Il minimo margine di solvibilità: un procedimento di valutazione mediante le reti neurali

 L’obiettivo di questa tesi è proporre una metodologia di valutazione 
del minimo margine di solvibilità, nelle imprese di assicurazione del ramo 
vita, attraverso le reti neurali. Il lavoro è suddiviso in quattro capitoli. 
 
 
CAPITOLO 1: IL MARGINE DI SOLVIBILITA’. 
In questo primo capitolo spiego cosa sia il minimo margine di 
so
so
ne
el
pa
ne
de
di
ill
pr
pr
ut
m
pr
pa
e 
dilvibilità e quali siano le tecniche utilizzate per la sua valutazione. In 
stanza il minimo margine di solvibilità consiste nel capitale minimo 
cessario per far fronte, con un’assegnata probabilità (sufficientemente 
evata), agli impegni presenti e futuri di un’impresa assicuratrice. In 
rticolare, dopo aver elencato i fattori di rischio di cui si deve tenere conto 
ll’analisi di gestione di un’impresa vita (mortalità, redditività e valore 
gli investimenti, inflazione e spese per abbandoni e valori di riscatto, 
stribuzione dei capitali assicurati….) e delle relazioni esistenti tra questi, 
ustro brevemente quali siano le due metodologie (analitica e simulativa) 
incipalmente utilizzate al fine della suddetta valutazione. Mi soffermo 
incipalmente sulla simulativa essendo questa, la procedura normalmente 
ilizzata ed essendo inoltre il punto di partenza dal quale sviluppo il mio 
etodo. Le fasi per effettuare una valutazione di questo tipo sono 
incipalmente due. Nella prima si esplicitano le relazioni tra le variabili, in 
rticolare gli effetti di ogni singolo fattore di rischio sugli utili di esercizio 
di conseguenza sul fondo finale di portafoglio (che è la variabile obiettivo 
 tutta l’analisi). Si osservino ad esempio le relazioni che seguono: 
 
Y
t 
= (P
t
-E
t
-S
t
)(1+i
t
)-X
t
+Z
t-1
*i
t
-W
t
+W
t-1
 
Z
t
=Z
t-1
+Y
t
+K
t
+W
t
-W
t-1
   
 ξ  -dove P
t
 sono i premi tariffa pagati all’epoca t-1, E
t 
spese aleatorie 
sostenute all’epoca t-1 e relative all’esercizio (t-1, t), S
t
 totale 
aleatorio di capitali pagati all’epoca t-1 per recesso, X
t 
totale 
 ⊥
aleatorio di capitali pagati all’epoca t per decesso o per scadenza, W
t
 
riserva matematica aleatoria completa di portafoglio all’epoca t, K
t 
flusso aleatorio di capitale proprio pagato all’epoca t. 
 
Nella seconda fase valutando gli effetti sul fondo di portafoglio dei fattori 
di rischio appena simulati, si ottiene un certo numero di possibili percorsi 
evolutivi di tale fondo. Alla fine di questa fase si calcolano degli opportuni 
indicatori (media, varianza e numero di percorsi per i quali il fondo finale di 
portafoglio è positivo sul numero totale dei percorsi) espressivi di tali 
percorsi. 
Fondo di portafoglio 
(singolo sentiero simulato di evoluzione)
-150,0000
-100,0000
-50,0000
0,0000
50,0000
100,0000
150,0000
1 4 7
1
0
1
3
1
6
1
9
2
2
2
5
2
8
3
1
t
 
figura 1: simulazione di un percorso di evoluzione del fondo di portafoglio 
Fondo di portafoglio 
(vari sentieri simulati di evoluzione)
-200,0000
-100,0000
0,0000
100,0000
200,0000
1 3 5 7 9 1113151719212325272931
t
 
figura 2: simulazione di n percorsi di evoluzione del fondo di portafoglio 
 
 CAPITOLO 2: LE RETI NEURALI. 
Nel capitolo secondo spiego in cosa consistano le reti neurali; la loro 
struttura e le modalità di utilizzo. Le reti neurali sono una tecnica mediante 
la quale si possono raggiungere principalmente due tipi di risultati:  
1) riconoscimento di forme in base a determinate caratteristiche 
(pattern recognition)  
2)  approssimazione di forme funzionali qualsiasi (che è il fine per il 
quale utilizzo questa tecnica).  
La modalità di utilizzo di tale strumento è molto empirica. Si divide il set 
dei dati disponibili in due: un training set (molto più ampio) ed un 
validation set. Sul primo viene effettuato il cosiddetto addestramento: 
presentando alla rete in sequenza gli input e il/i relativo/i output, tale 
struttura “impara” la relazione esistente tra le variabili. Esistono in 
letteratura moltissimi “algoritmi di apprendimento”, ossia modalità 
attraverso le quali sono stimati i parametri della rete, tra i quali l’EBP (il più 
utilizzato) che spiego in questo capitolo. Sul validation set  viene valutata 
invece l’attendibilità della relazione individuata.  
In un libro di H.White (1992) (Artificial Neural Networks: 
approximation & learning Theory, Blackwell) si dimostra come le reti 
possano approssimare con la precisione desiderata l’insieme delle funzioni 
continue. Un altro punto fondamentale che evidenzio in questo capitolo è 
che le reti neurali sono uno strumento facilmente utilizzabile e per il cui 
utilizzo non è necessario fare alcuna ipotesi particolare sulle caratteristiche 
o sulla distribuzione delle variabili coinvolte. 
  
figura 3: struttura di una rete neurale 
 
 
CAPITOLO 3: LA SIMULAZIONE 
Questa parte è il fulcro di tutta la tesi; è in questo capitolo che 
propongo la metodologia di valutazione. Nelle simulazioni normalmente si 
simula un certo numero di fattori di rischio e da questi si calcolano 
successivamente i risultati. Il problema è che questi fattori di rischio sono 
normalmente collegati tra loro anche se in maniera difficilmente 
esplicitabile e individuabile. Quello che propongo è di suddividere questi 
fattori di rischio in due categorie: fattori di rischio primari e secondari. I 
secondari sono in qualche maniera causati (anche se non interamente) dai 
primi.  Attraverso le reti neurali intendo individuare le relazioni esistenti tra 
fattori di rischio primari e secondari; in questo modo simulando solamente i 
primi e prevedendo attraverso la rete i secondi, mi propongo di ottenere una 
stima più precisa del margine di solvibilità. Naturalmente nulla vieta di 
attribuire una certa variabilità anche ai secondi, ma sicuramente inferiore a 
quella che si sarebbe introdotta se si fosse utilizzata la consueta 
metodologia simulativa.  
Unità di input 
Unità di output
Unità 
nascoste 
Spiegherò ora brevemente come sono riuscito a testare il metodo 
proposto. Tale verifica si suddivide sostanzialmente in due parti ciascuna 
delle quali ulteriormente suddivisa in due (le chiamerò   1.a, 1.b, 2.a e 2.b). 
Nella fase 1.a simulo attraverso delle procedure in VISUAL BASIC un 
singolo percorso temporale. Tale singolo percorso dovrebbe rappresentare 
un’ipotetica “vera” realizzazione degli andamenti del fondo di una 
compagnia vita: dovrebbe in sostanza essere tratto da un vero e proprio 
bilancio. Nella fase 1.b addestro una rete neurale, sulla base di questo 
singolo percorso, ad individuare le relazioni intercorrenti tra i fattori di 
rischio primari e secondari (tale addestramento è stato svolto attraverso un 
tool di MATLAB dedicato alle reti neurali). Nella fase 2.a utilizzando le 
stesse relazioni presenti in 1.a simulo un certo numero di percorsi (sempre 
attraverso delle procedure in VISUAL BASIC registrate nel foglio 
elettronico mismargc.xls) e calcolo gli opportuni indicatori sopraccitati
1
. 
Gli indicatori che ho ottenuto dovrebbero essere i veri indicatori che si 
dovrebbero ottenere facendo una valutazione delle possibili evoluzioni del 
fondo di portafoglio e quindi del minimo margine di solvibilità. Nella fase 
2.b simulo solo l’andamento dei fattori primari (in realtà prendo tali valori 
da quelli della fase 2.a) e sulla base di questi calcolo, attraverso le reti 
neurali stimate nella fase 1.b, i valori dei fattori secondari di rischio (tali 
procedure sono contenute nel foglio elettronico confrontobis.xls) e quindi 
dei relativi valori del fondo di portafoglio. Infine valuto quanto quest’ultima 
stima si sia avvicinata a quella della fase 2.a (riporto qui la schermata del 
foglio elettronico mismargcbis.xls nel quale sono presenti i valori ottenuti 
mediante le reti); i risultati ottenuti sono piuttosto soddisfacenti, ma 
sicuramente non si è ottenuta una previsione perfetta. Infine analizzo quali 
siano i motivi di tale scostamento. 
 
                                                          
1
 Sottolineo che questa non è la metodologia simulativa normalmente utilizzata, infatti di solito i 
fattori di rischio non sono collegati tra loro. Si può perciò affermare la simulazione della parte 2.a 
è puramente strumentale alle fase successiva. 
 MEDIA 70744.148
 
VARIANZA 1795776414.142
 
 
Tabella: momenti finali della distribuzione ottenuta mediante la previsione 
attraverso le reti neurali 
 
 
RAPPORTO TRA LE DUE MEDIE 0.991
RAPPORTO TRA LE DUE VARIANZE 1.138
 
Tabella: rapporti tra i momenti ottenuti mediante la simulazione e mediante la 
previsione attraverso le reti neurali 
 
 
 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
-27331 6347 40025 73703 107381 141059 174737 208415
distribuzione finale dei fondo di portafoglio
 
  
SOLVIBILITA' :
RISULTATI ANNUALI 89.40%
RISULTATI DI SINTESI 95.50%
DISTRIBUZIONE FINALE DEI CAPITALI
minimo massimo numero osservazioni
-27331 -10492 2
-10492 6347 38
6347 23186 51
23186 40025 67
40025 56864 38
56864 73703 58
73703 90542 54
90542 107381 30
107381 124220 26
124220 141059 11
141059 157898 13
157898 174737 5
174737 191576 6
191576 208415 0
208415 225254 1
somma osservazioni 400
CAPITOLO 4: APPLICAZIONE SU DATI REALI 
In quest’ultima fase voglio valutare la capacità di previsione delle 
reti neurali quando applicate a dati reali. La variabile sulla quale mi 
soffermo (che ho utilizzato anche nella simulazione in “laboratorio”) è il 
rendimento dei titoli di stato americano e delle relative relazioni con 
l’inflazione. Inoltre effettuo anche un confronto con uno dei metodi 
statistici già collaudati per questo tipo di studi, ossia la transfer function 
analysis, sul quale mi soffermo brevemente nella prima parte del capitolo.  I 
risultati ottenuti attraverso le reti neurali sono decisamente migliori. I due 
modelli che confronto sono una rete neurale con tre input (l’inflazione 
ritardata di uno due e sei periodi) 3 unità nascoste e un’unità di output. 
 
NOBS VNOBS TNOBS NW NHU OUT 
348 10 338 16 3 1
VSSE VMSE VRMSE VSE VAE VMAX 
0.0002077 2.08E-05 0.004557 0.046354 0.004635 0.022308
TSSE TMSE TRMSE TSE TAE TMAX 
0.0067017 1.98E-05 0.004453 1.495941 0.004426 0.0213 
FPE RFPE GCV RGCV AIC SBC 
2.077E-05 0.004557 2.18E-05 0.004674 -3628.01 -3566.84
 
Tale modello va confrontato con il rispettivo modello ottenuto attraverso la 
transfer function analysis: gli input in questo caso sono le variazioni 
dell’inflazione ritardate di un periodo.  
 
TRREND512 
LS // Dependent Variable is DREND5     
Date: 01/18/99   Time: 11:00     
Sample(adjusted): 1963:02 1991:12     
Included observations: 347 after adjusting endpoints     
     
 VariableCoefficient Std. Error t-Statistic Prob.   
     
INFL12(-1)  0.724548  0.197417  3.670135  0.0003 
     
R-squared  0.037286     Mean dependent var   0.005957 
Adjusted R-squared  0.037286     S.D. dependent var   0.429891 
S.E. of regression  0.421801     Akaike info criterion  -1.723567 
Sum squared resid  61.55885     Schwarz criterion  -1.712474 
Log likelihood -192.3327     Durbin-Watson stat   1.830487