Instant screw axis: un nuovo approccio allo studio del rollio e del beccheggio

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Introduzione 
Lo scopo della tesi è l’analisi critica dei metodi di approccio allo studio dei moti di rollio e di 
beccheggio e la presentazione di un nuovo metodo basato sull’identificazione dell’instant screw 
axis. 
Nella letteratura di riferimento lo studio dei comportamenti di rollio e beccheggio di un 
veicolo si basa su metodi di natura puramente geometrica, definiti “classici”, o “cinematici”, i 
quali poggiano su ipotesi forti che consentono uno studio bidimensionale del sistema. Per tale 
motivo viene presentato un nuovo metodo che, per mezzo di un approccio differente al 
problema, garantisce uno studio più accurato di tali fenomeni. 
L’identificazione dello screw axis offre un nuovo approccio alla progettazione del sistema di 
sospensione. Infatti è possibile guidare la collocazione spaziale di tale asse per mezzo di una 
riprogettazione delle sospensioni, allo scopo di conferire al veicolo specifici comportamenti: 
favorire un comportamento sottosterzante o sovrasterzante, velocizzare o rallentare la risposta 
ad un comando di sterzo, o a fenomeni di accelerazione e frenata, determinare un particolare 
trasferimento di carico in curva.  
Dunque, la manovrabilità, la tenuta stradale e tutta la risposta vibrazionale-oscillatoria del 
veicolo sono influenzate dal posizionamento dello screw axis. 
La comparazione tra i risultati ottenuti mediante la nuova metodologia proposta e quelli 
ottenuti mediante i metodi classici consente di validare il nuovo modello, fornendo così nuovi 
strumenti con i quali affrontare lo studio del comportamento del veicolo sulle sospensioni.  
La tesi si articola nel seguente modo: si prende in considerazione una vettura sottoposta ad 
una manovra e si parte dall’applicazione dei metodi classici sulla configurazione iniziale 
assunta dal veicolo, dopo una breve esposizione riguardante la parte teorica che li caratterizza. 
Dopodiché si cerca di estendere lo stesso approccio all’intera manovra, valutando così 
l’evoluzione delle posizioni degli assi di rollio e di beccheggio. Terminata l’analisi classica si 
procede con l’introduzione della teoria dello screw axis di un corpo rigido e delle proprietà che 
lo caratterizzano per poter così proseguire con la sua diretta applicazione al veicolo in 
questione.  
I moti di rollio e di beccheggio sono esclusivamente legati alle oscillazioni del veicolo sulle 
sospensioni, quindi la vera difficoltà sta nell’eliminazione della parte di mero moto rigido del 
veicolo, isolandone così il solo moto “sospensivo”. Tale obiettivo si raggiunge operando una 
diversa declinazione della stessa teoria dello screw axis, per mezzo della quale si garantisce il 
successivo confronto tra il metodo classico e quello qui proposto. 
È necessario scegliere accuratamente la tipologia di manovra da analizzare, la quale deve 
essere tale da permettere una netta distinzione dei fenomeni di rollio e beccheggio. L’analisi
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dei due moti separatamente consente infatti di effettuare dei paragoni con i metodi classici 
altrimenti non possibili. 
In conclusione, è presentato un ulteriore approccio basato sul concetto dello screw axis 
associato al moto dell’assieme pneumatico-sospensione relativamente al veicolo, per mostrare 
come sia possibile raggiungere lo stesso risultato seguendo un percorso differente.
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1. Stato dell’arte: metodi di analisi classica 
In ambito letterario i principali metodi di analisi dei comportamenti di rollio e beccheggio si 
basano su dei ragionamenti di natura puramente geometrica e bidimensionale, cioè metodi 
planari basati esclusivamente sulla conoscenza della geometria delle sospensioni. È ovvio 
quindi che lo studio della determinazione degli assi di interesse dipende in primis dalla 
tipologia di sospensione con la quale si ha a che fare. 
I metodi classici inoltre si basano su delle costruzioni grafiche che, in generale, vengono 
effettuate relativamente alla configurazione iniziale del veicolo, cioè nell’intorno del suo 
assetto originale. Inoltre, essi, basandosi come si è detto su dei ragionamenti planari, sono 
validi se si considerano i due fenomeni separatamente, cioè in situazioni in cui i due 
comportamenti sono ben distinti. 
Si intende adesso ripercorrere tali criteri prendendo in considerazione una sospensione del 
tipo double wishbone, rappresentata in Figura 1.1. 
 
Figura 1.1 Sospensione double wishbone 
Osservando la Figura 1.2, si descrivono gli elementi principali che costituiscono questo tipo di 
sospensione: due bracci, uno superiore ed uno inferiore che vengono definiti control arms, i 
quali, da una parte si vincolano per mezzo di giunti sferici a quell’elemento definito come 
“nocca”, o meglio wheel knuckle, ovvero quella parte che, tramite una sorta di perno, definito 
spindle, va a vincolare il centro della ruota, definito wheel center, ai due bracci; dall’altra parte 
sono vincolati al corpo vettura tramite dei cuscinetti, definiti bushes, i quali vengono in 
generale modellati cinematicamente come giunti di rivoluzione. Oltre a questi, ci sono gli 
elementi che rappresentano il cuore del sistema sospensivo, ovvero molla e smorzatore, che,
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nello studio dei moti sospensivi della scocca sono fondamentali, ma nell’ambito della 
trattazione non verranno presi in considerazione. 
 
 
Figura 1.2 Esploso della sospensione double wishbone
1
 
Nelle analisi successive si considererà un veicolo con tutte e quattro le sospensioni della 
tipologia appena descritta. 
1.1 Moti del veicolo: rollio, beccheggio e imbardata 
L’interazione fra i vari gruppi sospensivi, ovvero tra le sospensioni indipendenti delle quattro 
ruote, genera una serie di moti della scocca rispetto alle ruote che sono di particolare interesse 
per la definizione del comportamento del veicolo. 
I più importanti movimenti per la definizione del comportamento dinamico del veicolo sono 
il rollio, il beccheggio e l’imbardata, rappresentati in Figura 1.3. 
Il moto di rollio è dovuto ad un trasferimento di carico nella direzione trasversale, ciò che 
comporta la rotazione della scocca attorno ad un asse parallelo all’asse longitudinale del 
veicolo, ovvero l’asse di rollio. Questo fenomeno si verifica principalmente in curva, situazione 
in cui agisce su di esso l’azione della forza centrifuga, nella direzione trasversale in 
corrispondenza del centro di massa del veicolo, ma in verso opposto a quello che punta verso 
il centro di curvatura. In generale, la quota del centro di massa non coincide con la quota 
dell’asse di rollio, per cui tale forza ha a disposizione un braccio determinando così un 
                                                           
1
 Blundell M., Harty D., “The Multibody Systems Approach to Vehicle Dynamics”, pg. 152
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momento che a sua volta provoca la rotazione della scocca attorno a tale asse. Quindi la tenuta 
di strada del veicolo e la sua stessa stabilità dipendono dal moto di rollio. 
 
Figura 1.3 Moti della scocca 
Il moto di beccheggio è dovuto ad un trasferimento di carico longitudinale e comporta la 
rotazione della scocca attorno ad un asse che è parallelo all’asse trasversale del veicolo, cioè 
l’asse di beccheggio. Tale fenomeno avviene principalmente durante le fasi di accelerazione o 
frenata, condizioni in cui si verificano dei fenomeni inerziali che comportano un momentaneo 
trasferimento di carico nella direzione opposta a quella di variazione della velocità. Ad 
esempio, durante l’accelerazione è presente una forza d’inerzia che agisce sempre in 
corrispondenza del centro di massa del veicolo, ma punta verso il retro dello stesso e, così 
come visto per la forza centrifuga in curva, determina la nascita di un momento che provoca 
la rotazione della scocca attorno al suo asse di beccheggio. 
In ultimo c’è il moto di imbardata che consiste nella rotazione del veicolo attorno ad un asse 
verticale, fenomeno che dipende dall’angolo di sterzo imposto per le ruote anteriori e dalle 
condizioni di aderenza dei pneumatici. 
Nell’ambito della trattazione che segue l’attenzione si focalizzerà principalmente sui concetti 
di rollio e beccheggio, tralasciando quest’ultima tipologia di fenomeno. 
1.1.1 Determinazione dell’asse di rollio 
La ricerca dell’asse di rollio, così come quello di beccheggio, richiede prima di tutto la 
determinazione delle posizioni dei centri di rollio e di beccheggio.  
Restando sul rollio, si può dare la seguente definizione: il centro di rollio rappresenta il centro 
di istantanea rotazione (CIR) del veicolo rispetto alla strada, e la sua determinazione richiede 
la presenza della coppia di sospensioni dell’asse anteriore o dell’asse posteriore. Infatti, si 
possono definire due centri di rollio differenti per ognuna delle coppie di sospensioni dei due 
assi.
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Per identificare il centro di rollio, d’ora in poi definito RC (roll centre), si passa per un noto 
teorema della cinematica rigida: il teorema di Aronhold-Kennedy. 
Questo afferma che, dati tre corpi rigidi nel piano in moto relativo tra loro, definiti 
genericamente B1, B2 e B3, i tre centri di rotazione relativa di B2 rispetto a B1, B3 rispetto a B2 e 
B3 rispetto a B1, debbano essere allineati tra di loro, ovvero devono appartenere istante per 
istante ad una retta comune. 
In tal caso i tre corpi rigidi sono la strada, la ruota e la scocca e, da tale presupposto, parte 
l’analisi classica. 
Supponendo che il veicolo sia posto in maniera tale da avere il suo asse longitudinale parallelo 
all’asse delle x, ma con il fronte che punta nel verso delle ascisse negative, lo studio parte dal 
considerare la sua proiezione sul piano y-z, come riportato in Figura 1.4. 
 
Figura 1.4 Determinazione del RC di una sospensione double wishbone
2
 
Prendendo come riferimento l’asse anteriore, il primo passo è la determinazione della 
posizione dei CIR relativi delle ruote rispetto al veicolo, definiti come IC (instant centre).  
Ragionando per una ruota dell’asse, tale punto, osservando ancora la Figura 1.4, si ottiene 
dall’intersezione dei prolungamenti delle proiezioni dei bracci delle sospensioni su tale piano, 
ovvero dei segmenti A-B e C-D. Esso permette di vedere il sistema di sospensione come un 
sistema equivalente ad un unico braccio, definito swing arm suspension system e rappresentato 
in Figura 1.5, il quale ha proprio nell’IC il suo punto di pivot, cioè il suo CIR relativo rispetto 
al veicolo. 
Definito con WB (wheel base) la proiezione del punto di contatto del penumatico sul piano y-z, 
la posizione del RC, basandosi sul teorema precedentemente esposto, viene successivamente 
ricavata dall’intersezione delle rette passanti per le coppie di punti IC-WB corrispondenti ad 
ogni ruota dello stesso asse. Infatti, i tre punti RC, IC e WB giocano rispettivamente i ruoli di 
                                                           
2
 Blundell M., Harty D., “The Multibody Systems Approach to Vehicle Dynamics”, Elsevier, 2004, pg. 167
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CIR del veicolo rispetto alla strada, CIR della ruota rispetto al veicolo e CIR della ruota rispetto 
alla strada. 
 
Figura 1.5 Swing arm suspension system
3
 
In realtà, se si ammette come valida la condizione di simmetria del sistema in corrispondenza 
dell’assetto iniziale, la posizione del RC deve giacere necessariamente sull’asse z, in quanto le 
stesse rette passanti per le coppie di punti IC-WB delle due ruote risultano essere simmetriche 
rispetto a tale asse.  
Un’importante assunzione che è stata fatta per permettere l’identificazione del RC è stata 
considerare le ruote incernierate alla strada nei punti WB. Questa ipotesi in realtà non è così 
forte, poiché è abbastanza logico supporre, almeno relativamente alla configurazione iniziale, 
che le ruote non striscino lateralmente sul piano frontale. Da tale ragionamento però consegue 
l’esistenza di un unico CIR del veicolo rispetto alla strada: infatti, prendendo in riferimento la 
Figura 1.4 e considerando la presenza di entrambe le ruote e sospensioni dell’asse anteriore, si 
analizzano i gradi di libertà (g.d.l.) e di vincolo del sistema costituito dall’assieme scocca-ruote: 
si ha a che fare, trascurando la strada, con tre corpi (appunto la scocca e le due ruote), e quindi 
nove g.d.l. nel piano, e quattro bielle e due cerniere che controllano un totale di otto g.d.l., che, 
sottratti ai nove di partenza, lasciano un solo g.d.l. a disposizione per il sistema, ovvero quello 
legato alla rotazione relativa fra le parti. 
Seguendo la stessa logica, si determina la posizione del RC corrispondente all’asse posteriore. 
L’asse di rollio sarà quell’asse di istantanea rotazione passante per i due RC così identificati, 
come riportato in Figura 1.6. 
                                                           
3
 Carcaterra A., “Vehicle systems dynamics and mechatronics”, La Sapienza, Università di Roma, 2018, pg. 136
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Figura 1.6 Asse di rollio 
1.1.2 Determinazione dell’asse di beccheggio 
Rispetto all’analisi del rollio, la determinazione dell’asse di beccheggio è meno ovvia e meno 
trattata anche da un punto di vista letterario. 
Analogamente a quanto visto prima, si inizia con la ricerca dei centri di beccheggio, d’ora in 
poi definiti PC (pitch centre), i quali assumono lo stesso significato visto per i centri di rollio. In 
tal caso però la loro definizione non passa per la considerazione delle coppie di ruote dello 
stesso asse, basandosi questa volta sulle coppie associate ai due lati del veicolo. 
Prendendo in riferimento ad esempio le ruote del lato destro, l’analisi parte dal considerarne 
la proiezione sul piano x-z, come rappresentato in Figura 1.7. 
 
Figura 1.7 Determinazione del PC di una sospensione double wishbone
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4
 https://www.youtube.com/watch?v=oh535De4hKg&t=707s
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La costruzione grafica da seguire per determinare i PC è analoga a quella vista per la 
determinazione del RC, partendo quindi dalla ricerca dei punti IC delle ruote, però questa 
volta su un piano laterale. 
In tal caso, come si osserva ancora in Figura 1.7, la posizione degli IC di ogni ruota si ricava 
come l’intersezione delle coppie di rette che passano rispettivamente per le coppie di punti di 
attacco superiori ed inferiori delle rispettive sospensioni relativamente alla scocca, cioè quei 
punti che, in riferimento alla Figura 1.2, identificano le posizioni dei bushes. 
La posizione del PC si determina di nuovo come l’intersezione delle due rette passanti per le 
coppie di punti IC-WB per ognuna delle due ruote del lato destro. 
Con la stessa logica si ottiene il PC corrispondente al lato sinistro. L’asse di beccheggio sarà 
quell’asse di istantanea rotazione passante per i due PC così identificati. 
Anche qui, per garantire che il sistema totale sia ad un grado di libertà, si deve ammettere 
l’ipotesi di ruote incernierate rispetto alla strada. In tal caso però tale assunzione è più forte 
rispetto a prima, perché, supponendo che il veicolo sia in moto, è difficile supporre una simile 
condizione di vincolo, soprattutto nella condizione di moto longitudinale, dato che si possono 
verificare fenomeni di strisciamento dei pneumatici, più di quanto possa avvenire in direzione 
trasversale, con conseguente variazione della carreggiata stessa del veicolo e perdita di validità 
di tale ipotesi. Per tale motivo, la procedura descritta per la determinazione del PC è poco 
trattata a livello letterario, mancando spesso le motivazioni che si celano dietro la costruzione 
grafica eseguita in Figura 1.7. 
Dunque, relativamente ai metodi classici, l’analisi del comportamento di beccheggio risulta 
essere sicuramente più debole e oscura in confronto a quella di rollio. 
1.1.3 Criticità dei metodi classici 
Nei discorsi precedenti sono emerse una serie di considerazioni circa alcune debolezze che 
caratterizzano i criteri di analisi classica. 
Innanzitutto, il primo aspetto negativo sta nel dover effettuare le analisi nell’intorno della 
configurazione di riferimento e, soprattutto, di dover considerare le due analisi separatamente. 
Questo perché di per sé per il veicolo, in quanto corpo rigido, si può definire un unico asse di 
istantanea rotazione, non ne possono esistere due contemporaneamente. Ciò significa che se 
si sottopone il veicolo ad una manovra complessa tale da coinvolgere entrambi i fenomeni, gli 
studi del comportamento di rollio e del beccheggio non possono essere più distinti, ed esisterà 
un unico asse che avrà un’inclinazione che sarà una via di mezzo tra le direzioni dell’asse 
longitudinale e trasversale del veicolo.  
Un altro aspetto da sottolineare è il modo in cui il sistema viene modellato, ovvero come un 
sistema bidimensionale (che provoca già di per sé una grande alterazione del reale
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comportamento tridimensionale della sospensione) ad un g.d.l., con l’ipotesi di ruote 
incernierate al terreno. Si è già detto di come quest’ultima supposizione sia sufficientemente 
valida nel caso del rollio, ma discutibile nel caso del beccheggio. In quest’ultimo caso, è anche 
lo stesso modello ad un g.d.l. a risultare debole: infatti il comportamento di beccheggio in 
generale è direttamente collegato a quello di “pompaggio”, dove con tale termine si intende 
l’oscillazione della scocca nella direzione verticale, per cui il sistema andrebbe più 
correttamente schematizzato come a due g.d.l. in termini della rotazione attorno all’asse di 
beccheggio e dello stesso spostamento verticale, il che rende sicuramente più complicata 
l’analisi rispetto a quella che si potrebbe avviare per lo studio del moto di rollio.  
Tra gli altri aspetti negativi c’è la necessità di dover conoscere la posizione del punto di 
contatto dei pneumatici con la strada. In realtà, tra tutti, questo è il problema minore, ma in 
ogni caso imprescindibile. Certamente all’aumentare della complessità della manovra la sua 
determinazione diventa più complicata, in quanto è più facile che si manifestino fenomeni di 
strisciamento e deformazione dei pneumatici. 
In ultimo c’è da evidenziare il fatto che tali metodi, supponendo di volerli applicare istante 
per istante, richiedono la conoscenza degli spostamenti dei punti che definiscono la 
geometria della sospensione, aspetto che ne complica molto l’utilizzo pratico.