Il fenomeno della reaerazione di un corpo idrico. Il problema di una formulazione dell'espressione del coefficiente Ka e una nuova proposta.

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Con particolare riferimento alla fase 3) , tra i parametri che caratterizzano molto 
bene ed in maniera sintetica la qualità dell'ecosistema acquatico, laddove livelli 
insufficienti ne compromettono gravemente gli equilibri biologici e chimico - 
fisici, si può considerare l'ossigeno disciolto (DO). L'importanza di mantenere 
adeguati livelli di DO in un corpo idrico è stata messa in evidenza da molto 
tempo; infatti è stato osservato che basse concentrazioni di DO o, addirittura, 
condizioni anaerobiche, determinano uno squilibrio nell'ecosistema acquatico con 
mortalità dei pesci, cattivi odori, ed altri danni di carattere biologico ed estetico. 
La concentrazione di DO che si stabilisce in un corpo idrico è il risultato di un 
complesso bilancio tra i processi che tendono ad aumentare la concentrazione di 
DO, detti processi di produzione di DO, ed i processi che tendono a ridurre la 
concentrazione di DO, detti processi di consumo di DO. 
I processi di produzione di DO sono la reaerazione atmosferica e la fotosintesi 
clorofilliana, i processi di consumo di DO sono l'ossidazione delle sostanze 
organiche di natura carboniosa, l'ossidazione delle sostanze organiche di natura 
azotata, la domanda di ossigeno da parte dei sedimenti del corpo idrico, e la 
respirazione delle piante acquatiche e della fauna ittica.     
 6
Nella presente tesi si affronta in particolare lo studio di quello che può essere 
considerato il principale processo di produzione di DO, vale a dire la reaerazione 
atmosferica. 
 
 
 
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CAPITOLO I 
 
IL FENOMENO DELLA REAERAZIONE ATMOSFERICA 
1.1) Le teorie di base relative al fenomeno della reaerazione 
atmosferica. 
 
Come accennato nella Introduzione la reaerazione atmosferica costituisce in molti 
casi il principale processo di produzione di DO in un corpo idrico. 
Se il pelo libero dell’acqua è esposto all’atmosfera, all’interno del corpo idrico 
viene a stabilirsi, in condizioni di equilibrio, la concentrazione di ossigeno di 
saturazione C
sat
; tale valore, regolato dalla legge di Henry, dipende anche dalla 
temperatura T e dal grado di salinità S del corpo idrico e dalla pressione 
atmosferica esistente. Se, ad un certo momento, si verifica nel corpo idrico un 
consumo di DO, il cui valore scende, quindi, al di sotto di C
sat
, si innesca un 
processo che tende a trasferire ossigeno dall’atmosfera nel corpo idrico in modo 
da ristabilire la condizione di equilibrio, ossia una concentrazione di ossigeno pari 
 8
a quella di saturazione. 
In linea del tutto generale, i processi di trasferimento di massa fra due fasi diverse, 
tra i quali rientra anche la reaerazione atmosferica, si svolgono con una velocità 
che dipende:  
 
1) dalla differenza di concentrazione tra le due fasi del composto chimico 
scambiato, che costituisce quindi la forza motrice del processo di 
trasferimento di massa;  
2) dall’ampiezza della superficie di interscambio tra le due fasi; 
3) dalla resistenza che le due fasi offrono allo scambio. 
 
Pertanto risulta che il flusso di massa del composto chimico scambiato attraverso 
le due fasi può essere espresso nel modo seguente: 
Φ
massa
Area Forza motrice
Resistenza
=
⋅
                                                                         [ 1.1] 
Nel caso specifico della reaerazione atmosferica il composto chimico scambiato è 
l'ossigeno e le fasi tra le quali avviene lo scambio sono l'atmosfera ed il corpo 
idrico. 
Tale flusso di materia Φ
massa
 può quindi essere espresso come prodotto della 
differenza, all'interno del corpo idrico, tra la concentrazione a saturazione C
sat
 e 
 9
quella al generico istante C dell’ossigeno, dell’ampiezza A della superficie di 
scambio delle due fasi e di un coefficiente K
Φ
, detto di trasferimento di massa, che 
tiene conto della resistenza che atmosfera e corpo idrico offrono allo scambio: 
C) - (C AK
satmassa Φ
=Φ                                                                                    [ 1.2 ]     
Il flusso di massa di ossigeno Φ
massa
 determina evidentemente un incremento nel 
tempo della concentrazione di DO nel corpo idrico, secondo la relazione: 
dC
dt
=
V
Φ
massa
                                                                                                  [ 1.3 ] 
dove V è il volume di corpo idrico interessato allo scambio. 
Di conseguenza la [1.1 ] e la [ 1.2 ] diventano rispettivamente: 
()
dC
dt
=
A
V  Resistenza
CC
sat
⋅
⋅−                                                                     [ 1.4 ] 
()CC
V
KA 
=
dt
dC
sat
−⋅
Φ
                                                                                    [ 1.5 ]      
Diversi modelli teorici sono stati proposti per fornire una definizione quantitativa 
del fenomeno e definire il valore di K
Φ
; in sostanza, essi possono essere ricondotti 
a due approcci, quello del doppio strato proposto da Lewis e Whitman e quello di 
penetrazione proposto da Higbie, poi modificato da Danckwerts che ha proposto il 
modello della superficie rinnovata (Weber e DiGiano, 1996). 
 10
Il modello del doppio strato proposto da Lewis e Whitman ipotizza la presenza 
all’interfaccia acqua - aria di due strati laminari adiacenti, uno gassoso, dalla parte 
dell’aria, e l’altro liquido, dalla parte dell’acqua. 
Anche se i volumi di gas e di liquido sui due lati sono ben miscelati dalla 
turbolenza, il trasporto all’interfaccia, attraverso i due strati, dipende dalla 
diffusione molecolare. 
Infatti, per il trasferimento dell’ossigeno dall’aria nell’acqua, da una parte una 
particella d’acqua deve prima passare dalla massa liquida turbolenta nello strato 
laminare liquido, dall’altra l’ossigeno deve attraversare, superando la resistenza 
del mezzo, prima lo strato laminare gassoso e, poi, quello liquido, dove si 
diffonde all’interno della particella liquida. 
In condizioni stazionarie, i flussi di massa attraverso i due strati sono eguali, per 
cui si può dimostrare che K
Φ
 risulta pari a : 
)/K(KRTH
H
K=K
gLae
e
L
+
Φ
                                                                            [ 1.6 ] 
dove K
L
 e K
g
 sono, rispettivamente, i coefficienti di trasferimento di massa per lo 
strato liquido e per quello gassoso, in m/giorno, H
e
 è la costante di Henry, in 
atm× m³/mole, R è la costante universale dei gas, pari a 8.206× 10
-5
 
atm× m³/K× mole, e T
a
 è la temperatura assoluta, in K
0
. 
 11
In sostanza, la [ 1.6 ] mostra che l’effetto sul trasferimento di massa determinato 
dai due strati è, dal punto di vista analitico, analogo a quello di due resistori in 
serie, dove la resistenza totale 1/K
Φ
 è pari alla somma delle resistenza dei due 
strati, rispettivamente, 1/K
L
 e RT
a
/H
e
K
g
. 
Nel caso della reaerazione, l’elevato valore della costante di Henry rende 
l’ossigeno poco solubile in acqua, per cui lo strato liquido offre alla diffusione 
dell’ossigeno una resistenza maggiore di quella della strato gassoso. 
In definitiva, la diffusione molecolare nello strato gassoso sarà maggiore di quella 
nello strato liquido e, quindi, il flusso diffusivo attraverso quest’ultimo strato 
rappresenta il fattore limitante del processo di trasporto dell’ossigeno nell’acqua, 
per cui la reaearazione risulta controllata dalla resistenza che offre lo strato 
laminare liquido 1/K
L
, per cui la [ 1.6 ]
 
 si può quindi semplificare e diventa: 
L
KK ≈
Φ
                                                                                                          [ 1.7 ] 
K
L
, che ha le dimensioni di una velocità, moltiplicato per la densità dell’ossigeno 
ρ
o
, rappresenta la massa di ossigeno trasferita dall’aria all’acqua nell’unità di 
tempo per unità di superficie e sotto una forza motrice unitaria. Di conseguenza la 
[ 1.2 ] e la [ 1.5 ] diventano rispettivamente: 
C) - (C 
satmassa L
AK=Φ                                                                                      [ 1.8 ] 
 12
()
dC
dt
=K
A
V
CC
Lsat
⋅⋅ −                                                                                  [ 1.9 ]       
dove A è l’area della superficie di scambio acqua - aria, in m², V il volume di 
acqua interessato allo scambio, in m³, C
sat
 e C sono, nell’acqua, le concentrazioni 
di DO, rispettivamente, a saturazione e nelle condizioni considerate, in mg/l, 
mentre K
L
, chiamato coefficiente di trasferimento dell’ossigeno all'interfaccia o 
coefficiente di reaerazione, è solitamente espresso in m/giorno. 
Stabilito allora che è possibile fare unico riferimento a quanto avviene all’interno 
dello strato liquido laminare il cui spessore si può indicare con δ , si può 
ipotizzare, data l’esiguità di δ , che la concentrazione di ossigeno scenda dal valore 
C
sat
, che inevitabilmente è assunto in superficie, fino al valore C caratteristico 
della massa liquida secondo un gradiente, che può essere considerato costante 
proprio per la piccolezza di δ , dato evidentemente da (C
sat
 -C)/δ . 
Noto allora il coefficiente di diffusività molecolare D
L
 dell’ossigeno, il flusso di 
massa Φ
massa
 è dato da: 
AD
C-C
L
sat
massa
⋅⋅
δ
=Φ                                                                                 [ 1.10 ] 
e, quindi, poiché valgono la [ 1.8 ] e la [ 1.10 ], risulta: 
C)-C(AKAD
C-C
satLL
sat
⋅⋅=⋅⋅
δ
                                                              [ 1.11 ] 
 13
da cui, in definitiva, si ha: 
δ
=
L
L
D
K                                                                                                        [ 1.12 ]      
Quindi risulta: 
()
δ
−
⋅
CC
D=
dt
dC
sat
L
                                                                                      [ 1.13 ] 
Il punto delicato del modello del doppio strato è la quantificazione del valore di δ . 
Il modello di penetrazione proposto da Higbie fa, invece, riferimento a condizioni 
dinamiche all’interfaccia acqua - aria, dove arrivano in continuazione volumi di 
fluido provenienti dalla massa liquida; essi restano a contatto con l’interfaccia, 
prima di ritornare all’interno della massa liquida, per un intervallo di tempo, 
uguale per tutti i volumi di liquido, detto tempo di contatto, durante cui ha luogo, 
per diffusione molecolare e turbolenta, il trasferimento di massa dell’ossigeno. 
Secondo tale modello, il valore di K
Φ
 è dato da: 
K=2
D
 t
l
c
Φ
π
                                                                                                 [ 1.14 ]      
dove t
c
 è il tempo di contatto, in s, pari al rapporto L/v
max
, dove v
max
 è la velocità 
massima della corrente per trasporto convettivo all’interfaccia ed L la distanza 
percorsa dalla corrente durante l’ingresso di ossigeno nel volume di liquido. Il 
punto delicato del modello di penetrazione è la quantificazione del valore di t
c
 . 
 14
Con il modello della superficie rinnovata, Danckwerts modifica il modello di 
penetrazione proposto da Higbie ed introduce l'ipotesi che il tempo di contatto t
c
 
non sia eguale per tutti gli volumi di liquido, ma vari secondo una certa legge di 
distribuzione di probabilità, caratterizzata da un valore medio t , e propone una 
espressione della funzione di contatto, che dipende dal tempo di contatto t
c
: 
t
=(t)
)/( tt
D
c
e
−
Φ                                                                                               [ 1.15 ] 
In tale ipotesi, il valore di K
Φ
 è pari a: 
K=
D
t
l
Φ
                                                                                                     [ 1.16 ] 
Rispetto al modello del doppio strato proposto da Lewis e Whitman, nel modello 
di penetrazione proposto da Higbie e nel modello della superficie rinnovata 
proposto da Danckwerts lo strato liquido, anziché essere perfettamente in quiete, è 
soggetto ad un continuo rinnovamento per effetto della turbolenza interna del 
corpo idrico. 
L'uso diretto delle relazioni che derivano da questi modelli pone però il problema 
della definizione di δ , t
c
 e di Φ
D
.