Identificazione di segnali da un array sismico per il monitoraggio di frane

POLITECNICO DI TORINO, FACOLTA` DI INGEGNERIA DELL’INFORMAZIONE, TESI DI LAUREA, INGEGNERIA DELLE TELECOMUNICAZIONI, APRILE 2004 2
Fig. 2. La frana di Pomeifre` - Dettaglio del versante.
localita` Pomeifre` (Comune di Perrero, Provincia di Torino).
Questo settore (Fig. 2) fu interessato nel 1974 e nel 1996 da
fenomeni di crollo che causarono rispettivamente una vittima
e danni, ed oggi, con frequenza annuale, si depositano detriti
sulla sottostante S.P. 169. Le caratteristiche geo-morfologiche
e geo-strutturali, la vicinanza ad un centro abitato e la presenza
a poca distanza di una miniera di talco, hanno indotto a
considerate questo come uno dei siti piu` pericolosi della Val
Germanasca.
II. L’APPROCCIO PROPOSTO
I
L sistema proposto (Fig. 3), basato sul monitoraggio mi-
crosismico, prevede il posizionamento nell’area in esame
di geofoni in numero tale da coprire rappresentativamente
l’area in esame e soddisfare i requisiti per il procedimento
di localizzazione. Il sistema lavora in modo continuo, nel
senso che le tracce fornite dai geofoni vengono continuamente
processate. Il primo passo e` rappresentato da un filtraggio,
il cui scopo e` quello di eliminare rumore e fenomeni che
pur avendo contenuto sismico, non ricadono nella banda di
frequenze d’interesse (in cui si presume ci siano i segnali
dovuti a fratture in roccia).
Sui segnali filtrati e` eseguito un processo di detezione;
questo al fine di rilevare la presenza di un evento sulle tracce
che man mano vengono acquisite. In particolare, la decisione
SENSORI
Fig. 3. Schema globale di funzionamento del sistema di monitoraggio
microsismico proposto.
circa la presenza di un evento che presumibilmente potrebbe
essere d’interesse visto che ricade nella banda di frequenze
utili, non e` basata sul fatto che solo un singolo sensore abbia
rilevato qualcosa, ma bensı` coinvolge tutta la rete. Pertanto
ogni qualvolta un sensore rileva qualcosa, vengono valutate
le risposte di tutti gli algoritmi di detezione (che altro non
sono risposte binarie: 0 evento assente, 1 evento presente).
Si definisce pertanto un criterio di decisione, ad esempio a
maggioranza, e si giudica l’evento rilevante se tale regola e`
soddisfatta. In caso negativo l’evento e` scartato, altrimenti,
le tracce vengono acquisite e ulteriormente processate; in
particolare si vanno a determinare i tempi di primo arrivo.
Il passo successivo e` costituito dal processo di localizzazione
della sorgente dell’evento appena registrato. A tal proposito
si fa riferimento alle tecniche utilizzate per localizzare colpi
di tensione (rockburst) in miniere profonde. Tale metodo
presuppone la conoscenza oltre che dei tempi di propagazione
e delle posizioni dei geofoni, anche del valore della velocita` di
propagazione delle onde sismiche nel terreno in esame. Questo
valore non e` noto a priori, e` pertanto richiesta una campagna
di misure al fine di elaborare un modello di campo di velocita`
per il terreno in esame. Le coordinate fornite dal processo
di localizzazione, devono poi essere opportunamente lette al
fine di verificare se la sorgente si trova o meno all’interno del
corpo frana, ed in caso positivo trattate statisticamente al fine
di evidenziare la formazione di eventuali clusters.
A. Misure sperimentali: sismica attiva
Una campagna di misure volta alla stima del campo di
velocita` e per simulare possibili fenomeni di inneschi di
fratture in roccia, e` stata condotta sul sito della frana di
Pomeifre`. Tale prova si e` svolta posizionando 19 geofoni da 40
Hz sul versante in frana, ed energizzando in 10 punti diversi;
dall’altro lato del versante una stazione totale ha provveduto
a rilevare le coordinate di energizzazioni e geofoni. Dai dati
raccolti, e` stata stimata una velocita` media come retta di
regressione tra tempi-distanze (Fig. 4) non rilevando fenomeni
di rifrazione (v = 1509 m/s). Inoltre si evidenzia che per
segnali raccolti su scala decametrica, come nel caso del test
effettuato, la banda di frequenze in cui ricadono i segnali
prodotti da emissioni acustiche dovute a fenomeni di frattura
in roccia, va dai 50 ai 250 Hz.
B. Filtraggio
L’operazione di filtraggio e` uno dei punti piu` delicati nel
campo della microsismica in quanto si ha una moltitudine di
segnali di disturbo; inoltre segnali legati a tale attivita` sono
deboli (in ampiezza) se confrontati con quelli dei terremoti. Gli
eventi di disturbo possono essere costituiti da: sismi, telesismi,
vibrazioni prodotte da lavorazioni industriali, scavi e lavori
industriali, passaggio di autoveicoli cioe` quindi vibrazioni
connesse ad attivita` antropiche; inoltre ancora passaggio di
animali, vento, e rumori ad alta frequenza (di origine elettron-
ica/elettromagnetica e meteorica).
Riguardo i requisiti del filtro da implementare si puo` dire
che non e` molto importante se il filtro introduce una certa
distorsione armonica sul segnale, ma e` da evitare il fatto
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0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Tempo [s]
D
i
s
t
a
n
z
a
 
[
m
]
Y=1509*X 
Fig. 4. Dromocrona relativa ai dati ottenuti e retta di regressione tra i valori
di tempi-distanze. La pendenza della retta corrisponde al valore della velocita`.
che questo possa introdurre oscillazioni secondare nel tempo,
in quanto queste potrebbero alterare la stima dei tempi di
primo arrivo. Inoltre, al fine di eliminare il ritardo introdotto
da questa operazione (filtraggio digitale), e` necessario filtrare
questo due volte: una prima volta in modo normale e una
seconda volta dopo essere stato ribaltato nel tempo. Il segnale
cosı` ottenuto ha distorsione di fase nulla e modulo convoluto
con il quadrato della risposta all’impulso del filtro. La struttura
filtrante implementata e` una passa-banda di tipo FIR, con
banda passante nella gamma di frequenze 50 Hz - 250 Hz
(ampiezza banda di transizione pari a 30 Hz ed attenuazione
in banda proibita pari a 100 dB).
C. Detezione
Per quanto riguarda il processo di detezione, nell’ambito
del monitoraggio microsismico occorre superare i limiti della
strumentazione classica in quanto basata su meccanismi a
soglia (l’evento e` dichiarato se l’ampiezza del segnale supera
una soglia). Per segnali di origine microsismica tale schema
non e` pensabile visto che si tratta di segnali deboli, e in
quanto tali richiederebbero soglie basse per essere rilevati (la
conseguenza e` un’elevata sensibilita` verso la generazione di
falsi allarmi).
La soluzione puo` essere costituita da algoritmi basati sul
superamento di una soglia del rapporto STA/LTA (short time
average/long time average). Si tratta del monitoraggio continuo
dell’intensita` del segnale calcolata non sulla traccia grezza
ma bensı` su di una sua funzione caratteristica (l’inviluppo1);
questo all’interno di due finestre mobili consecutive: una
piccola STA sensibile alle fluttuazioni istantanee (quindi al
segnale) e una grande LTA che da una misura del ”rumore
di fondo”. Se il rapporto tra le due supera una certa soglia (il
cui valore opportunamente dimensionato serve a limitare i falsi
1La funzione inviluppo e` cosı` definita: e(t) =
√
x(t)2 + x̂(t)2, dove x(t)
e` la traccia sismica e x̂(t) e` la sua trasformata di Hilbert.
allarmi) un evento e` dichiarato e parte la registrazione. Dimen-
sionando le due finestre STA e LTA si riesce a discriminare
tra eventi a carattere locale, regionale (vale a dire se la loro
origine e` nei pressi dell’area di interesse o no : il discriminante
e` l’impulsivita`) e a limitare l’influenza di fenomeni impulsivi.
Per le dimensioni delle finestre si sono trovati valori ot-
timali; per quanto riguarda la soglia del rapporto STA/LTA
non e` possibile stabilire una valore ottimale a priori, questo
dipende da fattori quali: caratteristiche dei segnali, livello
e tipo di rumore sismico presente nel sito, considerazioni
statistiche sul numero di falsi allarmi che si e` disposti ad
accettare a fronte di un mancato allarme. Dall’analisi fatta,
quello che si puo` dire e` che per avere una soglia che si adatti
nel miglior modo possibile ai segnali, occorre far di che gli
algoritmi di detezione lavorino con forme d’onda quanto piu`
simili possibili (in termini di ampiezza, attenuazione, livello
del rumore di fondo). Da qui una prima idea di un prototipo
di rete: sensori distribuiti uniformemente e ravvicinati tra loro.
Per quanto riguarda il meccanismo della detezione distribuita
gia` se ne e` parlato, si evidenzia il fatto che e` possibile darne
una caratterizzazione probabilistica.
D. Stima dei tempi di propagazione
Con il termine stima dei tempi di primo arrivo si intende
l’intervallo di tempo impiegato dall’onda sismica a raggiun-
gere, a partire dalla sorgente, i vari ricevitori (geofoni). La
loro stima e` importante in quanto indispensabile nel processo
di localizzazione della sorgente. La letteratura propone vari
algoritmi piu` o meno complicati e diversificati a seconda del
tipo di applicazione. Molti di questi non sono adatti nel caso
del monitoraggio microsismico, in quanto sono inaffidabili per
valori di rapporto segnale/rumore basso o sono troppo pesanti
dal punto di vista computazionale o fanno ipotesi restrittive
sul tipo di segnale.
Due algoritmi, di particolare interesse, si sono testati in
dettaglio: un primo basato sempre sull’approccio STA/LTA
(un’evoluzione dell’algoritmo di detection) ed un secondo
basato su statistiche di ordine superiore (skewness & kurtosis);
in pratica misura la non gaussianita` del segnale (si presup-
pone che prima dell’arrivo dell’onda sismica, il segnale sia
assimilabile a rumore gaussiano). L’applicazione ai segnali
registrati durante il test ha permesso di verificare che l’ipotesi
di gaussianita` della traccia prima dell’arrivo dell’evento, non e`
sempre verificata; a causa di fluttuazioni, o fenomeni impulsivi
l’algoritmo non individua correttamente il tempo ed inoltre e`
meno preciso del primo (STA/LTA), che quindi e` preferibile.
E. Localizzazione delle sorgenti d’innesco
Per quanto riguarda la localizzazione, si fa riferimento a
tecniche di inversione geofisica utilizzate per l’identificazione
di colpi di tensione (rockbursts) in miniere profonde. Il pro-
blema matematico (che richiede la conoscenza del valore della
velocita` v di propagazione dell’onda sismica nel terreno in
esame) e` costituito da un sistema di equazioni non lineari
(19, pari al numero di geofoni) in quattro incognite: x, y,
z e t0 (le coordinate della sorgente e il tempo trascorso tra
lo scoppio ed il primo rilevamento). Per la risoluzione, previa
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Fig. 5. Modello di rete organizzata a cluster.
linearizzazione, si e` fatto ricorso a tecniche ai Minimi Quadrati
e Singular Value Decomposition. I metodi portano all’incirca
agli stessi risultati; in particolare si evidenzia una migliore
stima per quelle sorgenti che cadono all’interno dell’array e
che sono vicine ai sensori, mentre per quelle lontane o che
si discostano dal piano in cui giacciono i sensori la stima
peggiora notevolmente. Tali risultati sono legati ai limiti del
modello di campo di velocita` e ad una non buona rappresen-
tazione del problema dal punto di vista tridimensionale. Anche
se la stima ottenuta non e` ottimale, dai risultati ottenuti si
possono trarre utili spunti per definire le criticita` e quindi le
strategie per migliorarle; inoltre si possono dare le specifiche
circa un modello di rete di sensori adatto per tale tipo di
applicazione.
III. CONCLUSIONI
SULLA base dei risultati conseguiti, appare evidente lanecessita` di un modello di velocita` piu` sofisticato; inoltre
sempre sulla base di questi si elabora un possibile modello
di rete per il monitoraggio: sensori organizzati come clu-
sters, distribuiti uniformemente sulla superficie della frana
e posizionati non solo in superficie ma anche in profondita`
(Fig. 5). Questa scelta fa anche si un eventuale sorgente che
cade all’interno dell’array avra` vicino a se sempre un certo
numero di sensori. Ciascun cluster fa capo ad un nodo (unita`
di elaborazione) che a sua volta fa capo ad un nodo centrale
che raccoglie tutti i clusters.
Sulla base del modello di rete appena proposto, si puo`
pensare di realizzare uno schema di detection globale, che
coinvolga tutti i clusters a livello del nodo centrale. A livello
di singolo cluster la decisione e` basata sul criterio a maggio-
ranza che valuta il risultato dell’algoritmo STA/LTA per ogni
sensore; a livello centrale si puo` pensare ad una detezione
basata su di uno schema di voto. Si assegnano dei voti ai
singoli nodi (stazioni):
• voti piu` bassi a stazioni “rumorose” o piu` soggette a falsi
allarmi;
• voti piu` alti a stazioni piu` affidabili.
e si dichiara un evento se e solo se la somma dei voti delle
stazioni che hanno dato luogo ad una detezione affidabile
(criterio a maggioranza soddisfatto), supera una certa soglia
impostata. In questo contesto e` ragionevole utilizzare per la
localizzazione solo quei clusters che generano una detection
affidabile. La struttura cosı` proposta rappresenta un modello di
rete neurale ad un livello, in cui i parametri in ingresso sono i
risultati del criterio di decisione su ogni singolo clusters, i pesi
dei legami sono rappresentati dai pesi dati alle singole stazioni
e il risultato in uscita e` costituito dalla decisione (binaria) del
nodo centrale circa la rilevanza o meno dell’evento.
Si evidenzia inoltre l’esigenza, al fine di avere un problema
davvero 3D, di posizionare non solo geofoni in superficie ma
anche in foro (borehole); questo al fine di poter localizzare
correttamente anche sorgenti d’innesco in profondita`. E` inoltre
consigliabile l’utilizzo di geofoni triassiali.
A. Il ruolo del processing off-line
In un sistema di monitoraggio di questo tipo, un ruolo par-
ticolare puo` assumere l’elaborazione off-line. Non essendoci
piu` il vincolo del tempo, si puo` pensare di utilizzare per la
stima dei tempi di primo arrivo, algoritmi molto piu` sofisticati
che consentano di raggiungere precisioni piu` elevate. Questo
puo` consentire una migliore stima nel posizionamento delle
sorgenti.
Inoltre si puo` pensare di realizzare un oggetto che opportu-
namente dimensionato e realizzato, a partire dai segnali regi-
strati in frana, fornisca il valore dei parametri di regolazione
degli algoritmi utilizzati nel sistema, come ad esempio quelli
di detection. L’oggetto in esame e` rappresentato da una rete
neurale. Tale rete deve essere opportunamente istruita ed edu-
cata con delle sequenze di segnali di prova che siano coerenti
con quelli relativi ai fenomeni di innesco; in questo modo
ogni qualvolta si presenteranno situazioni similari, rispondera`
correttamente. Come dato in uscita fornirebbe i parametri degli
algoritmi di detection ottimali per quel tipo di segnali che al
momento si sono registrati, ma quello che e` piu` importante e`
che si avrebbe un oggetto che ha memoria di quella che e` la
dinamica del versante.
APPENDIX I
LA DETEZIONE DISTRIBUITA
F INO a questo momento, la detezione del segnale sismicoe` stata inquadrata nell’ottica del singolo sensore. In
particolare, per quanto ottimi possano essere i parametri di
regolazione dell’algoritmo STA/LTA, falsi allarmi son sempre
possibili. E` il caso di fenomeni impulsivi, tipo spike di
natura strumentale oppure fenomeni di tipo vibrazionale non
connessi alla frattura della roccia e che accadono vicino al
sensore (sabotaggio, urto volontario, passaggio di animali,
. . . ). In questo caso si tratta di fenomeni a carattere locale,
che coinvolgono il sensore e al limite quelli a lui piu` vicini;
pertanto disporre di un sistema che basi la detezione di un
evento sul fatto che su di un solo sensore, ad un certo istante
si sia verificato qualcosa (in questo caso l’evento soddisfa le
condizioni imposte dall’algoritmo STA/LTA), non e` una scelta
efficiente ed affidabile.
Nell’ambito di una rete di sensori, pertanto si puo` pensare
ad una detezione distribuita. Vale a dire definire una regola di
decisione attraverso la quale, valutare le informazioni raccolte
dai vari sensori quando uno di questi rileva qualcosa, e se sod-
disfatta, dichiarare rilevante l’evento avvenuto. Un esempio di
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regola adottabile potrebbe essere quella detta a maggioranza.
Evento



Rilevante se la soglia dell’algoritmo
STA/LTA e` stata superata
su almeno K = N2 + 1 sensori
Non rilevante altrimenti
Ovvero, se N e` il numero di sensori disponibili a ciascuno
dei quali fa capo l’algoritmo STA/LTA, si richiede, affinche`
un evento possa essere dichiararato rilevante che il criterio
dell’algoritmo di detection (soglia) sia soddisfatto su almeno
la meta` piu` uno dei sensori.
In questo modo, definendo una regola di decisione che
coinvolga tutti i sensori circa la rilevanza di un evento, si
dovrebbero eliminare o mitigare tutte quelle fenomenologie di
disturbo a carattere strettamente locale e per lo piu` di natura
impulsiva, che potrebbero dar luogo a falsi allarmi.
La regola su esposta e` una fra le varie definibili; in
particolare il numero K di sensori su cui e` richiesto il su-
peramento contemporaneo della soglia STA/LTA e` funzione
dell’affidabilita` che si desidera. E` chiaro che nel caso di un
sito particolarmente “silenzioso”, in cui non si evidenziano
fenomeni impulsivi o di particolare disturbo, tale numero puo`
essere impostato anche ad un valore basso.
A. Caratterizzazione probabilistica
Il problema della detezione distribuita sopra introdotto, si
presta anche ad una caratterizzazione probabilistica. Infatti,
il meccanismo di decisione puo` essere interpretato come un
processo binario che spazia fra due ipotesi:
H0 : assenza dell’evento
H1 : presenza dell’evento
dove in questo caso, con presenza di evento si intende il sisma
ovvero la frana, mentre con assenza ovviamente il contrario.
In pratica e` lo stesso problema che si ha nell’ambito della
detezione radar, in cui le ipotesi del test binario sono:
H0 : assenza dell’obbiettivo
H1 : presenza dell’obbiettivo
Impostando il test di decisione in questo modo, e dovendo
prendere una decisione sulla base dei dati osservati (che
in questo caso sono le decisioni degli algoritmi STA/LTA
operanti sui singoli sensori e che a sua volta forniscono
anche essi un risultato binario: soglia superata o non), quattro
situazioni sono possibili:
1) Decidere per H1 quando H1 e` vera;
2) Decidere per H0 quando H0 e` vera;
3) Decidere per H1 quando H0 e` vera;
4) Decidere per H0 quando H1 e` vera.
I casi su esposti prendono rispettivamente il nome di: corretta
decisione (1 e 2), falso allarme (3) e mancato rilevamento
(4). Lo scopo della teoria della decisione e` quello di fornire dei
criteri e delle regole per poter fornire una misura del “rischio”
associato a ciascuna decisione.
Definendo rispettivamente P (H0) la probabilita` di occor-
renza dell’ipotesi H0 e con P (H1) la probabilita` di occorrenza
dell’ipotesi H1, ovvero le probabilita` a priori indicate per
semplicita` con P0 e P1, si ha che:
P0 + P1 = 1 (1)
Definito Di, i = 0, 1, dove Di denota il fatto di “decidere
per Hi” e definita con P (Di, Hj), la densita` di probabilita`
congiunta di decidere per Di, e che l’ipotesi Hj e` vera, allora
per il teorema di Bayes si ha che:
P (Di, Hj) = P (Di|Hj)P (Hj) (2)
dove le densita` condizionali P (Di, Hj), i, j = 0, 1 sono cosı`
definite:
P (D0|H0) ≡ P (decidere per H0| quando H0 e` vera)
P (D0|H1) ≡ P (decidere per H0| quando H1 e` vera)
P (D1|H0) ≡ P (decidere per H1| quando H0 e` vera)
P (D1|H1) ≡ P (decidere per H1| quando H1 e` vera)
Le probabilita` P (D0|H1), P (D1|H0) e P (D1|H1), rappre-
sentano la probabilita` di mancato rilevamento, PM , la
probabilita` di falso allarme PF , e la probabilita` di corretta
detezione o rilevamento, PD, rispettivamente. Si osserva in
particolare che:
PM = 1− PD (3)
e
P (D0|H0) = 1− PF (4)
Pertanto la probabilita` di corretta detezione, e` data da:
P (c) = P (D0, H0) + P (D1, H1)
= P (D0|H0)P (H0) + P (D1|H1)P (H1)
= (1− PF )P0 + PDP1 (5)
cioe` e` definito dalla somma della probabilita` di decidere per
l’assenza dell’evento quando questo non c’e` e dalla probabilita`
di decidere per l’evento quando questo c’e`. Conseguentemente,
la probabilita` di errore:
P (ε) = P (D0, H1) + P (D1, H0)
= P (D0|H1)P (H1) + P (D1|H0)P (H0)
= PMP1 + PFP0 (6)
e` data dalla somma della probabilita` di decidere per l’assenza
dell’evento quando questo invece e` presente e dalla probabilita`
di decidere per la presenza dell’evento quando questo invece
e` assente.
Nel caso in esame, in particolare si vuole dare una misura
alle probabilita` di falso allarme e corretta detezione totali. Per
far questo occorre analizzare il meccanismo di decisione e i
dati su cui si basa.
Secondo lo schema proposto, nel momento in cui un sensore
rileva qualcosa, analizzando le risposte fornite dagli algoritmi
di detection di ogni sensore, si hanno a disposizione N deci-
sioni successive relative allo stesso evento. Ciascun risultato
di queste decisioni, e` una grandezza binaria che a sua volta
indica la rilevazione o meno dell’evento su quel sensore.
La definizione di una regola che coinvolga nel processo di
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detezione tutti i sensori, consente di prendere una decisione
definitiva sulla base delle N decisioni parziali disponibili.
Si definiscono:
• p
(i)
fa la probabilita` di falso allarme relativa all’i-esimo
sensore (e quindi risposta);
• p
(i)
c la probabilita` di corretto rilevamento o detezione
relativa all’i-esimo sensore;
• Pfa la probabilta` di falso allarme totale;
• Pc la probabilta` di corretta detezione totale.
Si fanno le seguenti ipotesi:
• si suppone che gli eventi ai vari sensori siano indipen-
denti; questo nella realta` non e` vero ma e` un assunzione
necessaria in questo contesto;
• le probabilita` di falso allarme p(i)fa e di corretto rileva-
mento p(i)c relative alle varie interrogazioni, sono fra di
loro uguali;
• gli eventi “falso allarme” e “corretto rilevamento” relativi
alle varie interrogazioni sono fra loro statisticamente
indipendenti.
Definita una regola di decisione (come la regola a maggio-
ranza), cioe` un numero K tale che 1 < K < N , dove N e` il
numero di sensori, allora si ha che se:
No di risposte parziali



≥ K l’evento e` rilevante
< K l’evento non e` rilevante
dove K e` chiamata soglia di decisione. Formalizzato il criterio
di decisione, e` possibile calcolare i valori di probabilita` prima
citati.
Per quanto riguarda la probabilita` di falso allarme, affinche`
sia dichiarato un falso allarme occorre che, in assenza di un
evento rilevante, si abbiano almeno K falsi allarmi. Definita
qf (i) come la probabilita` che vi siano i e solo i falsi allarmi,
allora
qf (i) =
(N
i
)
p
(i)
fa(1− p
(i)
fa)
N−i
(7)
Considerando tutti gli eventi per i da K a N, s ottiene:
Pfa =
N∑
i=K
qf (i) =
N∑
i=K
(N
i
)
p
(i)
fa(1− p
(i)
fa)
N−i
(8)
Risulta quindi che la probabilita` di falso allarme totale Pfa si
ottiene da pfa mediante una trasformazione che dipende da N
e K.
Relativamente alla probabilita` di corretta detezione o rile-
vamento, affinche` sia chiarato un corretto rilevamento occorre
che, in presenza di un evento rilevante, si abbiano almeno K
rilevamenti corretti (cioe` K sensori su cui la soglia STA/LTA
sia stata superata). Definita qc(i) come la probabilita` che vi
siano i e solo i corretti rilevamenti, allora
qc(i) =
(N
i
)
p(i)c (1− p(i)c )N−i (9)
Considerando tutti gli eventi per i da K a N, s ottiene:
Pc =
N∑
i=K
qc(i) =
N∑
i=K
(N
i
)
p(i)c (1− p(i)c )N−i (10)
Quindi la probabilita` di corretto rilevamento totale Pc si ottiene
da p
(i)
c mediante una trasformazione che dipende da N e K che
tra l’altro e` la stessa che lega Pfa e p
(i)
fa.
RINGRAZIAMENTI
Si ringraziano per l’aiuto fornito in fase di acqui-
sizione dati: Gianluca De Bacco, Andrea Dall’Ara, Stefano
Festa, Emanuele Bena, Giuseppe Vaira del Dipartimento di
Georisorse e Territorio, Fabrizio Sellone del Dipartimento di
Elettronica, Giorgio Lollino, Marco Baldo, Paolo Allasia e
Franco Godone del IRPI-CNR. Si ringrazia inoltre la Dott.ssa
Anna Grazia Chiodetti dell’Istituto Nazionale di Geofisica e
Vulcanologia (INGV) per il supporto nella ricerca di docu-
menti altrimenti introvabili.
REFERENCES
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