Identificazione e controllo non-lineare mediante tecniche di tipo parametrico

A fronte di questo interesse (che trova riscontro anche nell’ambito di numerosi problemi di controllo
di carattere applicato), nell’ultimo decennio sono state proposte (o “ri-proposte”) numerose
metodologie per il progetto (e l’analisi) di sistemi di controllo nonlineari.
Queste metodologie possono essere classificate in vari modi e con diversi schemi, a seconda dei punti
di vista dai quali vengono osservate. Una possibile classificazione (che ben si accorda con ciò che
verrà presentato all’interno di questo lavoro) fa uso delle seguenti tre semplici categorie:
n Metodologie di progetto “a partire dal modello” (“model-based”).
o Metodologie di progetto “a partire dai dati” (“data-based”).
p Metodologie di progetto a “partire dal simulatore” (“simulator-based”).
Di ciascuna di queste viene ora data una sintetica descrizione.
n Metodologie di progetto “model-based”. Queste metodologie di progetto possono, a tutto
diritto, essere considerate le metodologie “classiche” della teoria del controllo nonlineare. Come
é facile intuire, tali metodologie di progetto si basano  pesantemente sulla conoscenza a priori di
un modello matematico del sistema da controllare (modello che, quasi sempre, é dedotto
direttamente dalle leggi fisiche che governano la dinamica del sistema), e fanno quindi un uso
intensivo e diretto delle equazioni di modello. Per loro natura, questi metodi forniscono (a parte
rare eccezioni) soluzioni “esatte” al problema di controllo; se, per certi versi, questa loro
caratteristica può essere vista come un pregio, per altri, invece, l’intrinseca incapacità di adottare
soluzioni “di compromesso” può, in molti casi, costituirne un limite.
E’ altrettanto facile  intuire come questi metodi siano estremamente efficaci e potenti anche
(soprattutto) dal punto di vista dell’analisi dei sistemi di controllo; questo loro indiscutibile
pregio é tuttavia pagato in termini di pesantezza e complessità degli strumenti matematici
necessari all’applicazione di questi metodi.
o Metodologie di progetto “data-based”. Le metodologie di questo tipo (che si collocano in
posizione diametralmente opposta rispetto alle precedenti) non richiedono la conoscenza a priori
di un modello matematico del sistema da controllare, ma semplicemente di misure dei segnali di
ingresso e di uscita (eventualmente, delle variabili di stato) del sistema.
Come verrà più volte sottolineato nel corso di questa tesi, queste metodologie di progetto
possono essere, a loro volta, suddivise in due sottoclassi: quelle “indirette”, che passano
attraverso la preliminare identificazione di un modello matematico del sistema, e quelle “dirette”,
che stimano direttamente, a partire dai dati, i parametri del controllore.
Pregi e difetti di queste metodologie possono essere considerati complementari a quelli delle
metodologie “model-based”: le tecniche “data-based”, infatti, forniscono intrinsecamente
soluzioni approssimate (soluzioni “ingegneristiche”), sono assai più semplici dal punto di vista
matematico (anche se spesso sono computazionalmente  molto più pesanti), ma presentano
notevoli difficoltà in fase di analisi (le prestazioni dei controllori progettati attraverso
metodologie “data-based” vanno, il più delle volte, verificate a posteriori, direttamente
sull’impianto o su un simulatore dello stesso).
Lo sviluppo di queste tecniche é un fatto assai recente, ed ha accompagnato lo sviluppo dei
moderni sistemi di calcolo (calcolatori e microprocessori). Le tecniche “data-based”, infatti,
sfruttano appieno le capacità e le potenzialità dei moderni calcolatori, in quanto richiedono un
veloce trattamento di enormi quantità di dati (al contrario dei metodi “model-based”, che, in
molti casi significativi, richiedono il semplice uso di carta e matita).
p Metodologie di progetto “simulator-based”. Se le metodologie “model-based” possono essere
considerate le metodologie “classiche” per il progetto dei controllori nonlineari, quelle
“simulator-based” sono invece da considerarsi come le metodologie “dell’ultima ora” (usare il
termine “moderno” può essere inappropriato); la loro importanza e significatività é infatti
inscindibilmente legata alla disponibilità di calcolatori potenti e sofisticati sia in termini di
capacità di calcolo, che di interfaccia grafica.
Queste metodologie si collocano a metà fra le due precedenti, delle quali possono essere
considerate un “ibrido”: infatti, sebbene richiedano la conoscenza a priori di un modello
matematico del sistema (analogamente alle metodologie “model-based”), le equazioni di tale
modello non vengono sfruttate direttamente per il progetto del controllore, ma vengono usate per
la generazione di sequenze di dati ingresso/uscita del sistema, e per la validazione a posteriori
delle prestazioni fornite dal controllore progettato sulla base di tali dati.
E’ importante osservare come, mentre una metodologia “data-based” può essere usata in modalità
“simulator-based”, non sia in genere vero il contrario: un metodo genuinamente “simulator-
based” è infatti tale da sfruttare pesantemente la possibilità, offerta dal simulatore, di generare
qualsiasi sequenza ingresso/uscita priva di disturbi, e di poter ripetere tale esperimento un
numero indefinito di volte; è evidente come ciò lo renda radicalmente diverso da un metodo
“data-based”, che deve invece far uso di poche sequenze di dati “rumorosi” raccolti direttamente
dall’impianto.
1.3. Metodi “approssimati” per il progetto di
controllori nonlineari: una breve rassegna
Come verrà illustrato nel paragrafo successivo, scopo di questa tesi è di presentare una metodologia
“diretta” per il progetto di controllori (lineari e non), che, alla luce della classificazione vista nel
precedente paragrafo, può essere considerata come una metodologia “data-based”. In particolare, nel
corso di questa tesi, verrà data grande enfasi alla capacità di “approssimazione” di tale tecnica.
Nel resto della tesi, verrà spesso usata la nozione di “metodo approssimato” (o, corrispondentemente,
di “soluzione approssimata”); con questo termine si vuole indicare un metodo caratterizzato da un
obiettivo ben preciso (la linearizzazione di un sistema nonlineare, ad esempio), obiettivo che, tuttavia,
viene perseguito in modo non “assoluto”, ma “nella massima misura possibile”.
I problemi di progetto “approssimato”, difficilmente trattabili con metodi “model-based”, sono assai
frequente nella pratica, e corrispondono alle situazioni in cui il sistema da controllare è
matematicamente molto complesso (a causa, ad esempio, dell’ordine elevato), ma deve essere
comunque regolato attraverso semplici controllori “standard” (ad esempio i controllori industriali).
A tale proposito, viene ora proposta una breve rassegna (allo scopo di fornire il contesto all’interno
del quale si collocano i metodi che verranno presentati in questa tesi) dei metodi proposti in
letteratura che hanno come denominatore comune la capacità di trattare i problemi di controllo in
modo “approssimato”. Si noti come esistano metodi approssimati sia di tipo “model-based”, che di
tipo “data-based” e “simulator-based” (anche se vi è una netta prevalenza di questi ultimi, soprattutto
in anni recenti).
Pseudo-linearizzazione [1984]. Questa tecnica, proposta (quasi contemporaneamente) da Champetier
e Reboulet in [CR84] e da Rugh in [Rug83], è una tecnica di tipo “model-based”; essa ha
l’obiettivo di progettare controllori in retroazione (retroazione algebrica dallo stato) in modo tale
da rendere il modello lineare tangente a un sistema nonlineare (non linearizzabile esattamente
mediante retroazione algebrica dallo stato) in un punto di equilibrio, indipendente dal punto di
equilibrio considerato.
Tale tecnica (applicabile a modelli non affetti da incertezza, e non eccessivamente complessi) è
stata successivamente ripresa e sviluppata in numerosi lavori ([BR86], [BS92], [Bor92], [Bor94],
[CRM84], [CMR84], [CMM85], [Law95], [LR94], [LR85], [Rug84], [Rug86], [WR87a],
[WR87b], [WR87c]).
Linearizzazione approssimata (higher-order linearization) [1984]. Questa tecnica, per molti versi
simile alla precedente, è una tecnica di tipo “model-based”, proposta da Krener in [Kre84a] e
[Kre84b]. L’idea fondamentale che sta alla base di tale metodo è quella di progettare controllori in
retroazione (retroazione algebrica dallo stato) in modo tale da cancellare alcuni termini di ordine
superiore al primo nello sviluppo in serie di Taylor del modello di un sistema nonlineare (non
linearizzabile in modo esatto).
Anche questa tecnica (seppur molto elegante) è assai complessa dal punto di vista matematico, ed
è stata oggetto di numerose rivisitazioni e sviluppi da parte di vari autori ([GB96], [Kan93],
[Kan94], [KKHF87], [KKH88], [Kar88], [LM86], [NAL93], [NL93], [NLW94]).
Modellizzazione “dolcemente nonlineare” (“nicely-nonlinear” modelling) [1989]. Questa tecnica,
inizialmente proposta da Guardabassi et al. in [ACGG89], è una tecnica di tipo “data-based”;
l’obiettivo fondamentale che tale tecnica si propone è quello di rendere un sistema nonlineare,
mediante una retroazione dall’uscita, il più possibile simile al modello lineare ad esso tangente in
un punto di equilibrio.
Questo metodo, descritto e applicato in [GG91], [Gua92], [GJ93], [GGJ95], [Gua95], [GS96], e
[GS97b] verrà più volte citato nel corso di questa tesi, in quanto radice e stimolo di alcuni dei
nuovi metodi proposti in questo lavoro.
Approssimazione uniforme (Uniform approximation) [1990]. Questa tecnica, inizialmente
proposta da Hauser in [Hau90], è una interessante tecnica di tipo “model-based”, il cui obiettivo è
quello di calcolare (a partire dalle equazioni di modello del sistema) un modello esattamente
linearizzabile per retroazione algebrica dallo stato, che approssimi in modo uniforme il
comportamento di un sistema nonlineare (non linearizzabile in modo esatto).
Come le altre tecniche “model-based”, anche questa è computazionalmente piuttosto complessa, e,
come le altre, richiede l’impiego di sofisticati strumenti matematici.
Estensioni ed approfondimenti del metodo sono stati proposti in numerosi lavori successivi al
primo ([BH93], [BSH93], [GH93], [Hau91], [HM93], [HSK92]).
Controllo con reti neurali [1990]. Il controllo di sistemi nonlineari mediante reti neurali è un
argomento diventato assai di moda negli ultimi anni, e sul quale molti (sia sostenitori che
detrattori) si sono pronunciati. In relazione a tale argomento, è innanzitutto importante far notare
come le reti neurali applicate al controllo non costituiscano (come qualcuno sembra ancora
credere) una “metodologia di progetto”, ma semplicemente uno strumento da usare all’interno di
una metodologia per il progetto di sistemi di controllo nonlineari.
Il lavoro [NP90] di Narendra et al. è considerato il primo lavoro in cui le reti neurali vengono
impiegate in modo organico e coerente per il progetto “data-based” di controllori nonlineari; per
questo, il metodo di progetto presentato in tale lavoro è spesso citato semplicemente come
“metodo di progetto di controllori basati su reti neurali”. Tale metodo (che è un semplice metodo
indiretto di tipo adattativo) è stato successivamente ripreso e sviluppato in numerosissimi lavori
(fra i quali, ad esempio, [LN93], [LN96], [NC94], [NM95], [NW95], [YL94]).
Approccio stocastico “diretto” [1992]. Questo metodo, presentato inizialmente da Spall et al. in
[SC92] (e, successivamente, in [Spa92], [SC93], [SC95], [@]), è un metodo classificabile come
“simulator-based”, e consente di progettare un controllore nonlineare facendo semplicemente uso
di misure ingresso/uscita rilevate su un simulatore del sistema. Caratteristica principale di questo
metodo è quella di essere “diretto” (è uno dei pochissimi metodi avente tale caratteristica), ossia di
stimare direttamente i parametri del controllore, senza passare attraverso la stima di modelli
semplificati del processo.
Oltre alle classi di metodi sopra elencati (che costituiscono i principali filoni di ricerca sviluppati
negli ultimi anni, nell’ambito dei metodi approssimati per il controllo nonlineare), sono state proposte
molte altre tecniche, che qui omettiamo per brevità. Fra esse, ricordiamo le tecniche di tipo H
∞
(proposte ad es. in [ARG94] e [ZCYB95]), e le tecniche “simulator-based” presentate in
[BBCGPS96] e [IS92].
1.4. Struttura della tesi
Come già accennato all’inizio del precedente paragrafo, scopo principale di questa tesi è quello di
presentare una nuova classe di metodi, detti metodi “a riferimento virtuale” (Virtual Reference Direct
Design, VRD
2
) per il progetto diretto di controllori, “a partire dai dati”. In particolare, verranno
proposti due algoritmi, denominati VRD
2
(I) e VRD
2
(II), che, come verrà mostrato in dettaglio nel
corso della tesi, presentano pregi e difetti complementari (“duali”).
Tutti i metodi che verranno presentati sono di tipo “data-based” (anche se, ovviamente, possono
essere impiegati in modalità “simulator-based”, qualora un simulatore del sistema da controllare fosse
disponibile); tale metodi, come si vedrà, sono applicabili sia al progetto di controllori lineari che di
controllori nonlineari, anche se maggior enfasi è posta sul progetto di questi ultimi.
Un ultimo commento, infine, sulla presenza del termine “identificazione” nel titolo di questo lavoro.
Sebbene, da quanto finora detto, risulti evidente come il tema trattato all’interno di questa tesi sia
essenzialmente un problema di progetto di sistemi di controllo, anticipiamo fin da ora che i metodi
proposti possono essere visti come problemi di identificazione di modelli di sistemi (dinamici e non),
parametrizzati nei parametri del controllore. Questa loro peculiarità rende quindi piuttosto
evanescente la linea di demarcazione normalmente esistente fra metodi di identificazione di modelli e
metodi di progetto di sistemi di controllo.
La struttura della tesi è la seguente:
Cap.2: Scopo di questo capitolo è la presentazione (in termini generali) dell’approccio “a riferimento
virtuale”; vengono inoltre presentati (sempre in termini generali) gli algoritmi VRD
2
(I) e
VRD
2
(II) nel caso SISO, e viene brevemente discussa la possibilità di estendere tali metodi
anche a casi multivariabili.
Cap.3: In questo capitolo i metodi VRD
2
(I) e VRD
2
(II) vengono applicati al caso di controllori lineari
non vincolati, sia nell’ipotesi di sistema affetto da disturbi che non; in particolare, verranno
presentati alcuni risultati teorici di “consistenza” fra i risultati ottenibili con i metodi VRD
2
, e
quelli ottenibili con tecniche “model-based”.
Cap.4: In questo capitolo i metodi VRD
2
(I) e VRD
2
(II) vengono applicati a tre classici problemi di
controllo nonlineare: la linearizzazione mediante retroazione algebrica dallo stato, la
linearizzazione mediante retroazione dinamica dall’uscita, ed il disaccoppiamento
ingresso/uscita di sistemi MIMO mediante retroazione dinamica dallo stato. La presentazione
e la discussione degli algoritmi è corredata dalla dimostrazione di alcuni semplici risultati
teorici.
Cap.5: In questo capitolo i metodi VRD
2
(I) e VRD
2
(II) vengono applicati al problema di taratura dei
parametri di controllori industriali (PID). Vengono trattati approfonditamente sia il caso di
controllori PID lineari, sia quello di una particolare classe di controllori PID nonlineari.
Cap.6: Scopo di questo capitolo è la presentazione di una nuova classe di funzioni nonlineari
parametriche; tali funzioni, dette “funzioni multi-paraboliche a tratti” (funzioni PMP),
rappresentano una interessante alternativa alle classi di funzioni esistenti, grazie al modo
semplice e computazionalmente poco oneroso con cui tali funzioni possono essere vincolate
ad essere invertibili rispetto ad un ingresso. Come si vedrà, tali funzioni rappresentano quindi
un utile strumento, da usare a supporto dei metodi VRD
2
.
Cap.7: In questo capitolo conclusivo verranno presentati tre esempi di controllo nonlineare, tutti di
carattere applicato. In particolare, il paragrafo 7.2 è dedicato alla presentazione del progetto di
uno stabilizzatore nonlineare per un generatore sincrono attualmente in uso in una centrale
ENEL; nel paragrafo 7.3 verrà presentato un problema di regolazione mediante PID (lineare e
non) della portata d’aria compressa fornita da un sistema costituito da un ventilatore e di un
modulatore di portata, mentre nel paragrafo 7.4 verrà discusso il problema della
linearizzazione mediante retroazione dall’uscita (esatta e approssimata) di un braccio
meccanico con giunti elastici.
Capitolo 2
Metodi Diretti
a “Riferimento Virtuale”
2.1. Introduzione
Scopo di questo capitolo è la presentazione (in termini generali) di un nuovo approccio per la taratura
diretta di sistemi di controllo; tale approccio, detto “a riferimento virtuale”, costituisce il nucleo di
questo lavoro, e verrà quindi più volte ripreso nel corso della tesi, ed applicato ad alcuni problemi
specifici (quali, ad esempio, la linearizzazione via feedback di sistemi nonlineari, il disaccoppiamento
ingresso/uscita, il progetto diretto di controllori di tipo PID, etc.).
La struttura del capitolo è la seguente: nel paragrafo 2.2 viene descritto in termini generali il problema
di cui si tratterà in questo lavoro, mentre il paragrafo 2.3. è dedicato alla presentazione  dell’approccio
“a riferimento virtuale”, con riferimento al caso di sistema “Single-Input Single-Output” (SISO). Nel
paragrafo 2.4 vengono fatti alcuni cenni sulla possibilità di estendere il suo campo di applicabilità al
caso di sistemi “Multi-Input Multi-Output” (MIMO), e ad alcuni suoi sottocasi. Il paragrafo 2.5
chiude il capitolo con alcune considerazioni conclusive.
2.2. Descrizione del problema
Il problema che verrà trattato in questo lavoro è un classico problema della teoria del controllo, e può
essere sinteticamente riassunto nel modo seguente (si faccia riferimento alla Fig.2.1.):
Problema 2.1
Si supponga di voler controllare un sistema dinamico G mediante un controllore in retroazione R, con
l’obiettivo di rendere il comportamento del sistema retroazionato F=(G,R) uguale (o, comunque, il più
possibile simile) a quello di un sistema “di riferimento” F
0
.
„
 y
0
 u
 y
 y
M
 errore
di modello
Fig.2.1. Schema di controllo “a modello di riferimento”.
Un problema di controllo così formulato viene normalmente definito come problema di controllo “a
modello di riferimento” (“model-matching”), esatto o approssimato. In questo lavoro, questa classe
di problemi verrà affrontata e discussa sotto le seguenti ipotesi:
Assunzioni 2.1
a1) Tutti i sistemi considerati {G,R,F
0
} sono tempo-invarianti; l’estensione a problemi di
“controllo adattativo” (ossia il caso in cui il sistema G e/o il modello F
0
 mutano nel tempo)
esula dagli scopi del presente lavoro, e, a tale problema, verranno dedicati solo brevi cenni; si
fa tuttavia notare come, in alcuni casi, l’estensione del metodo “a riferimento virtuale” al caso
tempo-variante sia pressoché immediata.
a2) Tutti i sistemi dinamici sono a tempo discreto; si osservi come, per quanto riguarda il
controllore, tale ipotesi sia piuttosto ovvia e naturale (questo in virtù del fatto che i controllori
digitali basati su microprocessore sono di uso sempre più comune, grazie alla loro potenza,
versatilità, ed economicità). Per quanto riguarda il sistema sotto controllo (il “processo”),
invece, è (probabilmente) vero il contrario, in quanto la maggior parte dei sistemi fisici “da
controllare” sono processi che evolvono in modo continuo nel tempo; di conseguenza,  qualora
li si voglia trattare come sistemi a tempo discreto, vanno pensati integrati con convertitori A/D
e D/A, all’uscita ed all’ingresso, rispettivamente.
a3) Si suppone che non sia noto a-priori un modello di tipo “first-principle” (ovvero dedotto dalle
leggi fisiche che governano le dinamiche del sistema), ma che la conoscenza disponibile del
sistema sia limitata ad un singolo insieme di misure ingresso/uscita (I/O) 
{}
~
(),
~
()
, ,...,
ut yt
tN=12
 di
G (nel resto del lavoro, il simbolo “~” verrà sistematicamente usato per connotare un particolare
andamento - una particolare realizzazione, nel caso stocastico - del corrispondente segnale).
a4) Salvo contrario avviso (si veda, ad esempio, il Cap.5), si suppone che le coppie I/O
{}
~
(),
~
()
, ,...,
ut yt
tN=12
 siano il frutto di rilevazioni (esperimenti, misure) ad anello aperto (sistema
non controllato). Tale ipotesi non è, peraltro, essenziale, ma riflette semplicemente la prassi
comune di rilevamento dei dati ingresso/uscita di un impianto.
a5) Sia il sistema “da controllare” G, che il modello di riferimento F
0
 verranno, di norma, supposti
(salvo ulteriori precisazioni) essere di tipo SISO (Single-Input Single-Output); una
approfondita trattazione  del caso MIMO (Multi-Input Multi-Output) esula dagli scopi di questo
lavoro; alla discussione di tale estensione (ed a quella di alcuni interessanti sottocasi, quali ad
esempio, il caso di sistemi MISO e SIMO) è comunque interamente dedicato il paragrafo 2.4 di
questo capitolo, ed alcune parti dei capitoli successivi (Cap.4).
E’ immediato osservare come le ipotesi fatte possano, a buon diritto, essere considerate “minimali”:
esse configurano per il Problema 2.1 (congiuntamente alle Assunzioni 2.1) un contesto assai generale,
connotato da requisiti minimi circa la conoscenza del sistema da controllare. In particolare, non è stata
fatta alcuna ipotesi sulla struttura interna dei sistemi {G,R,F
0
}. Il che non esclude, ovviamente, che
una maggiore conoscenza del sistema sotto controllo possa essere efficacemente utilizzata nello
sviluppo dei metodi oggetto di questo lavoro.
Il problema generale qui delineato ammette quindi un’ampia gamma di importanti specificazioni
connesse a fondamentali caratteristiche (lineare/nonlineare, dinamico/non-dinamico, etc.) dei sistemi
coinvolti {G,R,F
0
}. Le difficoltà da superare sono prevalentemente legate alla scarsità di conoscenze
sul sistema da controllare; essa difficilmente consente di pervenire a conclusioni certe circa le
prestazioni dei controllori progettati. Tali prestazioni non possono che essere l’oggetto di una
specifica validazione a posteriori, di natura empirica, ovvero il frutto di una analisi genuinamente
teorica, basata però su precise (e, generalmente, non dimostrabili) ipotesi riguardanti il “meccanismo
di generazione dei dati”, vale a dire il modello del sistema sotto controllo.
In relazione al problema sopra enunciato, le classi di metodi che possono essere adottati per il
progetto del controllore R sono essenzialmente due, ovvero:
n Metodi di progetto “indiretti”.
Questa categoria di metodi prevede la suddivisione del progetto del controllore in due fasi
successive (da cui deriva il nome di metodi “indiretti”): la prima fase consiste nel ricavare
(identificare) un modello del sistema G a partire dai dati 
{}
~
(),
~
()
, ,...,
ut yt
tN=12
; la seconda, nel
progettare il controllore R (ad esempio per via analitica), a partire dalle equazioni di modello
precedentemente ricavate.
E’ interessante osservare come, tradizionalmente, queste due fasi vengano trattate in modo
fortemente disaccoppiato, facendo uso della “Teoria dell’Identificazione” e della “Teoria del
Controllo”, rispettivamente. Paradossalmente, questi due branche della teoria dei sistemi
dinamici - seppur molto affini - non sono perfettamente integrate. Questo fatto (la cui origine è
probabilmente dovuta a motivi di carattere storico) può facilmente dar luogo a progetti di
sistemi di controllo inadeguati o scarsamente robusti, in quanto il trattamento delle incertezze
nelle due fasi (“di identificazione” e “di progetto del controllore”) è spesso disomogeneo e
quindi difficilmente integrabile. Il solo ramo della teoria del controllo in cui queste due
problematiche vengono trattate in modo organico è, probabilmente, il cosiddetto “controllo
adattativo” (in particolare le tecniche dette di “self-tuning”); in tale ambito, infatti,
l’identificazione di un modello del sistema ed il progetto del corrispondente controllore
vengono fatte simultaneamente (ad ogni istante di campionamento (!)), e quindi notevole
attenzione è generalmente posta sul problema della loro corretta integrazione.
o Metodi di progetto “diretti”.
A differenza dei precedenti, questo tipo di metodi prevede la taratura “diretta” dei parametri del
controllore a partire dai dati, senza passare attraverso la stima di un modello del sistema.
Si fa osservare che, la definizione di “metodo diretto”, è, tuttora, abbastanza controversa e
dibattuta. Per quanto ci riguarda, in questo lavoro si adotterà per “metodo diretto” la seguente
definizione: “metodo di progetto del controllore, basato su una parametrizzazione del
controllore stesso, e su una tecnica di taratura dei parametri che non richiede alcun modello del
sistema sotto controllo”.
Come è noto, la stragrande maggioranza dei metodi di progetto “data-based” proposti finora sono di
tipo indiretto, e derivano dalla combinazione di tecniche di Identificazione e tecniche di progetto di
controllori “model-based”. A tutt’oggi, infatti, sono stati proposti pochissimi metodi di stima diretta
del controllore, sia nell’ambito dei sistemi nonlineari (recentemente oggetto di grande interesse), sia
(sorprendentemente) in quello dei sistemi lineari. La principale motivazione di questa enorme
differenza di “ricchezza” di risultati è probabilmente spiegabile con la semplice (semplicistica(?))
osservazione che il progetto diretto del controllore, a partire da un singolo insieme di dati I/O misurati
sull’impianto ad anello aperto, è, intrinsecamente, un problema assai complesso: non essendo infatti
disponibile a priori un modello matematico dell’impianto, è difficile valutare il modo in cui il
controllore modifica il comportamento del sistema ad anello chiuso, e quindi valutare quanto “vicino”
sia il comportamento del sistema F=(G,R) al comportamento “ideale” del sistema F
0
.
Nonostante queste premesse, che sembrerebbero evidenziare una complessità e/o debolezza intrinseca
dei metodi di progetto diretti, questo lavoro è (in larga parte) proprio dedicato alla presentazione,
analisi, e discussione di alcune (nuove) metodologie di controllo, che possono a pieno titolo essere
classificate come dirette. Il motivo dello sforzo di ricerca fatto in tale senso, può essere facilmente
giustificato (a parte la ovvia motivazione di contribuire a colmare un spazio vuoto in letteratura) con
le seguenti osservazioni:
- La preliminare identificazione di un modello matematico del sistema è, in realtà, un passaggio
(in genere computazionalmente assai oneroso, soprattutto nel caso di sistemi nonlineari)
puramente accessorio, in quanto l’obiettivo ultimo ed unico resta, in ogni caso, il progetto
del controllore R.
- E’ assai comune la situazione in cui impianti dalla dinamica assai complessa vengono
regolati (per motivi di semplicità e/o convenienza) con controllori semplici e di bassa
complessità, che, a dispetto dello loro semplicità, spesso danno luogo ad un deterioramento
delle prestazioni (rispetto a regolatori molto più complessi) assai basso se non, addirittura,
trascurabile. In tali casi, evidentemente, è più conveniente stimare direttamente i (pochi)
parametri di un semplice controllore, invece che stimare i (molti) parametri di un modello
analitico del sistema.
- Anche nel caso (apparentemente più semplice da trattare), in cui sia disponibile (a priori o
tramite identificazione) un modello matematico del sistema da controllare, non è sempre facile
ed immediato (questo è drammaticamente vero nell’ambito dei sistemi nonlineari) progettare,
sulla base di tale modello, un controllore semplice (di basso ordine e complessità), le cui
prestazioni siano adeguatamente prossime a quelle idealmente espresse dal modello di
riferimento F
0
. Un metodo diretto per il progetto del controllore può essere quindi assai efficace
per il progetto “automatico” di controllori “vincolati”, anche nel caso in cui sia disponibile
un modello matematico del sistema, che può essere dunque usato semplicemente come
generatore di dati ingresso/uscita del sistema, ovvero come simulatore dello stesso.
2.3. Virtual Reference Direct Design
Come già accennato nel precedente paragrafo, scopo di questo lavoro è quello di presentare (nei suoi
diversi aspetti), una nuova metodologia per il progetto diretto di sistemi di controllo.
L’idea fondamentale sulla quale tale approccio è basato è assai semplice (anche, se, per certi versi,
“inusuale”), e può essere sintetizzata nel modo seguente (si veda la Fig.2.2):
“Dato un insieme di misure ingresso/uscita 
{}
~
(),
~
()
, ,...,
ut yt
tN=12
, si immagina che
l’uscita (di fatto, “ad anello aperto”) 
~
()y ⋅  sia la risposta di un sistema di controllo
“ad anello chiuso”, esternamente non dissimile dal modello di riferimento F
0
, ad un
ipotetico ingresso 
~
()y
0
⋅  (detto “virtuale”), da interpretarsi come andamento
desiderato di 
~
()y ⋅ ). I parametri di un controllore R(θ) andranno dunque tarati in
modo tale da garantire il massimo di coerenza possibile per i suoi segnali di ingresso
e di uscita (
~
()y
0
⋅ , 
~
()y ⋅ , e 
~
()u ⋅ ), in rapporto alla interpretazione testé enunciata.
In virtù di questo strano modo di procedere, nel corso della tesi ci riferiremo a questo approccio con il
nome di “progetto diretto a riferimento virtuale” (Virtual Reference Direct Design - VRD
2
); la
sua caratteristica fondamentale, infatti, è quella di ipotizzare (ad anello chiuso) l’esistenza di un
segnale di riferimento “immaginario” (“virtuale”), a cui corrisponde un’uscita coincidente con quella
effettivamente misurata, e di stimare direttamente i parametri del controllore, utilizzando tale segnale
“virtuale”.
Si osservi, come tale approccio rovesci completamente il tradizionale modo di operare dei metodi a
modello di riferimento, che, al contrario, prevedono di scegliere un opportuno segnale di riferimento
(“reale”, e non “virtuale”), di alimentare in parallelo il modello di riferimento ed il sistema
retroazionato, e di selezionare, quindi, i parametri del controllore in modo tale da minimizzare la
distanza fra le corrispondenti uscite (è evidente come il metodo classico richieda la conoscenza
esplicita di un modello matematico dell’impianto, e, conseguentemente, non sia adatto ad un progetto
diretto del controllore quando la conoscenza del sistema è limitata ad un singolo insieme di misure
I/O dello stesso).
In Fig.2.2 è illustrato lo schema generale dell’approccio VRD
2
. In particolare, si noti come in tale
figura siano stati messi in evidenza i segnali misurati con delle frecce di maggior spessore; con un
riquadro ombreggiato si è invece evidenziata la parte “virtuale” del sistema, ossia la parte di sistema
costruita attorno ai segnali misurati ad anello aperto per simulare una condizione di anello chiuso.
A partire dall’idea generale sopra enunciata (ovvero dallo schema generale di Fig.2.2), è possibile
derivare, operativamente, classi di algoritmi per la stima diretta del controllore R(θ). In particolare,
vengono ora presentati i due più significativi ed interessanti, a cui ci riferiremo, nel seguito della tesi,
con i nomi di “metodo VRD
2
(I)” e “metodo VRD
2
(II)”.
(θ
)
 
~
y
0
 
~
u
 
~
y
 
~
e
y
 
~
y
M
 
~
u
 
~
e
u
Fig.2.2. Schema generale dell’approccio VRD
2
.
Virtual Reference Direct Design (I) (VRD
2
(I)).
Questo metodo procede, operativamente, nel modo seguente (si faccia riferimento alla Fig.2.2 ed alla
Fig.2.3):
- Si assuma 
~
()
~
()
~
()et yt y t
yM
=− =0  (perfetto “matching” sull’uscita, ad anello chiuso), e si
calcoli il segnale di riferimento “virtuale” 
~
()y
0
⋅  come controimmagine di 
~
()y ⋅  attraverso F
0
.
- Si consideri un controllore R(θ) (opportunamente parametrizzato), e si calcoli l’uscita di tale
controllore 
~

(, )u ⋅θ  (che, ovviamente, dipende dal vettore dei parametri θ) corrispondente ai
segnali di ingresso 
~
()y
0
⋅  e 
~
()y ⋅ .
- Si determini il valore ottimo per i parametri del controllore, minimizzando la distanza fra i
segnali 
~
()u ⋅  e 
~

(, )u ⋅θ ; qualora si utilizzi (quale misura di tale distanza) la norma quadratica, la
taratura ottima del controllore è ottenuta nel modo seguente:
{}
( )

arg min ( ) , ( )
~
()
~
(, )θθθ θ
θ
==−
=
∑
JJ
N
ut ut
t
N
1
2
1
. (2.1)
-1
(
θ
)
 
~
y
0
 
~
u
 
~
y
 
~
e
u
 
~
u
 
~
y
Fig.2.3. Metodo VRD
2
(I).