Infatti il vettore x non tiene conto dei trasferimenti, mentre negli impieghi finali questi sono già
contemplati: ecco perché occorre modificare l’equazione.
1.5 Flussi interni, importazioni e input primari
La relazione appena esposta può essere opportunamente modificata per trovare un “nesso logico”
tra variazioni degli impieghi finali, importazioni e input primari.
A tale proposito è possibile partire dalla definizione di matrice dei coefficienti tecnici delle
importazioni attraverso vari passaggi:
1
! xMA
M
MxA
M
!
iMixA
M
!
mxA
M
L’ultima equazione è molto utile, perché consente di sostituire a x la relazione precedentemente
trovata. Perciò si avrà:
xxM
zAIAm
1
)(
Questa relazione ci permette di collegare l’entità degli impieghi finali con l’entità delle
importazioni. Tale risultato certamente non sorprende dato che, in fondo, un aumento della
produzione interna, nel contesto di un sistema economico internazionalizzato, vuol dire anche un
maggior volume di importazioni (i beni intermedi vengono acquistati sia nel mercato interno che in
quello estero). Da notare che così facendo è stata definita la matrice dei coefficienti di attivazione
delle importazioni, calcolata moltiplicando la matrice per la matrice dei coefficienti
di attivazione già trovata.
M
A
1
)(
x
AI
Un discorso del tutto simile è possibile farlo in merito agli input primari. Infatti è noto che:
1
! xYA
Y
YxA
Y
!
iYixA
Y
!
yxA
Y
Anche qui è possibile sostituire a x la relazione precedente, e così si avrà:
xxY
zAIAy
1
)(
Questa relazione ha un significato sostanzialmente analogo alla precedente: gli impieghi finali sono
collegati agli input primari. Questo è del resto intuibile: un aumento dei consumi, ad esempio,
provocherà anche un aumento dell’impiego di input primari, con lo stesso meccanismo “a onda”
che è stato analizzato in precedenza, ed efficacemente espresso dalla matrice dei coefficienti di
attivazione degli input primari.
1.6 Analisi strutturale: le matrici degli indici complessi
Gli aspetti di analisi esposti nei paragrafi precedenti attingono senza dubbio ad una concezione
“dinamica” del sistema: le importanti relazioni trovate, infatti, spiegano ed interpretano i
cambiamenti che un sistema economico subisce quando vengono modificate, per vari motivi, alcune
variabili (ad esempio i consumi o i salari). È lecito chiedersi perciò se sia possibile invece un’analisi
per così dire “descrittiva” del sistema economico (che vada al di là delle matrici già definite,
naturalmente), e la risposta è senz’altro positiva. Esistono specifici indici i quali interpretano la
struttura dell’economia stessa, e prendono il nome di “indici complessi di struttura”.
Il primo passo verso la costruzione dei c.d. “indici complessi di struttura”, è il calcolo di una
matrice (che prende il nome di matrice H) così definita:
ZAIAH
xy
1
)(
In via preliminare è doveroso fare presente che, in tale contesto, i coefficienti diretti delle
importazioni sono aggregati nella prima riga della matrice .
y
A
Si noti che se si somma per righe questa matrice si ottiene il vettore y (=Yi), mentre sommando per
colonne si ottiene il vettore h (=Z’i). Un possibile esempio di matrice H è il seguente:
Esempio di matrice H (i valori numerici sono puramente esemplificativi)
Consumi Investimenti Esportazioni
Importazioni 109325,293 36667,64688 44102,07453
Oneri sociali 363139,823 67374,36774 63482,44332
Salari e stipendi 147165,531 31285,04974 28385,4975
Altri redditi 451195,271 117690,8908 99910,45767
Imposte 79197,8385 29816,80689 27998,01742
Si noti che la prima riga della matrice Y è costituita dal vettore m=M’i (vettore delle importazioni).
Le voci “consumi, investimenti, esportazioni” rientrano in quanto è stato detto a proposito della
matrice Z, mentre le voci a sinistra sono derivate dalla matrice delle importazioni e dalla matrice Y
degli input primari.
Questa matrice può essere letta per righe o per colonne. Nel primo caso, è possibile sapere quante,
ad esempio, importazioni, nel sistema economico si sono poi tradotte in consumi, investimenti ed
esportazioni. Nel secondo caso, invece, è possibile comprendere in che misura le singole voci di
reddito formano i consumi, gli investimenti e le esportazioni. Questo legame tra input primari e
impieghi finali è molto interessante, perché evidenzia la struttura economica e tecnica che conduce
alla formulazione di un’importante equazione della contabilità nazionale: l’equazione di equilibrio,
secondo la quale:
ƒ ƒ
k
i
i
k
i
i
zy
11
Questa equazione riassume il senso del calcolo del PIL: o si sommano tutti gli input (andata), o si
sommano tutti i redditi (ritorno), perché appunto nel valore di ogni singolo bene sono già contenuti i
redditi di tutti i fattori produttivi che hanno concorso alla sua creazione.
Il passo successivo consiste nella “normalizzazione” della matrice H, che può essere eseguita sia dal
punto di vista degli input primari che dal punto di vista degli impieghi finali. Ne risultano quindi
due diverse matrici, (che avranno come elementi degli indici di struttura) le quali possono essere
così definite:
HyQ
1
!
1
! hHP
Queste due matrici forniscono interessanti informazioni, confrontabili nel tempo e nello spazio, sia
sulla struttura degli input primari (in termini di impieghi finali), che sulla struttura degli impieghi
finali (in termini di input primari). Infatti, la matrice Q mostra la composizione percentuale di
ciascuna voce degli input primari. Ciò implica che, ad esempio, fatte 100 le importazioni, si
possono leggere sulla riga le varie percentuali dei consumi, degli investimenti e delle esportazioni.
Un possibile esempio di matrice Q è il seguente:
Esempio di matrice Q (le percentuali sono puramente esemplificative)
Consumi Investimenti Esportazioni
Importazioni 57% 20% 23%
Oneri sociali 73% 14% 13%
Salari e stipendi 71% 15% 14%
Altri redditi 67% 18% 15%
Imposte 58% 22% 20%
Una chiave di lettura del tutto analoga può essere data per la matrice P, che invece va letta per
colonne, nel senso che ogni voce degli impieghi finali viene scomposta percentualmente in termini
di input primari. Un possibile esempio di matrice P è il seguente:
Tab I. Esempio di matrice P (le percentuali sono puramente esemplificative)
Consumi Investimenti
Esportazioni
Importazioni 9% 13% 17%
Oneri sociali 31% 24% 23%
Salari e stipendi 13% 11% 11%
Altri redditi 39% 42% 38%
Imposte 8% 10% 11%
In tale esempio, fatti 100 i consumi (o gli investimenti o le esportazioni), è possibile leggere le
percentuali di input primari che li compongono.
In conclusione, già questo primo sguardo teorico sul modello Input-Output suggerisce alcune
importanti considerazioni sul suo uso pratico. In particolare, si è reso evidente che tale modello è
utile sia nelle interpretazioni “strutturali” che in quelle più propriamente “dinamiche”; perciò il
passo successivo non può essere altro che un’applicazione pratica del modello teoricamente
discusso in questo capitolo.
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