L'acustica delle sale da concerto

 
4 Cap.2 – L‟ACUSTICA NEGLI AMBIENTI CHIUSI 
 
Frequenza risonanza=   
c  =  Velocità del suono 
L  =  Lunghezza della sala 
W = Larghezza della sala  
 H = Altezza della sala 
p, q  e r sono numeri interi 0, 1, 2, 3, ecc. 
 
In un ambiente di forma rettangolare, si consideri di 
posizionare una sorgente tra due pareti riflettenti. L‟onda 
stazionaria che viene così generata si chiama modo 
assiale, poiché coinvolge le due pareti parallele, e può 
essere calcolata con la formula di Rayleigh, ponendo q e 
r = 0. Prendiamo ad esempio due pareti riflettenti ad una 
distanza di 5 metri; per il calcolo delle frequenze assiali la 
formula diventerà: 
 Frequenza risonanza=  =  = 34 hz 
 
Il valore di 34 hz rappresenta la frequenza fondamentale del 
modo assiale a cui sono associate le armoniche calcolate con 
p = 0, 1, 2, 3…, quindi 68, 102, 136 hz… 
La situazione è in realtà più complessa perché ciascun 
ambiente oltre al modo assiale, che coinvolge due pareti 
opposte, possiede anche i cosiddetti modi tangenziali, che 
conivolgono quattro superfici e quelli obliqui, che 
coinvolgono tutte e sei le pareti del locale (fig.2). 
Quindi associando il valore p con la lunghezza L del locale, il 
valore q con la larghezza W e r con l‟altezza H si può 
descrivere qualsiasi modo della stanza con tre cifre.  
Per esempio: 1, 0, 0 è il primo ordine del modo lunghezza; 0, 
1, 0, è il primo ordine del modo larghezza e 0, 0, 2 è il 
secondo ordine del modo altezza. Due zeri in un modo 
significano che è un modo assiale; uno zero stiamo 
considerando un modo tangenziale; se non ci sono zeri, tutte 
e tre le coppie delle pareti sono incluse e stiamo quindi 
considerando un modo obliquo. 
Occorre sottolineare che i modi, l‟assiale, il tangenziale e 
l‟obliquo, hanno energia diversa poiché le riflessioni di due 
pareti causano una perdita di energia ed anche perché è più 
Figura 2. Modi di risonanza di un locale 
parallelepipedo 
Figura 1. L’aria presente tra due muri 
paralleli e riflettenti può essere 
considerata come un sistema risonante, 
avente il primo modo f1 = 172/L e i 
successivi ai multipli 2f1, 3f1, ecc  
 
 
5 L‟acustica delle sale da concerto: il caso concreto della Sala del Buonumore del Conservatorio di Firenze 
grande la distanza percorsa. Due ricercatori, Morse e Bolt, affermano che il fattore energia è 1/2 per 
il modo assiale, 1/4 per quello tangenziale e 1/8 per l‟obliquo e quindi, per le basi di teoria 
dell‟energia acustica, se consideriamo l‟onda assiale uguale a 0, la tangenziale è -3 db e l‟obliqua è 
-6 db. 
Abbiamo detto che la distanza tra le pareti influenza le frequenze dei modi che vengono eccitati. 
L'insorgere dei modi è un fenomeno da tenere accuratamente sotto controllo, in quanto rischia di 
alterare pesantemente il contenuto in frequenza di un suono all'interno di un ambiente chiuso. La 
situazione ideale si ha quando l'ambiente che consideriamo ha una risposta piatta; questo significa 
che riproduce ogni frequenza con l'ampiezza con cui è stata effettivamente prodotta.  
Supponiamo che lungo la lunghezza della stanza in cui stiamo producendo suoni si generi un modo 
alla frequenza di risonanza di 200 hz. Ogni volta che il nostro suono originale conterrà, tra le altre, 
la frequenza di 200 hz, questa verrà rinforzata dal modo e dunque la nostra percezione dei 200 hz 
risulterà falsata. Se poi anche la larghezza della stanza è tale da generare un modo con frequenza di 
risonanza di 200 hz, l'azione dei due modi sarà ancora più accentuata. Se infine anche l'altezza della 
stanza genera lo stesso modo, avremo un suono in cui i 200 hz sovrastano tutte le altre frequenze. 
Naturalmente questa condizione dal punto di vista del suono è deleteria: la frequenza di 200 hz 
viene riprodotta nella stanza in maniera enfatizzata rispetto alle altre frequenze. 
Il problema più importante è quello di determinare quali delle moltissime frequenze modali del 
locale possono causare problemi. La distanza tra di esse è un fattore importante e esistono diversi 
criteri da seguire per evitare fenomeni di colorazione timbrica.  
Gilford afferma che un modo assiale distante più di 20 hz da quello successivo tende ad essere 
acusticamente isolato, cioè ad agire da solo, rispondendo ad una componente del segnale vicina alla 
sua frequenza e dandole un eccessivo aumento.  
Un altro criterio per la distanza modale è stato suggerito da Bonello, che prende in considerazione 
tutti e tre i tipi di modi, e non solo quello assiale. Egli afferma che è desiderabile che tutte le 
frequenze modali comprese in una banda critica siano distanziate di almeno il 5% del loro valore, al 
fine di evitare gli effetti di degenerazione dovuti a modi praticamente coincidenti. 
E‟ importante quindi prevedere la quantità e la distribuzione delle frequenze modali, in particolare 
rispetto alle proporzioni di un ambiente; sono da evitare proporzioni in cui i modi assiale, 
tangenziale e obliquo coincidono, come nel caso di un ambiente cubico.  
Supponiamo di differenziare le tre dimensioni della stanza e otterremo già che i tre modi assiali 
primari saranno distribuiti su tre frequenze diverse. Questa situazione migliora la precedente ma 
crea comunque delle forti disomogeneità sulle tre frequenze di risonanza. 
Studi di acustica fatti sulla distribuzione dei modi hanno portato alla proposta di rapporti tra le tre 
dimensioni di una stanza che permettono di avere distribuzioni abbastanza uniformi su tutto lo 
spettro di frequenza. Riportiamo di seguito alcune terne di rapporti: 
 
 
 
 
6 Cap.2 – L‟ACUSTICA NEGLI AMBIENTI CHIUSI 
in cui sono indicate le tre dimensioni di una stanza ossia altezza, lunghezza, larghezza. Questi valori 
sono applicabili in qualsiasi ordine alle dimensioni di un ambiente, purché il rapporto tra i valori 
venga conservato. E' da sottolineare che queste terne rappresentano solo un'indicazione basata su 
speculazioni matematiche e che non rappresentano leggi di validità generale. Per rendere veramente 
uniforme la distribuzione dei modi si possono progettare ambienti con pareti non parallele. In 
questo modo la distanza tra due pareti una di fronte all'altra varia con continuità e dunque i modi 
che vengono generati sono distribuiti più o meno uniformemente su un intero arco di frequenze. 
  
 
 
 
Figura 3. Modi assiali, tangenziali e obliqui di un locale parallelepipedo di 9,15 m x 7, 62 m  x 5,95 m 
 
 
Altro parametro molto interessante legato ai modi è quello della densità modale, ovvero la 
distribuzione dei modi al variare delle frequenze. 
Analiticamente non si fa altro che rappresentare sugli assi cartesiani i modi normali: quelli assiali 
sono rappresentati da punti giacenti sugli assi cartesiani, quelli tangenziali da punti su piani e i 
restanti sono gli obliqui. In questo modo, si può dividere lo spazio in tante celle elementari e 
studiare, per ognuna, il rapporto tra il suo volume e il numero di modi normali.  
Il numero N dei modi normali che possono essere eccitati in risonanza, facendo variare la frequenza 
da 0 a f, può essere calcolato dall‟espressione: 
 
7 L‟acustica delle sale da concerto: il caso concreto della Sala del Buonumore del Conservatorio di Firenze 
 
 
 
V= volume del parallelepipedo (m3) 
S = area del parallelepipedo (m2) 
L = perimetro del parallelepipedo (m) 
c = velocità del suono (m/ s) 
 
Ogni termine rappresenta rispettivamente i modi assiali, i modi tangenziali ed i modi obliqui. 
Differenziando questi tre termini, si trovano rispettivamente la densità dei modi normali per ogni 
tipologia di modo. Ad esempio la densità dei modi assiali di una banda unitaria, intorno alla 
frequenza f, è data da: 
 
 
da cui si ricava che la densità dei modi 
normali è direttamente proporzionale al 
volume della stanza e cresce con il quadrato 
della frequenza (fig.4).  
Esiste un limite teorico oltre il quale la 
descrizione del campo acustico all‟interno 
dell‟ambiente può divenire oggetto di una 
trattazione statistica; il numero di modi 
normali è così elevato che lo studio 
deterministico della struttura modale 
dell‟ambiente, oltre che essere onerosa, non 
offre informazioni più di una semplice 
descrizione del campo acustico in termini di 
valori medi di un numero ristretto di 
grandezze, in particolare energia sonora e 
tempo di riverberazione. 
A questo proposito, data la variabilità del comportamento del suono in funzione della lunghezza 
d‟onda, si è soliti dividere arbitrariamente lo spettro udibile in quattro regioni, A, B, C e D (fig.5-6): 
 
 Regione A: Comprende le frequenze più basse, al di sotto di 172/L, dove L è il lato più lungo 
del locale. Queste frequenze non vengono influenzate dalle risonanze del locale. 
 
 Regione B: Le dimensioni del locale sono paragonabili alla lunghezza d‟onda del suono in 
essa esercitato. Prevalgono le basse frequenze; si applica perfettamente il concetto di onda 
acustica e lo studio dei modi normali della stanza. Anticipando la grandezza “tempo di 
riverberazione”, la soglia tra regione B e C è approssimativamente calcolata tramite la 
cosiddetta frequenza di Schroeder: 
Figura 4. Numero dei modi normali di un locale al variare 
della frequenza 
 
 
8 Cap.2 – L‟ACUSTICA NEGLI AMBIENTI CHIUSI 
 
 
 
RT = Tempo di riverberazione (secondi) 
V = volume del parallelepipedo (m3) 
 
A titolo esemplificativo: una stanza        
di 54 m3 con RT = 1 sec, ha la 
frequenza di Schroeder a 272 hz; 
una di 400 m3 con RT = 2 sec, ha la 
fSchroeder posta più in basso a 141 hz, 
a conferma del fatto che sono 
soprattutto gli ambienti ristretti a 
soffrire di risonanze modali. 
 
 Regione D: Inizia in 
approssimazione alla frequenza di 4 
volte la fSchroeder  e continua fino al 
limite superiore di udibilità. E‟ la 
regioni con frequenze più elevate, 
dove prevalgono le riflessioni 
speculari e il concetto di raggio 
sonoro. In questa regione è possibile 
utilizzare l‟approccio geometrico e statistico. 
 
 Regione C: E‟ una regione di transizione nella quale non sono applicabili né il concetto di 
raggio né quello di onda, in quanto i suoni hanno lunghezze troppo brevi per l‟acustica delle 
onde e troppe elevate per quella dei raggi. Dominano i concetti di diffusione e diffrazione.   
 
 
Figura 6. Divisione dello spettro audio in quattro regioni delimitate dalle frequenze f0 , f1 e f2 
 
Figura 5. Il confine di ciascuna regione varia in relazione al 
tempo di riverberazione e al volume del locale  
(i valori del volume dell’ambiente sono espressi in piedi) 
 
9 L‟acustica delle sale da concerto: il caso concreto della Sala del Buonumore del Conservatorio di Firenze 
2.2  PRINCIPI DELL’ACUSTICA GEOMETRICA 
 
Nell‟assunzione che le dimensioni 
dell‟ambiente e delle pareti che lo 
delimitano siano molto più grandi 
della lunghezza d‟onda del suono, 
cioè nel limite delle alte frequenze, 
c‟è modo di ricorrere ad una 
descrizione del campo acustico molto 
più semplice, basata sui principi del 
tutto analoghi a quelli dell‟ottica 
geometrica. È con il metodo 
geometrico infatti che si può cercare 
di procedere ad una stima 
dell'andamento della prime 
riflessioni, che occorre cercare di 
controllare e prevedere, tornando 
queste utili all'ascolto. 
Questa condizione si può ritenere valida già per le frequenze intorno ai 1000 Hz, dove la lunghezza 
d‟onda è pari a 34 cm. Si  può allora sostituire il concetto di onda acustica con quello di raggio 
sonoro, inteso come una porzione di un‟onda sferica, sottesa da un angolo solido infinitesimo, che si 
origina dal punto in cui è posta la sorgente del suono. Il raggio sonoro è così caratterizzato da una 
direzione di propagazione, e da una velocità che corrisponde a quella del suono nel mezzo, ed è 
soggetto alle stesse leggi di propagazione di un raggio luminoso. 
Quando un suono incide su una parete e viene riflesso, il 
processo avviene in accordo alla legge della riflessione, 
analoga a quella valida in ottica. La legge di riflessione 
speculare può essere applicata anche a superfici curve, 
immaginando il raggio riflesso dal piano tangente al punto di 
incidenza.  
La riflessione di un raggio sonoro, che parte da un punto ed 
incide su una superficie piana, può essere seguita utilizzando 
il metodo delle immagini (fig.8). Se la sorgente è localizzata 
in S e ci interessa trovare il percorso che il suono riflesso 
compie per raggiungere il punto R, basta individuare la 
sorgente immagine S′ (cioè l‟immagine speculare di S rispetto 
al piano) e congiungere il punto S′ con R e, una volta individuato il punto di intersezione di questo 
segmento con il piano, congiungere questo punto con il punto S.  
Se la superficie di incidenza è perfettamente riflettente, ai raggi riflessi è associata un‟energia 
esattamente uguale a quella dei raggi incidenti. Più realisticamente accade che una parte più o meno 
grande dell‟energia incidente venga assorbita dalla superficie, in proporzione al coefficiente di 
assorbimento acustico  della superficie: ne deriva semplicemente il fatto che ai raggi riflessi viene 
Figura 8. Costruzione della sorgente 
immagine 
 
Figura 7. Ipotizzando L la lunghezza della parete, un suono 
viene riflesso se la sua lunghezza d’onda λ è < di L/2, diffuso se  
λ = L e trasmesso se λ è > di 2L. In ogni caso una parte più o 
meno grande dell’energia di un’onda viene assorbita 
 
 
10 Cap.2 – L‟ACUSTICA NEGLI AMBIENTI CHIUSI 
associata un‟energia sonora ridotta di un fattore (1- ), tenendo conto che il coefficiente di 
assorbimento acustico varia in funzione della frequenza. 
Nel caso in cui la parete abbia delle irregolarità superficiali, le cui dimensioni siano confrontabili 
con la lunghezza d‟onda del suono incidente, la legge della riflessione non è più rigorosamente 
valida perché il suono tenderà ad essere parzialmente o completamente diffuso, cioè distribuito in 
tutte le direzioni. La diffusione totale si ha quando la distribuzione direzionale del suono riflesso è 
del tutto indipendente dalla direzione di incidenza del suono. In questo caso la legge del coseno di 
Lambert, che stabilisce che l‟intensità del suono riflesso è proporzionale al coseno dell‟angolo sotto 
cui viene visto (Fig. 9, sinistra), fornisce una valida approssimazione delle distribuzione direzionale 
dell‟energia acustica, anche se nella maggior parte dei casi, la diffusione è sempre parziale (Fig. 9, 
destra). 
 
 
 
Figura 9. A sinistra: diffusione totale del suono incidente secondo la legge di Lambert.  
A destra: diffusione parziale del suono incidente, con il suono riflesso prevalentemente  
secondo un angolo uguale a quello di incidenza 
 
 
Questo può essere applicato per determinare dapprima le sorgenti immagine del primo ordine, cioè 
tutte le immagini speculari della sorgente reale 
relative a ciascuno dei piani che delimitano 
l‟ambiente. Fatto ciò, si possono determinare le 
sorgenti immagine del secondo ordine, cioè le 
immagini speculari delle sorgenti del primo 
ordine relative ai rimanenti piani (Figura 10). 
Procedendo così, è possibile tracciare il percorso 
del suono dopo un numero di riflessioni pari 
all‟ordine delle sorgenti immagine individuate.  
Il numero delle sorgenti dell‟ordine ennesimo si 
può calcolare con la seguente formula: 
 
 
 
 
Figura 10. Determinazione della sorgente 
immagine del secondo ordine