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Introduzione
La crisi finanziaria scoppiata nella seconda metà del 2007 negli USA ha rivelato la
criticità dei problemi legati alla mancanza di una regolamentazione efficace e di
tecniche di risk-management appropriate nei mercati finanziari globali. I mercati dei
derivati OTC (over-the-counter) sono cresciuti esponenzialmente negli ultimi anni,
ma sono rimasti in larga parte non regolati, con la conseguenza che enormi rischi in
questi mercati sono passati insosservati agli occhi sia dei regolatori che degli
operatori di mercato. Il fallimento della Lehman Brothers (2008) ed il salvataggio (che
ha contribuito a creare l’espressione “too big to fail”) del “colosso” delle assicurazioni
AIG hanno messo in luce l’assoluta incapacità dei mercati finanziari di
autoregolamentarsi. La forte integrazione ed interconnessione dei mercati hanno
fatto sì che la crisi finanziaria si espandesse, in particolar modo in Europa che, a
causa della sua errata (secondo il pensiero di chi scrive) costruzione istituzionale, ha
fatto da “cassa di risonanza” ad una crisi che da finanziaria si è trasformata in una
crisi dei debiti sovrani, il cui emblema è la Grecia. La figura 1 mostra i CDS (Credit
Default Swap)
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spreads relativi a: Francia, Germania, Italia, Giappone, Olanda,
Portogallo, Spagna, UK e USA. Essi sono una valida alternativa per estrapolare le
probabilità di default che i mercati assegnano ai singoli paesi rispetto ai classici
spreads calcolati come differenza di rendimento tra un bond governativo ed un
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Un CDS è un contratto bilaterale nel quale una parte (protection buyer) paga un premio (CDS spread) all’altra
(protection seller) in cambio di un eventuale pagamento al verificarsi di un credit event su un determinato soggetto
terzo (reference entity). Il CDS spread è quotato in punti base (1b.p.= 0.01%) ed in genere viene pagato
trimestralmente. L’espressione credit event si riferisce sia a eventi che esprimono un deterioramento del merito
creditizio, sia all’instaurazione di procedure concorsuali (e quindi al default). Nel 2007, secondo il BIS Triennal
Surveys, il mercato dei CDS rappresentava l’88% dei derivati creditizi scambiati sul mercato OTC. Ovviamente
un CDS può essere utilizzato a scopi assicurativi ma soprattutto speculativi, ed è proprio questo secondo utilizzo
che ha contribuito notevolmente allo scoppio della bolla dei mutui subprime.
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benchmark di riferimento. Infatti dal novembre 2012 non è più possibile assumere
posizioni scoperte (speculative) su CDS su debiti sovrani, quindi l’acquisto di un
CDS su un bond governativo ha effettivamente uno scopo assicurativo.
Figura 1: CDS 5Y spreads su debiti sovrani. Recovery Rate 40%, osservazioni giornaliere
per il periodo: 12/06/13-22/05/14. Fonte: Deutsche Bank (elaborazione propria).
L’interpretazione del grafico è la seguente: il premio da pagare per acquistare un
CDS con maturità 5 anni su un bond, ad esempio italiano, è pari a 126 b.p.
(22/05/2014), quindi la protezione dal default per un ipotetico ammontare di € 1 mln
corrisponde a € 12.600 annui (€ 3.150 per trimestre). Considerando l’evoluzione del
valore totale dei contratti CDS nei mercati finanziari (figura 2), che nel secondo
semestre del 2007 ha toccato il picco massimo di 60 trilioni di dollari, è chiaro che le
quotazioni dei CDS spreads su debiti sovrani rappresentano la percezione dei
mercati riguardo il rischio di default dei singoli paesi tanto quanto gli spreads tra i
rendimenti delle obbligazioni governative.
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100
200
300
400
500
600
CDS spreads
France
Germany
Italy
Japan
Netherlands
Portugal
Spain
United
Kingdom
United
States
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Figura 2: Evoluzione del valore dei contratti CDS nei mercati finanziari. Fonte: ISDA.
Il rischio di credito (o di default) è sempre stato una delle maggiori preoccupazioni
per banche ed altri intermediari finanziari ed è, in sostanza, la ragione per cui ogni
agente stipula un contratto finanziario scritto per sancire una transazione concordata.
Al contrario, i modelli e le tecniche sviluppate per affrontare questa problematica
sono molto recenti e presentano pertanto un enorme potenziale. Il forte interesse
riscosso dalle diverse modellizzazioni del rischio di credito è sicuramente legato
all’efficienza predittiva di questi modelli; infatti, essere in grado di ottenere delle
stime accurate sulla probabilità di default di un debitore comporta un indubbio
vantaggio in termini di gestione del rischio e di capacità di individuare investimenti
favorevoli. L’obiettivo del seguente lavoro di tesi è presentare due importanti
categorie di modelli per la valutazione del rischio di credito: i modelli strutturali ed i
modelli in forma ridotta. In particolare: nel capitolo 1 discuteremo degli strumenti
matematico-probabilistici necessari per poter affrontare la trattazione successiva; nel
capitolo 2 ricaveremo la nota formula di Black&Scholes per la valutazione di opzioni
europee sfruttando il potente metodo della misura martingala equivalente; nei
capitoli 3 e 4 approfondiremo gli aspetti principali dell’approccio strutturale e di
quello in forma ridotta; infine nel capitolo 5 mostreremo come, modificando
l’informazione a disposizione dell’agente che deve valutare il rischio di credito, si
possa trasformare un modello strutturale in uno in forma ridotta. La conclusione
verterà su quale sia il modello più corretto da utilizzare ed in quali circostanze.
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Capitolo 1
Cenni di calcolo delle probabilità e processi stocastici
Nel primo capitolo introdurremo alcuni concetti fondamentali per poter affrontare le
tematiche centrali che caratterizzano questo lavoro di tesi. Senza nessuna pretesa di
completezza e rigorosità di esposizione, cercheremo di focalizzarci esclusivamente
sugli aspetti necessari per la comprensione dei modelli strutturali ed in forma ridotta
e per una loro possibile riconciliazione. In particolare, nel paragrafo 1.1 definiremo la
terna di Kolmogorov e gli elementi che la compongono; nel paragrafo 1.2 ci
occuperemo di variabili aleatorie e degli strumenti necessari per calcolare delle
probabilità su di esse; nel paragrafo 1.3 affronteremo il tema dell’interazione di
variabili aleatorie attraverso i concetti di indipendenza stocastica e di probabilità
condizionata, riportando alcune regole di calcolo fondamentali come la legge delle
aspettative iterate; infine nel paragrafo conclusivo 1.4 daremo una definizione di
processo stocastico, concentrandoci sul processo di Wiener e su quello di Poisson che
verranno utilizzati per modellizzare il rischio di credito. Ci soffermeremo inoltre: sul
concetto di filtrazione e sulla sua interpretazione, indispensabile per poter discutere
in che modo le due categorie di modelli possano essere riconciliate; sulla definizione
di una particolare categoria di variabili aleatorie, i tempi d’arresto. Come vedremo, la
distinzione tra tempo d’arresto prevedibile e totalmente inaccessibile avrà un ruolo
decisivo nel passaggio dalla forma strutturale a quella ridotta.
1. Cenni di calcolo delle probabilità e processi stocastici
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1.1 La terna di Kolmogorov
Partendo dall’impostazione assiomatica della probabilità di Kolmogorov (1933),
definiamo la terna ( ) come spazio di probabilità; essa comprende:
1) , detto spazio campionario
2) , una -algebra rispetto a
3) , una funzione di probabilità
1) è l’insieme di tutti gli stati del mondo che si possono verificare al termine di un
esperimento aleatorio; è un evento elementare, vale a dire un generico elemento di
. Un evento è un sottoinsieme che si verifica se . In generale, la famiglia
di eventi di che si prende in considerazione non coincide con la famiglia ( )
(insieme potenza di ) di tutti i sottoinsiemi di , ma si sceglie una particolare
sottofamiglia di sottoinsiemi di .
2) Un’algebra rispetto a è una famiglia di sottoinsiemi di con le seguenti
proprietà:
-
- Se allora anche
̅
,
- ,
Se è un’algebra e soddisfa l’ulteriore condizione:
- ⋃
(
)
di elementi
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di ( -additività)
Allora è una -algebra. Si dimostra facilmente che una -algebra gode delle
ulteriori proprietà:
-
- ,
- ,
- ⋂
, (
)
di elementi di
2
La notazione sta ad indicare una successione numerabile di eventi. Un insieme è detto numerabile se è composto
da un numero finito di elementi oppure se essi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con l’insieme
dei numeri naturali. Se un insieme contiene un numero infinito di elementi che possono essere messi in
corrispondenza biunivoca con è detto infinito numerabile.
1. Cenni di calcolo delle probabilità e processi stocastici
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Una -algebra è, quindi, una famiglia di sottoinsiemi di chiusa rispetto a tutte le
operazioni insiemistiche, anche numerabili.
Esempi classici di -algebre sono:
{ } ( -algebra banale)
( )
{
̅
}
In particolare, nell’ultimo esempio si parla di -algebra generata dall’evento e si
indica con ( ) . Una -algebra si dice -algebra generata da una certa famiglia di
sottoinsiemi di se è la (unica) più piccola -algebra che contiene gli insiemi di ,
ovvero se è l’intersezione di tutte le -algebre che contengono . Si dimostra
facilmente che l’intersezione di più -algebre è ancora una -algebra. Nel caso in cui
, si definisce la -algebra di Borel di (in genere si indica con ( ) ) come la -
algebra generata dagli aperti di e i suoi elementi sono detti boreliani. Presi ,
con , si dimostra che ( ) è generata da una qualunque delle famiglie di
sottoinsiemi del tipo: ( ) [ ) , ( ], [ ], ( ) , ( ) .
3) Definiamo probabilità una funzione , definita su una -algebra a valori in ,
che verifica le seguenti proprietà, assunte come assiomi:
( )
( )
{
} [⋃
]= ∑ [
]
Una probabilità così definita gode di alcune elementari, ma importanti, proprietà:
1. [
̅
] [ ]
2. [ ] [ ]
3. [ ] [ ] [ ] [ ]
Dalle quali discende che assume valori in [0,1].
1.2 Variabili aleatorie
Dati gli spazi misurabili ( ) e ( ( )) , una funzione si dice -
misurabile quando:
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