La misura e la dinamica del consenso in un gruppo di persone che prendono decisioni

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riducono e così nascono incomprensioni, errori, conflitti che da 
sempre impediscono all’uomo in ogni settore che sia economico, 
sociale o politico di procedere verso un ideale di massima 
efficienza. Tanto più che la maggior parte delle attività decisionali 
(decision making processes), in realtà, devono procedere in una 
struttura di gruppo; ciò si rende inevitabile, necessario e proficuo 
nel mondo presente nel quale virtualmente tutti i problemi che 
devono essere risolti, riguardano diversi aspetti e coinvolgono 
diversi attori con i loro diversi, spesso conflittuali, sistemi di valori. 
Soprattutto in campo economico, l’esigenza di raggiungere massimi 
risultati facendo fede al concetto di qualità totale, rispettando 
possibilmente tempi ristretti, ha spinto dirigenti d’azienda, 
economisti, studiosi, ad indirizzare la ricerca verso dei modelli 
matematici o matematico-statistici che fungano da supporto per chi 
deve prendere delle decisioni, che possono poi risultare 
determinanti in senso positivo o negativo. 
La matematica, col suo rigore logico, supportata  dalle 
tecnologie informatiche odierne, cerca di creare il percorso ideale 
 9
(comunque applicabile nella realtà con le dovute semplificazioni) di 
un processo che dovrà concludersi con il raggiungimento della 
decisione che, in qualche modo, riesce ad accontentare tutte le 
preferenze. 
L’esistenza di diversi filoni di ricerca e di applicazioni rende la 
trattazione dell'argomento piuttosto ampia; pur tuttavia non è stato 
agevole ricercare il materiale bibliografico occorrente, infatti gli 
articoli e i testi, tutti rigorosamente in lingua inglese, sono stati 
raccolti contattando varie università italiane che si sono rese 
disponibili a fornirli. 
Lo spunto di questo lavoro viene dallo specifico contributo 
offerto dai professori Mario Fedrizzi, Michele Fedrizzi e R.A. 
Marques Pereira che operano nell’ambito del dipartimento di 
Informatica e Studi Aziendali presso l’Università di Trento, con 
l’articolo pubblicato nella raccolta A.M.A.S.E.S. del 1996 dal titolo 
“Consensus, dynamics and group decision making”; in esso  è stato 
presentato il modello sulla ricerca del consenso in un gruppo di 
persone che devono prendere delle decisioni. In generale il modello 
 10
si basa sull’interrelazione tra la minimizzazione di una misura 
globale del dissenso e un meccanismo locale che emula 
l’avversione al cambiamento delle opinioni. 
La presente elaborazione cerca di entrare nel merito  delle 
ricerche effettuate da questi studiosi percorrendo delle tappe 
specifiche che porteranno poi alla realizzazione di una applicazione 
pratica che, in conclusione, sfrutti le teorizzazioni poste in essere. 
Lo studio introduce innanzitutto l’attraente e relativamente 
giovane  teoria degli insiemi e delle funzioni sfocate, elaborate 
dallo studioso Lofti A.Zadeh, con la pretesa di evidenziare 
brevemente le differenze sostanziali con la teoria canonica degli 
insiemi. Verrà, quindi, ampliato il discorso con la presentazione 
della logica della teoria fuzzy (sfocata) e dei quantificatori 
linguistici, i quali più di ogni altro supporto teorico, elaborano, in 
maniera comprensibile anche ai più riottosi alle estrazioni logico-
matematiche, il linguaggio del pensiero umano e lo trasformano in 
linguaggio matematico (detto in maniera singolare lo 
“matematizzano”). 
 11
Si introdurrà, poi, la teoria SSB di Fishburn applicata alle 
attività relative al prendere decisioni, che servirà come supporto 
teorico per  gli ultimi sviluppi della ricerca sul modello 
consensuale.  
Dopo aver riportato le basi teoriche matematiche sulle quali 
costruire il modello specifico, si passa, con il secondo capitolo, alla 
descrizione del modello matematico di tipo quantitativo che offre 
una nuova maniera di misurare il grado di consenso e che può 
fungere da supporto per l’articolazione dei vari DSS (Decision 
support systems), cioè dei sistemi di supporto alle decisioni di cui 
tanto si sente parlare e che sono già stati, sono e in maniera ancora 
più netta saranno artefici dell’efficienza degli organismi che se ne 
serviranno in ogni campo della vita sociale, economica e politica . 
Da qui si potrà, quindi, introdurre, in particolare, il modello 
per la ricerca del consenso in un gruppo di persone che devono 
prendere delle decisioni con l’individuazione delle strutture di 
preferenza, con le loro relazioni e le loro diversità; ci si indirizzerà, 
poi,  verso una misura del consenso sulle preferenze dei soggetti 
 12
coinvolti fino ad arrivare ad una decisione che in maniera 
sorprendente è permeata del contributo di tutti i “decisori” (decision 
makers) e che in qualche modo li soddisfa. 
Si procederà all’analisi dei recenti sviluppi della ricerca sul 
modello consensuale con particolare riferimento ai gradi di 
consenso basati su un calcolo più sofisticato (in sostituzione di 
quello classico di Zadeh) dovuto a Yager. 
Con il terzo capitolo si riporterà lo studio su un piano più 
elaborato che descriverà il modello inserito in una struttura 
dinamica: in particolare si introdurrà il modello che ricostruisce la 
struttura delle preferenze vere partendo da quelle dichiarate, il 
modello in cui non sono più le preferenze a cambiare, ma il menu 
delle alternative e infine alla presentazione del modello nella 
versione più aggiornata.  
Il quarto capitolo (o appendice) offrirà, poi, una descrizione di 
un possibile sistema interattivo che utilizza le basi teoriche 
formulate in precedenza, configurando la reale utilità e razionalità 
del modello consensuale. Si potrà, così, capire più 
 13
approfonditamente la dinamica che viene a realizzarsi all’interno di 
un gruppo di persone le cui idee e preferenze, per mezzo dei 
moderni sistemi computerizzati, saranno codificate o come si 
diceva prima “matematizzate”; e ancora, grazie alla logica della 
teoria degli insiemi e delle funzioni sfocate (la teoria fuzzy), sarà 
possibile tradurre nel sistema la percezione umana finora elaborata 
a livello sociologico, politico, psicologico e che in questo modo 
incontrerà le nuove frontiere della matematica con il suo diverso 
linguaggio. 
In tale scenario si collocano le varie applicazioni con i 
possibili sviluppi che il metodo potrà offrire, nella consapevolezza, 
comunque, del dovere di rispettare le leggi della natura e della 
convivenza pacifica fra le persone. 
 
 
 
 
 
 14
 
CAPITOLO  1. 
LE TEORIE ALLA BASE DEL MODELLO. 
 
1.1. La teoria degli insiemi e delle funzioni sfocate, la logica 
sfocata. 
1.1.1.  Presentazione della teoria. 
 La teoria degli insiemi sfocati fu elaborata da Lofti A. Zadeh
1
 
nei primi anni ’60. Comunque il termine ensemble flou 
(corrispondente francese di fuzzy set) fu coniato da Menger nel 
1951
2
. Dal punto di vista semantico la teoria di Zadeh è più vicina 
al lavoro di Black sulla vaghezza, dove i “profili di consistenza” 
(antenati delle funzioni di appartenenza) caratterizzano i simboli 
vaghi. 
 Da quando Lofti A. Zadeh ha pubblicato il suo ora classico 
articolo almeno 15 anni fa, la teoria degli insiemi “fuzzy” ha 
                                                           
1
 ZADEH, L. A. Fuzzy sets. Memo. ERL, No. 64-44. Univ. Of  California, Berkeley (1964). 
2
 Menger usò una relazione fuzzy transitiva, ma con un’interpretazione probabilistica. 
 MENGER, K. Ensembles flous et fonctions al
atoires. C.R. Acad. Sci. 232, 2001-2003 (1951). 
 15
ricevuto sempre più attenzione dai ricercatori in una larga sfera di 
aree scientifiche. 
Questa teoria è attraente, perché basata su un’idea molto 
intuitiva, sebbene un po’ misteriosa e indefinibile, capace di 
generare molti spunti intellettualmente attraenti che procurano 
nuove intuizioni alle vecchie,  spesso dibattute, questioni. 
L’opinione è ancora divisa sull’importanza della teoria degli 
insiemi e delle funzioni sfocate; infatti, alcuni hanno argomentato 
che molti contributi erano semplicemente esercizi di 
generalizzazione, ma diversi significati e sviluppi originali, 
recentemente proposti, dovrebbero convincere coloro i quali sono 
ancora riluttanti. In ogni caso, “Fuzziness” non è materia di esteti, 
né un ingrediente per comporre costruzioni formali aride. 
Fuzziness non è a priori un ovvio concetto e richiede delle 
spiegazioni. Fuzziness è ciò che Black chiama “Vagueness”
3
, 
quando la distingue dalla generalità e dall’ambiguità. Generalità si 
riferisce all’applicazione di un simbolo ad una molteplicità di 
                                                           
3
 BLACK, M. Vagueness: An exercise in logical analysis. Philos. Sci. 4, 427-455 (1937). 
 16
oggetti nel campo di riferimento, ambiguità all’associazione di un  
numero  finito di   significati   alternativi  che  hanno la stessa  
forma fonetica. Fuzziness di un simbolo, invece, viene fuori 
dalla mancanza di ben definiti confini dell’insieme di oggetti al 
quale questo simbolo si applica. 
Più specificamente, sia X un campo di riferimento, che copre 
una definita sfera di oggetti. Consideriamo un sottoinsieme à nel 
quale il passaggio tra l’appartenenza e la non appartenenza è 
graduale piuttosto che brusco.  Questo sottoinsieme “fuzzy” 
ovviamente non ha confini ben definiti. Classi fuzzy di oggetti si 
incontrano spesso nella vita reale. Per esempio, Ã può essere 
l’insieme di uomini alti in una comunità X. Di solito, ci sono 
membri di X che sono chiaramente alti, altri che sono chiaramente 
non alti, ma esistono anche dei casi limite. Tradizionalmente, si 
assegna il grado di appartenenza 1 agli elementi che appartengono 
completamente ad Ã- in questo caso gli uomini che sono 
chiaramente alti-; al contrario agli elementi che non appartengono 
affatto ad à si assegna un valore di appartenenza 0. Naturalmente, i 
 17
gradi di appartenenza dei casi limite saranno compresi tra 0 e 1. Più 
un elemento o oggetto x appartiene ad Ã, più vicino a 1 sarà il suo 
grado di appartenenza 



(x). L’uso di una scala numerica come 
l’intervallo [0,1], permette una conveniente rappresentazione del 
grado di appartenenza; i valori di appartenenza sono degli indici di 
tendenza assegnati soggettivamente da un individuo o da un gruppo 
e oltretutto dipendono dal contesto. I gradi di appartenenza 
riflettono un ordinamento degli oggetti nell’universo, indotto dal 
predicato associato ad Ã; questo ordinamento, quando esiste, è più 
importante dei valori di appartenenza stessi. La valutazione 
dell’appartenenza degli oggetti può talvolta rendersi più agevole, 
grazie all’uso di una misura della somiglianza rispetto ad un 
elemento ideale. Notare che un valore di appartenenza  



(x) può 
essere interpretato come il grado di compatibilità del predicato 
associato ad  e all’oggetto x. Per concetti come l’altezza, relativa 
ad una scala di misura fisica, l’assegnazione di valori di 
appartenenza sarà meno controversa che per concetti complessi e 
soggettivi come ad esempio la bellezza. 
 18
Tale approccio, sviluppato da Zadeh, fornisce uno strumento 
per modellare sistemi “human-centered” (l’uomo ne è parte 
integrante)
4
; la fuzziness sembra pervadere la maggior parte dei 
processi della percezione e del pensiero umani; secondo Zadeh
5
 una 
delle più importanti sfaccettature del pensiero umano è l’abilità di 
riassumere l’informazione “in definizioni di insiemi fuzzy che 
producono una relazione approssimativa con i dati primari”. Le 
descrizioni linguistiche, che sono descrizioni sommarie di situazioni 
complesse, sono essenzialmente  fuzzy. 
Si deve precisare che fuzziness non vuol dire imprecisione. 
Nell’analisi della tolleranza l’imprecisione si riferisce alla 
mancanza di conoscenza del valore di un parametro ed è così 
espressa come un intervallo di tolleranza friabile: l’intervallo è 
l’insieme dei possibili valori dei parametri. Fuzziness sopravviene 
quando l’intervallo non ha confini netti e si definisce così insieme 
                                                           
4
 ZADEH, L. A.. Outline of a new approac to the analysis of complex systems and decision 
processes. IEEE  Trans. Syst. Man Cybern. 3, 28-44 (1973). 
5
 Ibidem. 
 19
fuzzy . Allora, 



(x) si interpreta come il grado di possibilità
6
 
che x sia il valore del parametro  compreso nell’insieme fuzzy . 
Prima di introdurre i fondamenti della teoria degli insiemi e 
delle funzioni sfocate, può essere utile un breve cenno sulla teoria 
canonica degli insiemi.  
 
1.1.2. Breve sguardo alla teoria elementare degli insiemi. 
Gli insiemi sono collezioni di cose chiamate punti o elementi. 
Che un punto x appartiene (non appartiene) a un insieme X si indica 
con x  X (x ϖ X).  
Gli insiemi si indicano in vari modi; noi semplicemente 
usiamo simboli come X, Y, A; possiamo caratterizzare gli elementi 
di un insieme scrivendo {xXξx soddisfa la proprietà P}, oppure 
possiamo semplicemente enumerare gli elementi dell’insieme come 
{a, b, c, d}. Per alcuni insiemi specifici abbiamo un’indicazione 
standard: l’insieme vuoto si indica con ; l’insieme dei numeri 
                                                           
6
 ZADEH, L. A.. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility. Int. J. Fuzzy Sets Syst. 1, No. 
1, 3-28 (1978).  
 20
reali con R; quello dei numeri naturali con N; l’intervallo unitario 
[0,1] si indica con I e l’intervallo unitario escluso lo 0, ]0,1] con I
0
. 
• Definizione  (Inclusione). 
Dati due insiemi A, B diciamo che A è contenuto in B,  o che 
B contiene A, se tutti i punti in A sono anche in B, cioè  
 
 x  A υ x  B, 
e si indica con  
 
A _ B. 
 
A è detto allora sottoinsieme di B. 
La raccolta di tutti i sottoinsiemi di un dato insieme X è a sua 
volta un insieme che noi indichiamo con  P(X)  {A|A_X}. 
• Definizione (Intersezione e unione). 
Dato un insieme X, e una famiglia di sottoinsiemi (A
j
)
j

J
, 
l’intersezione della famiglia si definisce come il sottoinsieme di X 
 21
contenente quei punti che appartengono a ciascuno degli insiemi 
della famiglia data, cioè 
 
3
j

J 
A
j 
 {x  Xξ…jJ : x  A
j
}, 
 
e analogamente l’unione della famiglia è definita come il 
sottoinsieme di X che contiene quei punti che appartengono ad 
almeno uno degli insiemi della famiglia, cioè 
 
4
j

J
 A
j 
 {x  XξjJ : x  A
j
}. 
 
• Definizione (Complemento). 
 Se A _ X, allora il suo complemento (rispetto a X) si definisce 
come il sottoinsieme di X che contiene quei punti di X che non 
appartengono ad A, vale a dire 
 
∨A  {x  Xξx ϖ A}.