Ipparel: un software didattico per la classificazione affine delle coniche reali

Ipparel 
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Prefazione 
 
 
 
La prerogativa di questo elaborato sarà quella di presentare e di illustrare, in 
maniera semplice e dettagliata, la struttura di un software didattico “Ipparell”  
per la classificazione affine delle coniche reali, esplicitandone il supporto 
matematico ed algoritmico, le funzionalità e le caratteristiche computazionali .  
Per la varietà degli argomenti trattati e per semplificarne la lettura, tale 
elaborato è diviso in quattro capitoli . 
Il primo capitolo ha lo scopo di richiamare argomenti di Geometria affine e 
proiettiva necessari per affrontare la lettura dei  capitoli successivi, quali le 
applicazioni affini, le affinità, le omografie in uno spazio proiettivo e la 
classificazione proiettiva delle coniche.  
Nel secondo capitolo verrà esposto un nuovo argomento di natura algebrico-
lineare, ossia la classificazione dei polinomi di secondo grado in n indeterminate 
rispetto a sostituzioni affini delle variabili, che si concluderà con l’omonimo 
teorema di classificazione su un qualsiasi campo, da cui verranno dedotti e 
dimostrati due corollari sul campo complesso e reale. 
Nel terzo capitolo verranno rivisitati alcuni teoremi illustrati in quello 
precedente, nel caso particolare di polinomi di secondo grado in due 
indeterminate, passando cosi’ dai polinomi alle coniche  e quindi dal teorema di 
classificazione dei polinomi di secondo grado mediante sostituzioni affini non 
degeneri si passerà alla classificazione affine delle coniche in un qualsiasi 
campo, nel campo complesso ed in quello reale, dimostrando che ad ogni affinità 
del piano è associata in maniera naturale una sostituzione affine delle variabili 
non degenere e viceversa .
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Il quarto capitolo, diviso sostanzialmente in due parti, è del tutto dedicato alla 
presentazione ed alla descrizione di “Ipparel”. 
Nella prima parte si accennerà al linguaggio di programmazione, il linguaggio 
ad oggetti “C++” ed al compilatore utilizzato per la realizzazione di Ipparel , il 
C++ Builder 3 della Borland uno dei più innovativi strumenti di 
programmazione, che dotato di “ambiente di sviluppo integrato“ (IDE – 
Integrated Development Enveironment) ha reso possibile l’introduzione di una 
interfaccia utente di natura grafica,(con l’ introduzione di Form, button , label, 
bevel , etc)che verrà descritta in maniera dettagliata . 
Inoltre verranno descritte le caratteristiche computazionali e grafiche del 
software con particolare attenzione per la robustezza, l’efficienza e la 
“portabilità” . 
Nella seconda parte del quarto ed ultimo capitolo verrà  fornita la 
documentazione esterna della routine guida “ipparel”, specificandone lo scopo, 
le specifiche, le modalità d’uso, le restrizioni, ed un programma chiamante, 
esempio d ‘uso di tale routine. In tale documentazione inoltre verranno illustrati 
molti degli algoritmi utilizzati, riportandone qualcuno in “pascal-like”, ed una 
prova di esecuzione di natura numerico -grafica .
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Capitolo I 
Richiami di Geometria affine e proiettiva . 
 
1.1.  Applicazioni affini ed affinità .  
 
Definizione(1.1.1) 
Si definisce applicazione affine tra due spazi affini  A(S,V(K)) e  A(S',V'(K)) 
sullo stesso campo K ogni applicazione F:S S' tra i sostegni che conservi le 
combinazioni baricentriche delle coppie di punti, cioè soddisfi alla seguente 
proprietà: 
 
(1.1)                                     F(aA+bB) = aF(A)+bF(B) , 
 
per ogni coppia di punti A, B e per ogni coppia di scalari  a, b con a+b = 1. 
Denoteremo un'applicazione affine tra gli spazi affini A(S,V(K)) e A(S',V'(K)) 
con  
F:A(S,V(K)) A(S',V'(K)). 
 
Ovviamente l'applicazione identica id
S
 è un esempio di applicazione affine dello 
spazio affine A(S,V(K)) in sé.  
Una prima importante proprietà geometrica delle applicazioni affini è la seguente. 
 
Proposizione (1.1.1) 
Ogni applicazione affine F:S S' conserva i punti medi, cioè se M è il punto 
medio della coppia A, b allora F(M) è il punto medio della coppia F(A),F(B). Ne 
segue che se (A, B, C,D) è un parallelogramma allora (F(A),F(B),F(C),F(D)) è un 
parallelogramma. 
 
Da tale proposizione segue che ad ogni applicazione affine 
F:A(S,V(K)) A(S',V'(K)) è possibile associare un'applicazione f: V V' tra gli 
spazi direttori al modo seguente. Considerato un qualunque vettore u V e posto u 
= AB, si pone: 
 
(1.2)                                      f(u) = f(AB) = F(A)F(B) . 
 
Dalla Proposizione (1.1) segue che f non dipende dalla particolare 
rappresentazione u = AB scelta. Posto infatti u = AB = CD, si ha che (A, b,C,D) è 
un parallelogramma e quindi per la Proposizione (1.1) anche 
(F(A),F(B),F(C),F(D)) è un parallelogramma, cioè F(A)F(B) = F(C)F(D). Ne 
segue f(AB) = F(A)F(B) = F(C)F(D) = f(CD). 
L'applicazione  f: V V' si dirà parte vettoriale dell'applicazione affine 
F:A(S,V(K)) A(S',V'(K)).  
Dalla (1.2) si trae un'importante relazione tra un'applicazione affine e la sua parte 
vettoriale. Sussiste infatti la seguente identità: 
 
(1.3)                                               F(A+u) = F(A) + f(u) ,
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per ogni punto A e per ogni vettore libero u. 
Il legame tra le nozioni di applicazione affine e applicazione lineare è chiarito 
dalla seguente caratterizzazione delle applicazioni affini. 
 
 
Proposizione (1.1.2). 
 
 (i). Un'applicazione F:S S' tra i sostegni di due spazi affini A(S,V(K)) e 
A(S',V'(K)) è affine se, e soltanto se, conserva i punti medi (e quindi i 
parallelogrammi) e la sua parte vettoriale è lineare. 
 
(ii). Ogni applicazione affine F:S S' verifica l'identità: 
 
F(a
0
A
0
+a
1
A
1
+
…
+a
h
A
h
) = a
0
F(A
0
)+a
1
F(A
1
)+
…
+a
h
F(A
h
) , 
 
per ogni  h+1 punti A
0
, a
1
,…, a
h
 e per ogni h+1 scalari a
0
, a
1
,…, a
h
 tali che 
a
0
+a
1
+
…
+a
h
=1. 
 
Dimostrazione. 
 (i). Sia F:S S' affine e f:V V' la sua parte vettoriale. Considerati due vettori 
u,v e un punto A, in base alla (5.3) si ha: 
(F(A)+f(u))+f(v) = F(A+u)+f(v) = F(A+u+v) = F(A)+f(u+v), 
cioè f(u+v) = f(u)+f(v). Considerati inoltre un vettore u e uno scalare b e posto u 
= AB, si ha f(u) = F(A)F(B) e quindi, essendo 0 = AA, risulta: 
F(A)+f(bu) = F(A+bu) = F(A+(1-b)AA+bAB) = F((1-b)A+bB) =  
(1-b)F(A)+bF(B) = F(A)+(1-b)F(A)F(A)+bF(A)F(B) =  
F(A)+bF(A)F(B) = F(A)+bf(u), 
ovvero f(bu) = bf(u). Supponiamo inversamente che F:S S' conservi i punti medi 
(onde si può definire la sua parte vettoriale) e che la sua parte vettoriale f:V V' 
sia lineare. In base alla (5.3) e alla linearità di f, per ogni coppia di punti A, B e 
per coppia di scalari  a, b tali che a+b = 1, risulta allora: 
F(aA+bB) = F(A+aAA+bAB) = F(A) + f(aAA+bAB) = 
F(A) + af(AA) + bf(AB)
 
= F(A) + bf(AB)
 
= 
F(A) + bF(A)F(B) = F(A) + aF(A)F(A) + bF(A)F(B) = 
aF(A) + bF(B), 
ovvero F è affine. 
 
(ii). Si ha: 
F(a
0
A
0
+a
1
A
1
+
…
+a
h
A
h
) = F(A
0
+a
0
A
0
A
0
+a
1
A
0
A
1
+
…
+a
h
A
0
A
h
) = 
F(A
0
) + a
0
f(A
0
A
0
)+a
1
f(A
0
A
1
)+
…
+a
h
f(A
0
A
h
) = 
F(A
0
) + a
0
F(A
0
)F(A
0
)+a
1
F(A
0
)F(A
1
)+
…
+a
h
F(A
0
)F(A
h
) = 
a
0
F(A
0
) +a
1
F(A
1
)+
…
+a
h
F(A
h
).
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In analogia al caso vettoriale sussiste il seguente teorema di esistenza e unicità. 
 
Proposizione (1.1.3). 
 
Considerati due spazi affini A
n
(S,V
n
(K)) e A(S',V'(K)), il primo dei quali di 
dimensione finita n, e fissati un riferimento baricentrico (A
0
, a
1
,…, a
n
) in 
A
n
(S,V
n
(K)) e una (n+1)-upla ordinata (A'
0
, a'
1
,…, a'
n
) di punti in  A(S',V'(K)), 
esiste un'unica applicazione affine F:A(S,V(K)) A(S',V'(K)) tale che F(A
i
) = A'
i
 
per ogni  i=0,1,…,n. 
 
Dimostrazione.  
Denotate con (x
0
,…,x
n
) le coordinate baricentriche di un punto P nel riferimento 
baricentrico (A
0
, a
1
,…, a
n
) di A
n
(S,V
n
(K)), ovvero l'unica (n+1)-upla di scalari 
tale che 


n
0 i
i x
= 1 e P =


n
0 i
i i A x
 , sia F:S S' l'applicazione definita ponendo  
F(P) =


n
0 i
i i ' A x
.  
Risulta ovviamente F(A
i
) = A'
i
 e quindi F(


n
0 i
i i A x
) =


n
0 i
i
)
A
(
F x
i
, cioè F è 
un'applicazione affine verificante le condizioni dell'enunciato. Se inoltre G:S S' 
è un'altra applicazione affine tale che G(A
i
) = A'
i
, si ha  
G(P) = G(


n
0 i
i i A x
) =


n
0 i
i
)
A
(
G x
i
  = 


n
0 i
i
)
A
(
F x
i
 =F(


n
0 i
i i A x
) = F(P).

 
 
Definizione(1.1.2)  
 
Un'applicazione affine F:A(S,V(K)) A(S',V'(K)) biettiva si dice affinità.  
Se F:A(S,V(K)) A(S',V'(K)) è un'affinità, gli spazi affini A(S,V(K)) e 
A(S',V'(K)) si dicono isomorfi. Per indicare che due spazi affini sono isomorfi 
useremo il simbolo A(S,V(K)) A(S',V'(K)). 
 
 
Sussistono le seguenti proprietà. 
Proposizione (1.1.3). 
 (i).La composta di due applicazioni affini 
F:A(S,V(K)) A(S',V'(K))            e             G : A(S',V'(K)) A(S",V"(K)) 
      di parti vettoriali f e g è un'applicazione affine di parte vettoriale g  f. 
(ii) L'inversa di un'affinità F di parte vettoriale f è un'affinità di parte vettoriale f
1
.
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(iii)Un'applicazione affine è un'affinità se, e soltanto se, la sua parte vettoriale è 
un isomorfismo. Ne segue in particolare che la composta di due affinità è 
un'affinità. 
 
(iv)L'insieme Af(A(S,V(K))) delle affinità di uno spazio affine A(S,V(K)) è un 
sottogruppo del gruppo Sim(S) delle biezioni di S, detto gruppo strutturale dello 
spazio affine A(S,V(K)). 
 
(v)Fissati due spazi affini A(S,V(K)) e A(S',V'(K)), per ogni applicazione lineare 
f:V V' e per ogni coppia di punti  O S e O' S', l'applicazione F:S S' definita 
ponendo 
F(P) = O' + f(OP)  
 
   è l'unica applicazione affine  di  parte vettoriale f e tale che F(O) = O'. 
 
(vi) L'applicazione  

:F Af(A(S,V(K))) f GL(V(K)), 
 
che associa ad ogni affinità F la sua parte vettoriale f, è un epimorfismo tra gruppi 
e  
 
Tr(A(S,V(K))) = Ker  , 
 
 ovvero le traslazioni sono tutte e sole le applicazioni affini di parte vettoriale 
identica. 
 
(vii) Tr(A(S,V(K))) è sottogruppo normale di Af(A(S,V(K))) e inoltre sussiste 
l'isomorfismo  
 
GL(V(K)) Af(A(S,V(K)))
/Tr(A(S,V(K))) 
. 
 
(viii) Due affinità F e G di A(S,V(K)) hanno stessa parte vettoriale se, e soltanto 
se, esiste una traslazione t
u
 tale che G = t
u 
o
 
F. 
 
Dimostrazione. 
 (i). Considerati due punti A e B e due scalari a, b tali che a+b=1, si ha  
  
        G
o
F(aA+bB) = G(F(aA+bB)) = G(aF(A)+bF(B)) = aG(F(A))+bG(F(B)) =    
        aG  F(A) + bG
 o
 F(B), 
 cioè G  F è affine. 
 Risulta inoltre: 
 G  F(A+u) = G(F(A)+f(u)) = G(F(A))+g(f(u)) = G  F(A) + g  f(u),
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ovvero g  f è la parte vettoriale di G  F.  
(ii). Sia ora F:S S' un'affinità di parte vettoriale f. Considerati due punti A' e B' 
di S', due scalari a, b tali che a+b=1 e posto A'=F(A), b'=F(B), risulta A=F
-1
(A'), 
b=F
-1
(B') e quindi  
F
-1
(aA'+bB') = F
-1
(aF(A)+bF(B)) = F
-1
(F(aA+bB)) = aA+bB = 
= aF
-1
(A')+bF
-1
(B'), 
cioè F
-1
 è applicazione affine.Denotata inoltre con g:V' V la parte vettoriale di 
F
-1
:S' S, per quanto già provato sopra l'applicazione g  f:V V è la parte 
vettoriale di F
-1
 F=id
S
 e quindi g  f = id
V
, ovvero g = f
-1
. 
 
(iii). Sia F:S S' un'applicazione affine di parte vettoriale f:V V'. Se F è affinità, 
in base alla (ii) si ha che f è un isomorfismo vettoriale. Sia inversamente f 
isomorfismo e proviamo che F è biettiva. Fissato infatti un punto O di S e posto 
O'=F(O), per ogni punto A' di S' sia u' = O'A' e u = f
-1
(u). Dalla (40.3) segue 
allora F(O+u) = O'+f(u) = O'+u' = A', cioè F è suriettiva. Proviamo che F è 
iniettiva. Supponiamo che esistano due punti A e B tali che  
F(A) = F(B). Posto u = OA e v = OB, si ha A = O+u e B = O+v e dalla (40.3) 
segue O'+f(u) = O'+f(v), onde f(u) = f(v) e quindi u = v, ovvero A=B, essendo f 
biettiva.   
 
(iv). L'asserto segue subito dalle proprietà (i) e (ii). 
 
(v). Considerata l'applicazione F:S S' definita ponendo F(P) = F(O+OP) = 
O'+f(OP), si ha f( OP) = O'F(P) e per ogni vettore u risulta inoltre F(O+u) = 
O'+f(u). Per ogni coppia di punti A e B eper ogni coppia di scalari a, b tali che 
a+b=1, si trae: 
F(aA+bB) = F(O+aOA+bOB) = O'+f(aOA+bOB) =  
O'+af(OA)+bf(OB) = O'+aO'F(A)+bO'F(B) = aF(A) + bF(B), 
cioè F è affine. Se G:S S' è un'altra applicazione affine verificante le ipotesi, per 
ogni punto P si ha  G(P) = G(O+OP) = G(O)+f(OP) = O'+f(OP) = F(P), cioè 
G=F. 
 
(vi). Dalla (i) segue ovviamente (G F) = (G)  (F) e quindi  è un 
omomorfismo tra gruppi. Fissato inoltre un'automorfismo f:V V e due punti O e 
O', l'applicazione affine F:S S definita come in (v) è un'affinità in base alla (iii) e 
la sua parte vettoriale è f. Ne segue che  è un epimorfismo tra gruppi. Proviamo 
infine che ker  = Tr(A(S,V(K))). Considerata una traslazione t
u
 e per ogni coppia 
di punti A e B posto A'=t
u
(A) = A+u e B'=t
u
(B) = B+u, si ha: 
 AB = AA'+A'B'+B'B = u+A'B'-u = A'B'. 
Ne segue che t
u
 conserva i parallelogrammi e la sua parte vettoriale è l'identità, 
cioè t
u
 ker e quindi Tr(A(S,V(K))) ker . Sia inversamente F un elemento di 
ker , cioè un'affinità di parte vettoriale l'identità di V. Considerato un punto O e 
posto O'=F(O) e u=OO', cioè F(O)=O+u, per ogni punto A si ha: