La logica sfumata e le sue problematiche epistemologiche

 6
La logica sfumata
2
 rappresenta perciò un compromesso fra la 
precisione della logica classica e l’imprecisione del 
ragionamento umano, nel tentativo di dare ai computer una 
logica che abbia la flessibilità del linguaggio quotidiano e la 
precisione del linguaggio della logica formale, consentendo 
perciò all’intelligenza artificiale di operare in situazioni prima ad 
essa precluse, ovvero in una condizione di vaghezza ⟨fuzziness⟩. 
                                                           
2
 « The theory of fuzzy subsets is, in effects a step toward a rapprochement 
between the precision of classical mathematics and the pervasive 
imprecision of the real world: a rapprochement born of the incessant human 
quest for a better understanding of mental processes and cognition. 
At present we care unable to design machines that can compete with humans 
in the performance of such tasks as recognition of speech, translation of 
languages, comprehension of meaning, abstraction and generalization, 
decisionmaking under uncertainty and, above all, summarization of 
information.  
In large measure, our inability to design such machines stems from a 
fundamental difference between human intelligence, on the other. 
The difference in question lies the ability of the human brain, an ability 
which present day digital computers do not possess, to think and reason in 
imprecise, non quantitative, fuzzy terms. 
It is this ability that makes it possible for humans to decipher sloppy hand-
writing, understand distorted speech, and focus on that information which is 
relevant to a decision. And it is the lack of this ability that makes even the 
most sofisticated large scale computers incapable of communicating with 
humans in a natural, rather than artificially constructed, languages ». 
L.A. ZADEH, pref. a A. KAUFMANN, Introduction to the theory of fuzzy 
subset, vol. I, Academic Press (1975), p. IX. 
 7
La logica sfumata si sviluppa dalle prime pubblicazioni di Zadeh 
fino alla fine degli anni ’70 quasi esclusivamente come teoria 
degli insiemi
3
. Bisognerà attendere il 1979 per avere il primo 
vero articolo di logica sfumata, dovuto al logico ceco Y. 
Pavelka
4
. 
                                                           
3
 C.V. NEGOITA - D.A. RALESCU, Applications of fuzzy sets and 
systems analysis, Basel Stuttgart: Birkausen Verlag ,  (1975). 
A. KAUFMANN, Introduction to the theory of fuzzy subsets, vol. I, 
Academic Press,  (1975). 
L.A. ZADEH - KING SUN FU - K. TANAKA - M. SHIMURA, Fuzzy 
sets and their applications to cognitive and decision processes, Academic 
Press, (1975). 
M.M. GUPTA - G.N. SARIDIS - B.R. GAINES, Fuzzy automata and 
decision processes, North-Holland,  (1977). 
D. DUBOIS - H. PRADE, Fuzzy sets and systems, Academic Press, 
(1980). 
4
 Y. PAVELKA, On fuzzy logic I. Many-valued rules of inference, (pp. 45-
52) Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der 
Mathematik, vol. 25, 1979. 
Y. PAVELKA, On fuzzy logic II. Enriched residuated lattices and 
semantics of propositional calculi (pp. 119-134), Zeitschrift für 
mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, vol. 25, 1979. 
Y. PAVELKA, On fuzzy logic III. Semantical completeness of some many 
valued propositional calculi, (pp. 464-467), Zeitschrift für mathematische 
Logik und Grundlagen der Mathematik, vol. 25, 1979. 
 8
Si deve soprattutto all’opera di Y. Pavelka, G. Gerla
5
, V. Novak
6
 
ed E. Turunen
7
 l’attuazione del programma di L.A. Zadeh di 
costruire « una logica con valori di verità sfumati, connettivi 
sfumati e regole d’inferenza sfumate »
8
. 
 
                                                           
5
 G. GERLA, Pavelka’s fuzzy logic and free L-subsemigroups, (pp. 123-
129), Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der 
Mathematik, vol. 31, 1985. 
G. GERLA,  An extension principle of fuzzy logics (pp. 367 ss.),  
Mathematical logic quaterly, vol. 40, n° 3, 1994. 
G. GERLA, Comparing fuzzy and crisp deduction systems (pp. 317-328). 
Fuzzy sets and systems, vol. 67,  1994. 
A. DI NOLA - G. GERLA, Fuzzy models of first order languages (pp. 331-
340), Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der 
Mathematik, vol. 32, 1986. 
G. GERLA - R. TORTORA, fuzzy natural deduction,  (pp. 67-77), 
Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik,  
vol. 36, fasc. I, 1990. 
6
 V. NOVAK , First-order fuzzy logic, (p. 67 ss.), Studia logica, vol. 46, n° 
1,   March, 1987. 
7
 E. TURUNEN, Well-defined fuzzy sentential logic, Mathematical logic 
quaterly, vol. 41, n° 2,  1995, p. 236 ss. 
8
 « [...] a logic with fuzzy truths, fuzzy connectives, and fuzzy rules of 
inference ».   
L.A. ZADEH, pref. a A. KAUFMANN, Introduction to the theory of fuzzy 
subset, vol. I, Academic Press (1975), p. IX. 
 9
CAPITOLO PRIMO 
 
UN TENTATIVO DI FORMULAZIONE 
 
 
Logica degli enunciati. 
 
Nella logica classica ogni enunciato o è vero o è falso. 
Nella logica sfumata invece un enunciato è indeterminato
9
 e 
compito di tale logica è di studiare il GRADO DI VERITÀ 
dell’enunciato stesso che è posto  nell’intervallo
10
  [0, 1]. Questo 
perché mentre nella logica classica l’enunciato “Questo fiore è 
rosso” è vero o falso, nella logica sfumata l’enunciato “Questo 
fiore è rosso” indica un’infinita gamma di rossi che noi 
                                                           
9
 « [...] One of the chief limitations of classical logic is that a sentence has to 
be  either true or false, whereas in ordinary discourse truth-values do not 
always arise, or if they do, then they are not clearly determinate. A major 
cause of these ambiguities is the unavoidable vagueness of predicates and 
relations, and in his work on fuzzy sets ZADEH has attempted to overcome 
this difficulty by constructing a system which accomodates indeterminacy. 
While in classical logic we would have to accept that “Fred is a tall man” is 
either true or false, in fuzzy set theory we agree that “tall man” is an unclear 
predicate lacking precise boundary lines of membership and non-
membership, and so we assign to Fred a real number in [0,1] as his 
membership grade to the fuzzy set of tall men. In general, if the object x 
belongs to the fuzzy set A with membership grade λ , then [...] we write: 
 
µ
A
(x)=λ , λ∈ [0,1] 
 
Classical logic is now seen as the special case where µ  is a two-valued 
membership function, usually taking the values 0 and 1 ». 
I. GRATTAN GUINNESS, Fuzzy membership mapped onto intervals and 
many-valued quantities (pp. 149-160), Zeitschrift für mathematische 
Logik und Grundlagen der Mathematik, vol. 22, 1976,  p. 149 § 1. 
10
 INTERVALLO: In matematica, se a e b sono due numeri reali qualunque, 
ed a < 1, si dice INTERVALLO da  a a  b  l’insieme di tutti i numeri reali 
 10
dobbiamo determinare con un grado di verità. Partiamo da  un 
colore assolutamente non rosso che ha un grado di verità 0, a un 
colore leggermente rosso che ha un grado di verità, poniamo, di 
0,2, ad un colore abbastanza rosso che ha un grado di verità 0,6 
fino ad un colore assolutamente rosso che ha un grado di verità 
1. 
Ovviamente nel caso in cui il grado di verità è uguale a 0 o 1 
ricadiamo nel caso della logica classica.  
In maniera più precisa, si può dire che nella logica sfumata lo 
scopo di un apparato deduttivo è quello di produrre da un 
insieme sfumato ⟨fuzzy set⟩ di assiomi
11
  l’insieme sfumato delle 
relative conseguenze. Nella logica classica basta fissare 
l’insieme delle formule che si sa essere vere.  
Un modo alternativo nella logica classica sarebbe quello di 
fissare l’insieme delle formule che si ritengono false.  
Nella logica sfumata abbiamo invece bisogno di analizzare 
un’informazione del tipo “x è alto” è vero con grado che oscilla 
fra 0,5 e 1. Dunque nella logica sfumata si parte da un insieme 
sfumato di assiomi υ  in [0,1].  
Data una formula α  l’informazione espressa da υ (α ) [valutazione 
di α ] non è che il valore di verità di α  è υ (α ) ma che il valore di 
verità di α  è ALMENO
12
 υ (α ).  
                                                                                                                                                    
fra a e b. L’intervallo è indicato con i simboli [a, b]. 
11
 « [...] Let υ :f→ u be any fuzzy set of formulas that we call INITIAL 
VALUATION OR FUZZY SET OF PROPER AXIOMS ».  
G. GERLA, Comparing fuzzy and crisp deduction systems, (pp. 317-328). 
Fuzzy sets and systems, vol. 67,  1994, p. 321, § 4. 
(P.S.: Per f si intende l’insieme degli elementi che chiamiamo formule e per 
u l’insieme dei numeri naturali nell’intervallo [0,1] ). 
12
 « [...] The meaning of υ  is that for every α  we believe that α  is true at 
least at degree υ (α ) ».  
G. GERLA, An extension principle of fuzzy logic,  Mathematical logic 
 11
Cioè, se noi diciamo che Antonio appartiene all’insieme degli 
uomini alti, il suo grado di appartenenza, poniamo, sarà almeno 
0,6, ma ciò non esclude che possa essere anche un valore più 
alto. Perciò nella logica sfumata il grado di appartenenza è una 
soglia
13
 minima (o massima, a seconda dei casi).  
Questo punto è importantissimo, perché ci fa notare una 
fondamentale differenza tra logiche polivalenti e logica sfumata, 
che pure sono intimamente collegate fra loro.  
MENTRE NELLE LOGICHE POLIVALENTI I VALORI DI 
VERITÀ INTERMEDI SONO FISSI ( 0,2   ,   0,4   ,   0,6   ,    0,8 
ecc. ) NELLA LOGICA SFUMATA I VALORI DI VERITÀ 
INTERMEDI SONO UNA SOGLIA (  ALMENO    0,2   ,   
ALMENO 0,4   ,   ALMENO 0,6    ecc.  ).  
Da ciò scaturisce un’altra conseguenza importante: la logica 
sfumata si preoccupa, dato un ragionamento deduttivo, di 
controllare la trasmissione dei valori di verità dalle premesse alla 
conclusione. 
Questo problema invece non si pone né per la logica classica né 
per le logiche polivalenti in quanto il loro scopo è quello di 
produrre tautologie cioè formule che assumono sempre i valori 
designati
14
. 
                                                                                                                                                    
quaterly, vol. 40, n° 3, 1994, p. 361, § 4. 
13
  « [...] The meaning of υ  is that EVERY FORMULA α  IS TRUE AT 
LEAST AT DEGREE υ (α ) ». 
G. GERLA, Comparing fuzzy and crisp deduction systems,  Fuzzy sets and 
systems, vol. 67, 1994, p. 321,  § 4. 
14
 « The concept of a TAUTOLOGY familiar from the two valued case is as 
follows: a tautology is a formula that UNIFORMLY TAKES ON THE 
TRUTH VALUE T FOR ANY AND EVERY ASSIGNMENT OF TRUTH 
VALUES TO ITS PROPOSITIONAL VARIABLES.  
This concept is really generalized to apply to many-valued systems of logic. 
Given a many-valued system [...] we can classify certain of its truth-values 
as DESIGNATED, i.e., as representing “truth-like” truth-values. 
A formula will be a TAUTOLOGY of the many-valued logic in question, 
 12
L’unica differenza tra logica classica e logiche polivalenti da 
questo punto di vista è che nelle logiche polivalenti a volte 
dobbiamo abbassare il livello di ciò che riteniamo tautologico 
(cioè nella logica classica è tautologico tutto ciò che ha un valore 
di verità 1, nelle logiche polivalenti, invece, si riterrà, ad 
esempio, sufficiente per essere definito tautologico tutto ciò che 
un valore di verità, poniamo, di 0,8 o di qualsiasi altra scelta). 
Invece le tautologie non interessano particolarmente nella logica 
sfumata. Questo perché nella logica sfumata lo scopo principale 
è quello di controllare la quantità di informazione (valore di 
verità) dalle premesse alla conclusione, come abbiamo detto 
sopra, in quanto può verificarsi il caso in cui la quantità di 
informazione delle premesse non si conservi con lo stesso grado 
nella conclusione.  
Può cioè verificarsi una progressiva perdita di informazione nel 
corso del ragionamento deduttivo, come vedremo nell’analisi di 
alcuni paradossi. 
È qui la principale differenza fra la logica sfumata (in cui può 
verificarsi una perdita di informazione) e le logiche polivalenti 
(in cui non si verifica una perdita di informazione) che spesso 
utilizzano le stesse metodologie. 
In molte logiche sfumate (infatti esistono numerose varianti di 
tale logica) la semantica è la stessa delle logiche polivalenti. 
È la sintassi, o meglio, l’apparato inferenziale che cambia.  
                                                                                                                                                    
subject to the specified designations of truth-values, if it uniformly takes on 
a designated truth-value for any and every assignment of truth-values of its 
propositional variables.  
We shall speak of a formula as SATISFYING a set of many-valued truth 
talbes (with specified designation) when it is a tautology with respect to 
them». 
N. RESCHER, Many-valued logic, McGraw-Hill Book Company, New 
York, 1969, p. 66, § 12. 
 13
Possiamo fare il seguente schema: 
 
α
1
, .........., α
n
 |  α  ↔  α
1
 ∧ ..........∧  α
n
 →  α  
          ↓                                    ↓  
schema inferenziale                      tautologia nella logica 
       classica o nelle logiche 
     polivalenti 
              ↓  
     catena di ragionamenti  
     in cui bisogna  control- 
       lare che   non   vi   sia  
       perdita di informazione 
  (logica sfumata) 
 
È da notare che nella logica classica vale il TEOREMA DI 
DEDUZIONE  α  |  β  ↔  |  α  →  β  
cioè riuscire a dimostrare β  a partire da α  è la stessa cosa che 
provare la tautologia α  →  β . 
Questo significa che se riusciamo a dominare le tautologie 
riusciamo anche a dominare la dimostrazione sotto ipotesi. 
Quindi dimostrare tautologie o dimostrare formule sotto ipotesi 
nella logica classica è la stessa cosa. Questo è il motivo per cui 
la logica classica si sofferma solo sulle tautologie.  
Nelle logiche a più valori in generale il TEOREMA DI 
DEDUZIONE NON VALE e questo è un primo ostacolo a 
ricondursi alle sole tautologie.  
Comunque nella tradizione delle logiche polivalenti c’è sempre 
lo studio delle FORMULE VALIDE dove si intende per formula 
valida una formula che assume un valore abbastanza alto 
all’interno di un certo insieme di valori che si considerano 
sufficienti. In questo modo possono essere prodotte le tautologie. 
 14
 
Comunque, già nelle logiche polivalenti si pone il problema 
della DEDUZIONE DA IPOTESI.  
La logica sfumata, che è un’estensione delle logiche polivalenti, 
considera quest’ultimo come il suo problema fondamentale. 
La logica sfumata cioè  si preoccupa soprattutto di studiare la 
DEDUZIONE SOTTO IPOTESI DATE, problema che ha la 
preminenza su quello delle TAUTOLOGIE. 
Infatti, se non c’è equivalenza fra la nozione di DEDUZIONE 
DA IPOTESI e quella di TAUTOLOGIA allora dobbiamo 
studiare i due problemi in maniera separata. 
Quindi dobbiamo studiare sia il problema di dimostrare le 
formule valide sia quello della deduzione sotto ipotesi che ci 
darà anche il problema delle TAUTOLOGIE, perché una 
deduzione sotto nessuna ipotesi dà luogo ad una tautologia. 
La logica sfumata, cioè, vuole studiare che cosa significa 
dimostrare una formula sotto ipotesi che sono vere  con un certo 
grado. 
In maniera più dettagliata, la logica sfumata vuole vedere il 
grado con cui si può dimostrare una formula quando si 
conoscono i gradi di verità  delle premesse di un ragionamento. 
Rimane un ultimo problema, e cioè come definire la tautologia 
nella logica sfumata. A questo proposito introdurremo un nuovo 
concetto di tautologia e di contraddizione che sono una 
generalizzazione di quelli classici. 
Queste nuove teorizzazioni sono una creazione originale di G. 
Gerla che dà le definizioni di tautologia e di contraddizione sia a 
livello sintattico che semantico. 
 
 
 15
Iniziamo con le definizioni di carattere sintattico
15
: 
 
(1)  Tau(S ) = I { T | T∈  T,   T≠ f}  
 
dove  Tau(S ) è l’insieme sfumato delle tautologie 
 T è una teoria  
 T   è l’insieme delle teorie 
 F è l’insieme degli assiomi logici. 
 
È da notare che qui per teoria ( T ) si intende un insieme di 
formule che è chiuso per deduzione. 
Cioè, se delle formule stanno in T ,  anche tutte le conseguenze 
di queste formule stanno in T. 
In questa accezione la teoria T non è un insieme di formule, ma è 
l’insieme di ciò che si può ricavare da un insieme di formule. 
Quindi noi definiremo la teoria T non come un insieme di 
assiomi, ma come l’insieme dei teoremi che si possono ricavare 
da un insieme di assiomi
16
. 
 
                                                           
15
  Finally, we say that α  is a TAUTOLOGY if all the theories T  contain α , 
this means that the set of TAUTOLOGIES is the minimal theory: 
 
Tau( S  )=I {T | T∈ T ,  T ≠ F} 
 
Obviously, every logical axiom is a tautology. We say that α  is a 
contradiction if non proper theory of S  contains α , then the set of 
contradictions is  
Contr(S  )=I { T | T∈ T ,  T ≠  F} 
 
G. GERLA, Comparing fuzzy and crisp deduction systems, Fuzzy sets and 
systems, vol. 67, 1994, p. 320, § 4. 
16
 Però questo vale anche nella logica classica. Infatti anche nella logica 
classica una teoria è costituita dall’insieme degli assiomi e dei teoremi.