La cupola in muratura. Analisi strutturale, quadri fessurativi, consolidamento tradizionale ed innovativo.

  
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reale ha messo in evidenza i problemi che soffre questo tipo di copertura: la spinta 
dei meridiani e la trazione nei paralleli. A conclusione si sono riportati i metodi con 
cui si tenta di ridurre l’influenza di queste tensioni in fase costruttiva, come 
l’inserimento in itinere di catene o di strutture esterne pesanti, quali speroni o 
contrafforti. 
 
Dopo aver dunque effettuato un’analisi approfondita della struttura si passa 
allo studio dei quadri fessurativi tipici in cui questa incorre. Per introdurre 
l’argomento si è svolta dapprima una breve trattazione delle modalità elementari di 
rottura nella muratura, sottolineando l’importanza di una corretta diagnosi dei 
dissesti. Sono poi state esposte quelle che sono le possibili e più comuni cause 
dell’innescarsi di meccanismi cinematici nella cupola, tenendo in conto la sua forte 
dipendenza dai vari livelli di sostegno, per poi affrontare i quadri fessurativi 
corrispondenti. Le verifiche di sicurezza hanno concluso questa parte di diagnosi, 
introducendo, come necessaria premessa, il tema del consolidamento. Dato il 
probabile valore storico e monumentale delle strutture cupolari gli interventi 
effettuabili sono stati riportati con spirito critico, evidenziando cioè in che modo 
questi possano compromettere il manufatto. Sono stati quindi considerati non adatti 
interventi scarsamente reversibili o incompatibili con la muratura o con il principio 
statico secondo cui la cupola lavora, condannando in quest’ottica le iniezioni 
armate ed in generale le operazioni che implicano l’utilizzo del calcestruzzo.  
 
Si è infine analizzata una tecnica estremamente innovativa di 
consolidamento, cioè quella effettuata applicando tessuti di materiali compositi 
fibrorinforzati (FRP). Questi materiali, originariamente impiegati nel campo delle 
costruzioni navali ed aerospaziali, hanno recentemente visto estendere il proprio 
impiego al campo dell’edilizia in conseguenza dell’abbassamento dei costi di 
lavorazione. In particolare trovano impiego nel rinforzo di strutture esistenti, ed è 
molto importante rilevare come un materiale tra i più innovativi sul mercato possa 
essere decisamente più compatibile con la muratura rispetto ad altri materiali 
tradizionali. I vantaggi offerti sono molteplici (estrema leggerezza, maggior 
compatibilità chimica, fisica e meccanica con la muratura, reversibilità quasi 
completa), e rendono questo materiale assolutamente idoneo ad essere applicato nel 
rinforzo delle cupole ed in generale delle strutture murarie. 
Parte I  La resistenza per forma                              
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Parte I  
 
 
 
 
 La resistenza per forma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 La cupola in muratura  F. Gianola 
 
2
 
1. Il principio della resistenza per forma.  
 
Un insieme di elementi architettonici è definibile come struttura nel 
momento in cui è in grado di sopportare senza collassare in primo luogo il proprio 
peso ed in secondo luogo eventuali carichi. Nell’Enciclopedia dell’Architettura al 
concetto di struttura viene associato quello di resistenza: «la struttura è intesa come 
insieme degli elementi resistenti della fabbrica, e loro organizzazione
1
». 
Proprio in base al principio per cui sono in grado di resistere agli sforzi 
imposti, le tipologie strutturali possono essere suddivise in due gruppi ben distinti. 
Il primo gruppo è costituito dalle strutture resistenti per massa, che compiono la 
loro funzione strutturale grazie alle caratteristiche d’inerzia delle sezioni e dei 
materiali impiegati. La struttura gestisce i momenti e non solo le forze come accade 
invece nel gruppo successivo: nella linea retta, espressione resistente di questo 
gruppo di strutture, il momento è infatti sempre presente quando le forze applicate 
sono perpendicolari all’asse, comportando un’inflessione della struttura. L’esempio 
classico di struttura rientrante in questa prima categoria è quello della trave, 
                                                 
1
 P. 835. 
Fig. 1 – Casa Kaufmann, Mill Run, Pennsylvania, USA. Disegno a mano libera. Le pesanti
solette degli aggetti wrightiani esemplificano una struttura lineare resistente per massa.  
Parte I  La resistenza per forma                              
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elemento lineare per eccellenza, o delle solette (fig.1). 
Il secondo gruppo è costituito dalle strutture che resistono per forma, in 
virtù cioè delle loro caratteristiche geometriche. Fanno parte di questo gruppo gli 
archi (fig.2), le volte, le cupole e in generale tutte le strutture la cui geometria 
deriva da linee curve. Le forze vengono direzionate dalla struttura verso il terreno, 
lungo un canale che viene definito dalla sua stessa forma. In una struttura di questo 
tipo i momenti sono idealmente assenti poiché le forze si mantengono sempre 
parallele alla curva direttrice, per cui non viene generata inflessione negli elementi 
portanti. Si può pertanto affermare che le strutture resistenti per forma sono 
staticamente superiori a quelle resistenti per massa. 
Fig. 2 – Superior Bridge, Detroit, Michigan, USA. Negli archi a sostegno del ponte le forze 
vengono scaricate attraverso sforzi normali diretti lungo la direttrice della curva dell’arco.   
 La cupola in muratura  F. Gianola 
 
4
La distribuzione dei carichi dunque indica sempre una forma ideale di 
struttura che permette di incanalare tali carichi verso il terreno nel modo più 
vantaggioso
1
. La maniera piú vantaggiosa di comporre i carichi agenti su una 
struttura è di farli scorrere lungo la loro linea d’azione, facendo sì che i carichi 
vengano convogliati a terra attraverso semplici sforzi normali. Purtroppo le figure 
strutturali che derivano da questo procedimento non sempre sono direttamente 
applicabili nella pratica, per ragioni estetiche o progettuali. E’ necessario pertanto 
modificarle per ottenere strutture più facilmente riproducibili nel campo 
applicativo, ricorrendo ad un procedimento alternativo nella composizione delle 
forze: si faranno traslare le forze esterne rispetto alla loro retta d’azione, non 
potendo cosí impedire l’insorgere di momenti generati dalla presenza dei bracci  
delle forze rispetto all’asse originario
2
. Tali momenti non rientrano tra gli sforzi 
contrastabili dalle strutture resistenti per forma; scopo del progettista sarà dunque 
quello di attenuarli il più possibile, per permettere alla linea curva di svolgere il suo 
compito strutturale secondo la sua predisposizione e non costringendola ad 
assolvere a funzioni che non le sono proprie. 
                                                 
1
 Per esemplificare si anticipa quanto verrà detto nel par. 2.1, cioè che la forma piú vantaggiosa di un 
arco è quella che materializza attraverso la sua direttrice la curva delle pressioni dei carichi che 
sopporta; quanto più la direttrice dell’arco si discosta dalla curva delle pressioni tanto maggiore sarà 
la presenza di momenti. Per questa ragione al crescere dei carichi, volendo contrastare l’insorgere di 
momenti variando la forma della struttura resistente, è opportuno incrementare l’incurvamento 
dell’arco. 
2
 Per approfondimenti v. PIZZETTI - ZORGNO TRISCIUOGLIO 1980, pp. 176-233. 
Parte I  La resistenza per forma                              
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2. Le strutture resistenti per forma. 
 
Le strutture resistenti per forma possono essere classificate in base alle loro 
peculiarità geometriche ed alla loro resistenza caratteristica, a compressione o a 
trazione. Prima di tutto le strutture resistenti per forma possono estendersi nel 
piano o nello spazio. Rientrano tra le strutture piane archi e funi, mentre tra quelle 
spaziali cupole e volte, sottili e non, e le tensostrutture. Le superfici spaziali 
possono essere ulteriormente suddivise in base alle loro caratteristiche di curvatura. 
Le superfici sinclastiche hanno curvatura gaussiana (prodotto delle curvature 
principali) positiva, in quanto formate da due curve con curvatura concorde, come 
le cupole. Le superfici anticlastiche invece hanno curvatura gaussiana negativa in 
quanto formate da due curve con curvatura discorde, come i paraboloidi iperbolici 
e gli iperboloidi di rivoluzione. Infine vi sono le superfici con curvatura gaussiana 
nulla, formate da una sola curva, come i coni ed i cilindri.  
Per quanto riguarda 
la resistenza caratteristica, le 
strutture possono lavorare a 
compressione o a trazione. 
Nel primo caso ci si riferisce 
a strutture con concavità 
rivolta verso il basso quali 
archi, volte e cupole, i cui 
materiali costituenti hanno 
una resistenza a 
compressione nettamente 
superiore rispetto a quella a 
trazione (ad esempio 
muratura e calcestruzzo); la 
spinta orizzontale centripeta 
all’imposta tenderà a 
comprimere la struttura 
(fig.3a). Nel secondo caso 
rientrano le tensostrutture, con concavità rivolta verso l’alto, costruite con materiali 
dotati di un’alta resistenza a trazione come i cavi d’acciaio; la spinta orizzontale 
centrifuga all’imposta farà tendere la struttura
1
 (fig.3b).  
                                                 
1
 Per approfondimenti v. PIZZETTI - ZORGNO TRISCIUOGLIO 1980, pp. 237-506. 
Fig. 3 – Nell’arco le spinte orizzontali tendono a 
comprimere la struttura (a), nella fune a tenderla (b). 
 La cupola in muratura  F. Gianola 
 
6
In generale, dal momento che la geometria delle volte, ed in particolare 
delle cupole, è semplice da definire in campo analitico, il loro studio tensionale 
risulta analogamente semplificato rispetto a quello delle tensostrutture. 
 
 
 
2.1. Arco e fune. 
 
Una fune appesa a due estremi 
e soggetta ad un determinato sistema 
di forze esterne assume una forma ben 
precisa; al variare dei carichi applicati 
ne varia inevitabilmente la forma. Si 
osservino per esempio le forme 
assunte da una fune appesa a due 
estremità e soggetta a differenti 
sistemi di forze esterne (fig.4)
1
: a) 
priva di peso proprio, con carico 
uniformemente distribuito lungo la 
sua proiezione orizzontale; b) dotata 
di peso proprio, cioè un carico 
uniformemente distribuito lungo lo 
sviluppo della fune; c) priva di peso 
proprio, con l’applicazione di forze 
esterne concentrate. In tutti e tre i casi 
la fune sarà soggetta ad un regime di 
pura trazione, non resistendo né a 
compressione né a flessione per le 
proprietà intrinseche del materiale, ma 
assumerà andamenti differenti: nel 
primo caso parabolico, nel secondo a 
catenaria (con un abbassamento del 
punto centrale inferiore rispetto a 
quello rilevato nell’andamento 
parabolico), nel terzo a linea spezzata 
                                                 
1
 PIZZETTI – ZORGNO TRISCIUOGLIO 1980, p. 196. 
Fig. 4 – Gli andamenti assunti da una fune
soggetta a carichi differenti.  
Parte I  La resistenza per forma                              
7
secondo una geometria detta poligono funicolare
1
.  
 
Ribaltando la geometria assunta dalla fune rispetto all’orizzontale si ottiene 
la linea degli sforzi (di compressione), o curva delle pressioni, cui viene sottoposto 
un arco se soggetto allo stesso sistema di forze esterne. Dato un sistema di forze 
concentrate applicate ad un arco il metodo per ricavare tale curva delle pressioni, 
che corrisponde al ribaltamento della geometria assunta da una fune soggetta al 
medesimo sistema di carichi, è il seguente (fig.5). 
 
a)  Si consideri una fune appesa a due estremità A e B, priva di peso proprio e 
soggetta ad un sistema di tre generiche forze esterne concentrate F
1
, F
2
, F
3
.  
 
b)  Si riportino le forze una dopo l’altra nell’ordine in cui vengono applicate, in 
modo che la testa dell’antecedente tocchi la coda della successiva. Si individui 
un polo P, preso arbitrariamente nel piano con ∞
2
 possibilità di scelta e si 
traccino le congiungenti a, b, c, d delle estremità delle forze con il polo.  
 
c)  Si scelga un qualunque punto C appartenente alla verticale passante per A 
(dovendolo individuare su una linea l’indeterminazione aumenta di un grado, 
per cui si passa da ∞
2
 a ∞
3
 possibili poligoni funicolari) e da questo si tracci 
una parallela alla retta a. Nel punto in cui a interseca la retta d’azione di F
1
 si 
tracci una parallela a b, e così via fino ad intersecare la verticale passante per B 
e completare il poligono funicolare. 
 
Per uno stesso sistema di forze dunque si possano tracciare ∞
3
 poligoni 
funicolari, in funzione delle due coordinate del polo nello spazio e dalla posizione 
di un lato del poligono funicolare
2
. Determinando una delle tre condizioni suddette 
si elimina un grado d’indeterminazione e si passa ad avere ∞
2
 poligoni funicolari, 
                                                 
1
 In realtà anche nei casi a) e b) sarebbe lecito utilizzare questo termine ma non risulta immediato 
definire poligono una linea curva come la catenaria o la parabola, pur essendo chiaro che tale linea 
curva è costituita dalla successione di infiniti segmenti di linea retta di dimensioni piccolissime. In 
questa trattazione il termine poligono funicolare verrà utilizzato per definire I) la geometria assunta 
da una fune soggetta a carichi esterni concentrati e non o al solo peso proprio; II) il poligono di 
costruzione che compare in fig. 5b. I termini curva delle pressioni e linea degli sforzi verranno invece 
utilizzati per indicare la geometria ricavata attraverso il ribaltamento del poligono funicolare 
(nell’accezione a)) rispetto all’orizzontale. 
2
 In maniera corrispondente la forma assunta dalla fune varia in funzione a) della sua lunghezza; b) 
della distanza verticale relativa tra le estremità; c) della sua collocazione nello spazio. 
 La cupola in muratura  F. Gianola 
 
8
determinandone due si passa ad averne ∞
1
 e determinandole tutte se ne individua 
uno solo
1
.  
Di questi ∞
3
 poligoni funicolari solo uno corrisponde al ribaltamento 
dell’effettiva curva delle pressioni dell’arco, che è una ed una sola. In merito a ciò, 
tralasciando di riportare il metodo attraverso cui individuare tale univoca curva 
delle pressioni, si può effettuare la seguente osservazione. Definita «forma ottimale 
di una struttura […] quella forma che è capace di assolvere il servizio strutturale 
con semplici sollecitazioni di trazione e di compressione
2
», la forma dell’arco di 
cui sopra si definirà ottimale se almeno una delle ∞
3
 ipotetiche curve delle 
pressioni derivanti dal ribaltamento degli ∞
3
 poligoni funicolari potrà essere 
                                                 
1
 Per approfondimenti v. PIZZETTI – ZORGNO TRISCIUOGLIO 1980, pp. 195-200. 
2
 PIZZETTI – ZORGNO TRISCIUOGLIO 1980, p.347. 
Fig. 5 – La costruzione del poligono funicolare e della curva delle pressioni. 
Parte I  La resistenza per forma                              
9
sovrapposta alla sua direttrice. Nel caso in cui non esista almeno un poligono 
funicolare il cui ribaltamento sia interno al profilo dell’arco, questo non assolverà 
alla sua funzione di trasmissione dei carichi in maniera ottimale, ma comparirà 
necessariamente la sollecitazione di flessione. 
 
 
 
2.2. Superficie curva
1
. 
 
Secondo la precedente definizione di ottimale, dato un sistema di carichi 
esterni nello spazio, la forma che deve assumere un guscio per assolvere alla sua 
funzione statica in maniera ottimale, cioè per essere sottoposto alle sole 
sollecitazioni di trazione e compressione, rimane indeterminata: «in effetti, per un 
dato sistema di carichi spaziali, infinite forme geometriche possono assolvere il 
compito di supporto e di servizio statico semplicemente con una adeguata 
organizzazione di sollecitazioni di trazione o di compressione, o di entrambe
2
». 
E’ per questa ragione che il concetto di ottimale deve assumere una 
connotazione differente nel momento in cui ci si riferisce alle superfici curve nello 
spazio. La forma ottimale non sarà più individuabile in base ai carichi bensì in base 
alla quantità di lavoro di deformazione compiuto, che deve essere minima
3
, ed alle 
sollecitazione presenti, che devono essere di solo sforzo normale. Ciò che è 
importante sottolineare è che, allontanandosi da questa forma ottimale, varieranno 
entità e segno degli sforzi normali ma non nascerà mai momento
4
, al contrario di 
ciò che accade nell’arco in cui scostandosi dalla forma ottimale compare la 
sollecitazione di flessione.  
Si può dunque dedurre che la ricerca di una superficie degli sforzi passante 
all’interno della lastra non è così importante come nel caso degli archi, dal 
momento che l’inesistenza di una superficie simile non determina l’insorgere della 
sollecitazione di flessione. Parallelamente un medesimo guscio potrà sopportare 
differenti sistemi di carichi esterni senza che compaia momento. 
                                                 
1
 D’ora in poi verranno esaminate esclusivamente le superfici a doppia curvatura con curvatura 
gaussiana positiva. Si eliminano in questo modo dall’analisi i cilindri, i coni, i paraboloidi iperbolici e 
gli iperboloidi di rivoluzione, considerando solo le cupole. 
2
 PIZZETTI – ZORGNO TRISCIUOGLIO 1980, p. 347. 
3
 In base ai Teoremi di Minimo Energetico. 
4
 Almeno a livello teorico, poiché in pratica entrano in gioco altri fattori di cui si parlerà nei par.2.2.1 
e 2.2.2.2.c.