CAPITOLO I
2
1.1 ELEMENTI GENERALI, TIPOLOGIE
CONTRATTUALI
Oggetto dell’assicurazione contro i danni è l’intervento dell’impresa
assicuratrice nel coprire i costi, o una parte di essi, derivati dal verificarsi, in un
dato periodo temporale, di eventi dannosi, detti sinistri, a carico del rischio
assicurato.
Le tipologie di danno sono tre:
i) danni alla proprietà dell’assicurato, cioè quei danni che causano
perdita di ricchezza materiale dell’assicurato, quali ad esempio il
furto, la grandine, l’incendio;
ii) danni derivanti da infortunio o malattia, cioè danno economico
sofferto dalla persona assicurata, qualora colpita da infortunio o
malattia
1
; in questi casi la compagnia può essere chiamata a
risarcire l’assicurato o i familiari se egli e’ deceduto a causa
dell’evento assicurato;
1
Il problema della quantificazione del danno economico alla persona ha assunto importanza
crescente negli ultimi anni, poiché si è assistito ad un lievitare di tali ammontari, per
un’aumentata valutazione delle componenti indotte da un danno fisico alla persona. Tale
problema, che spesso va sotto il nome di valutazione del danno biologico, è di primaria
importanza anche per le assicurazioni di responsabilità civile, cui fa riferimento questo lavoro.
CAPITOLO I
3
iii) danni a terzi o beni di terzi, per i quali l’assicuratore indennizza i
terzi danneggiati dall’assicurato: è il caso delle assicurazioni di
responsabilità civile.
A fronte degli impegni assunti dall’assicuratore l’assicurato è tenuto al
pagamento di un premio; dal momento che l’impresa prima consegue i ricavi
(incassa i premi), poi sostiene i costi (paga i risarcimenti dei sinistri), si ha
un’inversione del ciclo produttivo. A tale inversione si associa un trasferimento
del rischio.
L’assicurato, soggetto ad una situazione aleatoria A
~
- individuata da un
capitale C e da un rischio aleatorio X
~
: XCA
~~
−= - paga un premio P,
equivalente certo della situazione X
~
, per essere soggetto, alla fine del periodo di
esposizione al rischio, all’importo certo PC − ; viceversa l’impresa passa da una
situazione certa C alla situazione aleatoria XPC
~
−+ .
Con riferimento alla prima tipologia di danni sopra descritta – danni alla
proprietà - assicurato è il bene, che può esserlo per tutto il suo valore o solo per
una parte. Il primo caso è quello dell’assicurazione a valore intero, in cui
l’assicuratore risarcisce il danno per intero; nel secondo ci si trova in
sottoassicurazione e per il risarcimento si segue la regola proporzionale, cioè, se il
valore del bene assicurato è V ed è assicurato per un valore S<V, in caso di
sinistro di importo D, l’assicuratore risarcisce l’importo R tale che
CAPITOLO I
4
≤
=
SR
VDSR ::
per cui
=
V
S
DSR ;min . (1.1)
Nel caso, invece, di contratti (come quelli di responsabilità civile) in cui il
valore del bene non sia oggetto dell’assicurazione, i contraenti si accordano su
un’entità M ritenuta il massimo danno probabile o il massimo danno coperto da
assicurazione; in tal caso il risarcimento copre l’intero ammontare del sinistro,
purché questo sia minore di M, detto appunto massimale. In tal caso, fermo
restando il significato di D, il risarcimento R risulta
{}MDR ;min= (1.2)
Frequente nei contratti assicurativi è la franchigia, F, importo che funge
da limite inferiore al risarcimento da parte della compagnia, la quale risarcisce
solo i sinistri di importo superiore ad F o in toto (si parla allora di franchigia
relativa) o esclusivamente per la parte eccedente la franchigia stessa (si parla
allora di franchigia assoluta).
CAPITOLO I
5
Indicando con F
r
e F
a
le franchigie, relative e assolute rispettivamente, a
carico della compagnia è l’importo
{}
r
FDR −= ;0max (1.3)
oppure
>
≤
=δδ=
a
a
FDFD
FDse
FDse
conDR
aa
1
0
,
,,
. (1.4)
Il vantaggio della franchigia consiste nel fatto che essa permette di evitare i costi
di gestione per piccoli sinistri, costi che graverebbero sulla determinazione
dell’entità del premio.
CAPITOLO I
6
1.2 LA DETERMINAZIONE DEL PREMIO: PREMIO
PURO E PREMIO NETTO
Si è detto che il premio è il certo equivalente della situazione aleatoria
dell’assicurando; è necessario allora adottare un criterio decisionale, per
determinare quale ammontare certo possa essere giudicato scambiabile con la
situazione aleatoria.
Un primo criterio “logico-intuitivo” (secondo la terminologia introdotta
da De Finetti
2
) sarebbe quello di utilizzare la speranza matematica e fare uso del
concetto di equità, secondo il quale il premio è equo se corrisponde alla perdita
[guadagno] monetaria attesa per l’assicurato [assicuratore]. Integrando poi la
speranza matematica con una funzione di valore degli importi monetari - la
funzione di utilità - si introduce l’operatore speranza utilitaria: si sfrutta allora il
concetto di indifferenza, secondo il quale il premio è vantaggioso fino a quando
non supera la perdita attesa di utilità.
Il criterio utilizzabile deriva direttamente dalla definizione soggettivista di
probabilità e dalla conseguente valenza del concetto di speranza matematica di
una variabile aleatoria.
Data una variabile aleatoria X
~
, la sua media o speranza matematica
( )XE
~
è quel numero reale, deterministico, equivalente ad X
~
per il soggetto che
valuta: corrisponde all’importo che il soggetto giudica equamente scambiabile
2
De Finetti B., (1970), Teoria della probabilità; Einaudi, Torino.
CAPITOLO I
7
con la variabile aleatoria. Quindi il certo equivalente di una determinata variabile
aleatoria risulta, secondo il criterio della speranza matematica, la sua media; tale
certo equivalente si definisce premio equo, o puro:
( )XEP
~
= .
Ma un contratto assicurativo non può essere equo, dovendo la compagnia
far fronte non solo al monte sinistri, ma anche a gestione della probabilità di
rovina, remunerazione degli azionisti, spese. Quindi il premio effettivamente
corrisposto dall’assicurato è maggiore del premio puro, essendo costituito anche
dai cosiddetti caricamenti: il premio puro maggiorato dei caricamenti di sicurezza
si dice premio netto, il premio netto maggiorato dei caricamenti per spese è il
premio di tariffa.
Giustificazione metodologica alla stipula del contratto assicurativo ci è
fornita dalla teoria dell’utilità: attraverso una teoria della preferibilità in
condizioni di incertezza si dimostra sia l’accettazione da parte dell’assicurato di
un premio più alto di quello equo, sia la richiesta da parte della compagnia di un
premio maggiore di quello puro.
Un primo abbozzo è dovuto a Bernoulli (1783)
3
, attraverso l’analisi del
cosiddetto “Paradosso di san Pietroburgo”; formalizzazione moderna di una
3
Bernoulli D., (1783), Specimen theoriae novae de mensura sortis; nota pubblicata
dall’Accademia delle Scienze di San Pietroburgo.
CAPITOLO I
8
teoria della preferibilità in condizioni di incertezza è quella di Von Neumann e
Morgenstern (1947)
4
.
Ogni decisore è un soggetto caratterizzato da un proprio criterio di
preferibilità; tale caratteristica soggettiva è descrivibile analiticamente tramite la
funzione di utilità ()xu , funzione reale di variabile reale, che attribuisce un
valore, appunto soggettivo, all’importo x; essa è concava per normali decisori
avversi al rischio
5
. Secondo tale impostazione, per l’individuo caratterizzato
dall’utilità ()xu , il possesso di un importo certo ν risulta indifferente ad una
situazione aleatoria X
~
se e soltanto se
() ( )[ ]XuEu
~
=ν . (1.5)
Si applica il criterio della speranza matematica, ma non all’importo
aleatorio, bensì al valore che il decisore gli attribuisce; la (1.5) è la speranza
utilitaria di X
~
.
Dato un soggetto sottoposto alla situazione aleatoria X
~
, in possesso di un
capitale C e caratterizzato da una funzione di valutazione degli importi u(x), egli
sceglierà di assicurarsi - cioè di pagare un premio P e trasferire alla compagnia la
4
Von Neumann J., Morgenstern O., (1947), Theory of games and economic behaviour,
Princeton University Press.
5
Il beneficio indotto dall’importo ∆ x è tanto minore quanto maggiore è il capitale C già in
possesso dell’individuo. A parità di incremento monetario ∆ x, se C
1
è maggiore di C
2
,
l’incremento di utilità è maggiore per chi possiede di meno:
()()[]()()[]
2211
CuxCuCuxCu −∆+≤−∆+
CAPITOLO I
9
situazione aleatoria - se la nuova situazione certa risulterà per lui vantaggiosa o,
almeno, indifferente, vale a dire se la speranza utilitaria della situazione non
rischiosa sarà maggiore [vantaggiosa] o uguale [indifferente] a quella della
situazione aleatoria. In formule il soggetto si assicura se
()[]( )[ ]XCuEPCuE
~
−≥− (1.6)
che equivale a
() ( )[ ]XCuEPCu
~
−≥− (1.7)
grazie alla non aleatorietà di ()PC − .
La funzione di utilità è, ovviamente, monotona crescente, quindi ammette
funzione inversa u
-1
; inoltre è definita a meno di una trasformazione lineare
positiva, per cui la (1.7) si può scrivere
() ( )[ ]XUEPU
~
−≥−
in cui U è la funzione di utilità normalizzata, tale che, cioè, () 00 =U ,ed ancora
( )[ ]( ) ( )[ ]( )XUEUXUEUP
~~
11 −−
=−−≤ . (1.8)
CAPITOLO I
10
P è il massimo importo che l’assicurando è disposto a pagare per trasferire
il rischio. A causa della concavità di U(x), il secondo membro della (1.8) risulta
essere sempre maggiore della media di X
~
:
( )[ ]( ) [ ] 0
~
,
~~
1
≥∀≥
−
XXEXUEU (1.9)
in cui l’eguaglianza si raggiunge solo nel caso in cui sia () xxU = .In altri termini
l’assicurato è disposto a pagare un premio maggiore del premio equo [ ]XE
~
, fino
al limite del premio di indifferenza ν (soluzione dell’equazione
( )[ ]( )XUEU
~
1−
=ν ),giudicandolo vantaggioso; poiché è un decisore avverso al
rischio (la sua utilità come già detto è concava), preferisce una situazione certa,
utilitaristicamente, ma non equamente, preferibile a quella aleatoria. Un decisore
indifferente al rischio sarebbe caratterizzato da una funzione di utilità lineare
() xxU = e il premio di indifferenza coinciderebbe con quello equo, non
essendovi, per tale decisore, distinzione tra il concetto di equità e quello di
indifferenza.
Affrontando il problema dal punto di vista della compagnia, ferme
restando le osservazioni relative alla monotonia e invarianza della funzione di
utilità, l’assicuratore accetterà di farsi carico del rischio se
( )[ ] () 00
~
=≥−
cc
UXPUE (1.10)
CAPITOLO I
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in cui ()xU
c
è la funzione di utilità propria della compagnia. In questo caso ν
c
,
che risolve l’equazione ( )[ ] 0
~
=− XUE
cc
ν ,risulta essere il minimo importo che
rende il contratto vantaggioso per l’assicuratore.
Poiché in genere l’assicurato è più avverso al rischio dell’assicuratore - la
funzione di utilità del primo è più concava di quella del secondo - risulta
ac
ν<ν :
è proprio in questo range [ ]
ac
νν ; che si colloca il premio contrattuale.
Giustificata la differenza tra il premio puro e quello netto, si pone il
problema della scelta di un criterio per la determinazione del premio netto, come
funzionale della variabile risarcimento
6
.
Gli usuali criteri sono quattro:
™ criterio della varianza: () ()XVARXEP α+= , con 0>α ;
™ criterio della deviazione standard: () ()XXEP σβ+= , con 0>β ;
™ criterio del valore atteso: ()()γ+= 1XEP , con 0>γ ;
™ criterio dell’utilità attesa: ()[]0.. =− XPUEctP .
Per la determinazione del premio è quindi necessaria la stima della
distribuzione della variabile aleatoria risarcimento, o almeno dei suoi momenti
6
La variabile risarcimento è quella completamente a carico dell’assicuratore, al contrario della
variabile ammontare globale del danno, in quanto la prima è comprensiva di diminuzioni dovute
a valore assicurato, massimale e franchigia
CAPITOLO I
12
primo e secondo
7
. A tale scopo, assumendo l’esistenza di una base tecnica
adeguata, va introdotto un modello matematico per la variabile in questione.
7
Fa eccezione il criterio dell’utilità attesa, per il quale è necessaria anche la stima della funzione
di utilità della compagnia e, a seconda della forma di tale funzione, di momenti successivi o di
tutta la distribuzione della variabile X.
CAPITOLO I
13
1.3 MODELLO PER LA VARIABILE RISARCIMENTO
(DISTRIBUZIONE DI POISSON COMPOSTA,
VARIABILI NUMEROSITÀ E COSTO DEI
SINISTRI).
Definiamo X la variabile risarcimento globale aleatorio,
()+∞= ,.....,2,1,0NN la variabile numero di sinistri che colpiscono il rischio nel
periodo temporale oggetto dell’assicurazione, ()NiY
i
,....,2,1,0= la variabile
risarcimento relativa al sinistro i-mo
8
, ()NiZ
i
,...,2,1,0= la variabile danno
effettivo causato dall’i-mo sinistro
9
.
Il risarcimento globale può essere così espresso:
∑
=
=
N
i
i
YX
0
(1.11)
in cui il risarcimento i-mo
i
Y è funzione del danno
i
Z : ( )
ii
ZfY = , con f
funzione reale di variabile reale che traduce le specifiche modalità del contratto,
siano esse massimali, franchigie o valori assicurati.
La f così si particolarizza:
™ () zzf = se l’assicurazione è a valore intero,
8
Se non vi sono sinistri 0=N ,
0
YY
i
= e allora si pone 0
0
=Y
9
Analogamente a
i
Y , 0
0
=Z
CAPITOLO I
14
™
()
v
s
zzf = nel caso di valore assicurato s secondo la regola
proporzionale (con v valore della cosa danneggiata),
™ () ()zMzf ,min= , in presenza di un massimale M,
™
() ( )
a
Fzzf −= ;0max nel caso di franchigia assoluta,
™
()
>
≤
=δδ=
a
a
FDFD
Fzse
Fzse
conzzf
aa
1
0
,
,,
se la franchigia è relativa;
un contratto con franchigia assoluta e massimale sarebbe caratterizzato da
() ( )( )
aa
FzFMzf −−= ;0max;min .
Ipotizzando che gli
i
Z (e quindi anche gli
i
Y ) siano stocasticamente
indipendenti e ugualmente distribuiti e che il numero aleatorio N sia
indipendente dagli Y
i
ed indicando inoltre con p
n
la probabilità dell’evento
(N=n) e con ()xF
n
Y
la funzione di ripartizione della somma di n importi aleatori
Y
i
, si può scrivere:
() ()
∑
+∞
=
=
0n
n
n
YX
pxFxF . (1.12)
Infatti scrivendo le uguaglianze
() ()
<=<=
∑
=
xYPxXPxF
N
i
i
x
1
CAPITOLO I
15
e facendo l’intersezione con l’evento certo Ω
10
si ottiene
() ()
=
<=
∞
=
∑ Υ
Ι
0ni
iX
nNxYPxF
da cui, utilizzando la proprietà distributiva dell’intersezione,
() ()
=
<=
∑Υ
Ι
n i
iX
nNxYPxF ,
che diviene
() ()
∑∑
∞
=
=
<=
0ni
i
x
nNxYPxF Ι
per la legge delle probabilità totali.
10
L’evento certo viene scritto come unione di eventi incompatibili ed esaustivi
()
Υ
∞
=
==Ω
0n
nN , con ()() jijNiN ≠∀∅=== Ι , in modo da poter poi applicare la
legge delle probabilità totali e scrivere la probabilità di un’unione di eventi incompatibili come
somma delle probabilità degli eventi stessi.
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