Gestione multiperiodale del portafoglio: una strategia di investimento basata sulla Cluster Analysis e su processi GARCH multivariati

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Introduzione 
L’obiettivo del presente lavoro è la realizzazione di una strategia multiperiodale 
del portafoglio che utilizzi la Cluster Analysis per la selezione dei prodotti finanziari 
e sfrutti alcuni modelli statistici, tra i quali i GARCH multivariati, per 
l’ottimizzazione vera e propria del portafoglio. 
Le motivazioni alla base di questa tesi derivano da due interessi personali che ho 
coltivato negli anni: i mercati finanziari e la programmazione; quest’ultima mi ha 
permesso di sviluppare in prima persona tutto il codice necessario all’elaborazione 
delle analisi svolte in questo lavoro. L’idea è stata fin dall’inizio quella di 
concentrarmi più sul lato pratico che non quello teorico delle tecniche statistiche 
utilizzate; verificare con l’ausilio di backtest se la teoria del portafoglio, descritta 
ed approfondita in moltissimi libri ed articoli, mantenga le promesse anche sul 
campo. 
Questo lavoro è strutturato in quattro capitoli. Nel primo verranno presentati i 
prodotti finanziari che saranno utilizzati nelle simulazioni e nei backtest che 
effettueremo: Fondi Comuni di Investimento, Sicav ed ETF. Si procederà poi 
all’approfondimento di ciò che si intende per rischio e rendimento in un contesto 
di asset management e ad un rapido excursus di alcune delle principali teorie del 
portafoglio: Modern Portfolio Theory (MPT), Capital Asset Pricing Model (CAPM) e 
Arbitrage Pricing Theory (APT). 
Il secondo capitolo affronterà il problema della stima del rendimento e della 
varianza attesa, le due grandezze indispensabili per il calcolo della frontiera 
efficiente e della ricerca del portafoglio ottimale. Verrà in particolar modo 
analizzata la procedura di stima della varianza attesa con l’ausilio dei modelli 
GARCH univariati e multivariati. I modelli multivariati che approfondiremo saranno 
il Dynamic Conditional Correlation GARCH (DCC GARCH) ed il Generalized 
Orthogonal GARCH (GO-GARCH). 
Nel terzo capitolo entreremo nel vivo del nostro lavoro. Per mezzo della Cluster 
Analysis selezioneremo i prodotti finanziari che andranno a far parte del nostro 
portafoglio: ridurremo un universo di centinaia o addirittura migliaia di fondi a
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poche unità. Inizieremo quindi ad effettuare il backtest della strategia sviluppata, 
che sarà strutturata nella selezione di fondi e nella conseguente ottimizzazione dei 
rispettivi pesi in portafoglio, con rinnovo e ribilanciamento periodico. In questa 
fase perfezioneremo il passaggio da un’analisi uniperiodale ad una multiperiodale 
dal momento che l’intera procedura sarà ripetuta ciclicamente. I backtest 
misureranno la bontà della strategia su tutto l’intervallo di tempo analizzato. In 
questo capitolo verranno inoltre introdotti i concetti di finestra mobile (rolling 
window) e di portafoglio casuale (random): le performance di quest’ultimo 
saranno utilizzate come benchmark della nostra strategia e forniranno spesso 
indicazioni utili. Nell’ultimo paragrafo esamineremo i backtest ingannevoli e 
l’effetto distorsivo del Look-Ahead Bias. 
Il quarto capitolo si aprirà con un approfondimento del concetto di backtest e dei 
rischi insiti in fenomeni poco conosciuti come l’overfitting e il Look-Back Bias. 
Effettueremo poi un’analisi delle variabili principali della strategia multiperiodale: 
la lunghezza delle serie storiche, il numero di fondi in portafoglio e il periodo di 
rinnovo/ribilanciamento. Numerosi backtest saranno sviluppati per capire come 
ognuna di esse possa influenzare in un senso o nell’altro i risultati finali. 
Un’attenzione particolare sarà dedicata ai costi di transazione ed alla tassazione 
sulle rendite finanziarie; cercheremo di quantificarne l’impatto sui rendimenti e di 
valutare possibili soluzioni. Continueremo il nostro lavoro esaminando i benefici 
della gestione passiva e attiva di un fondo: le metteremo a confronto, ne 
valuteremo i pro e i contro e verificheremo il loro apporto di valore in caso di uso 
simbiotico. Un’analisi simile sarà effettuata sui portafogli composti da una singola 
tipologia di fondi (obbligazionaria, bilanciata o azionaria); misureremo i rischi e i 
rendimenti di ciascuno di essi in funzione dei nostri modelli e valuteremo se e 
quando possa essere conveniente utilizzare questo tipo di portafogli. Anche 
l’avversione al rischio sarà oggetto della nostra analisi. Il nostro scopo sarà quello 
di sfruttare la gestione multiperiodale per rendere l’avversione al rischio dinamica: 
svilupperemo un metodo per vincolarla ad un singolo parametro (indice VIX) e 
discuteremo le condizioni in base alle quali questa variante tattica possa apportare 
dei benefici alla performance del portafoglio. Termineremo il nostro lavoro con un
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raffronto tra la strategia di investimento multiperiodale che avremo sviluppato ed 
altre metodologie di asset allocation molto diffuse quali il portafoglio permanente 
di Harry Browne, cinque varianti di Lazy portfolios e i fondi Total Return. 
La strategia di investimento sviluppata ha prodotto dei risultati molto promettenti 
in termini di flessibilità, performance e affidabilità, come i numerosi backtest svolti 
sembrano aver dimostrato.
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Capitolo 1. Le teorie del portafoglio e di asset allocation 
1.1 Cenni sugli strumenti finanziari utilizzati nei backtest: Fondi Comuni di 
Investimento, Sicav ed ETF 
Il Decreto Legislativo n° 58/98 definisce il Fondo Comune di Investimento come «il 
patrimonio autonomo, suddiviso in quote aventi il medesimo valore, di pertinenza 
di una pluralità di partecipanti, gestito in monte». In altre parole i Fondi Comuni 
di Investimento sono strumenti finanziari che raccolgono il denaro di risparmiatori 
che affidano la gestione dei propri risparmi ad una società di gestione con 
personalità giuridica e capitale distinti da quelli del fondo. 
Una Sicav, invece, è una società per azioni a capitale variabile «avente per oggetto 
esclusivo l'investimento collettivo del patrimonio raccolto mediante l'offerta di 
proprie azioni»
1
. 
Sicav e fondi comuni di investimento sono molto simili. Si distinguono dal fatto che 
nei fondi comuni l’investitore è titolare di una quota del fondo stesso che viene 
amministrata da una società di gestione distinta, detta SGR, mentre nelle Sicav 
l’investitore diventa socio e sottoscrive azioni emesse direttamente dalla società: 
il capitale sociale della Sicav coincide con il patrimonio amministrato. 
Sia i Fondi Comuni di Investimento che le Sicav sono gestiti attivamente
2
 e 
aggiornano il loro valore a fine giornata, al termine delle contrattazioni borsistiche. 
Il loro prezzo è definito NAV (Net Asset Value). 
I Fondi Comuni di Investimento si possono distinguere in: 
 Aperti o chiusi: i primi si caratterizzano per la libertà di entrata e di uscita 
(intese come sottoscrizione e rimborso delle quote) in qualsiasi momento. 
I fondi chiusi, invece, sono costituiti da un ammontare fissato al momento 
dell'istituzione del fondo: la sottoscrizione delle quote avviene in un'unica 
soluzione e i sottoscrittori non possono richiedere il rimborso delle quote 
                                                           
1
 Decreto legislativo n. 58 del 24 febbraio 1998, articolo 1, comma 1, lettera i. 
2
 Esistono anche a gestione passiva ma la stragrande maggioranza di essi prevede dei gestori che 
si occupano attivamente della selezione dei prodotti finanziari da inserire nel loro portafoglio. La 
gestione attiva e passiva sarà approfondita nel quarto capitolo.
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se non alla scadenza del fondo o in casi eccezionali previsti dal 
regolamento. 
 Mobiliari o Immobiliari: i fondi mobiliari possono investire il risparmio 
raccolto in strumenti finanziari quotati o non quotati ma, data la difficoltà 
di liquidare porzioni di investimenti non quotati, l'investimento dei fondi 
mobiliari avviene soprattutto in strumenti finanziari quotati. La difficile 
liquidazione degli strumenti finanziari non quotati, sui quali investono i 
fondi immobiliari, è alla radice della mancata libertà del sottoscrittore di 
richiedere in qualsiasi momento il rimborso delle quote. 
In base alle forme di impiego si distinguono poi i fondi azionari da quelli 
obbligazionari, bilanciati, flessibili ecc. Altre categorizzazioni di fondi possono 
essere fatte in base all'area geografica o al settore di investimento. 
Gli ETF (Exchange-Traded Fund) sono fondi negoziati in Borsa come le azioni, 
caratterizzati da una gestione passiva. Questo significa che essi replicano un 
benchmark passivamente: il numero di titoli compresi in un certo ETF rispecchia 
fedelmente quello del suo benchmark (che ad esempio può essere un indice 
borsistico). Se viene modificato il paniere di titoli inclusi nel benchmark, l'ETF si 
allineerà in modo automatico. A differenza dei Fondi Comuni e delle Sicav, che 
valorizzano solitamente a fine giornata borsistica, gli ETF vengono trattati nella 
fase di Borsa che prende il nome di negoziazione continua, al pari delle azioni e 
delle obbligazioni. La gestione passiva che contraddistingue gli ETF permette 
l'applicazione di commissioni di gestione più basse rispetto a quelle dei Fondi 
Comuni o delle Sicav a gestione attiva. Tutti gli ETF attualmente quotati su Borsa 
Italiana sono armonizzati ed autorizzati dalla Banca d'Italia e dalla Consob. 
Una peculiarità dei Fondi Comuni, delle Sicav e degli ETF è la particolare tutela per 
gli investitori. Un primo livello di tutela è assicurato dalla diversificazione degli 
investimenti e dalla trasparenza (pubblicazione del valore del Fondo). 
L’investimento è poi tutelato attraverso una serie di controlli, interni ed esterni, e 
soprattutto attraverso la qualificazione del Fondo Comune e dell’ETF come 
patrimonio giuridicamente separato, sia dal patrimonio della società di gestione
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che da quello dei singoli partecipanti. Questa importante caratteristica mette al 
riparo l'investitore dalla perdita di tutto il capitale investito nel caso di fallimento 
della società che gestisce il Fondo. In una Sicav si ha lo stesso tipo di tutela anche 
se, in questo caso, i sottoscrittori sono soci con tutti i relativi diritti e il patrimonio 
della società corrisponde al capitale da questi versato. La tutela offerta da questi 
prodotti finanziari è quindi maggiore di quella che si ha in caso di investimento 
diretto in azioni (rischio massimo di perdita integrale del capitale investito) o in 
obbligazioni (Titoli di Stato compresi, in quanto presentano un rischio minore ma 
comunque esistente). Questa è una delle principali caratteristiche che ha fatto sì 
che Fondi Comuni, Sicav ed ETF siano ormai entrati a far parte dei portafogli anche 
dei piccoli investitori. 
 
1.2 Modalità di misurazione del rendimento 
Misurare il rendimento di uno strumento finanziario o di una collezione di 
strumenti finanziari (il “Portafoglio”)
3
 significa quantificarne percentualmente 
l’incremento o il decremento di valore in un certo periodo di tempo (generalmente 
l’unità temporale è l’anno) attraverso il cosiddetto “Tasso di rendimento”
4
. 
Esistono molte modalità di calcolo del tasso rendimento ma le più conosciute ed 
utilizzate sono il time-weighted ed il money-weighted. 
Tasso di rendimento time-weighted (TWRR)
5
. La formula di calcolo è la seguente: 
 = 


− 



 
                                                           
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 Di seguito con “Portafoglio” si intenderà anche il caso particolare di un portafoglio composto da 
un singolo strumento finanziario. 
4
 Non si deve confondere il tasso di rendimento con il tasso di interesse. Il tasso di interesse è 
generalmente conosciuto al tempo 0 e ci permette di calcolare il montante al tempo t (con o senza 
reinvestimento degli interessi, da qui la distinzione tra tasso di interesse semplice e composto). Il 
calcolo del tasso di rendimento avviene invece al tempo t ed è funzione del valore del portafoglio 
al tempo t ( 

) e iniziale ( 

). 
5
 Time Weighted Rate of Return.
10 
 
Dove 

 = valore finale e 

 = valore iniziale del portafoglio. Ipotizzando un valore 
finale di 120 ed uno iniziale di 100 euro, il tasso di rendimento semplice sarà pari 
a: 
( 12 0 − 10 0 )
10 0
= 0 , 20 = 20 % 
Allo stesso risultato potevamo arrivare dividendo il valore finale per quello iniziale, 
togliendo poi 1 da quanto ottenuto: 




− 1 =
12 0
10 0
− 1 = 1 , 20 − 1 = 0 , 20 = 20 % 
Se il valore finale sarà inferiore a quello iniziale, il tasso di rendimento sarà 
negativo e misurerà la perdita percentuale del portafoglio nell’unità di tempo 
considerata.  
L’equazione precedente può essere riscritta nel modo seguente: 
1 +  =




 
La quantità 

 / 

 è ottenibile anche moltiplicando i rapporti tra valori finali e 
iniziali dei sottoperiodi  che compongono il periodo principale t: 




+




+




+ ⋯ +



  
=




= 1 +  
E, per sostituzione, si può facilmente verificare che l’equazione precedente si può 
anche scrivere nel modo seguente: 
( 1 + 

) ( 1 + 

) ( 1 + 

) … 	 ( 1 + 

) = 1 +  
Il TWRR non prende in considerazione l’ammontare investito ed i flussi di cassa in 
entrata e in uscita. Per questo motivo il TWRR è una misura appropriata a valutare 
ed a confrontare tra loro le performance dei gestori dei fondi. 
Tasso di rendimento money-weighted (MWRR)
6
. Nella realtà accade spesso che 
durante la vita di un investimento vengano effettuati apporti e prelievi di capitale. 
                                                           
6
 Money Weighted Rate of Return