La frenatura elettrica controllata

 V
E’ molte volte invalso l’uso di considerare il regime di funzionamento da 
generatore impropriamente come funzionamento da freno: in effetti ciò, anche se non 
etimologicamente corretto, soddisfa le esigenze pratiche, in quanto in queste 
condizioni di funzionamento il momento della coppia è opposto in verso a quello della 
velocità dell’asse di rotazione a cui esso è applicato. Allo scopo si classifica il 
funzionamento da generatore come funzionamento (da freno) a recupero o dissipativo, 
laddove nel primo caso si intende che l’energia meccanica messa a disposizione 
dall’utilizzatore viene elettromagneticamente convertita in energia elettrica e fornita 
alla rete primaria di alimentazione (frenatura a recupero ) o dissipata su resistenze 
zavorra (frenatura dissipativa). In realtà gli azionamenti elettrici attuali realizzano 
intrinsecamente le tre condizioni di funzionamento sopraccitate, mentre solo il motore 
asincrono ad induzione è capace di funzionare da motore, generatore e freno. La 
precipua caratteristica di questa macchina è stata sfruttata per analizzare il possibile 
impiego della frenatura elettrica su veicoli elettrici stradali con energia elettrica di 
accumulo quale sorgente unica e principale di energia elettrica. La frenatura è stata 
ottenuta considerando complementari il funzionamento da generatore e quello da 
freno in controcorrente: le due condizioni di funzionamento si integrano infatti 
perfettamente, in quanto la prima è efficace ed altamente soddisfacente dal punto di 
vista delle prestazioni se si opera con velocità compresa tra quella massima o 
nominale e una velocità limite inferiore che è certamente di alcuni radianti al secondo. 
La seconda è praticamente realizzabile, invece, solo per intervalli di velocità che 
partono dallo zero e non eccedono alcuni radianti al secondo. Entrambe le tecniche di 
frenatura risultano praticamente utili se è possibile impiegare algoritmi di 
alimentazione e controllo i quali consentano una semplice transizione da una 
condizione di funzionamento ad un’altra. Si è in particolare trovato che l’algoritmo 
definito ad “Elevate Prestazioni Dinamiche” soddisfa questa condizione in quanto il 
semplice cambiamento di un segno rende possibile la commutazione da una 
condizione di funzionamento ad un’altra. Questa semplice operazione matematica 
deve essere però accompagnata da un’accurata tecnica di commutazione onde ottenere 
le condizioni di funzionamento desiderate con la riduzione al minimo di fenomeni 
fisici ineliminabili ma indesiderati. 
 VI
Si è partiti dal modello matematico Cap. I) per arrivare alla definizione delle 
condizioni canoniche di funzionamento del motore asincrono ad induzione (Cap. II). 
Il richiamo della teoria del controllo, in generale e con riferimento agli azionamenti 
elettrici (Cap. III), è stato funzionale alla determinazione dell’algoritmo ad “Elevate 
Prestazioni Dinamiche” (Cap. IV). Individuata la strategia di frenatura (Cap. V) la si è 
applicata all’algoritmo sopra citato. 
In conclusione si può dire che i risultati ottenuti coincidono con quelli 
auspicati all’inizio della ricerca. 
 
 1
Capitolo I 
Modello matematico del motore asincrono 
 
1- Introduzione 
 
Il modello matematico di un sistema fisico descrive in qual modo le 
grandezze di ingresso al sistema vengano trasformate in quelle di uscita.  
Grandezze
di uscita
Sistema fisico
Grandezze
di ingresso
Modello matematico
 
Figura : Rappresentazione di un sistema fisico 
 
Queste trasformazioni sono determinate e sono espresse analiticamente per mezzo di 
legami algebrici, differenziali ed integrali tra le grandezze di uscita e quelle di 
ingresso. L’insieme delle operazioni, indicate simbolicamente e scritte in successione 
ordinata, costituisce il modello matematico del sistema fisico: ogni modello è dunque 
espresso da un numero ben definito di equazioni algebriche e/o differenziali. In 
accordo con il principio di casualità, il quale stabilisce che ad ogni ingresso 
corrisponde una risposta in uscita, i modelli matematici sono essenzialmente 
formulati per simulare i sistemi fisici, per consentire, cioè, di determinare in forma 
analitica le uscite prodotte da ingressi assegnati, di valutare, cioè, gli effetti prodotti 
su un sistema fisico da determinate cause. Per poter descrivere il modello, è 
necessario dunque scrivere relazioni analitiche in cui le grandezze del sistema 
vengano legate tra loro con relazioni fisicamente congruenti e riscontrabili nella 
realtà: le leggi fisiche.  
Il sistema fisico che verrà preso in esame in questa tesi è la macchina 
asincrona. Essendo questo sistema di tipo elettromeccanico, vengono utilizzate leggi 
dell’Elettrotecnica e della Meccanica, ed in particolare i principi di Kirchhoff e di 
 2
D’Alembert. Dall’analisi delle equazioni che si ottengono si può individuare un 
nucleo di variabili di forzamento, applicate dall’esterno, ed un altro di variabili di 
stato, che caratterizzano univocamente il sistema. 
Il modello matematico della macchina asincrona può essere ottenuto 
essenzialmente per due vie: utilizzando il concetto di componenti simmetrici ai valori 
istantanei e quello della doppia reazione. Entrambi i modelli descrivono lo stesso 
sistema fisico, ma con differenti grandezze equivalenti; nel capitolo che segue è 
descritto il modello della macchina asincrona utilizzando la teoria dei componenti 
simmetrici, che sarà utilizzato nei capitoli successivi. 
 
2 - Modello matematico della macchina asincrona ai componenti 
simmetrici 
 
La macchina asincrona presenta una geometria piuttosto complessa che non 
rende semplice la individuazione della distribuzione del campo magnetico al suo 
interno e di conseguenza dei parametri di macchina legati a questa distribuzione di 
campo. I fattori determinanti questa complessità sono diversi:  
- le superfici dello statore e del rotore affacciate al traferro sono irregolari per la 
presenza delle cave in cui sono alloggiati gli avvolgimenti; 
- i conduttori nelle cave sono numerosi e di dimensioni finite, ma non sempre 
disposti in maniera ordinata; 
- le barre di rotore sono a contatto con le pareti di cava e possono generare correnti 
trasversali nei lamierini magnetici; 
- le testate degli avvolgimenti hanno dimensioni consistenti rispetto all’intera 
macchina; 
- i materiali ferromagnetici hanno caratteristiche non lineari. 
La necessità di mettere a punto un modello matematico a parametri elettrici 
concentrati (e quindi di facile impiego) che faccia comunque riferimento a grandezze 
spazialmente distribuite all’interno della macchina obbliga ad introdurre una serie 
d’ipotesi semplificative: 
- si trascurano gli effetti d’estremità e si assume il campo magnetico a geometria 
piana, identicamente ripetentesi lungo l’asse di macchina; 
 3
- si assume il ferro a permeabilità infinita; 
- si trascurano i fenomeni d’isteresi e correnti parassite nel ferro; 
- si assumono cilindriche le superfici di statore e rotore affacciate al traferro; 
- si assume la forza magnetomotrice di cava concentrata in quel punto; quindi non 
si tiene in conto l’eventuale distribuzione non uniforme della corrente in 
conduttori massicci; 
- si assumono gli avvolgimenti perfettamente simmetrici e disposti in cave 
equispaziate; 
- si trascurano le armoniche superiori dello sviluppo in serie di Fourier della 
distribuzione spaziale delle f.m.m. di statore e di rotore. 
Dalle ipotesi introdotte segue fondamentalmente che è necessario conoscere la 
distribuzione del campo magnetico solo al traferro della macchina, che si può 
ritenere abbia andamento radiale.  
Riferendosi alla configurazione più frequente nella realtà realizzativa, si 
considera un motore asincrono con avvolgimento statorico trifase e avvolgimento 
rotorico a gabbia. Numerate progressivamente le varie fasi da 1 a 3, ad esempio in 
senso orario, si fissa un sistema di riferimento angolare  ∆, con origine in 
corrispondenza dell’asse magnetico della prima fase. Indicando con )(ti
sk
 la corrente 
nella k-esima fase di statore (con k = 1,2,3), la distribuzione di caduta di f.m.m. da 
essa generata ha un andamento spaziale a gradinata, la cui armonica fondamentale 
dello sviluppo in serie di Fourier ha espressione: 
 ≈
 …
 ≡
 ↔
 ←
 ♠
       ∋
3
2
)1(cos)(
2
),(
)1(
 Σ
 ∆ [
 Σ
 ∆ kptizqtF
skscsssk
  (1.1) 
avendo indicato con p il numero di coppie polari, con 
s
q  il numero di cave per polo 
e per fase, con 
cs
z  il numero di conduttori in cava, e con 
s
[ il fattore d’avvolgimento 
risultante. La distribuzione d’induzione al traferro generata dal sistema di correnti 
statoriche, indicando con  Γ la lunghezza delle linee di forza al traferro, assume 
quindi la seguente espressione: 
 ƒ
  
 ∋  
3
1
)1(0)1(
),(),(
k
sks
tFtB  ∆
 Γ
 Π
 ∆   (1.2) 
 4
Indicando con 
csss
zqN    il numero di spire in serie per fase per coppia polare, si ha: 
 °
↵
 °
 

 °
↓
 °
 →
↑
    
ƒ
  
 ≈
 …
 ≡
 ↔
 ←
 ♠   
    
3
1
3
)1(2
0
)1(
2
),(
k
k
pj
sk
ss
s
eie
N
tB
 Σ
 ∆
 Σ Γ
 [ Π
 ∆ (1.3) 
e se si pone: 
 ƒ
  
  
  
3
1
3
)1(2
)(
3
2
)(
k
k
j
sks
etit
 Σ
i    (1.4) 
si può scrivere come segue: 
 ⊥ 
 ∆
 Σ Γ
 [ Π
 ∆
j
s
ss
s
ete
N
tB
 
   )(
3
),(
0)1(
i   (1.5) 
La quantità complessa )(t
s
i  prende il nome di “componente simmetrico istantaneo di 
corrente di statore”, e sintetizza l’effetto contemporaneo delle tre correnti statoriche. 
Procedendo in modo analogo a quanto fatto per lo statore, è possibile ricavare 
l’espressione del campo d’induzione generato al traferro dal sistema di correnti 
rotoriche. Infatti, indicando con 
r
m  il numero delle fasi di rotore e fissando un 
riferimento angolare  Ε coincidente con la mezzeria della prima fase di rotore, si ha: 
 ⊥ 
 Ε
 Σ Γ
 [ Π
 Ε
 Γ
 Π
 Ε
jp
r
rcrrr
m
h
rhr
ete
zqm
tFtB
r
  
  
    ∋  
 ƒ
)(),(),(
0
1
)1(
0
)1(
i  (1.6) 
avendo posto: 
r
r
m
h
j
m
h
rh
r
r
eti
m
)1(
1
)(
2
  
  
 ƒ
  
 Σ
i    (1.7) 
che rappresenta il componente simmetrico istantaneo di corrente di rotore. Poiché lo 
scopo è quello di arrivare all’espressione dell’induzione risultante al traferro, bisogna 
riportare quanto trovato ad un unico riferimento. E’ però facile verificare che tra gli 
assi ∆ e  Ε esiste la seguente relazione: 
 − ∆ Ε        (1.8)