Influenza della variabilità dei materiali nella progettazione a completo ripristino di resistenza dei nodi di base in acciaio

CAPITOLO 5 – AFFIDABILITÀ DEI CRITERI DI 
PROGETTO 
5.1 Introduzione 
Nel precedente capitolo sono stati introdotti due criteri di progetto per la 
determinazione del momento flettente di progetto, M
sd
, i n b a s e a l q u a l e 
dimensionare i nodi di base. Il primo di essi deriva direttamente dalle 
disposizioni dell’Eurocodice 8 sulla prevenzione dello snervamento delle zone 
non dissipative, affinché siano le adiacenti zone dissipative ad essere impegnate 
in campo plastico; il secondo criterio considera il momento flettente di 
progetto del nodo in base al momento critico proposto da Mazzolani – Piluso. 
In entrambe le formule di M
sd
, relative a questi due criteri di progetto, compare 
il coefficiente di sovraresistenza del materiale, γ
ov
, mirato a tenere conto degli 
effetti dell’aleatorietà delle proprietà meccaniche dei materiali che costituiscono 
i nodi di base: acciaio e calcestruzzo. 
Riguardo l’influenza della variabilità casuale dei materiali, in questo capitolo 
viene analizzata l’affidabilità dei criteri di progetto esposti: ovvero si verifica se 
un nodo, progettato e dimensionato con tali criteri, raggiunge, con un certo 
grado di probabilità, il requisito di resistenza auspicato in fase di progetto, vale 
a dire il completo ripristino di resistenza della colonna collegata. 
Per effettuare questa analisi viene condotta una simulazione di Monte 
Carlo, ovvero la conduzione virtuale, attraverso un software, di molteplici 
prove sperimentali su uno stesso nodo di base (progettato secondo uno dei 
criteri e tramite il metodo esposti nel capitolo precedente) in cui le proprietà 
meccaniche dei materiali sono variabili di volta in volta in maniera aleatoria. 
Nello specifico, nella simulazione vengono considerate proprietà variabili 
dei materiali le caratteristiche meccaniche che determinano la resistenza del 
nodo di base e della colonna collegata, ovvero:
Capitolo 5 – Affidabilità dei criteri di progetto _____________________________ 
 
180 
− le tre tensioni di snervamento dell’acciaio costituente i tre tipi di 
piatti che compongono nodo di base e colonna (piatto di base, 
flange ed anima della colonna); 
− la tensione di rottura dell’acciaio degli ancoraggi; 
− la resistenza a compressione del calcestruzzo di fondazione. 
La simulazione consiste, progettato un determinato nodo di base secondo 
uno dei criteri, nel generare gruppi delle sopra elencate proprietà meccaniche 
(aventi valori casuali) e per ogni gruppo, assegnate le relative proprietà 
meccaniche alle parti che compongono il nodo, verificare se viene raggiunto lo 
scopo del progetto del nodo, ovvero se esso possiede un momento resistente 
almeno uguale al momento ultimo della colonna collegata. Conducendo tale 
simulazione numerica su un certo numero di “provini virtuali” – o campioni – 
si individua la probabilità corrispondente al caso un cui viene raggiunta la 
condizione di progetto (il completo ripristino di resistenza) e, a seconda che 
questa probabilità sia soddisfacente o meno, si giudica l’affidabilità del criterio 
di progetto con il quale si è dimensionato il nodo di base. 
Pertanto, per condurre questa simulazione, occorre prima generare i valori 
variabili delle proprietà meccaniche dei materiali: queste debbono avere, sì, 
valori casuali, ma che seguano distribuzioni probabilistiche fedeli o 
quantomeno simili a quelle osservate nella realtà, grazie ai numerosi studi e test 
sperimentali condotti sino ad oggi sia sull’acciaio sia sul calcestruzzo. 
5.2 Distribuzioni probabilistiche delle proprietà dei 
materiali 
Per quanto riguarda l’acciaio dei piatti che compongono il nodo è stato 
osservato, sulla base di 567 test sperimentali per la classe FE360 [22] 
(analizzando prove monotone estrapolate in parte dalla banca dati Sericon ed 
in parte da [15]), che la reale distribuzione di frequenza delle tensioni di
_______________________ Distribuzioni probabilistiche delle proprietà dei materiali 
 
181 
snervamento osservate è approssimabile alla distribuzione probabilistica teorica 
di tipo log-normale (secondo cui il logaritmo naturale della tensione di 
snervamento ln(f
y
) assume una distribuzione di tipo normale, i.e. gaussiana). 
Questo risultato si trova in accordo con le assunzioni fatte in studi dediti alla 
valutazione della fragilità sismica delle strutture in acciaio [21] e con studi 
rivolti alla variabilità delle proprietà meccaniche dell’acciaio, in cui è stata 
riconosciuta l’asimmetria della distribuzione della tensione di snervamento 
[1].Assunta la distribuzione probabilistica per le proprietà del materiale acciaio, 
vanno assegnati altri due parametri per caratterizzarne completamente la 
funzione di densità di probabilità: la media μ e la deviazione standard σ o, in 
luogo di quest’ultima, il coefficiente di variazione Cv, essendo: 
 Cv
σ
μ
= (5.1) 
Riguardo la media, va considerata l’influenza dello spessore di ciascun 
elemento sulla rispettiva tensione di snervamento [22]; per questa ragione si 
adotta un valore medio del logaritmo della tensione di snervamento, E[ln(f
y
)], 
dipendente dallo spessore e pari a: 
 
()
ln 0,007 5,7664
y
Ef t
⎡⎤
=− ⋅ +
⎣⎦
 (5.2) 
mentre si adotta una deviazione standard, non dipendente dallo spessore t, pari 
a: 
 
()
ln 0,07003
y
f σ
⎡⎤
=
⎣⎦
 (5.3) 
Nelle equazioni (5.2) e (5.3) le grandezze si intendono in N e mm. 
Riguardo i bulloni invece, per la loro tensione di rottura si adotta una 
distribuzione normale. Sul valore medio di questa grandezza, per i bulloni ad 
alta resistenza sollecitati a trazione si assume ([8], [11], [12]) che il rapporto tra
Capitolo 5 – Affidabilità dei criteri di progetto _____________________________ 
 
182 
la media della resistenza E[f
uB
] e la resistenza a rottura per trazione di progetto 
f
uB,d
 sia, a seconda della classe, pari a: 
 
[ ]
[]
,
,
1, 20 (classe 8.8)
1,07 (classe 10.9)
uB
uB d
uB
uB d
Ef
f
Ef
f
=
=
 (5.4) 
mentre il coefficiente di variazione vale: 
 
[ ]
[]
0,07 (classe 8.8)
0,02 (classe 10.9)
uB
uB
Cv f
Cv f
=
=
 (5.5) 
Infine, per quanto riguarda il calcestruzzo di fondazione si assume [19] 
solitamente una distribuzione della resistenza di tipo normale, anche se alcuni 
autori (Soroka, 1968; Torrens, 1978; Hindo e Bergstrom, 1985) raccomandano 
la distribuzione log-normale. Ma sia dalla teoria che dall’esperienza si è evinto 
che la resistenza media di un insieme di provini, nominalmente identici e 
realizzati con cura, segue la distribuzione normale con un accettabile grado di 
approssimazione (Novgorodsky, 1973; Mathews e Metcalf, 1969; Balaguru e 
Ramakrisknan, 1978, [20]). È quindi ragionevole assumere una distribuzione 
normale per la resistenza a compressione del calcestruzzo. 
Riguardo al valor medio della resistenza a compressione f
cm
, come indicato 
nell’Eurocodice 2 [5] si adotta: 
 
2
8
cm ck
N
ff
mm
=+ (5.6) 
in cui f
ck
 è la resistenza caratteristica a compressione. In merito al coefficiente 
di variazione infine, la variabilità della resistenza del calcestruzzo dipende [16] 
dal controllo di qualità dell’operazione di getto: adottando metodi di controllo
____________ Generazione di valori casuali delle caratteristiche meccaniche dei materiali 
 
183 
eccezionali si possono ottenere coefficienti di variazione non inferiori al 7% – 
10%; per provini colati in stampi con accuratezza da laboratorio, il coefficiente 
di variazione si attesta tra il 15% e il 20%. Da qui si evince che il 20% è un 
ragionevole limite massimo nel caso di controlli di media qualità: pertanto in 
questo lavoro si adotta un Cv della resistenza a compressione del calcestruzzo 
pari a 0,20. 
5.3 Generazione di valori casuali delle caratteristiche 
meccaniche dei materiali 
Per quanto detto, occorre generare delle serie di valori le cui distribuzioni 
(siano essi il logaritmo della tensione, siano essi la tensione stessa), sono di tipo 
normale. È possibile generare dei valori che rispettino questa funzione di 
densità di probabilità grazie all’approccio di Box e Muller che permette di 
ottenere, partendo da due variabili aleatorie indipendenti U
1
 e U
2
 aventi 
distribuzione di probabilità uniforme (ovvero in cui tutti i valori hanno tutti la 
stessa probabilità di occorrere) con valori compresi tra 0 e 1, altre due variabili 
indipendenti aleatorie Z
1
 e Z
2
, aventi entrambe una distribuzione normale con 
media pari a zero e deviazione standard unitaria. In termini matematici, 
l’approccio consiste nella seguente trasformazione: 
 
()
()
112
212
2ln cos 2
2ln sin 2
Z UU
Z UU
π
π
=−
=−
 (5.7) 
Nel presente lavoro questa generazione di valori casuali è stata eseguita 
tramite il software Visual Basic for Application (VBA), in cui è presente la 
funzione “RND” che restituisce un numero casuale compreso tra 0 e 1; può 
quindi fornire i valori delle variabili aleatorie con distribuzione uniforme U
1
 e 
U
2
 a partire dai quali è possibile ottenere, dalle equazioni (5.7), due variabili 
aleatorie indipendenti con distribuzione normale, media nulla e deviazione
Capitolo 5 – Affidabilità dei criteri di progetto _____________________________ 
 
184 
standard unitaria. Da tali variabili aleatorie Z
1
 e Z
2
, con la coppia di relazioni 
(5.8) si ricava una coppia di valori indipendenti della variabile aleatoria cercata 
x, avente ancora una distribuzione normale, ma media μ(x) e coefficiente di 
variazione Cv(x) assegnati: 
 
() ()
() ()
1
2
1
1
x xZ C v x
x xZ C v x
μ
μ
⎡ ⎤ =⋅ +⋅
⎣ ⎦
⎡ ⎤ =⋅ +⋅
⎣ ⎦
 (5.8) 
Si possono dunque ottenere 2 valori indipendenti di x per ogni coppia di 
valori Z
1
 e Z
2
, a loro volta ricavati da una coppia di valori U
1
 e U
2
; ovvero, per 
n numeri casuali U con distribuzione uniforme si ottengono n numeri casuali x 
con la distribuzione normale cercata. 
Adottando questo metodo di generazione di numeri con distribuzione 
normale, si procede alla generazione delle tensioni dei materiali del nodo di 
base. Occorre una serie di valori casuali per ciascuna delle seguenti grandezze: 
− tensione di snervamento dell’acciaio del piatto, f
y,pl
; 
− tensione di snervamento dell’acciaio delle flange, f
y,cf
; 
− tensione di snervamento dell’acciaio dell’anima, f
y,cw
; 
− tensione di rottura dell’acciaio dei bulloni, f
u,B
; 
− resistenza a compressione del calcestruzzo di fondazione, f
c
. 
Per le prime tre tensioni, ovvero quelle di snervamento dei piatti che 
costituiscono il nodo di base e la colonna, va determinata la media del 
logaritmo della tensione di snervamento, che dipende dallo spessore 
dell’elemento secondo l’equazione (5.2) in cui i vari spessori t del piatto di base 
e di flange e anima della colonna dipendono dal progetto su cui si sta per 
condurre la simulazione di Monte Carlo. Per ciascun piatto, ricavata così la 
media μ del logaritmo della tensione di snervamento, conoscendone anche la 
deviazione standard dalla (5.3) e quindi il Cv, partendo dalle variabili aleatorie
___________________________Simulazione di Monte Carlo sui nodi non irrigiditi 
 
185 
uniformi U
1
 e U
2
, grazie alla trasformazione di Box e Muller delle equazioni 
(5.7) e con le formule (5.8) si ricavano n valori di x, variabile normale del 
logaritmo della tensione di snervamento dell’acciaio. Per ogni piatto e per ogni 
x si ricava infine l’effettiva tensione di snervamento avente distribuzione log-
normale, secondo una delle seguenti equazioni: 
 
,
,
,
x
yp l
x
yc f
x
yc w
f e
f e
f e
=
=
=
 (5.9) 
Per la tensione di rottura dei bulloni, con distribuzione normale, si procede 
analogamente a quanto visto per i tre piatti, con l’unica differenza che la media 
del logaritmo, anziché dallo spessore, si ricava dalle formule (5.4), mentre il 
coefficiente di variazione è dato dalle (5.5), a seconda della classe di bulloni 
adottata nel progetto per il quale vanno generate le tensioni casuali. Quindi la 
tensione di rottura dei bulloni effettiva sarà, per ogni x: 
 
, uB
f x = (5.10) 
Infine, anche i valori casuali della resistenza a compressione del 
calcestruzzo devono assumere una distribuzione probabilistica di tipo normale. 
Quindi, calcolato il valore medio secondo l’equazione (5.6) dell’Eurocodice ed 
assunto il coefficiente di variazione del 20%, la resistenza casuale a 
compressione del calcestruzzo, distribuita normalmente come x, sarà data da: 
 
c
f x = (5.11) 
5.4 Simulazione di Monte Carlo sui nodi non irrigiditi 
Con il metodo visto, si generano quindi tante cinquine di caratteristiche dei 
materiali per ogni nodo di base progettato. In base ad esse, la simulazione di 
Monte Carlo esegue numericamente, su uno stesso nodo di base, altrettante
Capitolo 5 – Affidabilità dei criteri di progetto _____________________________ 
 
186 
prove “virtuali”: ovvero, per n cinquine di valori si calcoleranno n momenti 
resistenti M
j,Rd
 del nodo ed n momenti critici M
cr
 della colonna collegata, con n 
verifiche sul grado di sovraresistenza.  
Il calcolo di M
j,Rd
 va condotto secondo le disposizioni dell’Eurocodice 
esposte nel paragrafo 2.7, mentre M
cr
 va calcolato secondo quanto visto nel 
paragrafo 1.3: per entrambe le grandezze, però, i tre coefficienti parziali di 
sicurezza γ
M0
, γ
M2
 e γ
c
 vanno posti pari a 1. Questo perché ciascuna cinquina di 
numeri generata contiene valori effettivi delle caratteristiche dei materiali e non 
quelli di progetto, che invece sono valori caratteristici (e quindi probabilistici) 
che vanno penalizzati solo in fase di progetto dai suddetti coefficienti parziali 
di sicurezza, che tengono conto della loro aleatorietà. 
In questo lavoro la generazione casuale dei valori delle tensioni è stata 
effettuata, seguendo il metodo esposto nel paragrafo precedente, con 
un’opportuna implementazione in VBA della cartella di lavoro illustrata nel 
paragrafo 4.3 per il progetto e la verifica dei nodi di base. 
 
La simulazione gestita dal foglio elettronico 
Riprendendo la descrizione del funzionamento di questo applicativo, per 
ottenere i valori casuali delle tensioni dei materiali è predisposto il foglio di 
lavoro “Generazione”. Per il progetto corrente (ovvero quello attivato tramite 
la cella “# progetto” del foglio di lavoro “Piatto”) vengono richiamati gli 
spessori t dei tre elementi costituenti il nodo (piatto di base progettato, flangia 
e anima della colonna collegata) e, in base a essi, calcolati i tre valori medi del 
logaritmo della tensione di snervamento secondo l’equazione (5.2), i cui due 
coefficienti a e b sono immessi manualmente (nelle due celle con fondo giallo 
chiaro) nella tabella con intestazione “E[ln(f
y
)] = a·t + b”. La relativa 
deviazione standard va immessa manualmente.
___________________________Simulazione di Monte Carlo sui nodi non irrigiditi 
 
187 
Sempre per il progetto corrente, per i bulloni è richiamata in automatico la 
tensione di rottura di progetto f
uB
 della classe adottata ed il relativo rapporto 
tra il valor medio e quello caratteristico (1,20 o 1,07); quindi la media del 
logaritmo viene calcolata risolvendo le equazioni (5.4). In accordo con la (5.5) 
viene richiamato anche l’opportuno coefficiente di variazione. 
Riguardo al calcestruzzo infine, le sue proprietà statistiche non variano da 
progetto a progetto: viene semplicemente richiamato il valore della resistenza 
caratteristica a compressione di progetto, in base a cui viene calcolata quella 
media secondo l’equazione (5.6), come da Eurocodice. Il valore del coefficiente 
di variazione invece va immesso nell’opportuna cella di colore giallo chiaro. 
Per generare i valori casuali di tensioni, resta solo da specificare la 
numerosità della popolazione del campione – ovvero il numero delle cinquine 
– da generare per ciascun progetto, digitandone il valore nella cella “Numero di 
generazioni per progetto”. Premendo quindi il tasto “Avvia la generazione”, 
sarà lanciata l’apposita macro che restituirà i valori delle tensioni all’interno 
dello stesso foglio di lavoro “Generazioni”. 
È possibile inoltre scegliere di generare le tensioni casuali, anziché che per 
tutti i progetti che derivano dalle combinazioni dei quattro parametri nel foglio 
di lavoro “Piatto”, per uno solo di essi, a scelta. Per fare ciò va immesso il 
valore 1 nella cella con etichetta “Solo prova” e, nella relativa cella gialla 
sottostante (con etichetta “sul progetto numero”) indicare il numero 
identificativo del progetto in base al quale (e per cui) generare le tensioni. 
Una volta generate le serie di cinquine di tensioni per tutti i progetti, è 
possibile utilizzarle come input per la simulazione di Monte Carlo; anche 
questa funzione è stata implementata nella cartella di lavoro con routine in 
VBA che interagiscono con le celle dei fogli di calcolo. Per svolgere la 
simulazione è sufficiente attivare il foglio di lavoro “Monte Carlo” e premere 
il pulsante “Avvia la simulazione”: alla fine del processo (che può richiedere da 
decine di minuti a poche ore), l’intero output di tutti i progetti della cartella di
Capitolo 5 – Affidabilità dei criteri di progetto _____________________________ 
 
188 
lavoro sarà disponibile all’interno dello stesso foglio di lavoro “Monte Carlo”. 
Entrando nel dettaglio di questa funzione, per calcolare il momento resistente 
(ed altre grandezze riguardanti il nodo di base) con le tensioni dei materiali 
generate, il programma pone la cella–interruttore, situata nel foglio di lavoro 
“Piatto” appena sotto l’intestazione “Resistenza e rigidezza del nodo 
secondo l'EC3”, sul valore “2”: questo fa sì che le tensioni adottate dall’intera 
sezione di calcolo del momento resistente del nodo di base vengano prelevate, 
attraverso le cinque celle “Resistenze da adottare”, dal foglio di lavoro 
“Generazioni” contenente appunto le cinquine di valori; inoltre l’interruttore in 
posizione “2” fa sì che, sempre per il calcolo di M
j,Rd
, i coefficienti parziali di 
sicurezza adottati per i materiali siano pari a 1. 
In questo lavoro, per l’output della simulazione di Monte Carlo si sono 
scelte 7 grandezze, tutte calcolate – e quindi prelevate – dalla sezione di calcolo 
“Resistenza del nodo secondo l'EC3”. Ad esse si antepone un ottavo campo, 
contenente un numero progressivo che identifica univocamente ciascuna 
cinquina di tensioni contenuta nel foglio “Generazioni”, numero univocamente 
assegnato, quindi, anche al campione i-esimo della simulazione. Queste 8 
grandezze sono raggruppate, nel foglio di lavoro “Piatto”, nella sezione 
“Simulazione di Monte Carlo” di cui si è accennato nel paragrafo 4.3, e sono: 
− “#generaz.”: il numero progressivo di ciascuna cinquina di 
tensioni nonché il progressivo di ciascun campione di output della 
simulazione; 
− s: il coefficiente di sovraresistenza effettivo per incrudimento della 
sezione; 
− ρ(N), o più semplicemente ρ: l’aliquota di sforzo normale plastico 
effettivo; 
− M
pl,c
: il momento plastico della colonna;
___________________________Simulazione di Monte Carlo sui nodi non irrigiditi 
 
189 
− M
pl,c
( ρ): il momento plastico della colonna ridotto per lo sforzo 
normale; 
− M
j,R
: il momento resistente del nodo di base; 
− Ov: il grado di sovraresistenza effettivo; 
− “Mecc. Rott.”: il meccanismo per cui il nodo di base giunge a 
rottura sotto l’azione del rispettivo M
j,R
. 
Tutte le grandezze dell’output (che in fase di progetto costituiscono valori 
deterministici), poiché dipendono da tensioni di snervamento o rottura che 
nella simulazione sono variabili aleatorie, divengono anch’esse, durante la 
Monte Carlo, variabili aleatorie. Di seguito ne viene riepilogato il calcolo. 
Il coefficiente di sovraresistenza effettivo per incrudimento della sezione, s, 
dipende dalle grandezze geometriche (fisse) del profilo ma anche dalle variabili 
aleatorie f
y,cf
 e f
y,cw
, secondo l’equazione (1.3) qui riportata per comodità: 
(1.3) 
22
*
1
0,695 1,632 0,062 0,602
u
f
y
fw
f
s
b
f
L
λλ
=≤
++−
 
in cui però i parametri di snellezza valgono: 
 
,
2
f yc f
f
f
bf
tE
λ = (5.12) 
 
, , yc w we
w
w
f d
tE
λ = (5.13) 
che differiscono dalle equazioni (1.4) e (1.5) per via della più generica 
condizione secondo cui f
y,cf
 ≠ f
y,cw
. Riguardo al limite superiore di s imposto 
dal rapporto f
u
/f
y
, si riconosce che per le sezioni standard (come i profili HEA 
e HEB adottati nel presente lavoro) questo valore è maggiore di s, a meno di
Capitolo 5 – Affidabilità dei criteri di progetto _____________________________ 
 
190 
non utilizzare acciai ad alta resistenza [17]. Inoltre, come è osservato in [15] 
(oltre che intuitivo), per gli acciai Fe360, 430 e 510, in corrispondenza di valori 
maggiori della tensione di snervamento si riscontrano valori maggiori anche 
della tensione di rottura. Pertanto in questo lavoro non si è ritenuto opportuno 
generare serie di valori casuali anche per tensioni di rottura f
u,cf
 e f
u,cw
, 
assumendo quindi che il valore effettivo del rapporto tra le tensioni di 
snervamento generate e quelle di rottura eventualmente generate non sia mai 
raggiunto dal coefficiente s effettivo. 
Nella (5.13) viene richiamato d
w,e
, il cui valore si ricava secondo la 
riportata: 
(1.6) 
1
1
2
we w w
w
A
dd d
A
ρ
⎛⎞
=+ ≤
⎜⎟
⎝⎠
 
Lo sforzo normale adimensionale ρ, che interviene anche nella (1.6), 
costituisce anch’esso una variabile aleatoria. Infatti, posto che la forza assiale di 
progetto N
Ed
 resti fissa sulla colonna, lo sforzo normale plastico effettivo non 
sarà dato dal semplice prodotto della tensione di snervamento f
y
 per l’area della 
sezione A
c
 secondo l’equazione (4.11), ma sarà il valore aleatorio: 
 
()()
,, , ,
22 4
pl c eff y cf bf cf y cw c cf cw r
Nfb tfht tA
⎡ ⎤
=⋅ ⋅⋅+⋅− ⋅⋅+
⎣ ⎦
 (5.14) 
in cui A
r
 è l’area di ciascuno dei quattro raccordi anima-flangia, pari a: 
 
22
4
rc c
A rr
π
=− (5.15) 
essendo r
c
 il raggio di raccordo. Nella (5.14) non si è adottato il coefficiente 
γ
M0
 in quanto nella simulazione di Monte Carlo tutti i coefficienti di sicurezza γ 
sono unitari e quindi ininfluenti. Pertanto lo sforzo normale adimensionale ρ 
effettivo sarà aleatorio e pari a:
___________________________Simulazione di Monte Carlo sui nodi non irrigiditi 
 
191 
 
,,
Ed
pl c eff
N
N
ρ = (5.16) 
Il momento plastico della colonna M
pl,c
 viene calcolato come somma dei 
contributi delle varie zone della sezione, tutte al rispettivo limite elastico: 
 
,, 2,,, pl c pl cf y cf pl cw y cw
M WfWf =⋅+⋅ (5.17) 
dove W
pl,2cf
 è il modulo plastico delle due flange e W
pl,cw
 quello dell’anima, 
inclusi i raccordi. Essi valgono: 
 
,2
2
22
cf
c
pl cf cf cf
t
h
Wb t
⎡ ⎤ ⎛⎞
=⋅ ⋅⋅ −
⎢ ⎥ ⎜⎟
⎝⎠ ⎣ ⎦
 (5.18) 
 
()
,
22
2
2
2
24
4
4
2242 3
cc f
cc f
pl cw cw
cc c
cc fcc fcc
ht
ht
Wt
hr h
rtrtrr
π
π
⎡⎤
−
− ⎛⎞
⎢⎥ =⋅ ⋅ ⋅ +
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
⎧ ⎫
⎡ ⎤ ⎛⎞ ⎛⎞
+⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅ − − −
⎨ ⎬
⎜⎟ ⎜⎟ ⎢ ⎥
⎝⎠ ⎝⎠ ⎣ ⎦
⎩⎭
 (5.19) 
Dalla (5.17) si evince come anche il momento plastico M
pl,c
 divenga, nella 
simulazione, una variabile aleatoria. 
Il momento plastico M
pl,c
( ρ) è anch’esso una variabile aleatoria, essendo 
funzione di altre due grandezze aleatorie M
pl,c
 e ρ; va calcolato similmente a 
quanto esposto nel paragrafo 4.1, tenendo conto però delle differenti tensioni 
di snervamento delle flange e dell’anima. Ovvero, il taglio plastico V
pl,Rd
 è dato 
ancora dall’equazione (4.6), in cui però va sostituita alla f
y,c
 la f
y,cw
 dell’anima e 
γ
M0
=1: 
(4.6) 
,
,
0
3
yc w
pl Rd Vc
M
f
VA
γ
=
Capitolo 5 – Affidabilità dei criteri di progetto _____________________________ 
 
192 
mentre V
Ed
 è calcolato sempre con la (4.5) in cui però il valore M
pl,c
 è quello 
calcolato con la (5.17): 
(4.5) 
,
*
pl c
Ed
M
V
H
= 
In base al conseguente rapporto V
Ed
/V
pl,Rd
 si ottiene dalle equazioni (4.4) 
un valore per ρ(V): 
(4.4) 
,
2
,,
0,5 ( ) 0
0,5 ( ) 2 1
Ed
pl Rd
Ed Ed
pl Rd pl Rd
V
V
V
VV
V
VV
ρ
ρ
≤ ⇒ =
⎛⎞
> ⇒ =−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
 
secondo il quale si calcolano, analogamente all’equazione (4.8), due tensioni 
ridotte di snervamento ridotte f
*
y,cf
 e f
*
y,cw
: 
 
[ ]
[]
*
,,
*
,,
1()
1()
yc f yc f
yc w yc w
f fV
f fV
ρ
ρ
=⋅−
=⋅ −
 (5.20) 
che, sostituite nell’equazione (5.17) alle f
y,cf
 e f
y,cw
, danno il momento plastico 
della colonna ridotto del solo taglio, M
pl,c,V
. Infine, questo valore va ridotto per 
l’effetto dello sforzo normale secondo il valore effettivo di ρ, ottenendo 
M
pl,c
( ρ) secondo l’equazione (4.12): 
(4.12) 
()
,, ,, ,, ,
1
min ; ( )
1
2
p lcV N p lcV p lcV p lc
MMMM
a
ρ
ρ
+
⎧⎫ ⎛⎞
⎪⎪ ⎜⎟
− ⎪⎪
=⋅ =
⎨⎬ ⎜⎟
⎪⎪ ⎜⎟
−
⎪⎪ ⎝⎠ ⎩⎭
 
Proseguendo per la successiva grandezza dell’output della simulazione, il 
momento resistente M
j,R
 è calcolato secondo la Tabella 2.7, determinando
___________________________Simulazione di Monte Carlo sui nodi non irrigiditi 
 
193 
quindi le forze resistenti delle due componenti tesa e compressa: il piatto di 
base in flessione (paragrafo 2.7.2) ed il calcestruzzo a compressione sotto la 
flangia della colonna (paragrafo 2.7.3), adottando la tensione effettiva di 
snervamento del piatto f
y,pl
 e la resistenza effettiva a compressione del 
calcestruzzo f
c
, nonché coefficienti di sicurezza unitari. Secondo la Tabella 2.7, 
M
j,Rd
 è pari al minore tra il momento resistente del nodo di base per rottura 
della componente tesa, M
j,R,T
, e quello per rottura della componente 
compressa, M
j,R,C
: le formulazioni della tabella esprimono proprio M
j,R,T
 e 
M
j,R,C
, a seconda del caso di piccola o grande eccentricità e del segno dello 
sforzo normale. 
Il grado di sovraresistenza effettivo Ov va calcolato semplicemente con 
le quattro grandezze aleatorie richiamate dalla sua espressione (determinate 
come sopra esposto): 
 
()
,
,
jR
pl c
M
Ov
sM ρ
=
−⋅
 (5.21) 
Di tutto l’output della simulazione, questo è certamente il più 
importante: infatti lo scopo della Monte Carlo condotta in questo lavoro è 
l’osservazione della percentuale di casi in cui, per uno stesso nodo, questo 
rapporto (calcolato per ciascuna cinquina di tensioni casuali) raggiunge almeno 
il valore 1, che indica un nodo con momento resistente M
j,R
 effettivo almeno 
pari al momento critico effettivo della colonna collegata ()
, cr pl c
MsM ρ =−⋅ . 
Vale a dire che il nodo è a completo ripristino di resistenza e consente alla 
colonna di sfruttare tutta la sua capacità plastica. 
Infine viene determinato il meccanismo di rottura del nodo di base sotto 
l’azione dell’effettivo M
j,R
. Il meccanismo di collasso dipende dal minore dei 
valori di M
j,R,T
 e M
j,R,C
, dalla minore delle forze resistenti della componente 
tesa (modellata con un T-stub equivalente a trazione) e dalla lunghezza dei 
bulloni. Nel dettaglio: