Interventi di adeguamento nei confronti di eventi sismici di un edificio scolastico

Introduzione Indice delle tabelle 
 
Capitolo 1 
Introduzione 
Scopo di questo lavoro di tesi è la valutazione della sicurezza di un edificio 
scolastico in c.a. risalente alla fine degli anni ’60, sismicamente adeguato alle 
attuali Norme tecniche per le costruzioni mediante una tipologia di 
controventi denominati eccentrici. 
Il progetto originale di tale adeguamento, che ha fornito la base per le 
valutazioni condotte in questa sede, si basa su un approccio classico al 
dimensionamento strutturale, il cosiddetto force-based design. Tale 
metodologia sfrutta prevalentemente l’analisi elastica lineare per modellare 
strutture cui si richiede una capacità di resistenza e soprattutto di duttilità in 
campo plastico, dunque non lineare. Mediante fattori di riduzione delle forze, 
si cerca di predire il reale comportamento della struttura, ipotizzando 
verificate alcune assunzioni sul comportamento del complesso strutturale. 
I problemi e le limitazioni legati a questo tipo di approccio sono discussi 
brevemente nel Capitolo 2, proponendo di conseguenza un più coerente 
approccio agli spostamenti (displacement-based design), che valuti la reale non 
linearità del comportamento strutturale e utilizzi come parametro di 
riferimento non già un predeterminato livello di resistenza, ma un livello di 
deformazione accettabile. 
La metodologia per arrivare a tale risultato è un’analisi statica non lineare, 
detta analisi di pushover. In estrema sintesi, si rappresentano le forze 
orizzontali cui la struttura sarà soggetta durante il sisma mediante alcune 
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Introduzione Indice delle tabelle 
 
distribuzioni statiche applicate con intensità crescente alla struttura, fino a 
portarla al collasso. Da questa analisi si ricava un diagramma che correla il 
taglio complessivo alla base dell’edificio e lo spostamento di un punto di 
controllo ritenuto rappresentativo del comportamento della struttura 
Si ipotizza poi l’equivalenza tra il sistema strutturale a più gradi di libertà 
(nell’ipotesi che esso sia rappresentabile dal primo modo di vibrare in 
ciascuna direzione) e un oscillatore semplice elasto-plastico, il cui 
comportamento sotto i sismi di progetto sia compiutamente definito. Si ricava 
quindi il massimo valore di spostamento atteso e lo si confronta con la curva 
di capacità della struttura, per verificare che la domanda di spostamento che il 
sisma pone alla struttura sia inferiore alla capacità di spostamento dalla 
struttura offerta. 
Nel Capitolo 3 si espongono i risultati della ricerca sui controventi eccentrici 
quale mezzo per l’adeguamento sismico di strutture esistenti, al fine di 
ricavare un modello utilizzabile nell’analisi pushover. 
Il Capitolo 4 espone la procedura seguita per impostare l’analisi e i risultati 
ottenuti per i vari modelli costruiti mediante il codice di calcolo agli elementi 
finiti Sap2000. Una guida applicativa che illustra i comandi da impartire al 
software per arrivare alla definizione dell’analisi è illustrata nel Capitolo 5. 
Infine, si espongono brevemente le conclusioni tratte al termine del lavoro di 
tesi nel Capitolo 6. 
 
 
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Analisi non lineari Cenni alle analisi non lineari 
 
Capitolo 2 
Analisi non lineari 
L’analisi pushover sta diventando uno strumento diffuso e apprezzato per la 
valutazione del comportamento sismico dei strutture nuove e soprattutto 
esistenti. Ci si aspetta che essa possa fornire informazioni adeguate sulle 
“richieste” che i sismi di progetto impongono alla struttura e ai suoi elementi. 
L’accuratezza di un’analisi pushover e dei risultati che essa fornisce è tuttavia 
soggetta ad alcuni limiti, per cui essa non può essere considerata una 
soluzione definitiva e soprattutto sempre applicabile. Nei paragrafi che 
seguono si forniscono alcuni cenni alle analisi non lineari, in vista 
dell’applicazione alla struttura in esame. 
2.1. Cenni alle analisi non lineari 
2.1.1. Necessità di analisi non lineari  
Gli edifici esistenti, anche quando progettati secondo principi di buona pratica 
professionale, nei confronti dei terremoti diventano necessariamente 
deficitari con il progredire della conoscenza nell’ingegneria antisismica e la 
conseguente evoluzione normativa. 
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Analisi non lineari Cenni alle analisi non lineari 
 
In special modo, i danni regolarmente subiti dalle strutture in cemento armato 
durante eventi sismici di entità medio-alta hanno generato una domanda, 
prima sociale e attualmente anche normativa, di valutazione e adeguamento 
di un elevatissimo numero di edifici. 
L’analisi pushover di una struttura è una procedura non lineare semplificata 
che sottopone la struttura a carichi verticali fissi e successivamente a carichi 
laterali, crescenti gradualmente secondo un moltiplicatore. I carichi laterali 
(statici equivalenti) vogliono rappresentare in modo approssimato le forze 
indotte dal sisma di progetto cui la struttura può essere soggetta a seconda 
della sua localizzazione. Al termine dell’analisi, un grafico che rappresenti il 
taglio alla base complessivo in relazione allo spostamento di un punto di 
controllo (solitamente vicino al baricentro dell’ultimo impalcato) viene 
utilizzato per valutare sinteticamente l’insorgere del collasso e le eventuali 
debolezze della struttura. 
Tale analisi consente, dunque, di determinare il carico di collasso e la effettiva 
duttilità della struttura, globale e locale, senza ricorrere a procedure 
semplificate che tengono conto delle sole regole costruttive (approccio 
scarsamente significativo nelle costruzioni esistenti, oltretutto). 
Per quanto riguarda i singoli elementi, viene monitorata la loro effettiva 
capacità di rotazione plastica, e l’evolversi di quest’ultima durante 
l’applicazione delle forze laterali e degli spostamenti dell’intera struttura. Così 
si può decidere non solo se adeguare la struttura, ma anche limitare 
l’intervento a specifici elementi che risultino particolarmente critici. 
Si propongono brevi accenni alla base teorica delle analisi non lineari e in 
particolare delle pushover. 
2.1.2. Non linearità geometrica e di materiale 
Nella meccanica delle strutture si considerano due tipi di non linearità: 
• non linearità geometrica: effetti causati dal cambiamento della 
forma della struttura per effetto deformativo, effetti ���� − Δ ed 
effetti di grandi spostamenti. 
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Analisi non lineari Cenni alle analisi non lineari 
 
• non linearità del materiale: snervamento, fessurazione, 
scorrimento, frattura. Di norma causati da un comportamento 
inelastico. 
Nell’analisi pushover con Sap2000 si considererà solo la non linearità di 
materiale. 
2.1.3. Controllo di forza e controllo di spostamento 
È possibile eseguire un’analisi pushover “spingendo” la struttura secondo un 
profilo di forze imposte oppure forzando una distribuzione di spostamenti 
suddivisa in vari step monotonicamente crescenti e ricavando per successive 
iterazioni la distribuzione di forze associata a ogni step. 
Si seleziona il controllo di spostamento quando si conosce l’entità dello 
spostamento che si vuole far raggiungere alla struttura ma non quanto carico 
sia richiesto a tal fine. Ciò è utile per strutture che divengono instabili e 
possono perdere capacità di carico durante l’analisi, caso tipico nell’analisi 
pushover. 
Per usare il controllo di spostamento, bisogna selezionare una componente di 
spostamento da monitorare, solitamente un singolo grado di libertà di un 
nodo (nell’analisi pushover si usa un nodo posto nel centro di massa 
dell’ultimo impalcato). Inoltre, bisogna definire il valore obiettivo dello 
spostamento che l’analisi deve raggiungere. Il programma cercherà di 
applicare il carico per raggiungere quello spostamento. L’intensità di carico 
può essere incrementata e ridotta durante l’analisi. 
Bisogna essere sicuri di scegliere una componente di spostamento che cresca 
monotonicamente con il carico. Se ciò non è possibile, può essere necessario 
dividere l’analisi in due o più casi sequenziali, cambiando la componente di 
spostamento da monitorare. 
È importante notare che il controllo di spostamento  non è una procedura a 
spostamenti indotti. Si usa il tale procedura per misurare lo spostamento 
risultante in un punto dall’applicazione di un certo profilo di carico, e per 
aggiustare l’intensità del carico nel tentativo di raggiungere un certo valore di 
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Analisi non lineari Cenni alle analisi non lineari 
 
spostamento. La deformata complessiva della struttura sarà diversa per 
diversi schemi di carico, anche se viene controllato lo stesso spostamento. 
Si è scelto di adottare la seconda opzione, per avere un miglior controllo dei 
risultati in prossimità del collasso dei primi elementi: in un approccio alle 
forze non è infatti pensabile che un elemento plasticizzato, e dunque soggetto 
a grandi deformazioni, assorba un’aliquota di forza simile a quella degli step 
precedenti la sua entrata in campo plastico. 
2.1.4. Plasticità concentrata e plasticità diffusa 
I modelli a plasticità concentrata ipotizzano che la totalità della deformazione 
plastica avvenga nelle cosiddette “cerniere plastiche”: l’elemento finito resta 
dunque caratterizzato dello stesso comportamento elastico-lineare che 
esibisce nelle classiche analisi lineari, ma alle sue estremità (o dove lo si 
ritiene opportuno) vengono introdotte delle zone a comportamento elasto-
plastico o genericamente non-lineare. 
Questo tipo di approccio è computazionalmente meno dispendioso rispetto 
all’approccio “a fibre” che viene descritto in seguito, di contro si ha una 
minore accuratezza nella previsione della risposta non-lineare della struttura. 
Nell’approccio di un modello a plasticità diffusa ogni sezione viene suddivisa 
in un numero discreto di parti, chiamate appunto fibre e lo stato tenso-
deformativo degli elementi si ottiene attraverso l’integrazione della risposta 
non-lineare, monoassiale delle singole fibre in cui la sezione è stata 
discretizzata. Se il numero delle fibre è sufficientemente elevato, la 
distribuzione delle non-linearità meccaniche dovute ai materiali sulla 
superficie della sezione risulta accuratamente modellata, anche in campo 
fortemente inelastico, a differenza di un modello a plasticità concentrata. 
Si è scelto di utilizzare il modello a plasticità concentrata perché di più 
semplice concezione e controllo, anche se più macchinoso dal punto di vista 
dell’operatore nella definizione manuale delle cerniere plastiche. In questo 
modello si ipotizza che la deformazione plastica si concentri all’estremità degli 
elementi frames (travi e pilastri) e lungo tutta la lunghezza dei links 
dissipativi, il cui comportamento è governato dal taglio. 
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Analisi non lineari Analisi pushover 
 
L’ipotesi di cerniere plastiche alle estremità delle membrature è supportata 
dalla tipica distribuzione di taglio e momento che si instaura in una struttura 
soggetta a forze orizzontali, che si può osservare in Figura 2.1. 
 
Figura 2.1 - Distribuzione dei momenti flettenti in un telaio soggetto a soli carichi orizzontali 
È quindi verosimile trascurare la possibilità che si plasticizzino altre sezioni 
che non siano quelle terminali. 
2.2. Analisi pushover 
2.2.1. Metodo N2 per la valutazione della sicurezza 
L’attuale normativa
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 e, più nel dettaglio, la sua Circolare esplicativa
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, 
definiscono un metodo per applicare l’analisi pushover alla valutazione della 
sicurezza strutturale, limitandone l’applicabilità a strutture il cui 
comportamento è caratterizzato, nella direzione del moto considerata, da un 
modo di vibrare fondamentale avente massa partecipante superiore al 75%. 
Tale metodo, ripreso dall’EC8 e ivi denominato N2 (Non lineare che utilizza 2 
diverse distribuzioni di carico), pone l’ipotesi che la risposta del sistema MDOF 
(Multiple Degrees of Freedom) costituito dalla struttura reale sia correlabile 
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  Norme tecniche per le costruzioni - D.M. 14 Gennaio (D.M. 14/1/08) 
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 Circolare n. 617 del 2 febbraio 2009:  Istruzioni per l’applicazione delle “Nuove norme 
tecniche per le costruzioni” di cui al DM 14 gennaio 2008 
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Analisi non lineari Analisi pushover 
 
alla risposta di un sistema SDOF (Single Degree of Freedom) equivalente, 
avente comportamento elasto-plastico e caratteristica isteretica opportuni. 
Il metodo N2, introdotto da Fajfar nel 1988 (1) e valido per edifici regolari, 
prevede l’esecuzione di analisi pushover per determinare la curva forza-
spostamento sottoforma di un diagramma Taglio alla base – Spostamento di 
un punto di controllo in sommità (Figura 2.2). 
 
Figura 2.2 - Curva di pushover 
Successivamente si scala tale curva secondo un fattore corrispondente al 
fattore di partecipazione modale del primo modo di vibrare nella direzione 
corrispondente a quella di spinta. 
Tale curva si ritiene rappresentativa del comportamento di un sistema SDOF 
avente legame costitutivo elastico-perfettamente plastico. Si procede dunque 
a una bilinearizzazione della curva così scalata secondo un principio 
energetico (che graficamente si traduce nella equivalenza delle aree sottese 
alle due curve: originale e linearizzata). 
 
Figura 2.3 - Bilinearizzazione della curva di pushover e sistema SDOF equivalente 
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Analisi non lineari Analisi pushover 
 
Si determina quindi la massima risposta in spostamento del sistema 
equivalente utilizzando uno spettro di risposta elastico, e si effettua la 
conversione inversa dei valori ottenuti per tornare alla struttura reale. 
Si confronta infine il valore di spostamento atteso con la curva di pushover 
della struttura; conoscendo a questo punto la configurazione deformata della 
struttura, si verifica la compatibilità: 
• degli spostamenti per gli elementi duttili; 
• delle resistenze per gli elementi fragili. 
2.2.2. Applicabilità ed estensioni dell’analisi pushover 
Si sottolinea che l’utilizzo dell’analisi pushover è nato per modelli di telai in 
due dimensioni, e la sua applicazione a edifici tridimensionali va subordinata a 
considerazioni critiche circa la validità delle ipotesi che ne reggono il 
funzionamento. Nel caso in esame, i modi principali di vibrare nelle due 
direzioni principali hanno partecipazioni di massa rispettivamente superiori 
all’80% e al 90%, il che porta a considerare rispettata in pieno la condizione 
per l’applicabilità del metodo. 
2.2.2.1. Analisi pushover multimodale 
Un modo per estendere l’uso di analisi statiche non lineari a edifici che 
presentino più modi di vibrare significativi è l’analisi pushover multimodale, 
attualmente in fase di validazione ma ancora non recepita dalle norme 
italiane. Tale analisi, proposta da Chopra (2), si propone come alternativa alle 
analisi dinamiche incrementali delle strutture (anche note come analisi time-
history), che sono estremamente complesse nella pratica ingegneristica. 
In questa analisi pushover modale (MPA), la domanda sismica dovuta a singoli 
termini nell’espansione modale delle effettive forze dovute al terremoto è 
determinata da un’analisi pushover che usa la distribuzione delle forze 
d’inerzia per ciascun modo. Combinando queste domande modali dovute ai 
primi due o tre modi, si ottiene una stima della domanda sismica totale per 
sistemi anelastici. Quando applicata a sistemi elastici, è stato mostrato che la 
MPA è equivalente alle analisi standard con spettro di risposta (RSA). 
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