Geometria e Relatività: un approccio storico

Presentazione 5
A titolo di introduzione al mio lavoro di tesi, riporto una libera riduzione da
appunti personali del mio professore di Fisica e Matematica del liceo, il professor
Rocco Bonetti, che fanno parte del suo Calderone, in cui egli traccia gli elementi di
base per lo studio della Fisica. Nell’affrontare il discorso della misura del tempo,
propone l’eventualita` che il tempo trascorso durante un moto che si compie a una
certa velocita` venga valutato mediante un segnale che si propaga con velocita` con-
frontabile con quella del fenomeno osservato. Il tempo misurato con questa modalita`
e` soggetto al ritardo dovuto alla propagazione del segnale: da questo semplice esem-
pio si potra` cogliere la necessita` di descrivere i fenomeni fisici nello spazio e nel
tempo mediante una struttura che tenga conto di tali ritardi.
`
E la festa di Santa Rita. Ci sta il sole, la messa interminabile del vescovo con la
benedizione, la processione, le bancarelle e i fuochi pirotecnici. Che bello i fuochi!
Se uno si trova vicino vede la luce e sente il botto quasi simultanei. Se uno si trova
lontano vede prima la luce e poi sente il botto. Se si trova ancora piu` lontano sente
il botto con un ritardo maggiore. La velocita` del suono nell’aria e` di circa 340 m/s.
Se per esempio il ritardo e` di 5 s, si puo` calcolare la distanza: lo scoppio e` avvenuto
a 1700 m.
Sono passati alcuni giorni, la festa e` finita ed e` cominciato il maltempo, non
piove ma si sentono in lontananza dei tuoni. Si prende un cronometro, come si vede
il lampo si schiaccia il pulsante di partenza, quando arriva il tuono si schiaccia il
pulsante di arresto e si leggono 20 s, cioe` 6800 m, il temporale e` lontano. Dopo un
po’ di tempo si ripete la misura e si trovano 15 s, 5100 m, dopo ancora si trovano
10 s, 3400 m. Vuoi vedere che viene a piovere! Fare la moltiplicazione per 340 m/s `e
scocciante, chi ha detto che si deve usare per forza il metro, se uno non usa il metro
non paga la multa (almeno fino ad oggi). Se si prende come unita` di lunghezza il
percorso del suono in un secondo si puo` parlare in tal modo di secondo suono ele
distanze diventano di 20, 15, 10 secondi suono, l’unita` e` comoda specie se uno non
conosce bene la velocita` del suono.
Presentazione 6
Vi e` un binario rettilineo e su di esso si considerano due punti A e B distanti
10 secondi suono (3400 m) e il punto medio M (AM = MB = 1700 m = 5 secondi
suono). Un treno viaggia a 20 m/s =72km/h da A verso B, impiegando
170 s =
3400 m
20 m/s
per andare da A a B.
Ci sono quattro osservatori: uno vicino al punto A, uno vicino al punto B, uno vicino
al punto M e uno accanto al macchinista. Si vuole misurare la velocita` del treno,
ma c’e` la nebbia. Si dispongono tre petardi, uno poco prima di A per allertare gli
osservatori, uno in A e uno in B. Arriva il treno e tutti gli osservatori, col massimo
scrupolo, schiacciano i pulsanti del loro cronometro, poi ognuno fa i conti da solo.
L’osservatore in A trova una velocita` di 18.89m/s, l’osservatore inM e quello vicino
al macchinista una velocita` di 20 m/s, l’osservatore in B una velocita` di 21.25m/s.
Chi ha sbagliato?
Nessuno ha sbagliato a schiacciare il cronometro.
Vediamo come sono andate le cose.
Tempo(s) Evento
0 Il treno e` in A. L’osservatore in A fa partire il cronometro.
L’osservatore vicino al macchinista fa partire il cronometro.
5 Il rumore del botto arriva all’osservatore in M che fa partire
il cronometro.
10 Il rumore del botto arriva all’osservatore in B che fa partire
il cronometro.
170 Il treno arriva in B. L’osservatore in B arresta il cronometro
e trova 160 s. L’osservatore vicino al macchinista arresta il
cronometro e trova 170 s.
175 Il rumore del botto arriva all’osservatore in M che arresta il
cronometro e trova 170 s.
180 Il rumore del botto arriva all’osservatore in A che arresta il
cronometro e trova 180 s.
Presentazione 7
L’osservatore in A ha misurato 180 s, dunque una velocita` di 18.89m/s (avverte
una dilazione per effetto del ritardo dovuto alla propagazione del suono che parte
da B).
L’osservatore in M ha misurato 170 s, dunque una velocita` di 20 m/s (i segnali
da A e B giungono con uguale ritardo).
L’osservatore in B ha misurato 160 s, dunque una velocita` di 21.25m/s (avverte
una diminuzione del tempo occorso per effetto del ritardo dovuto alla propagazione
del suono che parte da A).
L’osservatore vicino al macchinista ha misurato 170 s, dunque una velocita` di
20m/s (coglie i segnali nel momento in cui vengono emessi, dunque senza ritardi).
L’errore consiste nel non tenere conto del ritardo dovuto alla propagazione del
suono. Bisogna partire dal tempo misurato e correggerlo tenendo presente la velocita`
del suono e le cose si aggiustano. Si deve distinguere tra un intervallo di tempo
misurato e un intervallo calcolato o corretto con calcoli.
E non si poteva aspettare una bella giornata?
?piolo 1
Lo Spzio-Tempo
1.1 I?roduzioe
Minkowski, Aprile 1909: ’Lo spazio da solo e il tempo da solo sono destinati a
sprofondare nell’ombra e solo un’unione dei due manterra` una realta` indipendente’.
Figura 1.1: Hermann Minkowski, Aleksota 1864 - Gottinga 1909
La presentazione ufficiale della teoria di Minkowski dello Spazio-Tempo avvenne
quattro anni dopo la comparsa della celeberrima pubblicazione di Einstein ’Zur
Elektrodinamik bewerter Ko¨rper’ (’Sull’Elettrodinamica dei corpi in moto’) negli
Annalen der Physik. Non si tratto` del lavoro isolato di un matematico. Cos`ı come il
8
CAPITOLO 1. LO SPAZIO-TEMPO 9
saggio del fisico di Ulm
1
, esso va inquadrato all’interno di un processo che si svolse
prevalentemente tra il 1849, quando il francese Fizeau calcolo` un corretto valore
approssimato per la velocita` della luce, e il 1916, anno in cui Einstein pubblico` la
teoria gravitazionale (Generale) della Relativita`
2
.
Il merito di Minkowski e` ormai ampiamente riconosciuto, tanto che si parla
di spazio-tempo Minkowskiano: e` consistito nell’individuazione di una struttura
geometrica ad hoc in cui elevare le trasformazioni di Einstein-Lorentz a gruppo
fondamentale di simmetria dello spazio
3
, mentre fino ad allora non erano state altro
che le equazioni che garantivano l’invarianza delle leggi di Maxwell tra osservatori
inerziali
4
senza nemmeno un preciso accordo su cosa cio` significasse
5
: si trattava di
una metrica indefinita (non piu` definita positiva) in cui veniva rivisto il concetto di
distanza in favore di uno piu` generale di pseudodistanza. In realta`, questo e` stato
l’unico suo contributo originale nella matematica della Relativita`, dato che molti
altri strumenti usati nel suo lavoro (il calcolo matriciale, la teoria dei gruppi e lo
studio degli invarianti per l’azione di gruppi) erano noti gia` da tempo grazie alle
pubblicazioni di Poincare´, Klein e altri. Il 1909, ancora, segno` una svolta negli studi
relativistici, come dimostrano i dati inerenti alle pubblicazioni di matematici, fisici
teorici e fisici sperimentali a cavallo di quegli anni che subirono un’impennata proprio
dopo il congresso di Colonia([1], pp.67-69), grazie alla chiarezza dell’impostazione
Minkowskiana.
Egli scelse l’incontro annuale dell’Associazione Tedesca degli Scienziati e dei
Fisici, perche´ era l’unica occasione di incontro ’plenario’ tra i professionisti nel campo
della matematica, della fisica, dell’ingegneria e delle altre scienze. Durante la sua
conferenza ’Raum und Zeit’ (’Spazio e Tempo’), volle in tutti i modi sottolineare
il carattere matematico del suo lavoro, cercando, in un certo senso, di espandere le
frontiere della sua disciplina al fine di includervi il principio di Relativita`, a spese
della nascente fisica teorica. Il suo comportamento derivava dalla tensione alla mate-
1
Albert Einstein nacque a Ulm in Germania il 14 marzo 1879
2
..e che ovviamente continua ancora oggi negli studi di cosmologia e cosmogonia.
3
insieme delle trasformazioni che non deformano lo spazio
4
senza accelerazione relativa
5
per una trattazione di questo argomento si rimanda all’introduzione del secondo capitolo
CAPITOLO 1. LO SPAZIO-TEMPO 10
matizzazione della fisica, ovvero alla sua assiomatizzazione, tipica a Gottinga, dove
lui lavorava. La stessa propensione si evice dal punto 6 (Trattamento matematico
degli assiomi della fisica) nella famosa lista di problemi notevoli esposta nel 1900
([2],pp.74-83) a Parigi durante il II Congresso Internazionale dei Matematici da
David Hilbert, figura leader nella importante universita` tedesca e intimo amico di
Minkowski.
Figura 1.2: David Hilbert, Ko¨nigsberg 1862 - Gottinga 1943
Ovviamente Minkowski riconosceva il ruolo fondamentale rivestito dalla fisica
sperimentale nella nascita del principio di Relativita`. Senza le prove della finitezza
della velocita` della luce di Fizeau e senza l’esperimento di Michelson e Morley (1887)
nessuna teoria siffatta avrebbe avuto ragione d’essere; tuttavia reputava il lavoro di
Einstein matematicamente non corretto e debole nella descrizione della nozione di
tempo. Secondo Minkowski, pur enunciando il principio di Dilatazione del tempo e
il nuovo criterio di Simultaneita`
6
, il suo ex allievo Einstein non era stato in grado
di superare il sistema classico Newtoniano di spazio e tempo con dimostrazioni con-
vincenti e quindi condivisibili. Al contrario, Minkowski stesso riusc`ı con eleganza
addirittura a scaricare la struttura delle equazioni classiche dei moti relativi nella
sua (e di Lorentz-Einstein) facendo tendere la costante c all’infinito. E, difatti, in
questa maniera riassumeva il passo cruciale compiuto rispetto all’idea di mondo sei-
centesca: la comprensione, cioe` che la luce viaggiava a una velocita` finita e non
6
si cogliera` la portata di questi concetti nell’interpretazione fisica delle trasformazioni di Lorentz
al termine del secondo capitolo
CAPITOLO 1. LO SPAZIO-TEMPO 11
pervadeva istantaneamente tutto l’universo.
Minkowski si faceva portatore di una spiegazione ’rein mathematische’ del princi-
pio di Relativita`, annunciando che l`ı a Colonia si rivelava per la prima volta l’unione
indissolubile dello spazio e del tempo in un continuum quadridimensionale di eventi.
Il suo proclama rivoluzionario, riportato all’inizio del paragrafo, fu efficace a tal
punto da entrare nella memoria comune di tutti i matematici e i fisici relativistici; lo
stesso Einstein ammise di essere stato facilitato da questa formulazione geometrica
al momento della descrizione della teoria gravitazionale, nonostante, inizialmente,
avesse reagito dichiarando che lo spazio-tempo Minkoskiano avrebbe ingenerato negli
studiosi piu` dubbi di quanti ne avrebbe potuto sciogliere. Dato che, comunque, non
veniva aggiunto nulla alla sostanza dell’interpretazione dei fenomeni elettromagne-
tici, il lavoro di Minkowski fu, in generale, accolto come uno sviluppo formalmente
corretto (e indiscutibilmente piu` intelligibile) della teoria Einsteiniana.
L’adozione della struttura dello spazio-tempo e` gravida di conseguenze che ri-
guardano la nostra idea di mondo. L’introduzione della metrica Minkowskiana e
del cono temporale (e piu` in generale causale), che funziona da spartiacque tra
cio` che puo` e cio` che non puo` interagire con l’osservatore, determina una nuova
prospettiva entro la quale leggere le connessioni che legano gli oggetti: non e` piu`
vero che tutto e` in relazione con tutto, ove cio` che sta prima determina cio` che viene
dopo (in riferimento ad un unico orologio assoluto), ma esiste un nesso causale,ben
definito mediante il cono causale, che lega solo una parte degli enti dello spazio-
tempo. Non si sta dicendo che prima della relativita` Einsteiniana non esistesse un
determinismo causale: giacche´ era possibile un’interazione istantanea a distanza tra
i corpi, come nel caso delle forze gravitazionali, l’unico modo per ordinare gli eventi
(e dunque determinare un rapporto di causalita`) era il dato temporale (cronos). Per
secoli era stata dominante l’idea Newtoniana-Kantiana di tempo assoluto (per lo
scienziato del diciottesimo secolo un attributo di Dio che e` Primo Motore, per il
filosofo tedesco una intuizione del soggetto pensante, di validita` universale, senza
la quale non sarebbe possibile alcuna forma di comprensione dei fenomeni): esso
garantiva la sicura attribuzione d’ordine agli eventi (idea Newtoniana del tempo
di Dio) e l’interpretazione univoca dei fenomeni (tempo come categoria a priori
CAPITOLO 1. LO SPAZIO-TEMPO 12
Kantiana).
Riguardo poi alla speculazione sul ruolo della matematica nella descrizione dei
fenomeni, la Relativita` ancora una volta ci insegna che esse forniscono il linguag-
gio per esprimere concetti che trovano altrove la loro applicazione e non all’interno
del linguaggio stesso che fornisce solo le ragioni della loro coerenza e correttezza.
Le strutture della matematica non sono (ontologicamente) lo scheletro del funzio-
namento del mondo: piuttosto si tratta di strumenti da scegliere o individuare o
costruire con rigore, seguendo i criteri di economicita`, semplicita` e aderenza formale
ai dati coinvolti nell’analisi di un fenomeno. Se infatti si volesse dare un senso alle
parole ’spazio’ e ’tempo’ e si volesse rispondere alla domanda ’Cosa rende il tempo
differente dallo spazio?’ solo attraverso le categorie della geometria, si individuereb-
bero convenzioni, piuttosto che ragioni di tipo ontologico([4]). Nelle pagine seguenti
troveremo una risposta di natura metrica e una una caratterizzazione di tipo alge-
brico che pero` non sono soddisfacenti per andare al cuore dei concetti di spazio e
tempo. Con la metrica Minkowskiana (−1,1,1,1), diremo che gli eventi (cioe` i punti
dello spazio-tempo) di tipo tempo sono quelli per cui il quadrato dell’intervallo
dall’osservatore (origine del riferimento) e` negativo e gli eventi di tipo spazio sono
quelli per cui e` positivo: ma questa e` una differenza troppo formale e astratta per es-
sere fondamentale; peraltro, se usassimo la metrica opposta (1,−1,−1,−1), avremmo
una descrizione qualitativamente identica alla precedente e nonostante cio` i segni dei
tipi di eventi sarebbero scambiati. Quindi la definizione metrica e` frutto di una con-
venzione e come tale non ha un carattere fondativo. L’algebra vettoriale, poi, ci fa
notare che lo spazio e` un 1+3 e quindi, alla luce di cio`, saremmo portati a dire che il
tempo e` tempo perche´ unidimensionale e lo spazio e` tale perche´ tridimensionale. Ma
se volessimo studiare il caso 1+1 dei moti unidimensionali in ambiente relativistico,
coinvolto in alcuni esempi, non avremmo, a priori, un modo per distinguere il tempo
dallo spazio, meglio i sottospazi di tipo tempo da quelli di tipo spazio o ancora l’asse
temporale dall’asse spaziale.
Insomma il senso dello spazio e del tempo si trova nelle leggi di natura, che
governano l’evoluzione del mondo seguendo ’l’andare del tempo’ e ci danno complete
informazioni (oppure assegnano probabilita`) sugli eventi dello spazio-tempo a partire
CAPITOLO 1. LO SPAZIO-TEMPO 13
da condizioni iniziali fissate.
`
E nelle leggi di natura che i concetti della matematica
trovano il loro significato. Anche in questo caso.
1.2 Prodo?o Sclre u uo Spzio Ve?orile
Definizione 1.2.1 Siano V uno spazio vettoriale reale, dim
R
V = n,e
g: V×V→R una forma R-bilineare e simmetrica. g si dice
definita positiva (negativa) se ∀v ∈ V −{0
V
} : g(v,v)> 0(g(v,v)< 0)
semidefinita positiva (negativa) se ∀v ∈ V : g(v,v)≥ 0(g(v,v)≤ 0)
non degenere se (∀w ∈ V : g(v,w)=0)⇒ v =0
V
degenere se ∃ v ∈ V −{0
V
} tale che ∀w ∈ V : g(v,w)=0 .
Definizione 1.2.2 Siano V uno spazio vettoriale reale, dim
R
V = n, (e
1
, ..., e
n
) una
base di V e g : V×V→R una forma R-bilineare e simmetrica.
Si dice matrice rappresentativa di g rispetto a (e
1
, ..., e
n
) la matrice
G =(g
ij
) ∈ M
n
(R) dove ∀ i, j ∈{1, ..., n} : g
ij
= g(e
i
,e
j
).
La matrice rappresentativa di g e` ovviamente simmetrica.
Osserviamo che, esprimendo i due vettori v,w ∈ V rispetto alla base (e
1
, ..., e
n
),
v =
∑
n
i=1
v
i
e
i
e w =
∑
n
i=1
w
i
e
i
, risulta che g(v,w)=
∑
n
i,j=1
g
ij
v
i
w
j
.
Se W ⊆V e` un sottospazio vettoriale, allora adottiamo il simbolo g|
W
per inten-
dere g |
W×W
.
Definizione 1.2.3 Siano V uno spazio vettoriale reale, dim
R
V = n,e
g: V×V→R una forma R-bilineare e simmetrica.
Si dice indice di g (e si scrive ind(g)) la dimensione del piu` grande sottospazio W
di V tale che g|
W
sia definita negativa.
Evidentemente ind(g) ≤ dim
R
V