Indagini sperimentali sulla resistenza al moto prodotta da vegetazione di barena

Capitolo 1Moto turbolento nei canali1.1 Campo di moto bidimensionale1.1.1 Il moto medioEquazioni del motoL'equazione di continuita e le equazioni di Reynolds per moto bidimensionalein canale a pelo libero sono: @Ux@x + @Uz@z =0 (1.1)
Ux@Ux@x +Uz@Ux@z = g sin  @@x(P )+ @@x(u1x2)+ @@z(u1xu1z)+r2Ux (1.2)Ux@Uz@x +Uz@Uz@z = g cos  @@z(P )+ @@z(u1z2)+ @@x(u1xu1z)+r2Uz (1.3)dovexe la coordinata longitudinale, z e la coordinata verticale, P e la pressionemedia,  e la densita del 
uido, ge l'accelerazione di gravita,  e la viscosita3
4 CAPITOLO 1. MOTO TURBOLENTO NEI CANALI
cinematica,  e l'angolo di inclinazione del fondo del canale rispetto all'asseorizzontale e r2 e l'operatore Laplaciano.Per moto uniforme in un canale a pelo libero, ritenendosi valide le ipotesiUz =0e @@x = 0, l'equazione (2.3) puo essere integrata in direzione z fornendo:P = g cos (h z)+(u1zs2  u1z2) (1.4)dove h e la profondita della corrente, u1zs indica l'ampiezza delle 
uttuazioniturbolente sul pelo libero. Il primo termine a destra della (2.4) e il contributodella pressione idrostatica, il secondo della turbolenza rispetto alla pressionemedia P .La combinazione di (2.2) e (2.4), dopo l'integrazione, fornisce: = u1xu1z +  @Ux@z = U2 (1 zh) (1.5)b = U2 = gh(sin   cos dhdx)  ghIe (1.6)dove U elavelocita d'attrito e Ie  sin cos  dhdx e il gradiente dell'energia.L'equazione (2.5) indica che lo sforzo di taglio totale  varia linearmente dalvalore b sul fondo (z=0) al valore zero sul pelo libero (z=h).Per moto uniforme bidimensionale la produzione di energia turbolenta G e ladissipazione di energia del moto medio E sono denite come:G u1xu1z(@Ux@z ) (1.7)E  (@Ux@z )2 (1.8)Entrambe si realizzano a spese dell'energia del moto medio; moltiplicandola (2.5) per @Ux@z e integrando da z=0 a z=h si ottiene:Z h0 Gdz + Z h0 Edz = UmxU2 =(b )Umx (1.9)
1.1. CAMPO DI MOTO BIDIMENSIONALE 5dove il termine Umx indica la velocita media lungo la verticale e il termine( b )Umx il lavoro del 
usso medio contro lo sforzo tangenziale al fondo b .L'equazione (2.9) indica che l'energia del moto medio e consumata in 2 modi:la produzione di turbolenza e la dissipazione viscosa. Il termine di produzio-ne G genera 
uttuazioni turbolente associate principalmente alla macroscaladella turbolenza; l'energia turbolenta e poi trasferita alla microscala attraversoun processo a cascata ed e inne dissipata in calore dalle forze di viscositamolecolare.La legge di pareteLa legge di parete si applica alla regione in prossimita del fondo; le scale ca-ratteristiche in tale zona sono rispettivamente la lunghezza =U e la velocitaU. Per fondo liscio, la teoria della lunghezza di mescolamento di Prandtlsuggerisce: u1xu1z  l2(@Ux@z )j@Ux@z j (1.10)che sostituita nella (2.5) fornisce la seguente espressione adimensionalizzataper il gradiente di velocita:dUx+dz+ = 2(1 )1+q1+4l+2(1 ) (1.11)dove   z=h; U+  Ux=U e z+  zU= e la coordinata z normalizzatacon la lunghezza di mescolamento =U. Inoltre deniremo Re  Uh= ilnumero di Reynolds per la velocita di attrito (U) e per la profondita del 
usso(h) ed l+  lU= la lunghezza di mescolamento adimensionalizzata. Una vol-ta determinato l'andamento della lunghezza di mescolamento l+, dalla 2.11, siricava il gradiente di velocitache integrato fornisce il prolo di velocita.Nella 'regione di parete' (z/h<0.2) l'andamento della lunghezza di mescola-mento puo essere assunto lineare eccetto in prossimita del fondo dove gli eetti
6 CAPITOLO 1. MOTO TURBOLENTO NEI CANALIviscosi giocano un ruolo molto importante. Nel caso di strato limite in uncanale chiuso tale andamento puo essere scritto come:
l+ = z+ 
 (z+) (1.12)(z+)  1 exp(z+B ) (1.13)dove  e la costante di von Karman e  e la funzione di smorzamento divan Driest, con B fattore di smorzamento.Il valore B = 26 e stato ottenuto empiricamente da van Driest (1926) perdomini niti ed e stato confermato da Nezu-Rodi (1986) per canali a pelolibero. Finche  = z=h 1 nella 'regione di parete' (il cui spessore dipende daRe), si puo ottenere la seguente distribuzione di velocitaintegrando la (2.11)e usando la (2.12) e (2.13):U+x = z+ per z+  B (1.14)U+x = 1ln(z+)+A per B<z+  0:2Re (1.15)dove Ae la costante di integrazione.L'equazione (2.14) e la distribuzione per il sottostrato viscoso e la (2.15) e lalegge logaritmica; entrambe fanno riferimento alla 'legge di parete' governatadalle variabili interne U e .Per le regioni intermedie a (2.14) e (2.15), l'equazione (2.11) puo essere diret-tamente integrata per fornire la distribuzione di velocita1.Una importante considerazione, inne, e che la costante di von Karman () equella di integrazione (A) nella legge logaritmica possono essere determinateda dati sperimantali nella sola regione di parete (z/h < 0.2).1anche se non e stata trovata una formula semplice per lo strato 5 <z+ < 30
1.1. CAMPO DI MOTO BIDIMENSIONALE 7La legge del difetto di velocitaFino a poco tempo fa, in contrasto con quanto accadeva per tubi e canali chiusi,le informazioni sulla lunghezza di mescolamento nelle zone esterne alla 'zona diparete' (z/h>2) erano limitate. Secondo quanto suggerito da Keulegan(1938),la legge logaritmica poteva essere assunta, per scopi pratici, come rappresen-tativaperl'intera profondita del 
usso in un canale a pelo libero adattando ilvalore della costante di von Karman () e della costante di integrazione (A) aisingoli casi oppure, molto piu spesso, usando semplicemente i valori propostida Nikuradse2 (validi per 
usso in tubo) senza un accurato studio preliminare.Recenti studi hanno dimostrato che la legge logaritmica (2.15) e valida solonella 'regione di parete' e che deviazioni da tale legge non provengono da ag-giustamenti dei parametri  ed A, ma piuttosto dall'aggiunta, alla 2.15, di unafunzione di scia w(z/h):U+ = 1ln(z+)+A + w(z=h): (1.16)Un appropriato andamento per la funzione w(z/h) e stato ricavato empiri-camente da Coles(1956) w(z=h)=2 sin2(z2h ) (1.17)dove  = parametro di intensita di deviazione di Coles.Va comunque detto che, come la regione prossima al fondo e indipendentedalle condizioni di 
usso, in molti strati connati il comportamento delle zoneprossime alla parete puo ritenersi simile e quindi le costanti  ed A nella leggelogaritmica possono rimanere sse.La (2.16) e (2.17) forniscono la seguente relazione:U+max  U+ = 1ln(zh)+2 cos2(z2h ) (1.18)2 = 0.4 ; A = 5.5
8 CAPITOLO 1. MOTO TURBOLENTO NEI CANALIdove U+xmax = Uxmax=U.Introducendo =0 nella (2.18) si ottiene la usuale legge logaritmica (2.15)che rimane comunque valida nella 'regione di parete' (z/h< 0.2) e che vienemodicata dal parametro di Coles nella zona esterna (z/h> 0.2).Integrando la (2.16) dal fondo (z+ = 0) al pelo libero (z+ = Re) si ottiene:s 2Cf = 1ln(sCf2 Re)+(A 1)+ (1.19)dove Cf = 2(U=Um)2 e il coeÆciente di attrito e Re = Umh e il numerodi Reynolds basato sulla velocita media della sezione (Um) e sulla profonditadella corrente (h). In conclusione, per un valore costante dello sforzo di fondola velocita media Um cresce all'aumentare del parametro .1.1.2 Equazioni per l'energia turbolentaLe equazioni dello sforzo turbolento per moto bidimensionale perfettamentesviluppato in un canale a pelo libero sono le stesse del moto in una condottachiusa oinuno strato connato e si riducono a: Asse x u1xu1z(@Ux@z )+p @u1x@x = "1 + 12 @@z(u1x2u1z   @u1x2@z ) (1.20) Asse z p @u1z@z = "2 + 12 @@z(u1z2u1z +2pu1z2   @u1z2@z ) (1.21) Asse y p @u1y@y = "3 + 12 @@z(u1y2u1z   @u1y2@z ) (1.22)dove:
"i  f(@u1i@x )2 + (@u1i@z )2 + (@u1i@y )2g > 0; (i =1; 2; 3) (1.23)
1.1. CAMPO DI MOTO BIDIMENSIONALE 9p sono le 
uttuazioni di pressione, "i e la quota di dissipazione turbolentaassociata a ciascun componente di velocita.Il fatto che per un moto 2-D con gradiente di velocita, come per il moto inun canale, il termine di produzione di turbolenza G = u1xu1z(@Ux@z ) appaia solonell' equazione della direzione x e il termine (p=)@u1i =@xi, che rappresenta lacorrelazione pressione-sforzo, appaia invece lungo le tre direzioni, puo essereusato per spiegare una importante relazione fra le intensita turbolente: ossiache qu1x2 > qu1z2 eche qu1x2 > qu1y2 eche l'energia turbolenta e redistribuitada qu1x2 a qu1y2 e a qu1z2.Poiche il ruolo delle 
uttuazioni di pressione e quello di indurre un comporta-mento tendenzialmente isotropico e le correlazioni pressione-sforzo giocano unruolo fondamentale nella redistribuzione di energia turbolenta sulle tre com-ponenti di velocita, la loro inclusione in modelli di turbolenza e necessariaper eettuare previsioni sulla distribuzione di qu1x2,qu1y2,qu1z2. D'altra par-te, conseguentemente all'equazione di continuita, le relazioni pressione-sforzoscompaiono nell'equazione di bilancio dell'energia cinetica turbolenta k, de-nita come k = (u1x2 + u1y2 + u1z2)=2 e quindi sommando (2.20),(2.21),(2.22),l'equazione dell'energia turbolenta diventa:G = "+(TD + PD)+VD (1.24)"  "1 + "2 + "3 (1.25)TD  @@z(12(u1x2 + u1y2 + u1z2) 
 u1z) (1.26)PD  @@z(p 
 u1z) (1.27)VD  @2k@z2 (1.28)
10 CAPITOLO 1. MOTO TURBOLENTO NEI CANALIdove VD : diusione viscosa ( trascurabile ad una certa distanza dal fondo eper Re elevati; non trascurabile, anche per Re elevati, in prossimita delfondo) " : dissipazione turbolenta totale; (TD + PD):diusione turbolenta; TD : diusione di energia turbolenta; PD : diusione di energia di pressione.L'energia turbolenta e quindi trasferita, con un processo a cascata, dallascala dei macrovortici a quella dei microvortici ed eventualmente dissipata.Poiche alla scala dei microvortici si tende ad un comportamento isotropico, sipuo ritenere valida la seguente approssimazione:
"1 = "2 = "3 = "3 =5(@u1x@x )2 (1.29)Lo schema in g.1.1 descrive bene il fenomeno sico appena descritto.
1.1. CAMPO DI MOTO BIDIMENSIONALE 11
Figura 1.1: Meccanismo di generazione, trasporto e dissipazione di energiaturbolenta1.1.3 Sottodivisioni del campo di moto in canali a peloliberoAlcune osservazioni fenomenologiche sono usate per descrivere il campo di motonei canali a pelo libero. In particolare, vengono introdotte alcune approssima-zioni necessarie per ottenere una soluzione alle (2.20)(2.21)(2.22). In generale,le scale caratteristiche della lunghezza e della velocita vengono selezionate inogni sottoregione.I tre ben conosciuti 'subranges' spettrali di 
uttuazione sono:1. produttivo2. inerziale3. viscoso