La teoria del prospetto nella scelta in condizioni di incertezza

5 
 
CAPITOLO 1: LA SCELTA IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA 
NELL’ECONOMIA CLASSICA E NEOCLASSICA 
 
1.1 INTRODUZIONE 
 
In questo capitolo si esamina la tradizione della scelta in condizioni 
d’incertezza, esaminando gli strumenti classici elaborati dalla teoria. Prima 
di ciò è doveroso iniziare con alcune definizioni, onde evitare 
fraintendimenti: si definisce cioè l’ incertezza. Essa è un concetto assai 
ampio, che include tutte quelle situazioni in cui l’operatore economico 
non conosce in anticipo le conseguenze delle proprie scelte. Incertezza è 
chiaramente contrapposta al concetto di certezza, in cui invece 
l’operatore può conoscere in anticipo le conseguenze delle proprie scelte. 
Incertezza può essere la scelta di portare con sé l’ombrello oppure no: il 
soggetto, infatti, non può sapere se pioverà o meno. All’interno 
dell’insieme dell’incertezza, si trova il rischio. Nel corso di questa 
trattazione, essi verranno considerati come sinonimi.
1
 Il rischio equivale a 
tutte quelle situazioni in cui l’operatore non conosce in anticipo gli esiti 
delle proprie scelte, ma ha a disposizione diverse informazioni. Egli 
conosce (o può conoscere) tutti i possibili esiti di un certo fatto e le 
rispettive probabilità. Ad esempio, se si fa una scommessa il cui esito è 
determinato dal lancio di una moneta, la probabilità di vincere è 0,5 
(simmetricamente quella di perdere è 0,5). Dopo questa premessa si può 
procedere con i paradigmi classici della scelta in condizioni di rischio. Si 
presentano il criterio del valore atteso e poi quello dell’utilità attesa. 
 
1.2 IL CRITERIO DEL VALORE ATTESO 
Il valore atteso, chiamato anche speranza matematica, è il primo criterio 
che è stato implementato per decidere in un contesto d’incertezza. Esso è 
utilizzato quando si ha a che fare con variabili casuali discrete
2
. Esse sono 
                                                           
1
 In realtà la questione è più complessa. Incertezza indica quella situazione in cui non si conoscono gli 
esiti, ed è un concetto molto ampio. Il rischio è un sottoinsieme dell’incertezza, caratterizzato dal fatto 
che si conoscono le probabilità associate a ogni possibile esito. L’ambiguità è un sottoinsieme 
dell’incertezza, caratterizzato dal fatto che l’operatore non può conoscere tutte le probabilità associate 
a ogni esito.  
2
 Più precisamente si parla di una funzione che collega uno spazio campionario a un evento. Dato lo 
spazio campionario Ω, la funzione variabile casuale e l’evento Ε si ha:  �� : �� → �� .
6 
 
delle variabili in cui sono presenti delle possibili realizzazioni legate a un 
certo fenomeno aleatorio e ognuna di queste realizzazioni può accadere 
secondo una precisa probabilità. Esse si indicano con la seguente 
notazione: 
�� = { �� �� ; �� ( �� �� ) }  ������ �� = 1, … �� 
 
Significa che a ogni possibile realizzazione �� ��  è associata la sua probabilità 
�� ( �� �� ) . Ovviamente si ha che: 
 ∑�� ( �� �� )
�� �� = 1 
Le variabili casuali possono espresse in forma di distribuzione Gaussiana
3
, 
cioè: 
Figura 1 
 
 
In ogni distribuzione è utile calcolare i momenti della distribuzione stessa, 
cioè media, varianza e curtosi
4
. Il metodo del valore atteso è applicato 
calcolando solo il primo momento. La media di questa distribuzione di 
probabilità fornirà il valore atteso e si indica: 
�� ( �� )= ∑ �� �� �� �� =1
�� ( �� �� ) 
Esso fornisce un’indicazione su quale evento sia più probabile e dunque è 
un sintetico e oggettivo metodo decisionale. Date due situazioni, 
                                                           
3
 Essa porta il nome di Carl Friedrich Gauss (1777-1855), matematico tedesco che le scoprì. Viene anche 
chiamata distribuzione normale. 
4
 Può essere definita come la tendenza di una distribuzione a non essere normale. Una distribuzione 
Gaussiana infatti ha curtosi uguale a 0. 
Fonte: www. http://ishtar.df.unibo.it
7 
 
l’operatore economico razionale sceglierà sempre quella con valore atteso 
più elevato. 
ESEMPIO: 
Si immagini di dover scegliere nell’acquisto tra due azioni, A e B. Si 
forniscono ora le variabili casuali di ognuna. 
    
  
Gli �� �� sono i possibili prezzi ottenibili, mentre i �� ( �� �� ) sono le rispettive 
probabilità.  Si calcola ora il valore atteso di entrambe le azioni: 
�� ( �� )
A = 1*1/3 + 3*1/3 + 5*1/3 = 3 
�� ( �� )
B = 0,5*1/4 + 2*1/2 + 11,5*1/4 = 4 
Dato che �� ( �� )
B > �� ( �� )
A   è più conveniente scegliere l’azione B. 
 
Questo metodo è molto semplice da utilizzare e conduce a stime 
oggettive: tuttavia esso presenta però dei forti limiti, come si vede nel 
successivo paragrafo. 
 
 
 
1.3 IL PARADOSSO DI SAN PIETROBURGO 
Il 9 settembre 1713 Nicholas Bernoulli
5
 inviò una lettera al matematico 
parigino Pierre Rèmond de Montmort
6
, chiedendo la soluzione a un gioco 
che verrà chiamato paradosso di San Pietroburgo. Questo gioco d’azzardo 
è costruito in modo da rendere il criterio del valore atteso inverosimile. Lo 
si presenta. 
                                                           
5
 Matematico svizzero (1687-1759). 
6
 Matematico francese (1678-1719). 
x
i
p(x
i
)
1 1/3
3 1/3
5 1/3
A
x
i
p(x
i
)
0,5 1/4
2 1/2
11,5 1/4
B
8 
 
 
Il gioco consiste nel lancio di una moneta: se esce testa (T) il giocatore 
vince, se esce croce (C) il giocatore perde. A ogni lancio che non esce testa 
la posta il gioco raddoppia. La domanda è: qual è la cifra giusta per giocare  
a questo gioco? Prima di rispondere si fornisce la definizione di gioco 
equo. Un gioco si dice equo se il prezzo per parteciparvi è uguale al suo 
valore atteso. Un gioco è vantaggioso se il valore atteso è superiore al 
prezzo e svantaggioso nel caso contrario. Ora si tratta di calcolare il valore 
atteso del gioco sopra presentato, in cui si presuppone che la vincita 
minima sia due. 
�� ( �� )= ∑ �� �� �� �� =1
�� ( �� �� ) = 1/2*2 + 1/4*4 + 1/8*8 + …. = 1 + 1 + 1 + … = ∞ 
Il risultato è assurdo: vorrebbe dire che per partecipare a questo gioco 
sarebbe lecito spendere qualunque cifra. Risulta evidente un problema del 
criterio del valore atteso, che viene superato attraverso un altro metodo. 
 
1.4 L’INTUIZIONE DI DANIEL BERNOULLI 
Nel 1738 Daniel Bernoulli
7
 scoprì la soluzione al paradosso di San 
Pietroburgo e pubblicò la sua intuizione nell’articolo “Commentarii 
Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae”, riproposta poi da 
Econometrica nel 1954 con il titolo “Exposition of a New Theory on the 
Measurement of Risk”. Bernoulli rifletté sul fatto che il criterio del valore 
atteso godeva di un’incoerenza di fondo: le persone non danno valore al 
denaro come quantità a sé stante, ma in relazione alla soddisfazione che 
esso può portare. Fu il primo a parlare di valore sentimentale della 
ricchezza, cioè di utilità. Intuì poi che il valore sentimentale della ricchezza 
dovesse essere marginalmente decrescente (che non fosse la stessa cosa 
                                                           
7
 Matematico e fisico svizzero (1700-1782).
9 
 
dare 1 moneta a un nullatenente o a un milionario). Ipotizzò così che la 
funzione di valore sentimentale della ricchezza potesse essere logaritmica. 
Figura 2 
 
 
Il ragionamento di Bernoulli si esplica attraverso l’uso della seguente 
formula: 
�� [�� ( �� ) ] = ∑ �� ( �� �� ) �� ( �� �� )
�� �� =1
        con   �� ( �� )= ln ( �� ) 
Applicando la formula al paradosso di San Pietroburgo si ottiene: 
�� [ln( �� ) ] =
1
2
∗ ln( 2)+
1
4
∗ ln( 4)+
1
8
∗ ln( 8)+ ⋯ = ∑
1
2
�� ∗ ���� 2
�� =
∞
�� =1
 ���� 2 ∗ ∑
�� 2
�� ∞
�� =1
  
���� 2 ∗ 2 = ���� 4 
Applicando poi la funzione inversa �� −1
( �� ) si ottiene: �� ���� 4
= 4 che è il 
valore da pagare affinché il gioco di San Pietroburgo sia equo. 
In questo contesto non è importante pervenire a un numero preciso, la 
cosa che conta è che il risultato sia un numero finito, cioè che la serie sia 
convergente
8
. A seconda infatti del tipo di funzione di utilità scelta si avrà 
un risultato diverso. La rivoluzione metodologica di Bernoulli fu quella che 
le persone non danno valore al denaro, ma al valore della soddisfazione 
derivante dal denaro.  
 
1.5 LA TEORIA DELL’UTILITA’ ATTESA 
L’intuizione di Bernoulli è stata fondamentale poiché ha aperto al concetto 
di utilità applicato ai contesti di incertezza. Serviva tuttavia un più robusto 
fondamento teorico. Nel 1944 gli studiosi Oskar Morgenstern
9
 e John Von 
Neumann
10
 scrivono “Theory of Games and Economic Behavior”, rivisitato 
nel 1947. In quest’opera è contenuto un approccio assiomatico all’utilità 
                                                           
8
 Una serie è intesa come la somma di infiniti termini di una successione. La serie si dice divergente se la 
sua somma è infinita, convergente se essa è un numero finito, come nel caso in oggetto. 
9
 Economista austriaco (1902-1977). 
10
 Matematico americano (1903-1957). 
Fonte: www.areeweb.polito.it
10 
 
attesa, che essi hanno applicato alla Teoria dei giochi
11
. Il punto di 
riferimento è l’uomo razionale, tutta la teoria spiega come si 
comporterebbe questo personaggio . Si presentano ora gli assiomi alla 
base di questa teoria. 
 
 ASSIOMA DI COMPLETEZZA: tutte le distribuzioni possono essere 
ordinate. 
Date delle generiche distribuzioni di probabilità
12
 (p, q, r) si ha che: 
 
���� �� ≽ �� �� �� ≽ �� ⇿ �� ∼ ��        e     ���� �� ≽ �� �� �� ≽ �� ⇿ �� ≽ �� 
 
In particolare nella seconda preferenza è stata espressa la 
transitività 
 
 ASSIOMA DI MONOTONICITA’ (NON SAZIETA’): date delle 
distribuzioni degeneri
13
 ���� �� ���� , ���� ≻ ����  e dati 0 < �� , �� < 1 si 
ha che: 
            �� ∘ ���� ⨁( 1 − �� )∘ ���� ≽ �� ∘ ���� ⨁( 1 − �� )∘ ����  ���� �� �������� �� ≥ �� 
           Questo indica che un operatore non si “accontenta” mai 
 
 ASSIOMA DI CONTINUITA’: variando la probabilità delle 
conseguenze cambiano anche le preferenze. Esiste però una 
probabilità che uguaglia le preferenze, cioè: 
 
�� ∘ ���� ⨁( 1 − �� )∘ ���� ~��     
 ���� �� ≃ 0 ���� �������������� �� ; ���� �� ≃ 1 ������ ���� �������������� ��  
 
 ASSIOMA DI INDIPENDENZA: non esiste complementarità tra le 
scelte, cioè: 
 
���� �� ∼ ��  ⇿  �� ∘ �� ⨁( 1 − �� )∘ �� ∼ �� ∘ �� ⨁( 1 − �� )∘ �� 
 
                                                           
11
 Scienza matematica che si occupa delle scelte individuali di un soggetto quando si trovi in relazione 
con altri soggetti, con l’obiettivo che ognuno ottenga il massimo guadagno. 
12
 Dato un qualunque fenomeno aleatorio, esso può essere descritto secondo una distribuzione di 
probabilità. Essa indica come si posizionano le probabilità associate a ogni possibile esito. 
13
 Si tratta di una distribuzione di probabilità concentrata su un unico valore (gli altri sono nulli o 
trascurabili).
11 
 
 ASSIOMA DI RIDUZIONE: non conta come la probabilità viene 
presentata, ma solo lo stato finale. Aggiungendo �� = �� ∗ �� �� 0 ≤
�� , �� ≤ 1 si ha: 
 
�� ∘ [�� ∘ ���� ⨁( 1 − �� )∘ ���� ]⨁( 1 − �� )∘ ���� ∼ �� ∘ ���� ⨁( 1 − �� )∘ ���� 
 
A seguito di queste proprietà, si deduce che l’utilità attesa è additiva sulle 
conseguenze e lineare nelle probabilità. Importante ricordare che gli stessi 
autori raccomandano prudenza, poiché questo modello si riferisce a un 
soggetto completamente razionale. In conclusione si espone il teorema 
dell’utilità attesa: se esiste una preferenza per cui: 
 �� ≽ ��  ������������  ∃  �� [�� ( ∙) ] �������� �� ℎ�� �� [�� ( �� ) ] ≥ �� [�� ( �� ) ] 
1.6 RAPPORTO CON IL RISCHIO 
Un aspetto fondamentale dell’economia neoclassica è di definire il 
rapporto con il rischio degli individui: esistono cioè operatori avversi, 
propensi e indifferenti al rischio. Se vedano ora separatamente: 
 AVVERSIONE AL RISCHIO 
Chi è avverso al rischio preferisce ottenere con certezza il valore 
atteso di un gioco piuttosto che parteciparvi. La sua funzione di 
utilità è concava.  
Figura 3 
 
 
Data la ricchezza w e una certa funzione di utilità U(w), per l’avverso al 
rischio si ha: 
�� [�� ( �� ) ] > �� [�� ( �� ) ]    
l’utilità del valore atteso è maggiore del valore atteso dell’utilità derivante 
dal gioco: infatti la funzione si trova sopra la retta che rappresenta il gioco. 
 
 
 
Fonte: www.webalice.it
12 
 
 PROPENSIONE AL RISCHIO 
Chi è propenso al rischio preferisce partecipare a un gioco piuttosto 
che ottenere con certezza il suo valore atteso. La sua funzione di 
utilità è convessa. 
Figura 4 
 
 
Si ha che:  �� [�� ( �� ) ] < �� [�� ( �� ) ]     
Il propenso al rischio preferisce il rischio alla certezza: infatti la sua 
funzione di utilità si trova sotto la retta che rappresenta il gioco. 
 
 INDIFFERENZA AL RISCHIO 
Chi è indifferente al rischio non ha preferenze tra partecipare a un 
gioco oppure ottenere con certezza il suo valore atteso. La sua 
funzione di utilità è lineare. 
 
Figura 5 
 
 
Si ha   �� [�� ( �� ) ] = �� [�� ( �� ) ]    c’è indifferenza nella scelta, infatti la 
funzione di utilità e il gioco si sovrappongono nel grafico. 
 
Secondo la teoria neoclassica, ogni individuo rientra (e rimane per tutto il 
corso della sua vita e in qualunque tipo di scelta) in una di queste tre 
categorie. 
Fonte: www.webalice.it 
Fonte: www.slideplayer.it
13 
 
Per definire il rapporto con il rischio di un individuo in maniera più 
analitica sono stati introdotti degli appositi coefficienti da parte di due 
studiosi, John W. Pratt
14
 e Kenneth Arrow
15
. Insieme hanno elaborato
16
 il 
coefficiente assoluto di avversione al rischio, chiamato anche coefficiente 
di Arrow-Pratt, che si presenta. 
�� ( �� )= −
�� "( �� )
�� ′( �� )
       
Esso fornisce una misura dell’avversione al rischio. In un soggetto con tale 
caratteristiche la derivata seconda della sua funzione di utilità è negativa 
(la funzione è concava), mentre la derivata prima è sicuramente positiva 
(la funzione di utilità è strettamente crescente). Il risultato finale è un 
parametro sintetico che esprime l’avversione al rischio. 
 
1.7 APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELL’UTILITA’ ATTESA 
Le applicazioni che ha avuto questa teoria sono assai numerose, dunque in 
questa sede ci si limita a ricordarne le principali. In primo luogo essa è 
stata utilizzata nel modello di scelta di portafoglio di Harry Markowitz
17
, 
pubblicato nell’articolo “Portfolio selection” nel 1952, divenuto poi un 
libro nel 1959. In questo modello si individuano delle combinazioni 
efficienti di titoli nel piano media-varianza identificati da punti ( �� ; �� 2
). 
Ogni punto è un titolo azionario il cui rendimento è caratterizzato da 
valore atteso (�� ) e varianza
18
 (�� 2
), che è una misura della rischiosità. 
L’operatore sceglierà poi quello che massimizza la sua funzione di utilità 
attesa. I rendimenti dei titoli rischiosi vengono considerati come 
distribuzioni casuali di probabilità di tipo Gaussiano (o “normale”), in cui 
sono rilevanti media e varianza, come mostra le seguente figura.  
                                                           
14
 Professore di economia presso l’Università di Harvard. 
15
 Economista statunitense, vincitore del premio Nobel per l’economia nel 1972. 
16
 Gli studiosi hanno elaborato altri coefficienti che si riporta brevemente. Il coefficiente assoluto di 
tolleranza al rischio, �� = 1 �� ( �� ) ⁄ ; il coefficiente relativo di avversione al rischio �� ( �� )= �� ∗ �� ( �� )   e il 
suo reciproco, il coefficiente relativo di tolleranza al rischio �� ( �� )= 1 �� ( �� ) ⁄ . Questi coefficienti vengono 
usati dagli economisti per stimare famiglie di funzioni di utilità, come le CARA (constant absolute risk 
aversion) e le CRRA (constant relative risk aversion). 
17
 Economista statunitense, vincitore del premio Nobel per l’economia nel 1990. 
18
   �� ( �� )
2
= ∑ [�� �� − �� ( �� ) ]
2 �� �� =1
�� ( �� �� )