Implementazione di algoritmi di Controllo Predittivo vincolato in Matlab/Simulink

Abstract
Questo elaborato ha l’obiettivo di mostrare il funzionamento della tecnica di Controllo
Predittivo in relazione ai sistemi dinamici a tempo discreto, analizzando i molteplici van-
taggi che il suo utilizzo comporta. Un vincolo  e una qualunque condizione imposta a un
sistema sico che gli impedisce di assumere una potenziale congurazione, in riferimento
agli stati interni, alle grandezze in ingresso o alla risposta alle sollecitazioni esterne. Tali
limitazioni possono essere dovute a particolari dinamiche di funzionamento del sistema
o a precise imposizioni da parte dell’utente che lo governa o dell’ambiente che lo cir-
conda. Il Controllo Predittivo consente di rispettare proprio questi vincoli, individuando
la migliore successione di ingressi capace di regolarne gli stati o asservire un riferimento
prescelto sull’uscita.
Dopo una breve Introduzione sui sistemi dinamici e sul perch e sia importante concen-
trarsi sul loro controllo, nel Capitolo 2 si prosegue con una discussione teorica dell’argomen-
to principale dell’elaborato: dalle componenti di base su cui il Controllo Predittivo lavora,
alla losoa del Receding Horizon. Nel Capitolo 3  e presentato l’ambiente di calcolo nu-
merico Matlab, utilizzato per implementare le tecniche descritte nelle sezioni precedenti:
dopo aver fornito i rudimenti del suo funzionamento,  e introdotto il toolbox Yalmip, per
la descrizione e la risoluzione di problemi di ottimizzazione, e lo strumento di creazione
di interfacce grache GUIDE. L’elaborato termina con l’illustrazione e la simulazione di
due casi di studio: la cascata di due integratori e il legame tra l’angolo descritto dagli
elevators di un aereo e il proprio angolo di incidenza.
 E stata costruita un’interfaccia graca per osservare interattivamente il comportamento
del primo esperimento, variando i parametri di simulazione e interpretando l’evoluzione
dei segnali generati.
 E presente inne un’appendice in cui sono riportati gli script utilizzati
per risolvere i problemi discussi nell’elaborato.
CAPITOLO1
INTRODUZIONE
1.1 Cos’ e un sistema dinamico?
Un sistema dinamico  e l’astrazione di un processo reale, composto da una o pi u parti
aggregate tra loro a formare sistemi pi u complessi.
 E descritto da tre variabili: gli ingressi
u che coincidono con le sollecitazioni provenienti dall’ambiente in cui il sistema  e collocato;
gli stati x che descrivono la propria congurazione interna; le uscite y sono le risposte del
sistema agli ingressi e tengono conto dello stato corrente. La presenza degli stati permette
di denire il sistema "dinamico", dotandolo di memoria degli avvenimenti passati: nel
caso in cui le uscite dipendessero unicamente dagli ingressi, il sistema non avrebbe stato
e sarebbe detto puramente algebrico.
Nonostante le formulazioni matematiche che saranno discusse pi u avanti, alla luce di
quanto gi a esposto  e possibile aermare che la risposta di un sistema possa dipendere o
meno da un ipotetico ingresso ad esso applicato. Distinguiamo pertanto tra
(a) risposta liberay
l
, dovuta alle condizioni iniziali del sistema e soprattutto in assenza
di segnali in ingresso, potendo riscontrare solamente l’eetto degli stati del sistema;
(b) risposta forzatay
f
, causata da un particolare ingresso fornito da un sorgente esterna.
Senza alcuna perdita di generalit a e ricorrendo al principio di sovrapposizione degli eetti
sotto l’ipotesi di linearit a, si pu o dire valga sempre la relazione y =y
l
+y
f
.
3
1.1.1 Caratteristiche principali
Per conoscere pi u a fondo il contesto in cui l’argomento di questo elaborato  e posizion-
ato,  e consigliabile discutere le propriet a fondamentali dei sistemi dinamici. Questa scelta
consente, in sede di analisi e discussione degli argomenti successivi, una pi u facile com-
prensione dei problemi posti.
Un sistema dinamico che presenta un numero unitario di ingressi e uscite  e detto SISO
(Single Input Single Output), o scalare, altrimenti  e denito sistema MIMO (Multiple
Input Multiple Output). Naturalmente pu o esistere anche una loro combinazione, che
presenti ad esempio un solo ingresso e molte uscite, o viceversa: in questo caso i sistemi
sarebbero rispettivamente detti SIMO e MISO.
Possiamo trattare gli ingressi e le uscite come segnali temporali, evidenziando appunto la
loro dipendenza dal tempo. In tal caso, se l’asse dei tempi che ne caratterizza l’evoluzione
 e un sottoinsieme di < allora il sistema  e detto a tempo continuo e si parla di segnale
analogico; se l’asse  e un sottoinsieme numerabile di < allora  e denito a tempo discreto
e opera con segnali discreti, rappresentati come successioni di numeri reali associate agli
istanti temporali considerati. Possiamo anche introdurre i segnali digitali che coincidono
con una particolare classe di segnali discreti, in cui i singoli valori sono descritti mediante
una sequenza nita di bit.
Un sistema  e strettamente proprio, o puramente dinamico, se l’uscita dipende unica-
mente dal valore corrente degli stati; se possiede anche una dipendenza diretta dal valore
dell’ingresso attuale, il sistema  e detto solamente proprio. Spesso si utilizza il termine
"causale" come sinonimo di "proprio" e si pu o studiare questa propriet a a partire dalla
funzione di uscita. Un sistema sico non potr a mai essere improprio: realmente  e impos-
sibile che l’uscita misurata in un istante di tempo t possa dipendere dall’ingresso a un
istante successivo.
Un sistema  e lineare se l’evoluzione degli stati e dell’uscita pu o essere scritta come
combinazione lineare degli ingressi e degli stati correnti. In particolare, essendo una
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trasformazione lineare, devono essere garantite le propriet a di additivit a [ f(x+y) =x+y]
e di omogeneit a [ f(x ) =f (x)].
Un sistema  e detto tempo invariante se l’uscita non dipende dall’istante di applicazione
dell’ingresso, ma solo dalla natura dei segnali coinvolti. Ottenuta la risposta y(t) dovuta
al segnale in ingresso u(t), un sistema  e denito stazionario se x
0
(t) = x
0
(t +k) e per
l’ingresso u(t +k) = u(t) segue che y(t +k) = y(t). La costante k pu o assumere valori
sia positivi che negativi: questa propriet a sussiste indipendentemente dal rapporto di
anteriorit a o posteriorit a tra i segnali considerati.
1.1.2 Rappresentazioni matematiche
I formalismi adatti a rappresentare un sistema dinamico sono molteplici e una tra le
descrizioni matematiche pi u esaurienti la rappresentazione ISU (Ingresso-Stato-Uscita),
che lega gli stati futuri e le uscite agli ingressi e agli stati passati. Nel caso di un sistema
a tempo continuo, il formalismo appena citato avr a la forma
8
>
>
>
<
>
>
>
:
_ x =f(x;u)
y =g(x;u)
x(t
0
) =x
0
(1.1)
dove f(x,u)  e conosciuta come funzione generatrice e g(x,u)  e denita funzione d’uscita.
L’evoluzione del sistema  e inuenzata anche dalla congurazione interna iniziale, che nel
caso dello stato di quiete coincide con tutte le variabili a valore nullo. Nel caso di sistemi
a tempo discreto, il sistema riportato sopra conterrebbe equazioni alle dierenze nite,
introdotte nei prossimi paragra.
Facendo ricorso a una scrittura che faccia uso di matrici, le variabili del sistema dinam-
ico possono essere considerate dei vettori di lunghezza opportuna. Tenendo conto della
propriet a di linearit a, la rappresentazione ISU pu o essere riscritta nella forma
8
>
>
>
<
>
>
>
:
_
x(t) =Ax(t) +Bu(t)
y =Cx(t) +Du(t)
x(t
0
) =x
0
(1.2)
5