L'analisi statistica spaziale e lo studio dei problemi di inquinamento ambientale

 2
importanti per la rappresentazione dei dati spaziali: il metodo areale e il metodo 
delle distanze. 
All’interno del secondo capitolo abbiamo introdotto l’importante concetto di 
contiguit  spaziale, da cui derivano tutte le misur e di autocorrelazione che 
abbiamo presentato. 
Nel terzo capitolo abbiamo studiato i modelli temporali AR(m), MA(q) e 
ARMA(m,q) per le serie storiche, i modelli spaziali autoregressivi di ordine (l), a 
media mobile di ordine (p) e autoregressivi a media mobile di ordine (l,p) per le 
serie spaziali, e quelli spazio-temporali STAR(l,m), STMA(p,q)  e 
STARMA(l,m;p,q) che ci consentono di analizzare sia l’aspetto diffusivo 
(spaziale) che quello evolutivo (temporale) del fenomeno considerato: 
l’inquinamento. 
Concluderemo la tesi nel quarto capitolo con un esempio di analisi di dati 
relativi all’inquinamento atmosferico, che abbiamo ricavato dai bollettini che 
giornalmente vengono pubblicati dall’ARPAT (Azienda Regionale per la 
Protezione dell’Ambiente, Toscana). In particolare effettueremo un’analisi 
dell’autocorrelazione spaziale calcolando l’indice del conteggio dei legami e gli 
indici di Moran e di Geary, ovvero due degli indici piø utilizzati in un campo di 
indagine come quello prescelto. 
Al termine del nostro lavoro cercheremo di realizzare una previsione di tipo 
temporale sull’inquinamento atmosferico (inquinante 10PM ) del comune di 
Capannori; realizzeremo inoltre una previsione spaziale (inquinante CO ) sui 
comuni di Camaiore, Borgo a Mozzano e Montecarlo dove non sono presenti 
centraline di rilevamento partendo dalle rilevazioni effettuate nei comuni di 
Viareggio, Lucca, Capannori e Porcari ed utilizzando i diversi criteri di 
contiguit  presi in esame con i primi capitoli dell a tesi. 
 
 
 
 
 
 3
CAPITOLO 1 
 
 
LE CARATTERISTICHE DEI DATI SPAZIALI 
 
 
 
1.1 Rappresentazione dei dati spaziali 
 
I dati statistici che riguardano un qualsiasi fenomeno che si manifesta su un 
territorio si distinguono tra loro a seconda della natura delle tre unit  di 
rilevazione che possono essere impiegate: i punti, le linee, le aree (o poligoni). 
Esempi di dati che vengono rilevati mediante punti potrebbero essere le 
precipitazioni rilevate nelle stazioni metereologiche dislocate su un determinato 
territorio. 
Le linee invece, vengono impiegate ad esempio quando facciamo riferimento al 
viaggio di alcuni turisti che devono seguire una determinata linea di trasporto. 
Infine le aree, possono essere utilizzate ad esempio quando vogliamo 
rappresentare i dati relativi alla popolazione di una regione.  
     Quando utilizziamo la tipologia dei dati areali, dobbiamo distinguere 
ulteriormente i dati a seconda che vengano collocati in griglie regolari o 
irregolari (Arbia, 1993). 
Per tutte queste situazioni Ł utile far riferimento ad alcuni processi che 
vengono definiti processi stocastici, i quali vengono impiegati per ricercare e 
spiegare quelle particolari configurazioni assunte dalle unit  di una stessa specie, 
sui territori nei quali le unit  sono insediate iso latamente o a gruppi. In questo 
tipo di analisi (pattern analisys) una configurazione spaziale pu  essere 
 4
rappresentata da un insieme di punti o gruppi di punti, da linee che congiungono 
tali punti, da aree formate intorno ad essi (Lunetta, 1984). 
Negli ultimi dieci anni, si Ł assistito ad una vera e propria rivoluzione 
nell’approccio ai problemi che emergono nell’ambito spaziale grazie alla sempre 
maggior diffusione delle tecnologie informatiche, in particolare con 
l’introduzione del GIS (Geographical Information Systems). Il GIS Ł un moderno 
strumento (un software) a cui Ł stato assegnato il compito, sicuramente non 
semplice, di recuperare grandi quantit  di dati sta tistici, di analizzarli ed infine di 
rappresentarli su di una mappa. Parallelamente alla rapida crescita delle 
tecnologie GIS si stanno sviluppando sempre piø le tecniche di analisi statistica 
spaziale. Il GIS viene oggi impiegato oltre che per analizzare dati geografici, 
anche nel campo dei trasporti, dell’allocazione dei posti di lavoro, nella 
valutazione dell’impatto ambientale di determinati fenomeni, quale ad esempio lo 
scarico di materiali altamente inquinanti in un corso d’acqua. 
Sicuramente il GIS rappresenta uno strumento utile in campo statistico, grazie 
al fatto che con tale strumento siamo  in grado di avere delle informazioni sulla 
posizione degli individui all’interno dello spazio considerato. Con il continuo 
progredire delle tecnologie non solo informatiche, ma anche statistiche, Ł facile 
prevedere che le possibilit  di applicazione del GI S si amplieranno notevolmente 
nel corso dei prossimi anni (Arbia, 1993).  
 
 
1.2 Modelli probabilistici che spiegano le configurazioni di 
punti 
 
I modelli che spiegano le configurazioni di punti analizzano la tendenza 
all’aggregazione di unit  di una stessa specie. Il vantaggio della rappresentazione 
mediante punti Ł che, scegliendo una scala appropriata, qualsiasi oggetto, anche i 
piø grandi, possono essere rappresentati mediante punti. Non dobbiamo per  mai 
perdere di vista il fatto che questi ultimi costituiscono sempre e comunque 
un’approssimazione della realt  (Upton e Fingleton, 1985). 
 5
Per spiegare una configurazione di punti vengono utilizzati i metodi messi a 
punto per l’analisi dei processi stocastici. Un processo stocastico (ad esempio 
quello di Poisson) nasce dall’esigenza di descrivere un fenomeno che si evolve 
nel tempo e la cui evoluzione Ł regolata da leggi aleatorie. Pu  essere quindi 
definito come una famiglia di variabili aleatorie{ }TtX
t
∈; , dove t rappresenta i 
diversi istanti in cui si analizza il fenomeno, mentre T Ł l’insieme dei possibili 
valori. Si dice che il processo stocastico Ł a parametro discreto se Ł discreto 
l’insieme T, a parametro continuo se invece l’insieme T Ł continuo (Daboni, 
1970). 
In campo ecologico una prima distinzione tra i modelli probabilistici che sono 
in grado di spiegare una configurazione di punti Ł quella tra: 
- modelli di distribuzione casuale; 
- modelli di tipo aggregato o contagioso (Scossiroli, Clementel, Scossiroli 1974). 
 
1.2.1  Modelli di distribuzione casuale 
 
All’interno dei modelli di distribuzione casuale quelli che vengono 
maggiormente utilizzati in campo ambientale sono sicuramente il modello 
binomiale e il modello di Poisson. 
Si dice che una variabile casuale discreta X ha una distribuzione binomiale se 
la sua funzione di massa di probabilit  Ł data dall’espressione: 
xnx pp
x
n
pnxf −−






= )1(),;( ,          [1.1] 
dove n Ł un numero intero (n>1) che rappresenta l’ampiezza del campione 
considerato all’interno del quale si vuole verificare la presenza o l’assenza di una 
determinata tipologia di inquinante. Con x indichiamo invece il numero di volte 
in cui nelle n prove effettuate Ł comparso il fenomeno che stiamo considerando. 
Per ogni singola unit  campionaria considerata avre mo una probabilit  p che essa 
contenga quel tipo di inquinante, ed una probabilit  q=1-p che al contrario non lo 
contenga. 
 6
Per una variabile aleatoria X che segua una distribuzione binomiale si ha che 
media e varianza sono rispettivamente date da E(X)=np e var(X)=npq. E’ inoltre 
interessante notare che se consideriamo un campione di dimensione unitaria 
(quindi n=1), la distribuzione binomiale diventa la distribuzione di Bernoulli. 
Passiamo ora al modello di Poisson. Si dice che una variabile casuale discreta 
X ha una distribuzione di Poisson se la sua funzione di massa di probabilit  Ł 
data dall’espressione: 
!
);(
x
xf
xλ
λ
λ−
=


,         [1.2] 
dove il parametro λ Ł una costante positiva e la variabile x pu  assumere i valori 
0,1,2,......,∞. 
PoichØ i valori che pu  assumere tale variabile x sono tutti gli interi positivi, ogni 
fenomeno casuale che richieda un qualche tipo di conteggio degli avvenimenti 
indipendenti che avvengono nel tempo o nello spazio pu  essere rappresentato 
mediante il modello di Poisson (Mood, Graybill, Boes, 1997). Tale variabile Ł 
particolarmente indicata per descrivere il numero aleatorio di "arrivi", ossia di 
manifestazioni di un certo fenomeno all’interno di un certo intervallo I (ad 
esempio il numero di inquinanti presenti nell’intervallo considerato), dove con λ 
indichiamo il numero medio teorico di "arrivi" all’interno di I. 
Il modello di Poisson fornisce proprio la probabilit  che si verifichino x (ad 
esempio che si rilevino x inquinanti) eventi in ciascuna area del territorio. 
Consideriamo una regione con superficie A, all’interno della quale vi siano un 
certo numero di punti sparsi casualmente; immaginiamo inoltre che la regione sia 
composta da un ampio numero N di sub-regioni ognuna delle quali con superficie  
A/N.  
    La probabilit  di osservare x punti (ad esempio  x inquinanti indipendenti) in 
ciascuna area in cui abbiamo scomposto la nostra regione Ł data dall’espressione 
sopra illustrata nell’equazione [1.2]. 
Il modello di Poisson si basa in definitiva su due ipotesi: 
- la casualit  della distribuzione dei punti, ossia  i punti si possono trovare in 
qualsiasi delle N sub-regioni con la stessa probabilit ; 
 7
- l’indipendenza, ossia i punti (ad esempio le varie tipologie di  inquinanti) che 
si trovano all’interno delle diverse sub-regioni sono tra loro indipendenti. 
Una importante propriet  del modello poissoniano Ł data dal fatto che il valore 
della media E(X) Ł uguale a quello della varianza var(X) e coincide con il valore 
del parametro λ.  
Tale modello Ł spesso considerato come la legge teorica di distribuzione degli 
eventi rari, ossia di quegli eventi che hanno una piccola probabilit  di  verificarsi. 
 
1.2.2  Modelli di distribuzione di tipo aggregato (o di contagio) 
 
Non Ł possibile pensare che il comportamento di una determinata specie 
animale o vegetale, o di un determinato fenomeno come ad esempio 
l’inquinamento sia totalmente indipendente dall’ambiente in cui ci si trova. Quasi 
sempre infatti tali determinazioni risultano influenzate da individui della stessa 
specie o da fenomeni che si sono manifestati in aree spazialmente vicine 
(Scossiroli, Clementel, Scossiroli, 1974). 
Forte Ł la relazione esistente tra gli individui e il contesto ambientale del quale 
fanno parte; per tale motivo i modelli di distribuzione casuale affrontati nel 
paragrafo precedente solo raramente sono in grado di descrivere esattamente la 
realt . Sono state a tal fine sviluppate particolar i distribuzioni che vengono 
definite come aggregate o di contagio per il fatto che gli individui o i fenomeni 
vengono rilevati in gruppi o aggregati. 
Un modello teorico che ha una certa utilit  in camp o ambientale Ł il modello 
binomiale negativo con il quale ogni punto che viene rilevato rappresenta un 
gruppo di individui tra loro somiglianti. Si ha una sorta di contagio poichØ le 
unit  statistiche che presentano tra loro una qualc he relazione vengono inserite 
all’interno di uno stesso gruppo. 
Solitamente, la somiglianza si riduce al crescere della distanza tra le unit  
considerate. 
Si dice che una variabile casuale X ha distribuzione binomiale negativa se la 
sua funzione di massa di probabilit  Ł data da: 
 8
xrqp
x
rx
prxf 





 −+
=
1
),;( ,       [1.3] 
dove p Ł la probabilit  di avere un successo, q=1-p Ł invece la probabilit  di 
avere un insuccesso, mentre r Ł il numero di successi. Con x=0,1,2...... 
indichiamo invece il numero di insuccessi che devono avere prima di  ottenere r  
successi. 
La distribuzione binomiale negativa Ł particolarmente utilizzata nei conteggi 
riguardanti la popolazione, nelle statistiche relative alla salute, nel settore 
ambientale, delle comunicazioni ed in altri conteggi simili. 
Viene inoltre spesso chiamata variabile casuale tempo d’attesa, poichŁ 
rappresenta il tempo (in termine di numero di insuccessi) che dobbiamo attendere 
per ottenere l’r-esimo successo. 
  
1.2.3 Modelli generalizzati 
 
Nell’analisi statistica spaziale esistono altri due modelli probabilistici che 
analizzano la formazione di configurazioni di punti, oltre a quelli gi  introdotti: i 
modelli generalizzati ed i modelli di vero contagio (Lunetta, 1984). 
Nei modelli generalizzati si vuole analizzare la formazione di agglomerati di 
insediamenti in alcune zone di un territorio. Supponiamo che su di un territorio 
preso in esame si svolgano 2 processi indipendenti: il primo riguarda la scelta 
delle zone di insediamento, il secondo lo sviluppo di agglomerati nelle zone 
prescelte. Se indichiamo con: 
- p(m) la probabilit  che vengano scelte m zone del  territorio; ogni zona del 
territorio Ł rappresentata da un punto; 
- p(x|m) la probabilit  che si sviluppino x insedia menti all’interno delle m zone 
considerate, 
avremo che la probabilit  di osservare x insediamen ti all’interno delle m zone 
sar  data da (Lunetta, 1984): 
∑
∞
=
=
0
)|()()(
m
mxpmpxp .         [1.4] 
 9
Nel caso particolare nel quale si supponga che la scelta della zona avvenga 
attraverso un processo poissoniano con parametro 1λ , avremo che la probabilit  
di scegliere m zone sar  data da: 
!
);(
1
1
1 m
mp
m λλ
λ
−
=


,       [1.5] 
con m=0,1,2..... 
Se all’interno di ciascuna zona gli insediamenti sono regolati anch’essi da un 
processo di Poisson con parametro 2λ , la probabilit  che nelle m zone scelte vi 
siano x insediamenti sar  data da: 
!
)(
)|;(
2
2
2
x
mmxp
mx λλ
λ
−
=


,         [1.6] 
con x=0,1,2..... 
In definitiva la probabilit  di rilevare x insediam enti sull’intero territorio sar  
data da: 
∑
∞
=
−−
=
0
21
!
)(
!
)(
21
m
mxm
x
em
m
e
xp
λλ λλ
,          [1.7] 
con x=0,1,2,..... 
L’inconveniente del modello generalizzato Ł che non sempre nella pratica la 
scelta di una zona viene necessariamente seguita dall’insediamento. 
 
1.2.4  Modelli di vero contagio 
 
Si parla di modelli di vero contagio quando le configurazioni spaziali di punti 
vengono studiate mediante schemi fondati esplicitamente su di una successione 
di stati attraverso i quali si ha nel tempo lo sviluppo della configurazione 
(Lunetta, 1984).  
Esempi di modelli di vero contagio sono le catene di Markov, le quali possono 
essere utili nello studio dell’evoluzione nel tempo della distribuzione spaziale di 
un fenomeno tra le diverse zone di un territorio. 
Consideriamo )(),.....,(),( 21 ntXtXtX variabili aleatorie ai diversi istanti 
nttt ,......,, 21  suscettibili di assumere N possibili determinazioni distinte 
 10
Ni xxxx ,.....,..., 21 . Supponiamo che la variabile )( ntX assuma il valore ix al 
verificarsi dell’evento inE , ossia al verificarsi delle i-esima delle N determinazioni 
possibili nell’istante nt .  
Possiamo a questo punto definire: 
 
{ }==∩=∩=∩== −−−−+ ))(()....)(())(())(/())((Pr 1122111 xtXxtXxtXxtXxtXob inininjn
 
= { }))(/()(Pr 1 injn xtXxtXob ==+ .         [1.8] 
 
     Interpretando gli istanti: nt come "presente", 121 ,.......,, −nttt  come "passato" e 
1+nt  come "futuro", possiamo concludere che il passato non ha alcuna influenza 
sul futuro sotto la condizione che il presente sia noto; in altre parole effettuare 
osservazioni sull’andamento temporale delle variabili casuali nei diversi istanti 
passati )(),.....(),( 121 −ntXtXtX , non ha alcun interesse ai fini della previsione 
dell’evoluzione futura )( 1+ntX , in quanto tutte le informazioni utili risultano 
essere contenute nel valore che la variabile casuale in esame ha assunto nel 
presente )( ntX . 
Tali considerazioni saranno valide e le possibili determinazioni delle variabili 
aleatorie )(),( 21 ++ nn tXtX ,...........saranno note qualora siano state assegnate: 
1)  la distribuzione iniziale di appartenenza del sistema agli  N stati; questa la 
indichiamo con il vettore [ ])(),.......(),.....2(),1( 11111 Naiaaaa = , dove 
{ }
i
xXobia == 11 Pr)(  ; 
2)  le probabilit  subordinate di transizione 
ji
p
,
dove i,j=1,2,.......,N, le quali 
possono essere raccolte in una matrice di transizione i cui elementi 
ji
p
,
rappresentano le probabilit  supposte costanti nel tempo che un’unit  
residente nella zona i-esima si trasferisca nell’unit  di tempo nella zona j-
esima (ad esempio una particolare tipologia di inquinante che si trasferisce da 
una zona ad un’altra). 
Tale matrice (P) Ł detta matrice stocastica di transizione (Daboni, 1970):  
 11
 
     
NNjNN
Nijii
N
ppp
ppp
pp
P
,,1,
,,1,
,11,1
.
.
....
..
= . 
 
Se indichiamo con 
t
a il vettore riga che raffigura la distribuzione delle unit  tra 
le diverse zone, si ha la relazione ricorrente: 
Paa
tt
=+1 .          [1.9] 
In tal modo con il trascorrere del tempo la distribuzione si evolve verso una 
forma che dipende dalla struttura della matrice di transizione e dalla distribuzione 
iniziale. 
 
1.2.5  Modello lineare di collocamento di oggetti in celle 
 
In questo modello scomponiamo  la nostra regione in diverse celle (sub-
regioni) all’interno delle quali abbiamo un certo numero di oggetti; assumiamo 
che il processo di collocazione di ogni oggetto all’interno di una cella sia 
omogeneo, ossia che non vi sia alcuna preferenza sistematica nella scelta della 
sub-regione; inoltre, supponiamo che la probabilit  che una cella contenente x 
oggetti al tempo t possa riceverne un altro nell’intervallo di tempo (t,t+dt) sia 
indipendente dal tempo. 
La probabilit  per ciascuna cella di ricevere un ul teriore oggetto sar  data da 
(Rogers, 1974): 
xtxf δαβ +=),( ,          [1.10] 
dove α misura l’area della cella, β Ł un fattore di proporzionalit  e αβ Ł la 
probabilit  iniziale che in una cella vuota si vada  a collocare un oggetto; δ indica 
invece la variazione di probabilit  che una cella c he contiene x oggetti ne possa 
accogliere un altro nell’intervallo di tempo (t,t+dt). 
 12
Se δ=0 la probabilit  che nella cella presa in esame ca da un ulteriore oggetto 
rimane costante e non varia al variare del numero di oggetti; avremo in questo 
caso αβ=),( txf . 
Se δ>0, la probabilit  che nel periodo (t,t+dt) si coll ochi nella cella in esame 
un ulteriore oggetto Ł un funzione crescente del numero di oggetti in essa 
presenti; in questa fattispecie ci sar  una certa a ttrazione a ricevere nuovi oggetti, 
di conseguenza la probabilit  di ricevere un ulteri ore oggetto tende ad aumentare 
ad aumentare del numero degli stessi.  
Se δ<0, la probabilit  che nella cella si collochi un u lteriore oggetto nel 
periodo (t,t+dt), Ł una funzione decrescente del numero di oggetti in essa 
presenti; in questo caso ci sar  una sorta di repul sione ad accogliere nuovi 
oggetti, di conseguenza la probabilit  di ricevere un ulteriore oggetto tende a 
ridursi all’aumentare del numero degli stessi. 
Situazioni particolari si hanno quando la probabilit  di accogliere un nuovo 
oggetto f(x,t)=1, in tal caso se δ>0 le celle accumulerebbero oggetti all’infinito; 
mentre, se f(x,t)=1 e δ<0, avremo che tutte le celle vengono ad avere uno stesso 
numero di oggetti (Zani, 1992). 
 
1.2.6  Modello non lineare di collocamento di oggetti in celle 
 
Per poter analizzare tale modello dobbiamo introdurre preliminarmente la 
distribuzione logistica. La sua funzione di densit  in una formulazione 
semplificata Ł data da (Zani, 1992): 
βαβα /)(1
1
),;(
−−+
=
x
xf


,          [1.11] 
dove i due parametri α  e β  possono assumere rispettivamente i valori -∞<α<+∞ 
e β>0. 
Prendiamo ora in esame un processo logistico avente la seguente funzione di 
densit  (Zani, 1992): 
x
txf
δ
γ
−+
=

1
1
),( , dove 1
1
−=
αβ
γ .       [1.12] 
 13
In questo modello non lineare α misura l’area della cella, β Ł un fattore di 
proporzionalit  e αβ Ł la probabilit  iniziale che in una cella vuota si vada a 
collocare un oggetto. δ indica invece il tasso di variazione della probabilit  che 
esprime: se δ>0 il grado di attrazione per la collocazione di nuovi oggetti 
all’interno della cella presa in esame; se δ<0 esprime il grado di repulsione alla 
ricezione di un nuovo oggetto; se δ=0 avremo αβ=),( txf , come nel caso lineare 
del paragrafo precedente, la probabilit  di una nuo va collocazione di un oggetto 
all’interno della cella presa in esame non varia al variare del numero di oggetti in 
essa presenti. 
Graficamente: 
se δ<0 per +∞→x , abbiamo che 0),( =txf  
       per 0→x , abbiamo che αβ
γ
=
+
=
1
1
),( txf  
 
Fig. 1.1 Rappresentazione della probabilit  di acco glimento di un nuovo oggetto 
nel caso δ <0. 
X 
Ci  dimostra come la probabilit  di accogliere un n uovo oggetto si riduce 
all’aumentare degli oggetti nella cella stessa; 
 
se δ>0 per +∞→x  abbiamo che 1),( =txf , 
 14
      per 0→x  abbiamo che αβ
γ
=
+
=
1
1
),( txf ; 
 
Fig. 1.2 Rappresentazione della probabilit  di acco glimento di un nuovo oggetto 
nel caso δ >0. 
X 
Quindi se δ>0 la probabilit  che nella cella che contiene gi  x oggetti ne venga 
inserito un altro aumenta all’aumentare del numero di  oggetti in essa presenti. 
Il processo non lineare ha l’enorme vantaggio che esso non si arresta, a meno 
che non vengano posti dei vincoli; una possibile tipologia di vincoli potrebbe 
essere ad esempio il numero massimo di oggetti collocabili in ciascuna delle 
celle nelle quali Ł scomposta la nostra regione di studio. 
 
 
1.3 Il metodo areale per l analisi dei dati spaziali 
 
Due dei metodi maggiormente impiegati nella pratica per l’analisi dei dati 
spaziali sono: 
-  il metodo areale; 
-  il metodo delle  distanze. 
Essi vengono utilizzati per studiare la conformit  della configurazione dei punti 
osservati ad un modello teorico. 
 15
Con il metodo areale (Upton e Fingleton, 1985) ci proponiamo di prevedere il 
numero di punti che cadono nelle sub-aree selezionate. Queste ultime sono 
generalmente rappresentate da quadrati (talvolta da circonferenze), che 
rappresentano un campione di area del territorio, all’interno del quale si rileva il 
numero di insediamenti. 
Una volta che i quadrati sono stati posizionati, Ł sufficiente contare il numero 
dei punti che cadono in ciascun quadrato, per poi costruire la distribuzione 
secondo il numero dei punti e quindi studiarne la distribuzione sul territorio. 
 
                            Fig. 1.3 Rappresentazione quadrati sparsi. 
 
 
                                           . 
 
 
 
In alcuni casi si pu  fare riferimento a dei quadra ti sparsi che possono talvolta 
essere parzialmente sovrapposti cosicchØ alcuni punti possono appartenere 
contemporaneamente a piø di un quadrato. In ogni caso, tali quadrati vengono 
utilizzati per fare una stima del numero degli individui che cadono in ciascuna 
regione di studio. Successivamente, la distribuzione delle aree in base al numero 
degli insediamenti osservati viene posta a confronto con quella teorica desunta 
dal modello. 
L’analisi mediante quadrati presenta per  alcuni difetti: 
- i risultati possono variare a seconda della dimensione del quadrato che 
prendiamo in considerazione; 
- i punti di ogni quadrato dovrebbero essere indipendenti dai punti di ogni altro. 
Ci  Ł vero solo quando la misura dei quadrati Ł tale da riuscire a contenere i 
gruppi di punti (clusters) che sono tra loro correlati; per ovviare a tale 
eventuale problema, Neyemann, Scott e Warren (Cliff e Ord, 1975), hanno 
sviluppato il modello detto centro satellite, caratterizzato da 3 aspetti: 
1)  si individuano inizialmente dei raggruppamenti centrali,