Inversione di sistemi e annullamento dell'uscita

2 Introduzioneegati e dimostrati degli algoritmi di inversione facendo riferimento anche al caso discreto.Nel quarto capitolo si e cercato di rendere piu comprensibili i metodi esposti in precedenzatramite degli esempi numerici.Inne nell'ultimo capitolo si verica, grazie all'uso di simulazioni al calcolatore, il realefunzionamento di tutta la teoria esposta.
Capitolo 2Sistemi SISO
2.1 Introduzione
In questo primo capitolo l'attenzione sara focalizzata, in particolare, sullo studio dellecondizioni iniziali di un sistema grazie alle quali e possibile determinare una classe diingressi tale da ottenere una determinata uscita. Per arontare queste problematichel'analisi comincera studiando sistemi SISO (Single Input Single Output), considerando ilcaso continuo ed evidenziando le dierenze tra sistemi tempo-varianti e tempo-invarianti.Come conseguenza della nalita dello studio si vedrache particolare attenzione verra dataalle tecniche per ottenere un sistema inverso. Intuitivamente un sistema e tale se messoin cascata con il sistema originale produce come propria uscita l'ingresso del sistemaoriginale.Verranno quindi ricavate delle tecniche per la costruzione dei vari sistemi inversi i qualisaranno poi utilizzati allo scopo di ottenere determinati ingressi per i sistemi originali.2.2 Sistemi SISO tempo-invariantiLa classe di sistemi tempo-invarianti che si considerera in seguito e quella uguale a:
4 Sistemi SISO
_x = Ax +Bu (2.1a)y = Cx+Du (2.1b)con u e y scalari, rispettivamente l'ingresso e l'uscita di uguale dimensione m, x e inveceil vettore di stato di dimensione n. Le varie matrici avranno dimensioni adeguate.Nel caso particolare di uscita nulla (y = 0), volendo trovare un'espressione che aiutia capire quando questo avviene bisogna trovare gli zeri della funzione di trasferimento.Utilizzando la trasformata di Laplace per la (2.1a) si ottiene
(sI  A)x^ = Bu^+ x(0) (2.2)che risolta per x^ e utilizzando la (2.1b) porta alla relazione ingresso/uscita
y = C(sI  A)1Bu^+Du^+ C(sI  A)1x(0): (2.3)Nel caso in cui fosse x(0) = 0 allora le relazioni ingresso/stato/uscita diventerebberox^ =(sI  A)1Bu^ (2.4a)y^ =[(C(sI  A)1B +D)]u^ (2.4b)Dalla (2.4a) e dalla (2.4b) si riescono a determinare con facilita le funzioni di trasferimentotra ingresso/stato e ingresso/uscita che sono rispettivamente (sIA)1B e C(sIA)1B+D. Poiche e noto che l'inversa di una matrice e data dal rapporto fra l'aggiunta e ildeterminante della matrice stessa, echiaro che i poli della funzione di trasferimento sonogli zeri del det(sI  A), cioe gli autovalori di A. Non vale comunque il viceversa, cipossono quindi essere autovalori di A che non sono poli. Se il sistema e controllabileallora la matrice n  n (B;AB;


;An1B) deve avere rango n. Si puo dimostrare chequesto evero se e solo se non esiste nessun vettore riga costante e non nullo H tale per cuiH(IsA)1B =0.Se il sistema e osservabile allora la matrice nn (C;CA; 


;CAn1)deve avere rango n. Si puo dimostrare che questo e vero se e solo se non esiste nessunvettore colonna costante e non nullo H tale per cui C(Is A)1H =0.
2.2 Sistemi SISO tempo-invarianti 5Teorema 2.2.1 Se u e y sono scalari e se il sistema e controllabile e osservabile, alloraogni autovalore di A e un polo di C(sI  A)1B + D di ordine uguale alla molteplicitadell'autovalore.Dim. Poiche il denominatore della funzione di trasferimento e il determinante di sI Aallora e ovvio che i poli devono essere autovalori di A e che nessun polo puo essere dimolteplicita minore di quella dell'autovalore associato. Se cos fosse allora il denominatorepotrebbe essere al massimo di grado n  1, contraddicendo alle ipotesi di controllabilitae osservabilitache impediscono la presenza di cancellazioni zero-polo.Conviene ottenere un'espressione migliore per trovare gli zeri di C(sI  A)1B + D.Derivando la (2.1b) e sostituendo la (2.1a) per eliminare _x si ottiene
y(0) = cx+ du(0) (2.5a)y(1) = cAx + cbu(0) + du(1) (2.5b)





 (2.5c)y(n) = cAnx + cA(n1)bu(0) + 


+ cbu(n1) + du(n): (2.5d)Ovviamente se i termini d; cb; :::; cAn1b sono tutti nulli allora l'uscita e indipendentedall'ingresso e la funzione di trasferimento enulla. Escludendo questo caso si denisconodue numeri  e q come segue
 = 8><>:0 se d 6=0i se d =0; cAi1b 6=0ecAjb =0per0  j <i 1
q1 = 8><>:d se  =0cA1b se  6=0dove  (detto ordine relativo) e la dierenza fra il grado del polinomio al numeratore equello al denominatore.Avendo denito questi parametri si puo vedere che
6 Sistemi SISO
u = qy()  qcAx (2.6)
la quale sostituita nella (2.1a) conduce al sistema
_x =(A bqcA)x + bqy() (2.7a)u = qcAx + qy() (2.7b)detto sistema inverso, in quanto produce come uscita u avendo in ingresso una oppor-tuna derivata, y(),diy.Nel dominio della frequenza si ottiene
u = qcA(sI  A+ bqcA)1bqsy + qsy (2.8)Da quanto detto prima si deduce che poiche gli zeri della funzione di trasferimento delsistema diretto y^=u^ sono i poli della funzione di trasferimento del sistema inverso u^=y^ equesti ultimi sono gli autovalori di A  bqcA, allora gli zeri del sistema originale sonoproprio questi autovalori. Si puo quindi scrivere la seguente identita
c(sI  A)1b+D = q1det(sI  A+ bqcA)sdet(sI  A) (2.9)la quale risulta essere molto conveniente in quanto non richiede l'inversione di alcunamatrice.Poiche il polinomio caratteristico di una matrice nn e di grado n allora la (2.9) mette inevidenza che i polinomi del numeratore e del denominatore sono rispettivamente di ordinen  e n.Per facilitare l'espressione del sistema inverso si utilizzano due teoremi, il primo dei qualidescrive la congurazione zeri-poli.
2.2 Sistemi SISO tempo-invarianti 7Teorema 2.2.2 . Nelle ipotesi che il sistema (2.1) sia controllabile e osservabile e che ue y siano scalari, cosicche la funzione di trasferimento C(sI  A)1B +D sia anch'essascalare, allora i poli della funzione di trasferimento sono gli autovalori di A di ordineuguale alla molteplicita del corrispondente autovalore. Gli zeri della funzione di trasferi-mento sono gli autovalori di A  bqcA, gli zeri non nulli sono dello stesso ordine dellamolteplicita del corrispondente autovalore e lo zero nell'origine e di ordine j   dove je la molteplicita dell'autovalore 0.Dim. La prima parte del teorema riferita ai poli e identica al teorema precedente. Pergli zeri il risultato si ricava dalla (2.9) e dal fatto che non ci sono fattori comuni franumeratore e denominatore data la controllabilita e l'osservabilita del sistema. Per avereun sistema inverso del primo ordine si deve moltiplicare la funzione di trasferimento pers e questo spiega perche la molteplicita dell'autovalore nell'origine e  volte maggioredell'ordine dello zero nell'origine.Teorema 2.2.3 . Il sistema inverso e controllabile se e solo se il sistema originale econtrollabile.Dim. Una matrice nn edirangon se e solo se non esiste un vettore riga non nullo H didimensione n tale per cui se H premoltiplica la matrice fornisce zero come risultato. Si as-suma che il sistema originale sia controllabile, cioe(B;AB; 


;An1B) abbia rango n. Permostrare che questo implica che anche la matrice (qb; (A bqcA)qb; 


(A bqcA)n1qb)ha rango n, basta osservare che se quest'ultima non fosse di rango n allora esisterebbeun vettore riga non nullo H tale per cui H(qb; (A bqcA)qb;


(A bqcA)n1qb)=0.Essendo q uno scalare e potendosi quindi fattorizzare si vede che l'ultima espressione im-plica facilmente H(B;AB;


;An1B)=0contraddicendo l'ipotesi di controllabilitadelsistema originale.Se invece il sistema originale non econtrollabile allora esiste un vettore riga non nullo Htale per cui H(B;AB;


;An1B) = 0 il che implica che H(qb; (A  bqcA)qb;


(A bqcA)n1qb)=0e quindi anche il sistema inverso non e controllabile.
8 Sistemi SISODa osservare e il fatto che questi risultati non valgono per l'osservabilita, come si puovedere dal seguente esempio.Esempio 1. Dato il sistema nella forma24 _x1_x235 = 240 10 13524x1x235+ 241135 uy = h1 0i 24x1x235si vede facilmente che esso ha funzione di trasferimento s+2s(s+1) . Il sistema inverso associatorisulta essere 24 _x1_x235 = 240 00 23524x1x235+ 241135 y(1)u = h0 1i 24x1x235 :Si nota quindi che il sistema originale e sia controllabile che osservabile mentre quelloinverso non e osservabile. Il problema nasce dal fatto che il sistema originale ha un polonell'origine e si potrebbe dimostrare che se questo polo non ci fosse allora il sistema inversosarebbe osservabile.2.2.1 Annullamento dell'uscitaFocalizziamo ora l'attenzione sul sistema (2.1) ponendo D =0ex(0) = x0.
_x = Ax + bu (2.10a)y = cx (2.10b)Il nostro obiettivo e quello di scegliere una funzione di ingresso u[0;1 ) tale da condurrela funzione uscita y[0;1 ) a zero e mantenerla in quello stato.
2.2 Sistemi SISO tempo-invarianti 9Per un sistema completamente controllabile una scelta ovvia e quella di scegliere unafunzione di ingresso che riesca a condurre lo stato del sistema nell'origine e una vol-ta raggiunto annullare l'ingresso. Ma per sistemi che hanno zeri nella loro funzione ditrasferimento e/o non sono completamente osservabili non e necessario condurre lo sta-to del sistema nell'origine, sara suciente guidare lo stato in qualche sottospazio e poiscegliere un ingresso appropriato (non necessariamente nullo) che mantenga nulla l'uscita.E da sottolineare un fatto: l'aver scelto un ingresso appropriato per far assumere all'istantet1 un valore allo stato tale per cui y(t1) = cx(t1) = 0, garantisce solo l'uscita nulla inquell'istante ma in generale non si potrebbe dire se il mantenimento dell'uscita a quelvalore sia possibile o meno. Si dimostrera, invece, che cx(t1) = 0 e una condizionesuciente per mantenere nulla l'uscita.Deniamo come N l'insieme di tutte le condizioni iniziali x0 per le quali esiste un ingressou[0;1 ) tale per cui y[0;1 )  0. La struttura di N dipendera dagli zeri della funzione ditrasferimento del sistema (2.1).Per risolvere questo problema si utilizzeranno le equazioni di stato e si fornira una carat-terizzazione dell'insieme N attraverso il numero di zeri della funzione di trasferimentoovvero i parametri A;B;C.Teorema 2.2.4 . Per un sistema descritto dalle (2.10) l'insieme N di tutti gli statiiniziali x0 per i quali esiste un ingresso nito u[0;1 ) tale per cui y[0;1 )  0 e dato da
fN = x0 j cAix0 =0;i=0; 1; 


;nm 1g (2.11)dove m; 0  m  n  1 e il numero degli zeri, calcolati senza eettuare cancellazionizero-polo, della funzione di trasferimento.Corollario 1. La dimensione di N e almeno m.Corollario 2. Se S e completamente osservabile allora N edidimensione mCorollario 3. Nel caso S non avesse zeri (m = 0) e fosse completamente osservabile
10 Sistemi SISOallora l'origine e l'unico stato per il quale esiste un ingresso tale per cui l'uscita e e rimanea zero.Corollario 4. Nel caso S avesse n  1 zeri allora cx0 = 0 e condizione necessaria esuciente anche x0 appartenga a N .Prima di dimostrare il teorema enunceremo due lemmi che saranno utili piuavanti. Datoil sistema S:Lemma 1. Le quantita cAib =0; i = 0; 1; 


; sono invarianti sotto qualsiasi trasfor-mazione delle variabili di stato.Lemma 2. Il sistema S ha m zeri, m = 0; 1; 


;n 1 se e solo se CAib = 0; i =0; 1; 


;nm2ecAnm1b 6=0.Dim 1. Sostituendo la nuovavariabile di stato z al posto di x e usando la trasformazionex = Tz dove T e una matrice n n con det T 6= 0 si ottiene
_z = T1ATz + T1bu (2.12a)v = cTz (2.12b)e poichesiha
(cT )(T1AT )iT1b = cAib; i =0; 1; 



il lemma e dimostrato.Dim 2. Poniamo che S abbia la seguente funzione di trasferimentoW (s)=p1sn1 + 


+ pn1s + pnsn + q1sn1 + 


+ qn1allora e possibile scrivere le equazioni di stato del sistema in questo modo
2.2 Sistemi SISO tempo-invarianti 11
A = 26666666666664
0 1 0 0 


 00 0 1 0 


 00 0 0 1 


 0...0 0 0 0 


 1qn qn1 qn2 qn3 


 q1
37777777777775 (2.13)
b =[0; 0; 


 ; 0; 1]0 (2.14)
c =[pn;pn1; 


 ;p1] (2.15)Il fatto che cb 6=0implica p1 6=0che e necessario e suciente a S per avere n  1 zeri.cb = 0 e cAb 6= 0 implica p1 = 0 e p2 6= 0 che sono necessarie e sucienti a S per averen 2 zeri. Il ragionamento puo essere iterato e il lemma ecos dimostrato.Oltre ad essere utile durante la dimostrazione del teorema quest'ultimo lemma ha unavalenza non indierente anche di per se stesso, infatti grazie ad esso si e trovato un modoper contare il numero degli zeri di un sistema direttamente dalle equazioni di stato.Dimostriamo ora il teorema (2.2.4).Dim. Poniamo che il sistema S abbia m zeri, 0  m  n 1, e dimostriamo le seguentidue partia) x0 2 N . Allora per denizionecAix0 =0; i =0; 1; 


;nm 1 (2.16)e quindi e possibile trovare un ingresso u[0;1 ) tale che y[0;1 )  0.b) x0 62 N . Allora per qualche i; 0  i  nm 1cAix0 6=0 (2.17)
12 Sistemi SISOe pertanto y[0;1 ) 6=0perqualsiasi scelta di u[0;1 ).Dim a). Posto u(t)=(cAnm1b)1cAnmx(t) (2.18)derivando la (2.10b) otteniamo
y = cxy(1) = cAx + cbuy(2) = cA2x+ cAbu + cbu(1)...y(n1) = cAn1x + cAn2bu+ cAn3bu(1) + 


+ cAbu(n3) + cbu(n2): (2.19)Poiche il sistema ha m zeri, dal lemma 2 segue che cAib =0; i = 0; 1; 


;nm  1.Inserendo questa nella (2.19) e insieme alla (2.16) otteniamo
y(k)(0) = 0 k =0; 1; 


 ;nm 1: (2.20)
Inserendo poi la (2.18) nella (2.19) abbiamo chey(k)(t)=0; 0  t<1 k = nm;nm+1; 


 : (2.21)Dalla (2.21) segue che y(t)deve essere un polinomio in t di ordine, al massimo, nm1.Inoltre questo polinomio deve anche soddisfare la (2.20) che puo essere soddisfatta solose tutti i coecienti sono nulli. Quindi combinando la (2.20) e la (2.21) si arriva allaconclusione che y[0;1 )  0. La dimostrazione nel caso generale e alquanto complicataquindi con un esempio numerico si vuole far vedere il metodo di semplicazione che sideve usare nel corso della dimostrazione che non verra qui riportata.Si ponga n =3e m = 1; allora dalla (2.19) e dalla (2.18) si ha che:
2.3 Sistemi SISO tempo-varianti 13
y(2) = cA2x cAb(cAb)1cA2x + cbu(1) == cb(cAb)1 _x == cb(cAb)1cA2(Ax b(cAb)1cA2x)== cb(cAb)1cA2(A b(cAb)1cA2)x =0dove l'ultimo termine fra parentesi si annulla grazie alle proprieta dell'inverso del prodottodi matrici.Per dimostrare il punto b) e suciente notare che cA(i)x0 6= 0 ) y(i) 6= 0 e che nessuningresso puo negare questa conclusione poiche i coecienti dell'ingresso e delle sue derivatesono zero.2.3 Sistemi SISO tempo-variantiQuanto detto per i sistemi SISO tempo-invarianti puo essere generalizzato, senza eccessivecomplicazioni, ai sistemi SISO tempo-varianti. Come per il caso tempo-invariante grazieal sistema inverso e possibile dare una soluzione completa al problema della generazionedell'ingresso di un sistema, date le condizioni iniziali, necessario a produrre una determi-nata uscita. Si forniraanche un metodo per ricavare un sistema inverso di ordine ridotto.Il sistema che si studierae il seguente:
_x(t)=A(t)x(t)+b(t)u(t) (2.22a)y(t)=c(t)x(t) (2.22b)Iniziamo la procedura ponendo s0(t)=c(t) e sk+1(t)=sk(t)A(t)+_sk(t); k =0; 1; 


ammesso che esistano le relative derivate. Chiamiamo  il primo intero tale per cuis1(t)b(t) 6= 0 in [ 0;1 ). Anche l'inversa esista e necessario che si verichi lacondizione q1(t)=s1(t)b(t) 6=0 8 t 2 [t0;1): (2.23)
14 Sistemi SISOche nei sistemi tempo-invarianti e sempre soddisfatta. In quelli tempo-varianti cio non esempre vero, come mostrato nel seguente esempio:A =0; b0(t)=[1:t2]; c(t)=[t4 : t2] (2.24)che fornisce s0(t)b(t)  0 e s1(t)b(t)=2t3 )  =2: (2.25)Quindi se t0 < 0 la (2.23) non evericata. Se, viceversa, la (2.23) e soddisfatta allora pert 2 [0;1 )y(i)(t)=si(t)x(t) i =0; 1; 


 ; 1 e y()(t)=s(t)x(t)+q1(t)u(t): (2.26)Risolvendo l'ultima equazione per u e sostituendola nella (2.22a) si ottiene
_z(t)=(A(t) q(t)b(t)s(t))z(t)+q(t)b(t)y()(t) (2.27a)u(t)=q(t)s(t)z(t)+q(t)y()(t): (2.27b)Queste equazioni rappresentano il sistema inverso di (2.22) poiche se y e l'uscita di(2.22) avente stato iniziale x0 e ingresso u[0;1 ) allora l'uscita di (2.27) con condizioniiniziali x0 e ingresso y() e u[0;1 ).Se le matrici A;B; e C sono rispettivamente   1; 1 e  volte dierenziabili nel tempo,allora i coecienti matriciali del sistema inverso sono dierenziabili cosicche un ingressocontinuo produrra sempre un'uscita continua. Come nel caso tempo-invariante il sistemainverso sara completamente controllabile se e solo se anche l'originale lo e. Questa consi-derazione segue dal fatto che la controllabilita di un sistema non viene modicata da unaretroazione e il sistema inverso deriva, appunto, dall'originale per mezzo della retroazioneu = qsAx + qy(). Come d'altronde gia accadeva nel caso tempo-invariante, lo stessonon si puo dire per l'osservabilita.Il sistema (2.22) puo essere rappresentato su [ t0;1 ) da un'equazione dierenziale dellaforma
2.3 Sistemi SISO tempo-varianti 15
nX
i=0 ai(t)y(i)(t)= mXi=0 bi(t)u(i)(t); m<n (2.28)con an(t);bm(t) 6=0;t2 [0;1 ).Si puo dimostrare che una rappresentazione di questo tipo con an 6=0esiste sempre se esolo se la matrice Qn(t)=[s00(t) 


s0n1(t)] ha rango n per t 2 [ t0;1 ), il che rappresentauna particolare condizione di osservabilita. Le condizioni su bm sono le stesse della (2.23)e nel seguito saranno le uniche ipotesi necessarie nel nostro ragionamento.Teorema 2.3.1 . Siano  0(t) e (t) vettori n-dimensionali almeno  volte dierenziabilinel tempo in un intervallo U . Se1.  (i)(t)(t)  0;t2 U; 0  i   22.  (1)(t)(t) 6=0;t2 Uallora la matrice 	(t)=[ 00(t) 


 01(t)] ha rango  per t 2 U , dove  i(t)= (i)(t).Teorema 2.3.2 . Poniamo (2.22) essere un sistema i cui coecienti delle matrici sonoalmeno  volte dierenziabili nel tempo e soddisfano la (2.23) su [ t0;1 ) e sia ! 2 Cuna funzione denita su [ t0;1 ). Allora esiste una funzione di ingresso v 2 C denitasu [ t0;1 ) tale per cui y(t)  !(t) su [ t0;1 ) se e solo se la condizione iniziale x(t0)soddisfa la condizione !0(t0)=Q0(t0)x(t0).Per una dimostrazione di questi due teoremi si veda [7].Quando !(t)  0 l'insieme degli stati iniziali ammissibili costituisce un sottospazio didimensione n .2.3.1 Sistema inverso di ordine ridottoIl sistema inverso trovato si e visto essere dello stesso ordine di quello diretto. E interes-sante osservare che se la (2.23) e soddisfatta si puo sempre ottenere un sistema inverso di