8
I - 2. Impostazione dell’analisi.
Per raggiungere l’obiettivo che ci si è posti, verranno descritti
alcuni dei principali modelli matematici impiegati nella gestione
aziendale valutandone i punti di forza e i punti di debolezza. In
particolare, l’impostazione del lavoro percorrerà lo schema logico che
segue. In primo luogo verranno definiti i concetti di sistema, teoria, e
modello al fine di illustrare le posizioni assunte dalla dottrina
economico aziendale in relazione a detti termini di riferimento; di
seguito verranno analizzate le diverse tecniche di ricerca operativa
trattando i problemi di decisione in condizioni di certezza e in
condizioni di incertezza. Verranno, quindi, trattati i problemi di
programmazione matematica con particolare riferimento alla
programmazione lineare; di seguito verrà presentato un modello per la
determinazione della livello di spesa pubblicitaria ottima e per la
previsione delle quote di mercato future utilizzando il processo
stocastico delle catene di Markov.
Nel capitolo seguente, verrà discusso uno strumento di ricerca
operativa: lo studio di fattibilità. A titolo di esempio, lo studio fa
riferimento alla realizzazione di un progetto software con due diversi
livelli alternativi di qualità. Per questo motivo verrà presentato un
modello matematico per la determinazione del punto ottimo di qualità
del software e in seguito verrà correlato tale punto ottimo con il rischio
imputabile alla qualità determinando, così, il punto ottimo di qualità del
progetto complessivo.
9
L’ultimo capitolo è dedicato alle problematiche di internal
auditing che deve affrontare il revisore interno quando, nello
svolgimento della sua attività, si trova a dover revisionare un modello
matematico impiegato in azienda.
Il lettore sarà guidato all’interno di questo studio dal seguente
filo conduttore: qualsiasi modello matematico deve essere usato in
azienda solamente come supporto per prendere delle decisioni; il
modello matematico non può essere l’unico supporto informativo ma
deve essere messo in relazione con degli altri; devono essere conosciuti
i limiti della base teorica su cui si fonda al fine di conoscere gli
eventuali limiti del risultato ottenuto. In altre parole, non deve
sussistere una relazione diretta e meccanicistica tra il risultato del
modello matematico e la decisione che ne scaturisce. Tale decisione
verrà realizzata solo se viene confermata da un adeguato sistema di
supporti informativi decisionali, di cui i modelli matematici
costituiscono una componente ma ne non esauriscono il contenuto.
10
II - SISTEMA, TEORIA E MODELLO
SOMMARIO: II - 1. Premessa. - II - 2. Il sistema. - II - 3. La teoria
dei sistemi e i modelli matematici e icononici.
II - 1. Premessa.
I modelli matematici possono essere applicati a singoli contesti
del sistema aziendale o alla sua globalità. Al fine di chiarire il ruolo da
essi svolto all’interno del sistema, occorre valutare la loro posizione
concettuale e i legami che intercorrono tra il sistema, la teoria del
sistema e il modello del sistema.
II - 2. Il sistema.
L’azienda può essere considerata come un sistema teleologico
1
,
cioè finalizzato al raggiungimento dell’obiettivo principe della
“sopravvivenza soddisfacente”, l’impresa deve, cioè, sopravvivere
soddisfacendo gli interessi dei soggetti esterni (consumatori della
produzione) e dei soggetti interni (portatori dei fattori produttivi). Le
1
“Lo stesso istituto aziendale, quindi, per la dinamica della sua gestione, è
descrivibile ed analizzabile nella sua intrinseca (ontologica) qualità di sistema
teleologico”, G. TROINA, Elementi, 1997, 37.
11
due condizioni di sopravvivenza e di soddisfazione sono intimamente
connesse: non vi può essere sopravvivenza senza soddisfazione e non
vi può essere soddisfazione senza sopravvivenza. Per raggiungere detti
obiettivi il management si trova a dover scegliere tra varie alternative
possibili. La selezione di una di esse deve essere compiuta con
strumenti razionali che consentano di quantificarne gli effetti e le
possibili ripercussioni sul futuro aziendale
2
. Si comprende, quindi,
come ciò che l’azienda “è” in un dato momento e “sarà” in un momento
futuro dipende anche dalle scelte compiute nel passato e nel presente:
in sostanza dipende dal sistema di scelte adottato.
Il grande sistema aziendale può, tuttavia, essere scomposto in
tanti sub-sistemi collegati tra loro, reciprocamente connessi e dotati
della proprietà della complementarietà
3
. Ogni sub-sistema non ha
valore di per sé, stand alone, ma solo per l’appartenenza al più grande
sistema aziendale
4
. Conseguentemente, il sistema di scelte a livello
macro-aziendale può suddividersi in un sistema di scelte a livello di
2
“La teoria generale dei sistemi ... offre allo studioso una interessante prospettiva
di ricerca ed all’imprenditore la possibilità di operare più razionalmente”, Antonio
AMADUZZI, Manuale, 1993, 69.
3
“L’impresa, infatti, essendo articolata in sub-sistemi cofinalizzati, si atteggia a
sistema dotato di equifinalità, ossia della capacità di raggiungere un certo risultato
finale partendo da condizioni iniziali differenti e operando in modi diversi”, G.
FERRERO, Impresa, 1987, 11.
4
In tal senso Antonio AMADUZZI, Il controllo, 1970, 84; P. ONIDA, Economia,
1971, 254.
12
micro-azienda. Questo processo di suddivisione per complementarietà
può essere ripetuto, così da scomporre ulteriormente le scelte a livello
di micro-azienda in scelte di livello ancora più piccolo
5
. La
scomposizione è utile al fine di semplificare l’analisi del problema da
risolvere, di rendere maggiormente individuabili le variabili
indipendenti e, quindi, attendibili le variabili dipendenti.
II - 2. 1. Rappresentazione e classificazione dei sistemi.
Un sistema può essere rappresentato nel modo seguente:
5
“... l’entità che stiamo esaminando sarà sicuramente parte di un certo numero di
sistemi del genere, ciascuno dei quali è un sottosistema di una serie di sistemi più
ampi”, S. BEER, Cibernetica, 1969, 30.
13
Figura 1: Rappresentazione grafica di un sistema finito.
Il rettangolo grande rappresenta il contesto entro il quale è
definito il sistema, mentre i rettangoli interni rappresentano, i
sottosistemi in cui esso risulta scomponibile. Le linee di unione tra i
vari sottosistemi indicano l’esistenza di flussi informativi tra i vari
sottosistemi. Il sistema, inoltre, è influenzato da agenti esterni ai quali
deve essere reattivo. La capacità di reazione denota la maggiore o
minore flessibilità del sistema nei confronti degli agenti esterni.
Il modello di contesto, quindi, ha l’obiettivo di descrivere tutti i
flussi informativi scambiati dal sistema con entità esterne. La
scomposizione del sistema, invece, ha l’obiettivo di individuare delle
macro-funzioni che possono essere analizzate in parallelo al fine di
abbattere la complessità del progetto e di ottimizzare i flussi
informativi.
Agente esterno
Agente esterno
Agente esterno
14
Questa rappresentazione è semplificata, dato il numero piuttosto
esiguo delle componenti ma, all’aumentare di esse, aumenta anche la
complessità della rappresentazione e, cosa più importante, la
complessità dello studio. In altri termini, esiste una relazione diretta tra
la complessità dell’analisi ed il numero delle componenti. Inoltre, la
rappresentazione fornita è di tipo statico, cioè fotografata in un dato
momento; pertanto, può essere utile studiare il problema dal punto di
vista dinamico, cioè nella sua evoluzione temporale da uno stadio
all’altro. Deve concludersi che la complessità dell’indagine dipende in
maniera diretta dal numero delle componenti e dal numero degli stadi
del sistema. Queste considerazioni evidenziano una possibile
distinzione tra sistemi semplici, complessi o eccessivamente complessi.
Un’ulteriore distinzione può essere compiuta tra i sistemi
deterministici e i sistemi stocastici. Nei primi si ha informazione certa
sugli stadi assunti dal sistema: un sistema deterministico rivela un
comportamento del tutto prevedibile. Nei sistemi stocastici, al
contrario, viene utilizzata una variabile aleatoria che associa una
distribuzione di probabilità ai vari stadi del sistema. Così, ad esempio,
il sistema può trovarsi nello stadio “leader di mercato” con probabilità
0,3 e nello stadio “non-leader di mercato” con probabilità 0,7.
In maniera schematica si può osservare la seguente
classificazione:
15
Figura 2: Classificazione dei sistemi.
Statico
Dinamico
Deterministico
Stocastico
Semplice
Complesso
Eccessivamente Complesso
Stadi finiti
Stadi infiniti
Sistema
Data questa classificazione discende che l’impresa può essere
considerata come un sistema dinamico, stocastico, a stadi infiniti,
eccessivamente complesso.
Il problema principale dell’impresa è la regolazione e la gestione
delle molteplici variabili aziendali, le quali si evolvono dinamicamente
ed in maniera interconnessa; quest’aspetto è oggetto di studio da parte
della cibernetica. E’ detto, infatti, cibernetico “quel sistema istituito e
governato dall’uomo per il raggiungimento di un definito obiettivo. In
tale sistema si viene ad instaurare il principio di autoregolazione e di
autocontrollo”
6
. Lo studio dei messaggi, e particolarmente dei messaggi
di governo, è oggetto della scienza della cibernetica, il cui termine di
origine greca significa, appunto, arte del pilota o arte del timoniere
7
. La
cibernetica costituisce, quindi, la scienza che studia il governo
dell’impresa, considerata come un’entità dotata di autonomia, in cui,
cioè, le singole funzioni sono responsabili del proprio governo.
Occorre, però, che l’autogoverno della singola funzione avvenga in
6
Antonio AMADUZZI, Manuale, 1993, 70.
7
Cfr. N. WIENER, Introduzione alla cibernetica, 1966, 23.
16
armonia con le altre tenendo presente la loro appartenenza ad un
sistema
8
. Inoltre, occorre che la funzione abbia come obiettivo quello di
giungere ad una situazione di equilibrio stabile del sistema e che tale
situazione sia raggiungibile qualunque sia il punto di partenza e con il
minore dispendio di energie possibili: occorre cioè rimuovere la
tendenza all’entropia
9
.
Figura 3: Cibernetica e stabilità dell'equilibrio del sistema.
8
In tal senso S. BEER, L’azienda, 1973, 18-21; S. BEER, Cibernetica, 1969, 15-
25.
9
In tal senso S. BEER, Cibernetica, 1969, 47-51; G. TROINA, Elementi, 1997, 37-
39.
Equilibrio
non stabile
Equilibrio
stabile
17
II - 2. 2. I sistemi caotici e la teoria del caos.
L’entropia deve essere intesa come il processo di disgregazione
che conduce ad una progressiva perdita di ordine. Tale concetto deriva
dalla termodinamica dove è utilizzato per indicare la tendenza
inesorabile di ogni sistema a scivolare verso uno stato di disordine
crescente. Entropia è il nome utilizzato per designare quella
caratteristica dei “sistemi che aumenta in conseguenza della seconda
legge della termodinamica: mescolanza, disordine, casualità”
10
.
Pertanto si potrebbe concludere che l’impresa costituisce un sistema
tendente all’entropia che si manifesta come un insieme di errori nelle
scelte dovuti all’incapacità di determinare in maniera esatta le
condizioni iniziali del problema. Questa incapacità costringe ad
approssimarsi a dette condizioni che, a titolo di esempio, possono
identificarsi negli stimoli della domanda, nelle innovazioni del
processo tecnologico o nella percezione delle istanze interne
all’azienda
11
. La conseguenza fondamentale di questo approccio è che,
a partire da condizioni iniziali approssimate e analizzando il processo
dal punto di vista dinamico, si giunge a evoluzioni che si discostano dal
reale sempre di più, fino alla scomparsa di qualsiasi tipo di
somiglianza
12
. Questo fenomeno è indicato con il nome di dipendenza
10
J. GLEICK, Caos, 1996, 252.
11
In tal senso G. FERRERO, Impresa, 1987, 5-11.
12
“Il sistema di impresa ... diviene complicato e complesso, la presunta
predicibilità dei fatti che accadranno ha un piccolo raggio di azione; si sposta nel
18
sensibile dalle condizioni iniziali
13
e può essere definito formalmente
nel modo seguente:
Un flusso F
t
: UÆU dove U R
n
, ha una dipendenza sensibile dalla
condizioni iniziali se esiste un Γ>0 tale che, per ogni x U e per ogni
intorno N di x, esiste y N e t>0 tale che |F
t
(x)-F
t
(y)|> Γ.
La definizione indica semplicemente che si ha dipendenza
sensibile dalle condizioni iniziali quando, partendo da situazioni y
molto vicine a x (y appartiene ad un intorno N di x) si ha una
discordanza nel valore della funzione maggiore di un valore assegnato
Γ.
breve andare giacché, oltre un certo tempo la tendenza di fondo sfuma nella nebbia
dell’incertezza e del non conoscibile”, G. TROINA, Elementi, 1997, 553.
13
Questo fenomeno trova grande applicazione nella meteorologia dato che la
situazione atmosferica al tempo n dipende dalla situazione al tempo n-1 che, a sua
volta, dipende dalla situazione al tempo n-2 e così via a ritroso. L’affermazione
secondo la quale “anche un battito d’ali di una farfalla può provocare un uragano
dall’altra parte del pianeta” è sintomatica della forte dipendenza dalle condizioni
iniziali che si ha in meteorologia. Cfr. G. ZANARINI, Finestre sulla complessità,
1994, 17-22.
19
Figura 4: Dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali.
Dal grafico, infatti, emerge che al tempo T=n si giunge alla
scomparsa di qualsiasi tipo di somiglianza tra il fenomeno reale e
quello previsto, pur partendo da condizioni iniziali in T=0 dotate di
elevata bontà dell’approssimazione.
L’esistenza di questo fenomeno rende palese l’importanza di un
equilibrio stabile del sistema. Un comportamento stabile in un sistema
è un comportamento che si mantiene qualora lo stato di equilibrio fosse
stato perturbato. La stabilità è una condizione che si deve desiderare e
una condizione a cui si deve giungere e condurre un sistema. Per
comprendere meglio l’importanza di essa, appare opportuno effettuare
un esempio, prendendo come modello matematico di rappresentazione
della realtà la funzione f(x) = 2x (1-x).
Fenomeno reale
Fenomeno previsto
T=0 T=n
20
Tabella 1: Il punto fisso della funzione f(x)=2x(1-x).
Istante x f(x)=2x(1-x) x f(x)=2x(1-x) x f(x)=2x(1-x)
Iniziale 0,2 0,32 0,1 0,18 0,6 0,48
2 0,32 0,4352 0,18 0,2952 0,48 0,4992
3 0,4352 0,4916 0,2952 0,4161 0,4992 0,4999
4 0,4916 0,4999 0,4161 0,4859 0,4999 0,5
5 0,4999 0,5 0,4859 0,4996 0,5 0,5
6 0,5 0,5 0,4996 0,5 0,5 0,5
7 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
8 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
9 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
Tale funzione è adatta per la rappresentazione di un sistema
dinamico discreto in cui, in particolare, il valore della variabile
indipendente al tempo n è uguale al valore assunto dalla variabile
dipendente al tempo n-1. Così, nell’esempio proposto e nel caso
dell’istante iniziale con x=0,2 si ha che il valore della x nell’istante 4
(x=0,4916) è uguale al valore assunto dalla f(x) nell’istante 3
(f(x)=0,4916).
La tabella mostra che qualsiasi sia la determinazione della
variabile indipendente nell’istante iniziale (x=0,2; x=0,1; x=0,6) il
sistema converge sempre verso il punto fisso 0,5. Ciò indica l’esistenza
di un sistema imprevedibile localmente ma stabile su scala globale e la
21
conseguente e fondamentale capacità di effettuare una previsione certa
nel lungo periodo.
Le conclusioni cui si è giunti sono completamente opposte ove si
cambi il modello matematico di partenza. Così, ad esempio,
considerando la funzione f(x)=4x(1-x) si arriverebbe ad evidenziare un
comportamento completamente diverso che indicheremo con il termine
caos:
22
Tabella 2: Situazione di caos.
Istante x f(x)=4x (1-x) x f(x)=4x (1-x) x f(x)=4x (1-x)
iniziale 0,2 0,64 0,20001 0,64002 0,75 0,75
2 0,64 0,9216 0,64002 0,92157 0,75 0,75
3 0,9216 0,28901 0,92157 0,28910 0,75 0,75
4 0,28901 0,82193 0,28910 0,82209 0,75 0,75
5 0,82193 0,58542 0,82209 0,58503 0,75 0,75
6 0,58542 0,97081 0,58503 0,97108 0,75 0,75
7 0,97081 0,11333 0,97108 0,11233 0,75 0,75
8 0,11333 0,40197 0,11233 0,39884 0,75 0,75
9 0,40197 0,96156 0,39884 0,95907 0,75 0,75
10 0,96156 0,14783 0,95907 0,15704 0,75 0,75
11 0,14783 0,50392 0,15704 0,52951 0,75 0,75
12 0,50392 0,99993 0,52951 0,99652 0,75 0,75
13 0,99993 0,00024 0,99652 0,01388 0,75 0,75
14 0,00024 0,00098 0,01388 0,05475 0,75 0,75
15 0,00098 0,00393 0,05475 0,20703 0,75 0,75
16 0,00393 0,01568 0,20703 0,65667 0,75 0,75
17 0,01568 0,06174 0,65667 0,90182 0,75 0,75
18 0,06174 0,23173 0,90182 0,35416 0,75 0,75
19 0,23173 0,71212 0,35416 0,91492 0,75 0,75
20 0,71212 0,82001 0,91492 0,31135 0,75 0,75
21 0,82001 0,59036 0,31135 0,85765 0,75 0,75
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