Influenza dei meccanismi di controllo delle connessioni sulle caratteristiche autosimilari del traffico su rete

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a partire da tali ipotesi erano stati sviluppati i modelli di traffico e su tali modelli era 
basato lo sviluppo ed il progetto di reti e di servizi su rete. 
Al classico traffico vocale si è affiancato, già da diversi anni (e, col passare 
del tempo, in maniera sempre più massiccia), un traffico costituito dalla trasmissione 
di dati, dovuto all'impiego della rete per una serie di servizi che vanno dall'invio di 
fax alla videotelefonia, dall’interconnessione di reti locali all'accesso di utenti remoti 
ad Internet; è, inoltre, fervente un’attività di ricerca, tesa ad estrarre dalle analisi sulla 
realtà delle reti di comunicazione alcuni modelli per le singole sorgenti o per il 
traffico a vari livelli di aggregazione, risultante dalla multiplazione di più sorgenti. Da 
questi studi è apparsa evidente la discrepanza tra un sistema, pensato e sviluppato su  
modelli di sorgente e di traffico di tipo semplice (traffico telefonico), e la realtà di ciò 
che ora transita in quel sistema: il sospetto che il modello di Poisson, fino ad ora 
adottato per caratterizzare il traffico nelle reti, fosse inadeguato, ha trovato conferma 
nell'ultimo decennio grazie alla mole di dati risultanti dalle misure su traffico relativo 
a Local-Area Network (LAN) [2] e Wide-Area Network (WAN) [3]. 
 Si è così avuta una conferma sperimentale di ciò che si sospettava già da 
tempo: su traffico reale è presente in un ampio spettro di scale temporali una 
significante variabilità; ovvero il traffico dati ha una caratteristica esplosività, 
burstiness, anche su scale temporali maggiori di quelle che i tradizionali modelli 
statistici possano giustificare e che dipende da numerosi fattori. Tale caratteristica 
può essere dovuta alla natura specifica di ciò che si trasmette come pure al fattore 
umano, vale a dire alle peculiarità dell'operatore, ma comunque è una caratteristica 
diffusa, che si conserva al variare della scala temporale alla quale si osserva il 
fenomeno e che non trova però riscontro nei modelli fino ad ora adoperati per 
caratterizzare il traffico nelle reti: infatti, se è vero che il modello di Poisson genera 
un traffico impulsivo (bursty), se osservato su scale dell'ordine dei millisecondi, è 
altresì vero che, al crescere della scala, questa caratteristica si perde dato che i picchi 
tendono ad essere smussati da un’operazione di media su una scala adeguatamente 
lunga [2]. 
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Il traffico caratterizzato da picchi su parecchie o su tutte le scale temporali 
può, invece, essere efficacemente descritto statisticamente, usando la definizione di 
self-similarity (auto-similarità), una proprietà tipicamente associata ai frattali, oggetti 
che appaiono essere gli stessi a dispetto della scala su cui sono visualizzati.  
 
Figura 1.1: Traffico misurato in una rete Ethernet (a 
sinistra), tracce generate mediante un modello 
classico (al centro) e mediante un modello self-
similar (a destra), per differenti livelli di 
aggregazione. I tratti evidenziati in ogni grafico 
sono quelli rappresentati, in scala espansa, nel 
grafico successivo. 
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Nel caso di grandezze aleatorie, come le serie temporali, la self-similarity va 
considerata in senso distribuzionale: il processo, anche se aggregato presenta le stesse 
caratteristiche da un punto di vista stocastico, a patto di un’opportuna 
normalizzazione.  
Dato che un processo self-similar contiene picchi osservabili su tutte le scale 
temporali, esso esibisce una memoria di tipo long range; i valori ad ogni istante sono 
fortemente correlati con valori, anche lontani, di istanti passati. L’importanza della 
dipendenza long-range nel traffico di rete è stata osservata in studi [4] che mostrano 
che la perdita di pacchetti e l’andamento dei ritardi è radicalmente differente nelle 
simulazioni utilizzanti traffico reale rispetto a quelle che utilizzano modelli di traffico 
tradizionali. Tuttavia le ragioni che stanno dietro la self-similarity nel traffico di rete 
non sono state chiaramente identificate sebbene siano state avanzate diverse ipotesi. 
§ 1.2 Definizione di self-similarity 
Consideriamo una serie discreta Y(t) che rappresenta il volume totale di 
traffico misurato in pacchetti all’istante t a partire da un instante di riferimento che 
indicheremo come istante 0. Si indichi con X(t) il relativo processo incrementale, 
ovvero il rate del traffico aggregato all’istante t. Assumeremo nel prosieguo della 
trattazione X(t) stazionario. 
Se indichiamo con ϑ la funzione di autocovarianza e con ς
  
 la varianza, X(t) 
è esattamente Self-Similar del secondo ordine con parametro di Hurst H (1/2<H<1) se 
 
))1(2)1((
2
)(
222 HHH
kkkk           
 ς
 ϑ  
 
Detta )(
)(
k
m
 ϑ  l’autocorrelazione del processo aggregato su una scala di m 
campioni 
 ƒ
      
  
mi
imt
m
tX
m
iX
1)1(
)(
)(
1
)(  
X(t) è asintoticamente Self-Similar del secondo ordine con parametro di 
Hurst H se  
 5
))1(2)1((
2
)(lim
222)( HHHm
m
kkkk           
 φ ο
 ς
 ϑ  
 
E’ possibile dimostrare che la Self-Similarity esatta del secondo ordine 
implica che ϑ(k)=  ϑ
 (m)
(k) per 1 τm . 
Y(t) è Self-Similar con parametro di Hurst H (0<H<1) se: 
)()( atYatY
H
d
  
   
dove l’uguaglianza è intesa in senso distribuzionale. 
Si può dimostrare che se Y(t) è Self-Similar allora X(t) è esattamente Self-
Similar del secondo ordine. Il viceversa è vero se X(t) è Gaussiano. 
Il parametro H quantifica il grado di self-similarity: per 1 οH  il grado di 
self-similarity aumenta cosicché il test fondamentale per una serie self-similar si 
riduce a stimare quanto H si discosta significativamente da 1/2. 
§ 1.3 Self-similarity e frattali 
Come si è visto, una caratteristica importante della self-similarity è costituita 
dalla legge di riduzione su diverse scale temporali (scaling law), proprietà in genere 
associata ai frattali, in base alla quale un oggetto appare identico a se stesso 
indipendentemente dalla scala alla quale è osservato. Ciò significa che due serie 
numeriche ottenute dal campionamento dello stesso fenomeno, con differenti 
frequenze di campionamento, possono essere manipolate in modo tale da apparire 
uguali. La manipolazione in questione riguarda il fatto che bisogna ridurre l’ampiezza 
delle serie relative a frequenze di campionamento superiori. 
 6
§ 1.3.1 Fractal dimension 
La "fractal dimension" d di un oggetto è definita da 
 
 
 Κ
1
ln
ln N
d   
 
 
dove N è il numero di oggetti self-similar (versioni di se stesso) che copre 
una data dimensione d dell'oggetto e dove Κ è la scala lineare della dimensione degli 
oggetti coperti. 
In contrasto con quello che succede per i processi SRD (che sono 
caratterizzati da un indice d = 1), i processi self-similar possono essere pensati come 
processi con "fractal dimension" frazionario (ovvero d ha la forma d= xx.yy...). 
Questa è la diretta conseguenza della lenta convergenza del processo ai suoi valori 
medi. 
§ 1.4 Long range dependence  
Sia r(k)= ϑ(k)/ ς
2
 la funzione di autocorrelazione del processo X.  
X(k) è long range dependent (LRD) se: 
r(k) ~ ck
- Ε  
, quando  φ οk  con 10     Ε  e c>0 
la funzione di autocorrelazione non è quindi sommabile ovvero: 
 
 ƒ
 φ
   φ  
 φ ο
k
kr )(
 
 
Al contrario, un processo SRD (Short Range Dependence) ha una funzione 
di autocovarianza che decresce esponenzialmente. 
 7
 
 
k
akr ~)(
    
 quando 
 φ οk
 e 10     a . 
 
la funzione di autocorrelazione di un processo SRD è quindi sommabile. La 
funzione di autocorrelazione di un processo LRD tende a zero in maniera più lenta 
rispetto alla funzione di autocorrelazione di un processo SRD.  
In conclusione è possibile affermare che, benché i singoli valori di r(k) 
tendano a zero al divergere di k, il loro effetto cumulativo è divergente nel caso di 
processi LRD, che, pertanto, hanno caratteristiche drasticamente differenti rispetto ai 
processi SRD.  
Dalla definizione segue che la densità spettrale di un processo LRD diverge 
per basse frequenze in contrasto con quanto succede per i processi SRD, la cui densità 
spettrale rimane pressoché costante per piccoli valori della frequenza. In altre parole, 
la densità spettrale di un processo LRD mostra un comportamento nei pressi 
dell'origine di tipo 
 
 ϑ
w
wS
1
)(  ϖ
   
per 0 οw  
con il parametro ϑ legato a Ε da 
 
 
 Ε ϑ     1
 
 
La manifestazione nel dominio della frequenza di un processo LRD è 
indicata come rumore di tipo 1/f (1/f noise). 
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§ 1.5 Relazione tra Self-Similarity e Long Range 
Dependance 
Per quanto detto precedentemente è chiaro che esistono processi self-similar 
che non hanno la proprietà di essere LRD e viceversa. Per esempio, il Brownian 
motion è self-similar con H=1/2 ed i suoi incrementi sono di tipo Gaussian Noise ma 
quest’ultimi non sono LRD.  
Di contro le serie FARIMA sono LRD ma non sono self-similar.  
Tuttavia nel caso di self-similarity asintotica del secondo ordine se è valida 
la restrizione 1/2<H<1 si dimostra che la self-similarity implica la Long-range 
dependance e viceversa. 
In particolare l’autocorrelazione di un processo LRD può essere espressa in 
funzione del parametro di Hurst 
 
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)12(~)(
  
  
H
kHHkr  con  φ οk  
 
e la densità spettrale come  
 
12
1
)(
  
 ϖ
H
w
wS
 
quindi la relazione tra  Ε,  ϑe il parametro di Hurst è  
   
121         HΕ ϑ
 
 
L’equivalenza tra self-similarity asintotica del secondo ordine e long range 
dependance è il motivo per cui in letteratura spesso i due termini self-similarity e 
long-range dependance siano stati utilizzati tout court in modo interscambiabile. 
Anche in questo lavoro si adotterà questa convenzione. 
 9
§ 1.6 Altre proprietà dei processi LRD 
In questa sezione vengono descritte due proprietà dei processi LRD che 
storicamente sono state tra le prime osservate in processi naturali a memoria lunga.  
§ 1.6.1 Proprietà di varianza lentamente decrescente 
Per processi LRD, la varianza dei processi aggregati decresce molto più 
lentamente del reciproco di m, dove m indica la dimensione dell'aggregato. 
 
 
 >  ≅
 Ε  
 ϖmX
m)(
var
 
 
per valori sufficientemente grandi di m, con 10     Ε . 
D'altro canto, nel caso di un processo SRD il parametro  Ε è uguale ad uno e 
 
 >  ≅
1)(
var
  
 ϖmX
m
 
 
La proprietà di varianza lentamente decrescente ("slowly-decaying variance 
property") può essere facilmente rilevata diagrammando  >  ≅
)(
var
m
X  su m in un 
diagramma logaritmico: una retta con una pendenza negativa minore dell'unità, 
rilevabile su un ampio intervallo di valori, indica che la varianza decresce lentamente.  
Una seria conseguenza della proprietà di varianza lentamente decrescente è 
quella che, nel caso di test statistici classici (come il calcolo di intervello di 
confidenza), le misure usuali della deviazione standard  ς  diventano poco efficaci 
all'aumentare della dimensione degli aggregati in quanto, il numero di campioni della 
serie aggregata diventa insufficiente per il test statistico.