Macromodelli di linee di trasmissione dispersive e dissipative

Capitolo 1
Introduzione
Nei circuiti a larghissima scala di integrazione (Very Large Scale Integration - VLSI) le elevate
frequenze dei segnali impongono una corretta modellizzazione delle interconnessioni elettriche tra i
dispositivi elettronici; infatti la presenza di ritardi non intenzionali, efietti di crosstalk, riessioni e
perdite inuenzano fortemente il corretto funzionamento di questi circuiti. Pertanto per assicurare
il corretto funzionamento di circuiti caratterizzati da elevate velocit a di trasmissione dei dati  e
necessario preservare l’integrit a dei segnali. In questo contesto, gli sforzi della ricerca si sono
concentrate verso l’implementazione di tecniche di simulazione accurate ed e–cienti che facilitino
l’analisi e la veriflca di questi circuiti.
Dato che la maggior parte dei dispositivi elettronici sono non lineari e a tempo varianti, l’analisi di
questi sistemi deve essere efiettuata nel dominio del tempo. L’obiettivo della presente tesi  e quello
di studiare derivare modelli accurati ed e–cienti per la caratterizzazione di linee di trasmissione
multiconduttore nel dominio del tempo.
Lastrutturadellatesi elaseguente: nel Capitolo2sianalizzaunalineaditrasmissioneidealepriva
di perdite e con parametri indipendenti dalla frequenza e si realizza un suo modello numerico; nel
17
Macromodelli di linee di trasmissione dispersive e dissipative
Capitolo 3 si afironta il problema della caratterizzazione di linee di trasmissione multiconduttore
attraversomodellidiordineridotto;nelCapitolo4siintroducel’approccioallariduzionediordine
del modello di linea di trasmissione multiconduttore dispersiva e dissipativa basato sull’estrazione
preliminare dei ritardi; nelCapitolo 5, inflne, si presenta l’applicazione dei macromodelli studiati
su un modello circuitale equivalente di cavo schermato per applicazioni a radio frequenza (RF).
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Capitolo 2
Modelli di linee di trasmissione senza
perdita
In questo capitolo si analizza una linea di trasmissione ideale priva di perdite e i cui parametri
non dipendono dalla frequenza. Si presenta la sua caratterizzazione nel dominio del tempo come
doppio bipolo le cui porte possono essere rappresentate tramite l’impedenza caratteristica della
linea e opportuni generatori di tensione. Si procede, successivamente, a specializzare i concetti
esposti mediante la realizzazione di un modello numerico di linea di trasmissione senza perdite
(TL-LossLess); inflne con l’obiettivo di veriflcare la correttezza del modello, sono presentati alcuni
esempidisimulazioniconfrontaticonilcomponentedilineaideale(T-ideal)delsimulatorePSPICE.
19
Macromodelli di linee di trasmissione dispersive e dissipative
2.1 Linee di trasmissione senza perdite
Nell’ipotesi di linee di trasmissione ideali, cio e senza perdite, uniformi nello spazio e con parametri
indipendentidallafrequenza(FIPUL),leequazionirelativealledistribuzioniditensioniedicorrenti
lungo la linea sono:
@
@x
V (x;t) = ¡L
@
@t
I(x;t) (2.1a)
@
@x
I(x;t) = ¡C
@
@t
V (x;t) (2.1b)
Si tratta di un sistema accoppiato di equazioni difierenziali alle derivate parziali del primo ordine,
dove L e C rappresentano, rispettivamente, l’induttanza e la capacit a per unit a di lunghezza della
linea. Derivando la (2.1a) rispetto a x e la (2.1b) rispetto a t si ottiene:
@
2
@x
2
V (x;t) = ¡L
@
2
@t@x
I(x;t)
@
2
@x@t
I(x;t) = ¡C
@
2
@t
2
V (x;t)
dalle quali segue il sistema disaccoppiato di equazioni:
@
2
@x
2
V (x;t) = LC
@
2
@t
2
V (x;t) (2.2a)
@
2
@x
2
I(x;t) = CL
@
2
@t
2
I(x;t) (2.2b)
Le (2.2) costituiscono un sistema di equazioni difierenziali iperboliche del secondo ordine, le cui
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Macromodelli di linee di trasmissione dispersive e dissipative
soluzioni generali si possono scrivere come somma di due componenti:
V(x;t) = V
+
‡
t¡
x
v
+fi
+
·
+V
¡
‡
t+
x
v
+fi
¡
·
(2.3a)
I(x;t) = I
+
‡
t¡
x
v
+fi
+
·
+I
¡
‡
t+
x
v
+fi
¡
·
(2.3b)
in cui si e indicato con v =
1
p
LC
, la velocit a di propagazione delle onde lungo la linea stessa, fi
+
e
fi
¡
sonocostantiarbitrarie,iltermineV
+
(t¡
x
v
+fi
+
)rappresental’ondaditensionechesipropaga
lungoladirezionepositivadell’assex,convelocit acostante v,senzasubirealcunadistorsione(onda
di tensione progressiva). Analogamente, V
¡
(t+
x
v
+fi
¡
)  e l’onda di tensione che si propaga lungo
la direzione negativa dell’asse x (onda regressiva). Stesse considerazioni vanno fatte per I
+
(onda
di corrente progressiva) e I
¡
(onda di corrente regressiva).
Le soluzioni V(x;t) e I(x;t) devono rispettare le condizioni sulle derivate parziali date dalle (2.1).
Queste condizioni sono soddisfatte se la soluzione per la corrente assume la forma:
I(x;t)=
1
Z
C
¢
h
V
+
‡
t¡
x
v
+fi
+
·
¡V
¡
‡
t+
x
v
+fi
¡
·i
in cui si  e indicato con Z
C
=
r
L
C
, l’impedenza caratteristica della linea senza perdite. In questo
modo la soluzione generale, nel dominio del tempo, delle equazioni delle linee di trasmissioni senza
perdite, pu o essere rappresentata solo in termini di onde di tensione:
V(x;t) = V
+
‡
t¡
x
v
+fi
+
·
+V
¡
‡
t+
x
v
+fi
¡
·
(2.4a)
I(x;t) =
1
Z
C
¢
h
V
+
‡
t¡
x
v
+fi
+
·
¡V
¡
‡
t+
x
v
+fi
¡
·i
(2.4b)
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Macromodelli di linee di trasmissione dispersive e dissipative
Se si considera una linea di lunghezza ‘,
x=0
x=l
x
V
1
(t)
V
2
(t) V(x,t)
I
1
(t)
I(x,t)
I
2
(t)
Figura 2.1: Linea di trasmissione
e si pone:
fi
+
=0; fi
¡
=¡
‘
v
si pu o afiermare, che all’istante t, V
+
(t) rappresenta l’ampiezza dell’onda di tensione progressiva
all’estremit a sinistra della linea, x=0, mentre V
¡
(t) rappresenta l’ampiezza dell’onda di tensione
regressiva all’estremit a destra, x = ‘. Il tempo che l’onda impiega per andare da una estremit a
all’altra  e il tempo di ritardo ideale:
T =
‘
v
=‘¢
p
L¢C
L’ampiezza di queste onde  e determinata dalle condizioni iniziali imposte dalle distribuzioni di
tensioni e correnti lungo la linea all’istante iniziale t=0:
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I(x;t=0)=I
0
(x) V(x;t=0)=V
0
(x); 0•x•‘ (2.5)
e dalle condizioni al contorno, imposte dagli elementi circuitali collegati alle terminazioni:
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
V
1
(t)=V(x=0;t); I
1
(t)=I(x=0;t)
V
2
(t)=V(x=‘;t); I
2
(t)=¡I(x=‘;t)
(2.6)
In particolare le condizioni iniziali speciflcano lo stato della linea nell’intervallo di tempo (0;T),
mentrelecondizionialcontornodeterminanolostatodellalineapert>T. Dallasoluzionegenerale
dell’equazionedellalineaditrasmissioneconfi
+
=0,econfi
¡
=¡
‘
v
=¡T,sipossonodeterminare
tensioni e correnti alle estremit a della linea:
in x=0, si ottengono le relazioni:
V
1
(t) = V
+
(t)+V
¡
(t¡T) (2.7a)
Z
C
¢I
1
(t) = V
+
(t)¡V
¡
(t¡T) (2.7b)
in x=‘, si ottengono le relazioni:
V
2
(t) = V
+
(t¡T)+V
¡
(t) (2.8a)
¡Z
C
¢I
2
(t) = V
+
(t¡T)¡V
¡
(t) (2.8b)
Sottraendo, membro a membro, la (2.7a) con la (2.7b), e sommando la (2.8a) con la (2.8b), si
ottiene rispettivamente, per t>T:
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V
1
(t)¡Z
C
¢I
1
(t) = 2V
¡
(t¡T) (2.9a)
V
2
(t)¡Z
C
¢I
2
(t) = 2V
+
(t¡T) (2.9b)
Inoltre dalle equazioni (2.7a) e (2.8a) si ha rispettivamente:
V
+
(t) = V
1
(t)¡V
¡
(t¡T) t>T (2.10a)
V
¡
(t) = V
2
(t)¡V
+
(t¡T) t>T (2.10b)
L’insieme delle equazioni (2.9), (2.10) con le condizioni al contorno imposte dai dispositivi collegati
alleterminazionieconlecondizioniiniziali,consentonodicalcolareunivocamenteilcomportamento
futuro della linea.
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2.1.1 Il fenomeno della riessione
Cerchiamo adesso di capire ancor pi u nel dettaglio il meccanismo secondo cui si generano onde
progressive e onde regressive lungo la linea in esame. Consideriamo la linea della flgura seguente,
alimentata da un generatore V
S
(t) con resistenza serie R
s
e chiusa su un carico R
L
:
R
L
I
0
(t) I
L
(t)
V
0
(t) V
L
(t)
x=0 x=l
+
-
+
-
x
V
S
(t)
R
S
Figura 2.2: Linea di trasmissione con condizioni al contorno lineari
Supponiamo di eccitare la linea all’istante t
0
. Si crea immediatamente un’onda progressiva che
comincia a propagarsi lungo i conduttori, diretta verso il carico. Fin quando tale onda non
raggiunge il carico, non c’ e alcuna onda riessa, propio perch e non si  e ancora veriflcato alcun
processo di riessione. Se v  e la velocit a di propagazione dell’onda, essa impiega un tempo T =
‘
v
per raggiungere il carico; quindi, all’istante t = T, si genera l’onda riessa (onda regressiva), la
cui ampiezza  e ¡
L
volte di quella dell’onda progressiva incidente. Quindi per l’onda di tensione
regressiva si ha:
V
¡
(t)=¡
L
¢V
+
 t¡
‘
v
¶
(2.11)
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Macromodelli di linee di trasmissione dispersive e dissipative
Analogamente, l’onda di corrente regressiva  e ¡
L
volte quella dell’onda progressiva ma di segno
contrario:
I
¡
(t)=¡¡
L
¢I
+
 t¡
‘
v
¶
(2.12)
L’onda riessa si propaga verso la sorgente; essa impiega un ulteriore tempo T per raggiungere la
sorgente (posta in x=0). Quindi, negli istanti immediatamente successivi a t=0 e 0<t<2T, in
corrispondenzadellasorgente(x=0),nonapparealcunaondaregressiva,percui,intaleintervallo,
la tensione e la corrente in x=0 saranno determinate solo dalle onde progressive V
+
e I
+
:
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
V(0;t)=V
+
 t+
0
v
¶
; 0<t<2T
I(0;t)=I
+
 t+
0
v
¶
=
1
Z
C
¢V
+
 t+
0
v
¶
; 0<t<2T
(2.13)
Dalla (2.13) risulta evidente che, in x = 0 e per 0 < t < 2T, il rapporto tra la tensione totale e
la corrente totale risulta pari a Z
C
, per cui questa  e l’impedenza di ingresso della linea in questo
intervallo di tempo. Dunque il segnale osservato in ingresso  e dato dal partitore:
V(0;t) =
Z
C
R
S
+Z
C
V
S
(t) (2.14)
I(0;t) =
1
R
S
+Z
C
V
S
(t) (2.15)
Queste relazioni mostrano che le onde generate nella fase iniziale 0 < t < 2T hanno lo stesso
andamento della sorgente di tensione. Gli efietti dell’onda riessa dal carico si presentano
all’ingresso solo dopo un tempo pari a 2T. Qui si veriflca un ulteriore riessione, secondo un
coe–ciente di riessione della sorgente ¡
S
. In questo caso, l’onda incidente  e quella che  e stata
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riessa dal carico, mentre l’onda riessa e la frazione di quest’onda che viene riessa dalla sorgente
(e che quindi si muove nuovamente verso il carico). Questo processo di successive riessioni si itera
attraverso nuove riessioni, sia alla sorgente sia al carico. Sia il coe–ciente di riessione sul carico,
che il coe–ciente di riessione sulla sorgente sono univocamente determinati dalle impedenze alle
terminazioni della linea e dalla impedenza caratteristica della linea:
¡
L
=
R
L
¡Z
C
R
L
+Z
C
(2.16)
¡
S
=
R
S
¡Z
C
R
S
+Z
C
(2.17)
In ogni istante, la forma dell’onda di tensione che si sviluppa sul carico, come in ogni altro punto
della linea, si ottiene dalla sovrapposizione delle onde di tensioni dirette e riesse che transitano in
quell’istante in quel punto della linea. Analogo discorso vale ovviamente per l’onda di corrente.
2.2 Il metodo di Branin
Nel paragrafo precedente, si  e visto, come dalla soluzione generale delle equazioni delle linee di
trasmissioneneldominiodeltempo, epossibilepervenireadunsistemadiequazionicheconsentono
di calcolare la dinamica della linea a partire dalle condizioni iniziali. In questo paragrafo, si
descrive un metodo alternativo per l’analisi, nel dominio del tempo, di linee senza perdite con
parametri indipendenti dalla frequenza (FIPUL). L’implementazione numerica di questo metodo
(in letteratura chiamato metodo delle caratteristiche MoC), e attribuita a Branin, ed e descritta in
[1].
Il metodo si sviluppa in tre passi:
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1. trasformazione del sistema di equazioni alle derivate parziali (2.1), in un sistema di equazioni
alle derivate ordinarie;
2. integrazione delle equazioni derivative ordinarie, con le condizioni iniziali e le condizioni al
contorno;
3. manipolazione delle soluzioni, al flne di ottenere una forma ricorsiva delle stesse, facile da
implementare in un algoritmo.
Dai difierenziali delle funzioni a due variabili V =V(x;t) e I =I(x;t), rispettivamente di tensione
e corrente lungo la linea:
dV =
@V(x;t)
@x
dx+
@V(x;t)
@t
dt (2.18a)
dI =
@I(x;t)
@x
dx+
@I(x;t)
@t
dt (2.18b)
e dalle equazioni della linea di trasmissione:
@V(x;t)
@x
= ¡L
@I(x;t)
@t
(2.19a)
@I(x;t)
@x
= ¡C
@V(x;t)
@t
(2.19b)
per semplice sostituzione,  e possibile ottenere:
dV
dx
+L
dI
dt
+
 1
C
dt
dx
¡L
dx
dt
¶
@I(x;t)
@x
=0 (2.20)
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