Indagine sulle velocità critiche di rotore e determinazioni delle stesse tramite l'utilizzo del metodo di Prohl in linguaggio MATLAB

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                                                                                                                            Introduzione 
 
 La determinazione delle velocità critiche richiede elaborazioni molto complesse, 
esiste anche la possibilità che il rotore si deformi a torsione lungo l’asse di 
rotazione. 
Le corrispondenti velocità critiche si dicono  ‘torsionali’ per distinguerle da quelle 
precedenti dette ‘flessionali’.  
Se il rotore è molto più flessibile dei cuscinetti, questi possono essere supposti 
infinitamente rigidi e, poiché il sistema diventa isotropo la deformazione può essere 
studiata in un piano rotante introducendo un campo di forze centrifughe. 
Le velocità critiche possono essere determinate con procedimenti propri della 
statica, come sarà mostrato successivamente.   
Un altro fenomeno apparentemente diverso connesso alle vibrazioni è quello della 
deformazione di flessione che un albero subisce quando ruota con velocità prossima 
alla velocità critica. 
 Quando l’ampiezza delle vibrazioni è considerevole si giunge a valori elevati delle 
deformazioni interne ε e γ  ed anche delle tensioni σ e τ. I valori delle 
deformazioni e delle tensioni risultano infatti legate dalle note equazioni di 
congruenza. 
Quindi se, ad esempio, l’ampiezza dell’oscillazione è dieci volte superiore a quella 
che si ha in presenza di determinati carichi statici agenti sulla trave, anche le 
sollecitazioni e le tensioni dinamiche agenti sulla struttura saranno dieci volte 
superiori di quelle statiche. 
Un'altra conseguenza delle vibrazioni e del variare periodico delle tensioni,anche tra 
valori opposti, consiste in una alterazione delle proprietà resistenti del materiale che 
vede ridotta  la propria s  di rottura e che diviene fragile ovvero non capace di 
sopportare grandi deformazioni prima di rompersi. 
Ulteriori effetti possono essere quelli relativi agli allentamenti dei collegamenti 
chiodati o avvitati e ad una conseguente riduzione della solidarietà delle varie parti 
della struttura.  
 
 
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                                                                                                                            Introduzione 
 
In alcuni casi le vibrazioni possono essere utilizzate per l’analisi delle condizioni 
statiche di un sistema.  
Se la frequenza della vibrazione con cui risponde il mezzo sollecitato è elevata 
significa che lo stesso ha la capacità  di  riassumere  rapidamente  la  configurazione  
antecedente il disturbo ossia la struttura possiede ancora riserve di resistenza.  
Tale valutazione spesso viene utilizzata per saggiare i solai. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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                                                                                                                                       Indice                                                         
 
 
 
Indice 
 
 
 
Introduzione………………………………………………..……………….………………1 
Velocità critiche………………………………………..………………….………………1 
 
Indice………..…………………………………………………………………………….... 4 
 
1  Dinamica dei rotori rigidi……………………..…………………………………….…...6 
1.1 Rotore rigido  simmetrico…………………….……………………………………….6 
1.2 Rotore rigido non simmetrico………………….…………………………………….. 9 
 
2  Velocità critiche nei rotori flessibili……………….……………………….................. 11 
    2.1  Albero di massa trascurabile con volano eccentrico…….………………………… 11 
2.2  Stabilità dell’albero di massa trascurabile con volano eccentrico........................... 14 
2.3  Albero di massa trascurabile con volano centrato.................................................... 16 
   2.4  Analogia tra pulsazioni critiche di  rotore  di  massa  non  trascurabile   e  pulsazioni 
    naturali nelle travi di sezione costante………………………………....…...…........ 18                    
2.4.1  Caso della trave appoggiata................................................................................ 18 
2.4.2  Caso della trave a mensola................................................................................. 21 
2.5 Vibrazioni forzate delle travi a sezioni costante......................................................  23 
2.6  Vibrazioni di torsione.............................................................................................. 25 
2.7  Cenno sulle vibrazioni non armoniche………………………………...……...….  26 
2.8 Vibrazioni autoeccitate............................................................................................. 28 
2.9 Applicazioni tecniche varie....................................................................................... 30 
2.9.1  Apparecchi per misurare le vibrazioni.....................................................................30 
2.9.2  Apparecchi per la generazione di vibrazioni forzate................................................. 31 
 2.10 Azione giroscopica di un volano non situato in mezzeria........................................... 32 
2.11 Cenno a problemi più complessi inerenti gli alberi rotanti………………………..… 36 
 
 
 5 
                                                                                                                                       Indice                                                         
 
 
3  Metodi per il calcolo delle velocità critiche di rotore…………………...……..….… 38 
3.1  Illustrazione del metodo di Prohl.............................................................................. 38 
    3.2  Esempio di applicazione in cui viene utilizzato il metodo di Prohl........................... 40 
    3.3  Modello a masse concentrate per un rotore flessibile su cuscini rigidi.................... 44 
    3.4  Metodo energetico per il calcolo della prima velocità critica di rotore................... 46  
 
4  Indagine sulle velocità critiche  di rotore in Matlab……………………………...….. 49 
   4.1 Presentazione del problema…………………………………………………......….. 49 
   4.2 Descrizione del  programma 1 che  fornisce  analiticamente  i  valori  delle  prime tre  
         pulsazioni critiche del rotore in esame…………………………………………..…. 50 
4.3 Descrizione del programma 2 che fornisce una visualizzazione grafica dei valori delle 
      prime tre pulsazioni critiche del rotore in esame…………………………...……..... 51 
4.4 Testo del programma 1…………………………………………………………..….... 53 
4.5 Testo del programma 2…………………………………………………………..….... 57 
4.6 Esecuzione del programma 1………………………………………………………..…59 
4.7 Esecuzione del programma 2…………………………………………………….….... 82 
4.8 Risultati finali…………………………………………………………………...……. 82 
 
Conclusioni…………………………………………………………………………....…. 83 
 
Bibliografia………………………………………………………………………………. 86 
 
Indice delle figure…………………………………………………………….……....….. 87 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capitolo Primo                                                                                Dinamica dei rotori rigidi             
 
 
 
 
1  Dinamica dei rotori rigidi 
 
 
 
 
  
1.1     Rotore rigido  simmetrico 
 
 
Come primo esempio studiamo il caso di un rotore rigido appoggiato su cuscinetti 
elastici e smorzanti tale che il suo baricentro coincida con il centro della figura. I 
cuscinetti sono identici e simmetricamente disposti rispetto al baricentro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
     Figura 1-1: Schematizzazione di un rotore rigido simmetrico  appoggiato su cuscinetti elastici 
 
 
In questo caso esprimendo lo spostamento gd  del baricentro in funzione degli 
spostamenti delle sezioni dei cuscini, supposti uguali, si ottiene: 
2
ba
g
dd
d −−
−
+
=    
A B 
G 
l 
y 
z 
x 
x  
h
 7 
Capitolo Primo                                                                                Dinamica dei rotori rigidi             
 
essendo   ),,( gg
g
yxd =
−
 ),,( aa
a
yxd =
−
),( bb
b
yxd =
−
. 
Analogamente le rotazioni x  ed h  valgono: 
l
yy ba −=x  
l
xx ba −−=h  
dove  x  ed  h  sono rispettivamente le rotazioni attorno agli assi x ed y  e valutate 
positive in verso orario. 
Possiamo indicare con a  il vettore rotazione della generica sezione di componenti 
x  ed  h . 
−
a = ),(
l
xx
l
yy baba −−
−
.   
La prima equazione cardinale della dinamica del corpo rigido applicata al rotore si 
scrive:  
g
dm
**
−
= f
ba
++
−−
tt . 
Dove 
a−
t  e 
b−
t  rappresentano  le  reazioni  vincolari  esplicate  dai  cuscinetti    
mentre
−
f   rappresenta la risultante delle forze esterne applicate al rotore. 
Per quanto riguarda i cuscinetti si suppone che gli spostamenti delle rispettive 
sezioni siano così piccoli da poter porre: 
*
−−−
−−= dcdkt  
Dove k e c sono  le seguenti matrici: 
 
 
               xxk         xyk  
 =k  
               yxk         yyk  
 
 
 8 
Capitolo Primo                                                                                Dinamica dei rotori rigidi             
 
 
               xxc          xyc  
=c  
                yxc         yyc  
 
 
 
Proiettiamo ora la prima equazione cardinale della dinamica del corpo rigido per il 
rotore in questione: 
−−= xk xxxt
**
ycykxc xyxyxx −−  
**
ycxkxcxk yyyyyxyxy −−−−=t  
In seguito ad opportune sostituzioni ed ipotizzando kkk ba ==  e ccc ba == , ipotesi 
in accordo con la simmetria del rotore, si ottiene: 
−−−−
=++ fdkdcdm
ggg
22
***
 
L’equazione differenziale  è del secondo ordine ed a coefficienti costanti e può 
essere proiettata in direzione x ed y. 
Per determinare  gli spostamenti del baricentro al variare del lungo tali direzioni in 
modo univoco, occorrerà imporre le opportune condizioni al contorno. 
Possiamo ora scrivere la seconda  equazione cardinale della dinamica e proiettarla 
nella terna principale di inerzia prescelta ottenendo così operando le equazioni di 
Eulero:  
 
 








−+=
−+=
−+=
***
***
***
)(
)(
)(
hxw
wxh
whx
yxzz
xzyy
zyxx
JJMJ
JJMJ
JJMJ
 
 
 
 9 
Capitolo Primo                                                                                Dinamica dei rotori rigidi             
 
Dove 
zyx MMM ,,  sono le componenti nella terna prescelta del momento risultante 
esterno applicato al rotore.  
Nel nostro caso il rotore è simmetrico e dunque 
tyx JJJ == . 
Possiamo supporre inoltre che la velocità angolare  w  sia costante. Ponendo anche 
tzp JJJ −=  otteniamo il seguente sistema: 
 





=−
=+
ypt
xpt
MJJ
MJJ
***
***
xwh
hwx
 
 
La terza equazione esprime semplicemente l’equilibrio tra momento motore e 
momento resistente applicati all’asse z. 
Il sistema appena presentato ci permette di conoscere l’andamento al variare del 
tempo delle rotazioni x  ed  h  rispettivamente intorno agli assi  principali di inerzia 
x ed  y. 
  
 
 
1.2 Rotore rigido non simmetrico 
 
La dissimetria del rotore può essere dovuta ad uno spostamento del baricentro dal 
centro della figura pur se questo rimane sull’asse di istantanea rotazione oppure ad 
un diverso comportamento dei cuscinetti. 
Indichiamo con  l∆  lo spostamento del baricentro lungo l’asse z.  
Le coordinate del baricentro sono correlate a quelle del centro della sezione dei  
cuscinetti dalla seguente espressione: 
l
l
dddd
d abba
g
∆
−
+
+
= −−−−
− 2