L’interpretazione teorica dei filtri morfologici nell’elaborazione delle immagini

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Un'immagine rappresenta una serie di misure su un ben preciso 
insieme di oggetti che complessivamente costituiscono una scena 
(sia essa un paesaggio, un radiogramma o una foto dal satellite). 
 
Tali misure vengono eseguite generalmente su porzioni di 
immagine (segmenti), evidenziando una caratteristica locale di 
interesse. Comunemente sono misure di intensità della luce 
riflessa dagli oggetti (misure di banda sullo spettro 
elettromagnetico nell'indagine radio-astronomica), oppure misure 
di riflessione di onde sonore (negli apparati ultrasonici biomedici e 
nell'indagine sismica) o ancora misure di concentrazione di 
determinati elementi chimici in un campione. 
 
Il gran numero di tecniche per l'elaborazione delle immagini è 
testimone della vastità dei settori di applicazione di tali tecniche e 
della particolarità delle soluzioni che di volta in volta devono essere 
adottate per risolvere un preciso problema. 
 
 
In questa tesi ci poniamo il problema di dare, per prima cosa, i 
principi di base per l’elaborazione delle immagini e i principali 
concetti teorici per consentire l’apprendimento del lavoro svolto. In 
seguito proponiamo una classificazione dei segnali e dei filtri che 
consentono il filtraggio morfologico per poi discutere le nozioni 
base per la rappresentazione degli insiemi morfologici. 
 
Esistono due tipi di filtri morfologici: i filtri lineari o di convoluzione 
e i filtri non lineari. 
Nel caso dei filtri lineari il valore d'intensità di un pixel è la media 
ponderata dell'intensità dei pixel compresi nella maschera, dove i 
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coefficienti per il calcolo della media sono caratteristici di ogni 
filtro. Esempi di filtri lineari sono: 
• filtro passa-basso (lowpass) o di sfocatura (blurring): riduce il 
rumore presente nelle immagini, ma tende a peggiorare la 
definizione dei dettagli, in particolare dei bordi 
• filtro passa-alto (highpass): evidenzia le differenze d'intensità 
tra i pixel, in particolare i contorni degli oggetti, riducendo gli 
altri dettagli a sfondo 
• filtro "sharpen": accentua i contorni, ma aumenta il rumore 
nell'immagine 
• filtro laplaciano: simile al filtro passa-alto 
• filtri di contorno orizzontale e verticale (horizontal and vertical 
edge): permettono l'individuazione di bordi con un 
orientamento particolare 
 
I filtri non lineari considerano sempre una matrice di pixel per 
operare la trasformazione, ma non utilizzano coefficienti: mediante 
metodi statistici o formule matematiche ricavano un nuovo valore 
per l'intensità del pixel considerato, a partire dall'insieme dei valori 
della matrice. 
 
Esempi di filtri non lineari sono: 
• filtro mediano: sostituisce il valore del pixel considerato con 
la mediana dei valori della matrice, riduce il rumore nelle 
immagini, ma preserva maggiormente i dettagli e i contorni 
del filtro di sfocatura 
• filtri di dilatazione ed erosione: il valore del pixel viene 
sostituito rispettivamente con il valore massimo e minimo 
della matrice, il primo espande gli oggetti presenti 
nell'immagine, il secondo li riduce. 
• filtri di differenziazione: sono basati sulla determinazione del 
gradiente dell'intensità  ed evidenziano i contorni. 
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I filtri morfologici sono considerati come la trasformazione dei 
segnali non lineari che modificano localmente le proprietà 
geometriche dei segnali stessi. Un metodo teorico per l’analisi delle 
immagini è dato dalla morfologia matematica. In questo caso, ogni 
segnale è visto come l’insieme nello spazio euclideo e i filtri 
morfologici sono l’insieme delle operazioni che trasformano il grafo 
del segnale contribuendo così alla descrizione quantitativa e 
all’analisi della struttura geometrica. Le operazioni più semplici 
sono date per i segnali binari come l’erosione, la dilatazione, 
l’apertura e la chiusura. I filtri di erosione e di dilatazione sono 
espandibili ai segnali di più livelli utilizzando lo stringimento o 
l’espansione dei segnali binari. 
 
Le applicazioni dei filtri morfologici per l’elaborazione delle 
immagini sono molto numerose. L’area di applicazione include 
l’elaborazione delle immagini a livello bio-medico, l’ispezione 
industriale automatizzata, il riconoscimento delle forme, il filtraggio 
non lineare, la riduzione del rumore, la rappresentazione del 
territorio, l’analisi della tessitura, e così via. Attualmente ci sono 
vari software che utilizzano i filtri morfologici, specialmente per i 
segnali binari, per estrarre delle informazioni direttamente da 
un’immagine. 
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1. MORFOLOGIA MATEMATICA 
 
 
1.1. Introduzione 
 
 
L'idea sulla quale si fonda la morfologia matematica è, 
essenzialmente, l'esame della struttura geometrica di un'immagine 
al fine di rendere evidenti le sue connessioni topologiche con un 
elemento di confronto; tali connessioni dipendono, oltre che dalla 
geometria della struttura da evidenziare, anche dalla sua posizione 
all'interno dell'immagine da esaminare. 
Solo recentemente la morfologia matematica ha acquisito dignità di 
disciplina autonoma nell'ambito dell'elaborazione delle immagini, il 
suo impianto matematico si fonda principalmente sulla teoria degli 
insiemi ed assume in sé concetti di algebra, topologia e geometria. 
Gli studi originari risalgono agli anni Sessanta e sono dovuti al 
lavoro di due ricercatori della Scuola Mineraria Parigina (Ecole 
Parisienne des Mines de Fontainebleau), George Matheron e Jean 
Serra, i quali si occupavano di tematiche legate alla petrografia e 
alla mineralogia. Attualmente l'impianto concettuale della 
morfologia matematica viene applicato con successo in un vasto 
ambito che comprende discipline quali la diagnostica medica e 
l'istologia, ed è presente come corredo di base dei più svariati 
pacchetti applicativi che si occupano di elaborazione delle 
immagini. 
Nel seguito verranno caratterizzati alcuni operatori di base della 
morfologia matematica. 
 
 
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1.2. Operatori elementari 
 
L'obiettivo della morfologia matematica è quello di estrarre 
informazioni topologiche e geometriche da un'immagine binaria 
AE⊆ , dove con E si indica l'insieme di tutte le possibili immagini 
di dimensione nota, attraverso l'utilizzo di un'immagine B, più 
piccola, detta elemento strutturante (structuring element); ciò si 
ottiene applicando degli operatori che agiscono su ogni punto h 
∈A. 
 
Le operazioni elementari della morfologia matematica sono la 
dilatazione (dilation), l'erosione (erosion), dette anche somma e 
sottrazione di Minkowski1, ed inoltre l'operatore Hit or Miss. 
 
Vengono frequentemente indicati come operatori elementari anche 
le trasformazioni di apertura (opening) e di chiusura (closing) 
ottenuti dall' opportuna combinazione delle trasformazioni di 
erosione e dilatazione. 
 
                                       
1 Hermann Minkowski ha studiato alle università di Berlino e di Königsberg. Ha fatto il dottorato 
nel 1885 a Königsberg. Ha insegnato a parecchie università, Bonn, Königsberg e Zurigo. A Zurigo, 
Einstein era un allievo di vari  corsi che ha dato.  
Minkowski ha accettato una sedia in 1902 all'università di Göttingen, in cui ha rimasto per il resto 
della sua vita.  
Entro 1907 Minkowski si è reso conto che il lavoro di Lorentz e di Einstein potrebbe essere capito il 
meglio in uno suo scritto sulla teoria  non-educlidea. Ha considerato lo spazio ed il tempo, che 
precedentemente si sono pensati per essere indipendenti, essere accoppiato insieme 'in una 
continuità di spazio-tempo 'four-dimensional’. Minkowski ha risolto un trattamento four-dimensional 
di electrodynamics 
Questa continuità di spazio-tempo ha fornito una struttura per tutto il lavoro matematico successivo 
nella relatività. Queste idee sono state usate da Albert Einstein nello sviluppare la teoria generale 
della relatività.  
Minkowski era principalmente interessato nella matematica pura ed ha passato molto del suo tempo 
che studia le forme quadratiche ed ha continuato le frazioni . Il suo successo più originale, tuttavia, 
era la sua 'geometria dei numeri '. 
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1.3. Operatori locali come filtri 
 
Un' immagine può essere definita come una funzione 
bidimensionale discreta f (n , m) che associa ad ogni punto di 
coordinate (n , m), appartenente al reticolo piano, un valore; tali 
valori sono indicativi della presenza o assenza di un oggetto 
rispetto allo sfondo (valori logici) oppure dei livelli di grigio o di 
colore (valori numerici) propri di ogni punto dell'immagine 
considerata. L'analisi di un'immagine tramite operatori locali (che 
agiscono su un punto traendo informazioni dal suo intorno) 
consiste in un filtraggio dell'informazione in esso contenuta per 
mezzo di opportune “immagini sonda" h (n , m), dimensionate 
rispetto all'intorno che si desidera analizzare. Ciò corrisponde a 
tutti gli effetti ad un filtraggio lineare bidimensionale, 
matematicamente rappresentato dalla convoluzione tra l'immagine 
d'ingresso e l'immagine filtro: 
 
 
(,)(,)(,)(,)(,)outinin
ijij
fnmfijhnimjfnimjhnm=−−=−−∑ ∑∑
 
 
 
tenendo conto del fatto che una qualunque funzione discreta 
bidimensionale può esprimersi nella forma: 
    
 
 
 
 
(,)(,)()().
ij
gnmgijnimjdd=−−∑∑
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In questo modo l'immagine può ritenersi costituita da un insieme 
di valori impulsivi (uno per ogni punto) e la convoluzione  tra 
l'immagine in ingresso fin(n , m) e la risposta impulsiva del filtro 
h(n , m) può spiegarsi in termini di traslazione del piano 
d'immagine nelle direzioni degli elementi del filtro e successiva 
somma dei prodotti. 
 
Similmente a quanto avviene per il filtraggio bidimensionale, si 
possono trasformare insiemi di punti utilizzando gli operatori della 
logica booleana. E questa è la via che si segue per implementare gli 
operatori elementari della morfologia matematica.